1.2.1等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式（第1課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課標(biāo)要求1.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念;2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題;3.掌握等差數(shù)列的判定與證明方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列一般地,如果一個(gè)數(shù)列從

起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于

,那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的

,公差通常用字母

表示.

順序不能顛倒

第2項(xiàng)

同一個(gè)常數(shù)

公差

d名師點(diǎn)睛1.定義中的“從第2項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng),無(wú)法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相對(duì)應(yīng);2.定義中“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求說(shuō)明作差的兩項(xiàng)必須相鄰;3.等差數(shù)列的公差的取值范圍是全體實(shí)數(shù);4.常數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)等差數(shù)列的公差是相鄰兩項(xiàng)的差.(

)(2)若兩個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)相同,公差也相同,則兩個(gè)數(shù)列完全相同.(

)2.定義中的“同一個(gè)常數(shù)”能改為“一個(gè)常數(shù)”嗎?××提示

不能.知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則an=

是數(shù)列的通項(xiàng)公式.

名師點(diǎn)睛等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于三個(gè)基本量a1,d,n的關(guān)系式,所以由首項(xiàng)a1和公差d可以求數(shù)列的任意一項(xiàng).a1+(n-1)d過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).(

)(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知,已知an,a1,d,n中的三個(gè)可求另一個(gè).(

)2.如何利用符號(hào)語(yǔ)言描述數(shù)列{an}是等差數(shù)列?√√提示

an+1-an=d(d為常數(shù),n∈N+).3.若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差d=0,則數(shù)列的通項(xiàng)公式有何特征?提示an=a1.知識(shí)點(diǎn)3等差中項(xiàng)在兩個(gè)數(shù)a,b之間插入數(shù)M,使a,M,b成等差數(shù)列,則M稱為a與b的等差中項(xiàng).名師點(diǎn)睛1.若M為a與b的等差中項(xiàng),則M=.2.任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng),且等差中項(xiàng)唯一.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足2b=a+c,則a,b,c一定是等差數(shù)列.(

)(2)若{an}是一個(gè)有窮的等差數(shù)列,則數(shù)列中的任何一項(xiàng)都是其相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).(

)2.如果在數(shù)列{an}中,an是an-1和an+1的等差中項(xiàng)(n≥2),那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?為什么?√×提示

是.因?yàn)閍n是an-1和an+1的等差中項(xiàng)(n≥2),所以an-1,an,an+1成等差數(shù)列,故an-an-1=an+1-an(n≥2),由等差數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【例1】

(1)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為0,公差為4的等差數(shù)列,若an=2024,則n=(

)A.504 B.505C.506 D.507D解析

根據(jù)題意,數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=0,公差d=4的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=4n-4,若an=2

024,則有4n-4=2

024,解得n=507.(2)在等差數(shù)列40,37,34,…中,第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是(

)A.第13項(xiàng) B.第14項(xiàng)C.第15項(xiàng) D.第16項(xiàng)C解析

首項(xiàng)a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.解不等式43-3n<0,得n>.因?yàn)閚∈N+,所以n≥15,即第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第15項(xiàng).(3)在等差數(shù)列{an}中,若a3=12,a6=27,則其通項(xiàng)公式為

.

an=5n-3規(guī)律方法

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用方法與技巧等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中共含有四個(gè)參數(shù),即a1,d,n,an,如果已知其中的任意三個(gè),那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè),這一求未知量的過(guò)程,我們通常稱之為“知三求一”.變式訓(xùn)練1判斷-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…中的項(xiàng).如果是,指明是第幾項(xiàng);如果不是,試說(shuō)明理由.解

記該等差數(shù)列為{an},公差為d,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由題意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).探究點(diǎn)二等差中項(xiàng)及其應(yīng)用【例2】

若等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a,2a-1,3-a,求其第2024項(xiàng).分析

先根據(jù)條件由等差中項(xiàng)概念列方程求a,然后求出通項(xiàng)公式,再代入n=2

024求解.規(guī)律方法

等差中項(xiàng)的應(yīng)用策略(1)求兩個(gè)數(shù)x,y的等差中項(xiàng),根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得A=.(2)證明三項(xiàng)成等差數(shù)列,只需證明中間一項(xiàng)為兩邊兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)即可,即若a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b;反之,若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.變式訓(xùn)練2(1)等差數(shù)列1,2a,4a2,…的第5項(xiàng)等于(

)A. B.1

C.5

D.16B解析

因?yàn)?,2a,4a2,…成等差數(shù)列,所以4a=1+4a2,解得a=,所以這個(gè)等差數(shù)列的每一項(xiàng)均為1.故選B.(2)若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5,則m和n的等差中項(xiàng)為

.

3解析

由m和2n的等差中項(xiàng)為4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5,得2m+n=10.兩式相加,得m+n=6.所以m和n的等差中項(xiàng)為

=3.探究點(diǎn)三等差數(shù)列定義的應(yīng)用角度1應(yīng)用等差數(shù)列的定義解題

D規(guī)律方法

等差數(shù)列定義的應(yīng)用方法求解數(shù)列問(wèn)題時(shí),若已知條件中隱含等差數(shù)列的定義形式,則可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題求解.變式訓(xùn)練3在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=1,(n≥2),則其通項(xiàng)公式為an=

.

角度2等差數(shù)列的證明

(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析

(1)根據(jù)已知條件,先用an表示bn,用an+1表示bn+1,然后證明bn+1-bn為常數(shù);(2)結(jié)合{bn}是等差數(shù)列及an與bn的關(guān)系求{an}的通項(xiàng)公式.規(guī)律方法

用定義法判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本步驟:(1)作差an+1-an;(2)對(duì)差式進(jìn)行變形;(3)當(dāng)an+1-an是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列;當(dāng)an+1-an不是常數(shù),而是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí),數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.變式訓(xùn)練4在數(shù)列{an}中,a1=3,且滿足an+1=an+2n+2,bn=an-n2(n∈N+),求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求{bn}的通項(xiàng)公式.證明因?yàn)閍n+1=an+2n+2,所以an+1-(n+1)2=an-n2+1,故bn+1-bn=1.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且公差為1,而b1=a1-1=2,故bn=2+(n-1)=n+1.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式;(2)等差中項(xiàng).2.方法歸納:定義法判斷等差數(shù)列、累加法推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式、方程(組)求解等差數(shù)列的基本量.3.注意事項(xiàng):等差數(shù)列的概念強(qiáng)調(diào)從第2項(xiàng)起,“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差”為“同一個(gè)常數(shù)”,證明等差數(shù)列主要是證明an-an-1(n≥2)的值是一個(gè)常數(shù).學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練12345678910111213141.在等差數(shù)列{an}中,若a1=2,a2=4,則a4=(

)A.6 B.8

C.16

D.32B解析

因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,則a4=a1+3d=2+3×2=8,故選B.12345678910111213142.[2024甘肅臨夏高二期中]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3=2,公差d=,則其首項(xiàng)a1=(

)A.3 B.4C.5 D.6A解析

∵a3=a1+2d=2,公差d=,則a1=a3-2d=2+1=3.故選A.12345678910111213143.在等差數(shù)列{an}中,a3+a9=32,a2=4,則a10=(

)A.25 B.28

C.31

D.34B解析

因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28,故選B.12345678910111213144.若等差數(shù)列{an}的公差d=2,a8∶a7=7∶8,則a1=(

)A.-15 B.-28 C.15

D.28B解析

設(shè)a8=7k,a7=8k,k∈R,則a8-a7=7k-8k=-k=2,則k=-2.即a7=-16,故a1=a7-6d=-16-12=-28,故選B.1234567891011121314B12345678910111213146.(多選題)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.數(shù)列{an+b}(b為常數(shù))是等差數(shù)列B.數(shù)列{-an}是等差數(shù)列C.數(shù)列{}是等差數(shù)列D.an+1是an與an+2的等差中項(xiàng)ABD1234567891011121314解析

記數(shù)列{an}的公差為d,則an+1-an=d.(an+1+b)-(an+b)=d,故A正確;(-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以數(shù)列{-an}是等差數(shù)列,故B正確;根據(jù)等差數(shù)列的定義可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an與an+2的等差中項(xiàng),故D正確.故選ABD.12345678910111213147.已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)依次是-1,a-1,1,則a=

,通項(xiàng)公式an=

.

1n-2解析

因?yàn)?1,a-1,1構(gòu)成等差數(shù)列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=1.因?yàn)閍1=-1,d=1,所以an=n-2.12345678910111213148.若a≠b,則等差數(shù)列a,x1,x2,b的公差是(

)B級(jí)關(guān)鍵能力提升練C解析

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得b=a+(4-1)d,所以d=.12345678910111213149.在數(shù)列{an}中,a1=-1,a3=3,an+2=2an+1-an(n∈N+),則a10=(

)A.10 B.17

C.21

D.35B解析

∵an+2=2an+1-an(n∈N+),∴an+2+an=2an+1,即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.設(shè){an}的公差為d,∵a1=-1,a3=3,∴a3=a1+2d,即3=-1+2d,得d=2.則an=-1+(n-1)×2=2n-3,故a10=2×10-3=17.123456789101112131410.[2024甘肅白銀高二期中](多選題)若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=5,則(

)A.當(dāng)a3=7時(shí),a7=15B.a4的取值范圍是[5,15)C.當(dāng)a7為整數(shù)時(shí),a7的最大值為29D.公差d的取值范圍是(0,5)ABC解析

當(dāng)a2=5,a3=7時(shí),公差d=2,a7=a3+4d=7+8=15,故A正確;因?yàn)閧an}各項(xiàng)均為正數(shù),所以a1=5-d>0,即d<5,且d≥0,所以公差d的取值范圍是[0,5),故D錯(cuò)誤;因?yàn)閍4=5+2d,所以a4的取值范圍是[5,15),故B正確;a7=5+5d∈[5,30),當(dāng)a7為整數(shù)時(shí),a7的最大值為29,故C正確.故選ABC.1234567891011121314123456789101112131412.[2024甘肅隴南高二期末]已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N+)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

.

an=2n+1解析

設(shè)等差數(shù)列{log2(a