教師資格認定考試高級中學(xué)數(shù)學(xué)真題2015年上半年

教師資格認定考試高級中學(xué)數(shù)學(xué)真題2015年上半年一、單項選擇題1.

已知集合N={y|y=3x，x≥0}，則集合M∩N=______

A．(-∞，1]

B．{1}

C．

D．(-1，1]正確答案：B[解析]由題可求出集合M為[-1，1]，集合N為[1，+∞)，所以M∩N={1}。故選B。

2.

a、b∈R，“a＜b”是“a3|a|＜b3|b|”成立的______A.充分條件但不是必要條件B.充分必要條件C.必要條件但不是充分條件D.以上都不是正確答案：B[解析]當a＜b＜0時a3|a|=-a4＜-b4=b3|b|；當a＜0＜b時，a3|a|=-a4＜0＜b4=b3|b|；當0＜a＜b時，a3|a|=a4＜b4=b3|b|。所以a＜b是a3|a|＜b3|b|的充分條件。同理，分類討論可得a＜b是a3|a|＜b3|b|的必要條件，即前者是后者的充要條件。故選B。

3.

三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，則此三次函數(shù)的圖象是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]設(shè)導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點分別為c1，c2，顯然有0＜c1＜c2。根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何性質(zhì)可知原函數(shù)在(-∞，c1)上遞增，(c1，c2)上遞減，(c2，+∞)遞增，只有選項B滿足要求。故選B。

4.

與命題“y=f(x)在x0連續(xù)”不等價的命題是______

A．對任意數(shù)列{xn}，xn→x0，有

B．有|f(x)-f(x0)|＜ε

C．存在數(shù)列{xn}，xn→x0，有

D．對任意數(shù)列{xn}，xn→x0，有|f(xn)-f(x0)|＜ε正確答案：C[解析]B、D分別是函數(shù)在某點連續(xù)的兩種定義方法，所以與原命題等價；只有滿足對任意數(shù)列{xn}，xn→x0都有才能保證函數(shù)在x0連續(xù)，即A等價，C不等價。故選C。

5.

設(shè)α是代數(shù)方程f(x)=0的根，則下列結(jié)論不正確的是______A.x-α是f(x)的因式B.x-α整除f(x)C.(α，0)是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點D.f'(α)=0正確答案：D[解析]因為x=α是方程f(x)=0的根，所以(α，0)是函數(shù)圖象與x軸的交點，C正確；又由x=α是方程f(x)=0的根可得，存在整式g(x)使得f(x)=(x-α)g(x)，所以x-α是f(x)的因式，進而有x-α整除f(x)，A、B正確；對于D，只有當x=α是方程f(x)=0的重根時才有f'(α)=0。

6.

x2+xy+y2=1表示的曲線是______A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.兩條相交直線正確答案：A[解析]令x=m+n，y=m-n，代入原式可化為3m2+n2=1，即方程表示的曲線是橢圓。故選A。

7.

下列圖形符號中表示算法程序“判斷框”的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]算法程序中的“判斷框”是菱形，故選D。

8.

下面是關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價的認識：

①通過考查學(xué)生的知識技能就可以對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進行全面評價；

②通過考查學(xué)生的情感與態(tài)度就可以對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平進行評價；

③數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價重在學(xué)習(xí)過程，對于學(xué)習(xí)結(jié)果不必看重；

④數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價重在激勵學(xué)生學(xué)習(xí)，而不是改進教師教學(xué)。

其中，不正確的是______A.③④B.①②③C.①②④D.①②③④正確答案：D[解析]學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價的內(nèi)容有：對基礎(chǔ)知識與基本技能的評價；對數(shù)學(xué)思考和問題解決的評價；對情感態(tài)度的評價。故①、②錯誤。對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價重存過程，也重結(jié)果，故③錯誤。數(shù)學(xué)教學(xué)評價的激勵功能對學(xué)生和教師都是一種有益的強化和促進，較高的評價是一種積極的鼓勵與推動，較低的評價是一種有效的鞭策與促進，通過教學(xué)評價可以不斷激勵學(xué)生和教師向更高的目標努力，故④錯誤。因此答案為D。

二、簡答題(每小題7分，共35分)某投資人本金為A元，投資策略為：①一年連續(xù)投資n次，每個投資周期為年；②在每個投資周期中，利率均為；③總是連本帶息滾動投資。

回答下列問題：1.

一年后的資金總額?正確答案：第1個投資周期后資金為

第2個投資周期后資金總額為

……

第n個投資周期后，即一年后資金總額為

2.

當n→∞時，資金總額是否趨于無窮?正確答案：

即當n→∞時，資金總額趨于Aex。

3.

某人從A處開車到D處上班，若各路段發(fā)生堵車事件是相互獨立的，發(fā)生堵車的概率如圖所示(例如路段AC發(fā)生堵車的概率是)。請選擇一條由A到D的路線，使得發(fā)生堵車的概率最小，并計算此概率。

正確答案：由A到D的路線有兩條，分別是A-B-D，A-C-D。

走A-B-D發(fā)生堵車的概率為

走A-C-D發(fā)生堵車的概率為

顯然，P2＜P1，所以走A-C-D路線發(fā)生堵車的概率最小，概率為

已知a為實數(shù)f(x)=(x2-4)(x-a)。4.

求導(dǎo)數(shù)f'(x)；正確答案：由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a，則f'(x)=3x2-2ax-4。

5.

若f'(-1)=0，求f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值。正確答案：由f'(-1)=0，即3+2a-4=0，解得

故有

令f'(x)＞0，解得x＜-1或

令f'(x)＜0，解得

所以，函數(shù)f(x)在(-2，-1)，上分別遞增，在上遞減。

又可求得，f(-2)=0，f(2)=0，

所以f(x)在[-2，2]上的最大值為，最小值為

6.

舉例說明運用分析法證明數(shù)學(xué)結(jié)論的思維過程和特點。正確答案：從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等，這種思維方法稱為分析法。

分析法證明的思維過程：用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法的思維過程可用框圖表示為：

分析法證明的特點：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件。

例如：對于任意的a＞0，b＞0，滿足基本不等式的證明過程。

分析法證明：要證

只需證：

只需證：

因為成立，

所以成立。

7.

簡述“尺規(guī)作圖”的基本要求，并寫出古希臘時期“幾何作圖三大問題”的具體內(nèi)容。正確答案：(1)尺規(guī)作圖的基本要求：

①它使用的直尺和圓規(guī)帶有想象性質(zhì)，跟現(xiàn)實中的并非完全相同；

②直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè)，只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上面畫刻度；

③圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度，它只可以拉成你之前構(gòu)造過的長度。

(2)古希臘時期的“幾何作圖三大問題”是三個作圖題，要求只使用圓規(guī)和直尺求出下列問題的解，直到19世紀被證實是不可能的。

①立方倍積，即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍；

②化圓為方，即作一正方形，使其與給定圓的面積相等；

③三等分角，即分一個給定的任意角為三個相等的部分。

三、解答題(本大題10分)1.

已知方程表示的幾何圖形是橢圓，求出其短半軸與長半軸的長度。正確答案：由解析式可知該橢圓即為柱面x2+y2=1與平面π：px+qy+z=0的交線，平面π過坐標原點，橢圓的中心在坐標原點。

設(shè)橢圓上任意一點P(x，y，z)，則原點O與P的距離r的最大、最小值即為橢圓的長半軸與短半軸長。

當z=0時，rmin=1。

而由柯西不等式得：

設(shè)x=cosθ，y=sinθ，則

當且僅當時等號成立。

故橢圓的短半軸長為1，長半軸長為

四、論述題(本大題15分)1.

以高中階段的函數(shù)為例，闡述數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的呈現(xiàn)如何體現(xiàn)螺旋上升的原則。正確答案：數(shù)學(xué)中有一些重要的內(nèi)容、方法和思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認識過程逐步理解和掌握的，如函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等。因此，教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與思想方法時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則。螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實質(zhì)性的變化，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求。

例如，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。高中階段不僅把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想方法將貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終。因此，教材對函數(shù)的內(nèi)容編排應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的原則，分階段逐漸深化。依據(jù)內(nèi)容標準的要求，教材可以將函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)分為三個主要階段：

第一階段，通過一些具體實例，體會數(shù)集之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實際問題，嘗試列舉各種各樣的函數(shù)，構(gòu)建函數(shù)的一般概念。

第二階段，再通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)的研究，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。引導(dǎo)學(xué)生不斷體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用。

第三階段，鼓勵學(xué)生運用計算器、計算機畫出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的圖象，探索、比較它們的變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)，求方程的近似解等，在這個過程中反復(fù)體會函數(shù)的概念，才能真正掌握，靈活應(yīng)用。

五、案例分析題(本大題20分)方式1：實數(shù)有加法運算，那么下列集合的關(guān)系呢?

方式2：班里有會彈鋼琴的，會打拳擊的，會……(給出集合的并集的定義)

方式3：前面學(xué)習(xí)了集合，集合的表示、基本關(guān)系，接下來呢……

問題：1.

分析三種引入方式的特點；正確答案：方式1的引入，從學(xué)生熟悉的實數(shù)加法運算入手，降低了認知難度。然而集合間的運算的交、并、補、差與實數(shù)的運算雖然有一定的聯(lián)系，但是其中的差別在教學(xué)過程中也應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生思考探究，避免出現(xiàn)運算誤區(qū)。

方式2的引入，利用學(xué)生身邊的人創(chuàng)設(shè)問題情境，降低對新知識的陌生感，引發(fā)學(xué)生思維的共鳴。

方式3的引入，復(fù)習(xí)以前學(xué)過的知識內(nèi)容，進行新舊知識的銜接過渡，降低學(xué)生對新知識的認知難度。但是缺乏具體內(nèi)容的回顧，只是簡單地提及，不能夠全面地顧及到班上的所有學(xué)生對已有知識的復(fù)習(xí)，達到降低對新知識認知難度的目的。

2.

對于方式3，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進一步提出哪些問題；正確答案：問題1．集合之間是否也具備一些運算規(guī)律呢?

問題2．集合的并集運算與實數(shù)的加法運算有什么異同點?

問題3．集合的補集運算與實數(shù)的減法運算有什么異同點?

問題4．集合的交集運算需要注意的問題有什么?

3.

數(shù)學(xué)概念引入的關(guān)鍵點是什么?如何使數(shù)學(xué)概念的引入更加自然?正確答案：數(shù)學(xué)概念引入的關(guān)鍵點為：①注意運用新、舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；②調(diào)動學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有感性經(jīng)驗知識，去感知理解材料，創(chuàng)設(shè)具體情境，從具體事例中抽象出數(shù)學(xué)概念。

在利用新舊知識之間的聯(lián)系引入概念時，注意創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情境，關(guān)注新舊知識的連接，嘗試引入新的概念，這樣引入容易使學(xué)生在原有的認知結(jié)構(gòu)中得到同化和建構(gòu)。

通過創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例到抽象出數(shù)學(xué)概念時要求充分調(diào)動學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有感性經(jīng)驗和知識，去感知理解材料，經(jīng)過思維加工產(chǎn)生認識飛躍，繼而組織成完整的概念圖式。在具體引入概念的過程中可以通過實例、繪圖或是多媒體輔助引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)概念的特點，使學(xué)生思維由感性認識自然過渡到理性認識。

六、教學(xué)設(shè)計題(本大題30分)“兩角差的余弦公式”是高中數(shù)學(xué)必修4中的內(nèi)容，“經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用”，請完成“兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程”教學(xué)設(shè)計的下列任務(wù)：1.

分析學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)；正確答案：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式以及平面向量，會向量的坐標運算，會平面向量數(shù)量積的坐標表示、模和夾角，能利用向量的數(shù)量積求兩個向量之間的夾角。

2.

確定學(xué)生學(xué)習(xí)的難點；正確答案：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程是本節(jié)的難點，引導(dǎo)學(xué)生通過主動參與，獨立探索，自己得出結(jié)果更是難點。憑直覺得出cos(α-β)=cosα-cosβ是學(xué)生經(jīng)常犯的錯誤，跟學(xué)生的直覺判斷產(chǎn)生了偏差。學(xué)生用學(xué)過的三角函數(shù)知識探索有關(guān)三角函數(shù)的問題是很自然的，鑒于學(xué)生獨立地運用單位圓上的三角函數(shù)線進行探索存在一定的困難，因此把探索過程寫進了教材。推導(dǎo)過程比較繁雜，可以利用向量的方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式。由于前一章剛學(xué)習(xí)了向量，學(xué)生應(yīng)用不靈活，則推導(dǎo)兩角差的余弦公式存在困難。

3.

寫出推導(dǎo)過程。正確答案：如圖，在平面直角坐