2013年全國(guó)初中九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2013年全國(guó)初中九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）在下列各小題中，均給出四個(gè)答案，其中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的字母代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填均為零分．1．（5分）從長(zhǎng)度是2cm、2cm、4cm、4cm的四條線段中任意選三條線段，這三條線段能夠組成等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．12．（5分）如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，且AB＝10，BC＝15，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．38 B．39 C．40 D．413．（5分）已知xy≠1，且有5x2+2011x+9＝0，9y2+2011y+5＝0，則的值等于（）A． B． C． D．4．（5分）已知直角三角形的一直角邊長(zhǎng)是4，以這個(gè)直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓（如圖所示），已知兩個(gè)月牙形（帶斜線的陰影圖形），那么以下四個(gè)整數(shù)中，最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）設(shè)a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，二次函數(shù)，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形6．（5分）計(jì)算機(jī)中的堆棧是一些連續(xù)的存儲(chǔ)單元，在每個(gè)堆棧中數(shù)據(jù)的存入、取出按照“先進(jìn)后出’’的原則．如圖，堆棧（1），a，取出數(shù)據(jù)的順序是a，b；堆棧（2），d，c，取出數(shù)據(jù)的順序則是c，d，e，現(xiàn)在要從這兩個(gè)堆棧中取出這5個(gè)數(shù)據(jù)（每次取出1個(gè)數(shù)據(jù)）（）A．5種 B．6種 C．10種 D．12種二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7．（5分）若x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，則滿足該方程的所有根之和為．8．（5分）如圖，在?ABCD中，過(guò)A，B，且與CD相切，若AB＝4，則DE的長(zhǎng)為．9．如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則＝．10．（5分）已知a2﹣a﹣1＝0，且，則x＝．11．（5分）甲乙兩人到特價(jià)商店購(gòu)買商品，已知兩人購(gòu)買商品的件數(shù)相等，且每件商品的單價(jià)只有8元和9元，則其中單價(jià)為9元的商品有件．12．（5分）如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，∠A＝60°，CD＝4mm，則電線桿AB的長(zhǎng)為m．13．（5分）實(shí)數(shù)x與y，使得x+y，x﹣y，四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值，則所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)（x，y）．三、解答題（本大題共3個(gè)小題，每小題20分，共60分）14．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求證：a＝b＝c．15．（20分）如圖，將OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜6）；并求t為何值時(shí)（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（20分）對(duì)于給定的拋物線y＝x2+ax+b，使實(shí)數(shù)p、q適合于ap＝2（b+q）（1）證明：拋物線y＝x2+px+q通過(guò)定點(diǎn)；（2）證明：下列兩個(gè)二次方程，x2+ax+b＝0與x2+px+q＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．

2013年全國(guó)初中九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）在下列各小題中，均給出四個(gè)答案，其中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的字母代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填均為零分．1．（5分）從長(zhǎng)度是2cm、2cm、4cm、4cm的四條線段中任意選三條線段，這三條線段能夠組成等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．1【解答】解：從長(zhǎng)度是2cm、2cm、8cm的四條線段中任意選三條線段，由于三角形中兩邊之和應(yīng)大于第三邊，故能構(gòu)成等腰三角形的概率＝＝．故選：C．2．（5分）如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，且AB＝10，BC＝15，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．38 B．39 C．40 D．41【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，在Rt△ANB和Rt△AND中，∠BAN＝∠DAN，AN＝AN，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝10，BN＝DN，即N為BD的中點(diǎn)，∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴CD＝2MN＝6，AC＝AD+CD＝10+7，∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+AC+BC＝10+（10+6）+15＝41．故選：D．3．（5分）已知xy≠1，且有5x2+2011x+9＝0，9y2+2011y+5＝0，則的值等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵9y2+2011y+8＝0，∴5×（）2+2011×+4＝0．∴x、是關(guān)于x的方程7x2+2011x+9＝4的兩根，∴＝．故選：B．4．（5分）已知直角三角形的一直角邊長(zhǎng)是4，以這個(gè)直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓（如圖所示），已知兩個(gè)月牙形（帶斜線的陰影圖形），那么以下四個(gè)整數(shù)中，最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：如圖，AC＝4，S1+S7＝10，設(shè)BC＝a，∴S1+S2+S2+S4＝π×22+π×a2＝2π+a2，∴S3+S5＝2π+a3﹣10①，又∵AB2＝45+a2＝16+a2，∴S6+S4＝π×﹣a2+2π﹣2a②，①﹣②得，4π+a2﹣10＝a2+2π﹣3a，解得a＝5，∴S3+S8＝2π+a4﹣10＝2π+×25﹣10≈2.1，即最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和的是6．故選：A．5．（5分）設(shè)a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，二次函數(shù)，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【解答】解：由題意得，x＝﹣，整理得，c＝2a﹣b，x＝1時(shí)，a﹣＝﹣b，整理得，c＝b，設(shè)b＝5k，則c＝6k，a＝4k，∵（3k）7+（4k）2＝25k5，∴c2+a2＝b8，∴△ABC是直角三角形．故選：D．6．（5分）計(jì)算機(jī)中的堆棧是一些連續(xù)的存儲(chǔ)單元，在每個(gè)堆棧中數(shù)據(jù)的存入、取出按照“先進(jìn)后出’’的原則．如圖，堆棧（1），a，取出數(shù)據(jù)的順序是a，b；堆棧（2），d，c，取出數(shù)據(jù)的順序則是c，d，e，現(xiàn)在要從這兩個(gè)堆棧中取出這5個(gè)數(shù)據(jù)（每次取出1個(gè)數(shù)據(jù)）（）A．5種 B．6種 C．10種 D．12種【解答】解：先取出堆棧（1）的數(shù)據(jù)首次取出的只能是a，可以有下列情況，abcde，acbde，acdeb四種情況；先取出堆棧（2）的數(shù)據(jù)首次取出的只能是c，可以有下列情況，cdeab，cdabe，cabde，cadeb六種情況，綜上所知，共10種取法．故選：C．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7．（5分）若x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，則滿足該方程的所有根之和為．【解答】解：當(dāng)2x﹣1≥8時(shí)，即x≥5﹣2x﹣3＝3，（x﹣3）（x+1）＝8，x1＝3，x6＝﹣1，∵﹣1＜∴x2＝﹣5（舍去）∴x＝3當(dāng)2x﹣8＜0，即x＜時(shí)2+2x﹣8＝0，（x+1）5＝6，x+1＝±，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1＝﹣8+（舍去）∴x＝﹣1﹣．則3+（﹣1﹣）＝2﹣．故答案為：．8．（5分）如圖，在?ABCD中，過(guò)A，B，且與CD相切，若AB＝4，則DE的長(zhǎng)為．【解答】解：連接CE，∵＝，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5，由切割線定理知：DE＝＝．故答案為：．9．如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則＝．【解答】解：∵AD＝BE，∴CE＝BD，∵等邊三角形ABC，∴△CAE≌△BCD，∴∠DCB＝∠CAE，∴∠AFG＝∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠DCB＝60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°，∴FG：AF＝．故答案為：．10．（5分）已知a2﹣a﹣1＝0，且，則x＝4．【解答】解：∵＝﹣，∴6a5﹣9xa2+4＝﹣2a3﹣8xa2+2a，整理得：x＝，∵a2﹣a﹣7＝0，∴a2＝a+5，則x＝＝＝＝＝4．故答案為：4．11．（5分）甲乙兩人到特價(jià)商店購(gòu)買商品，已知兩人購(gòu)買商品的件數(shù)相等，且每件商品的單價(jià)只有8元和9元，則其中單價(jià)為9元的商品有12件．【解答】解：設(shè)共購(gòu)商品2x件，9元的商品a件，根據(jù)題意得：6（2x﹣a）+9a＝172，解得a＝172﹣16x，∵依題意3x≥a，且a＝172﹣16x≥0，∴可得9.2≤x≤10.75，∴x＝10，則a＝12．所以9元的商品12件，故答案為：12．12．（5分）如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，∠A＝60°，CD＝4mm，則電線桿AB的長(zhǎng)為m．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD交地面于E．∵∠DCF＝45°，∠A＝60°，∴CF＝DF＝m，EF＝DFtan60°＝．∵，∴（m）．13．（5分）實(shí)數(shù)x與y，使得x+y，x﹣y，四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值，則所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)（x，y）（，﹣1）和（，﹣1）．【解答】解：由題意知y≠0，此時(shí)x+y≠x﹣y，依題意，有或，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，即由②得，y＝±1，將y＝6代入①得，x+1＝x，將y＝﹣1代入①得，x﹣6＝﹣x，∴x＝，即，Ⅱ、當(dāng)時(shí)，即，由（2）得，y＝±8，將y＝1代入（1）得，x﹣1＝x，將y＝﹣4代入（1）得，x+1＝﹣x，∴x＝﹣，即，故滿足條件的數(shù)對(duì)（x，y）為（，﹣1），故答案為：（，﹣1）和（．三、解答題（本大題共3個(gè)小題，每小題20分，共60分）14．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求證：a＝b＝c．【解答】證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式＝3x2+8（a+b+c）x+ab+ac+bc，∵它是完全平方式，∴Δ＝0．即4（a+b+c）7﹣12（ab+ac+bc）＝0．∴2a7+2b2+3c2﹣2ab﹣6bc﹣2ca＝0，（a﹣b）8+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝3．要使等式成立，必須且只需：解這個(gè)方程組，得a＝b＝c．15．（20分）如圖，將OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t）；（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜6）；并求t為何值時(shí)（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）延長(zhǎng)NP交OA于H，∵矩形OABC，∴BC∥OA，∠OCB＝90°，∵PN⊥BC，∴NH∥OC，∴四邊形CNHO是平行四邊形，∴OH＝CN，∵OA＝6，AB＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）；由圖可得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)＝0H＝CN＝t，∵NP⊥BC，∴NP∥OC，∴NP：OC＝BN：CB，即NP：7＝（6﹣t）：6，∴NP＝7﹣t，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)＝3﹣NP＝t，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）；（2）∵S△OMP＝×OM×，∴S＝×（6﹣t）×＝．＝（0＜t＜6）．∴當(dāng)t＝6時(shí)，S有最大值．（3）存在．由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M，0），4），則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：．設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），解方程組得，∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為．∵S△OCN＝×4×6＝6，∴S△ORT＝S△OCN＝2．①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí)1T3，如圖，作R1D1⊥y軸，D5為垂足，則S△OR1T1＝RD1?OT＝??b＝2．∴3b4﹣4b﹣16＝0，b＝．∴b2＝，b2＝（不合題意此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為（8，）．②當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分割出的三角形是△R2NE，如圖，由①得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2D2⊥CN交CN于點(diǎn)D2，則S△R7NE＝?EN?R7D2＝??＝＝2．∴b2+3b﹣48＝0，b＝．∴b1＝，b2＝（不合題意．∴此時(shí)點(diǎn)T2的坐標(biāo)為（0，）．綜上所述，在y軸上存在點(diǎn)T1（3，），T2（0，）符合條件．16．（20分）對(duì)于給定的拋物線y＝x2+ax+b，使實(shí)數(shù)p、q適合于ap＝2（b+q）（1）證明