山西省大同市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2024~2025學(xué)年高三8月開學(xué)質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A B. C. D.3.已知向量，，若與方向相同，則（）A.0 B.1 C. D.4.若，則（）A. B. C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，若存在，，使得成立，則的最大值為（）A.－4 B.－2 C.4 D.27.某商場舉辦購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A.32個(gè) B.28個(gè) C.27個(gè) D.24個(gè)8.已知是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象恒過某個(gè)定點(diǎn)B.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增C.圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱D.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”，下列說法正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列”B.若是等差數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則公差C.若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列”D.若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比11.已知正方體的棱長為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（）A若，則平面平面B.若，則與所成角的取值范圍為C.若，則平面D.若，則線段長度的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.中國跳水隊(duì)素有“夢之隊(duì)”稱號(hào)，在剛剛結(jié)束的2024巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國跳水隊(duì)取得了優(yōu)異的成績.其中單人跳水比賽的計(jì)分規(guī)則為：運(yùn)動(dòng)員做完一套入水動(dòng)作后，由7位專業(yè)裁判進(jìn)行打分，從打出的分?jǐn)?shù)中按照高低去掉前兩個(gè)和后兩個(gè)，剩余3個(gè)分?jǐn)?shù)的總和再乘以這套動(dòng)作的難度系數(shù)即為該運(yùn)動(dòng)員的最終得分.若某位運(yùn)動(dòng)員在一輪比賽中入水動(dòng)作的難度系數(shù)為3.2，7位裁判給他打出的分?jǐn)?shù)分別為9.5、9.5、9、8、9、9.5、8.5，則這7個(gè)數(shù)據(jù)的方差為______，該運(yùn)動(dòng)員本輪比賽的得分為______．13.已知是拋物線上三個(gè)不同的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)，，成等差數(shù)列，是的焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是______．14.已知定義在的函數(shù)滿足對(duì)任意的正數(shù)，都有，若，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，，有，求實(shí)數(shù)的最小值．16.已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，．（1）若，求的面積；（2）若是銳角三角形，為的中點(diǎn)，求長的取值范圍．17如圖，已知四棱錐中，，，，，．（1）證明：；（2）若四棱錐的體積為1，求直線與平面所成角的正弦值．18.由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，．如圖，，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，分別是“果圓”與，軸的交點(diǎn)．（1）若是邊長為2的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）若，求的取值范圍；（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦，是否存在斜率為定值的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由．19.某市教育局舉辦的校園足球比賽，其中小學(xué)生足球淘汰賽階段的比賽規(guī)則如下：①常規(guī)時(shí)間分上、下半場，每個(gè)半場各30分鐘，在常規(guī)時(shí)間內(nèi)進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；②如果在常規(guī)時(shí)間內(nèi)兩隊(duì)?wèi)?zhàn)平，則雙方各派3名隊(duì)員進(jìn)行3輪點(diǎn)球決戰(zhàn)，進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；③如果點(diǎn)球大戰(zhàn)依然戰(zhàn)平，則將進(jìn)行抽簽決定哪支球隊(duì)進(jìn)入下一輪，現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行淘汰賽階段的比賽．（1）假設(shè)在常規(guī)時(shí)間內(nèi)甲隊(duì)獲勝的概率為，戰(zhàn)平的概率為；在點(diǎn)球大戰(zhàn)中甲隊(duì)獲勝以及戰(zhàn)平的概率均為；在抽簽環(huán)節(jié)，兩隊(duì)進(jìn)入下一輪機(jī)會(huì)均等．已知在甲隊(duì)進(jìn)入下一輪的條件下，求他們是通過抽簽進(jìn)入下一輪的概率；（2）點(diǎn)球大戰(zhàn)中，當(dāng)領(lǐng)先的一方提前獲得比賽的勝利，則剩下的隊(duì)員不再出場進(jìn)行點(diǎn)球比賽（如甲方3∶1領(lǐng)先時(shí)，