2024-2025學(xué)年長沙市望城區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年長沙市望城區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）2024.08一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知函數(shù)是上奇函數(shù)，則（

）A．4B．3C．2 D．12．我們的數(shù)學(xué)課本《人教A版必修第一冊》第121頁的《閱讀與思考》中介紹：“一般地，如果某物質(zhì)的半衰期為h，那么經(jīng)過時間t后，該物質(zhì)所剩的質(zhì)量，其中是該物質(zhì)的初始質(zhì)量.”現(xiàn)測得某放射性元素的半衰期為1350年（每經(jīng)過1350年，該元素的存量為原來的一半），某生物標(biāo)本中該放射性元素的初始存量為m，經(jīng)檢測現(xiàn)在的存量為.據(jù)此推測該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年3．設(shè)為二次函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象的一個交點，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，，若，則（

）A． B．4 C． D．205．“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是A．（0,）B．（1,）C．(,） D．（0,）8．如圖，四邊形中，，若，且，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9．已知函數(shù)，則下列敘述中，正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)是偶函數(shù)10．如圖，正方體中，，是線段上的兩個動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，始終在同一個平面內(nèi)B．平面C．D．若正方體的棱長和線段的長均為定值，則三棱錐的體積為定值11．如圖，在菱形中，，，將沿對角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法不正確的是（

）A．存在某個位置，使得B．當(dāng)二面角的大小為時，C．與平面所成的最大角為D．存在某個位置，使得到平面的距離為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，夾角為45°，且，，則.13．已知符號表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)（），給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，；②為偶函數(shù)；③在單調(diào)遞減；④若方程有且僅有3個根，則a的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是.14．已知單位向量，與非零向量滿足，，則的最大值是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.（3）已知，化簡；（4）已知，，求的值.16．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.(1)求；(2)若點滿足，且，求的面積的最大值；(3)若，求證：是直角三角形.17．為了讓羽毛球運動在世界范圍內(nèi)更好的發(fā)展，世界羽聯(lián)將每年的7月5日定為“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主辦方打算一辦有關(guān)羽毛球的知識競答比賽.比賽規(guī)則如下；比賽一共進行4輪，每輪回答1道題.第1輪獎金為100元，第2輪獎金為200元，第3輪獎金為300元，第4輪獎金為400元.每一輪答對則可以拿走該輪獎金，答錯則失去該輪獎金，獎金采用累計制，即參賽者最高可以拿到1000元獎金.若累計答錯2題，則比賽結(jié)束且參賽者獎金清零.此外，參賽者在每一輪結(jié)束后都可主動選擇停止作答?結(jié)束比賽并拿走已累計獲得的所有獎金，小陳同學(xué)去參加比賽，每一輪答對題目的概率都是，并且小陳同學(xué)在沒有損失獎金風(fēng)險時會一直選擇繼續(xù)作答，在有損失獎金風(fēng)險時選擇繼續(xù)作答的可能性為.(1)求小陳同學(xué)前3輪比賽答對至少2題的概率；(2)求小陳同學(xué)用參加比賽獲得的獎金能夠購買一只價值499元的羽毛球拍的概率.18．淮安有軌電車是服務(wù)于淮安市的城市軌道交通，一期工程于2014年2月19日開工建設(shè)，2015年12月28日正式通車，是全國第七座、江蘇第三座開通有軌電車的城市．淮安有軌電車一期工程線路西起市體育館，沿交通路至大運河廣場北側(cè)，經(jīng)和平路至水渡口廣場，向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安區(qū)馬甸連接線，全長20．07公里，共設(shè)車站23個．淮安有軌電車一期工程使用超級電容，利用停站時的30秒鐘就可把電車上的電池充滿，剎車時產(chǎn)生的80%的動能被回收并轉(zhuǎn)化成電能，節(jié)能效果最好．正是采用超級電容供電，淮安有軌電車才會成為目前全球最長的無接觸網(wǎng)現(xiàn)代有軌電車線路，且有軌電車的高效運行給市民出行帶來很大便利．已知淮安有軌電車的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足．經(jīng)市場調(diào)研測算，電車載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時電車為滿載狀態(tài)，載客量為200人；當(dāng)時載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為72人．記電車載客量為．（1）求的表達式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，電車的載客量：（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車的時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答．(1)若，求A；(2)在第（1）問的前提下，若，求△ABC的周長的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．1．D【分析】利用奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為是上的奇函數(shù)，故，所以=0，故，當(dāng)時，，，則是奇函數(shù)，所以.故選：D.2．C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，兩邊取對數(shù)得，故選：C3．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)分析求解.【詳解】∵反函數(shù)過點，則函數(shù)過點，結(jié)合題意可得：函數(shù)過點和，則，解得，故選：C.4．A【分析】由向量垂直的性質(zhì)和向量的模長計算可得.【詳解】，因為，所以，所以，所以，故選：A5．A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的判斷，看條件與結(jié)論之間能否互推，條件能推結(jié)論，充分性成立，結(jié)論能推條件，必要性成立，由此即可求解.【詳解】若方程表示雙曲線，則或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分而不必要條件.故選：A【點睛】本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及充分必要條件的判斷，考查理解辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【分析】將三棱錐的直觀圖還原，確定出球心，進而算出球的半徑得到答案.【詳解】將三棱錐的直觀圖還原，如圖所示，則，∴，∴．取的中點O，連接，則，∴O為三棱錐外接球的球心，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：C.7．A【詳解】

綜上，選A8．C【分析】線段上取點E使得，結(jié)合已知可得，進而有，設(shè)，，再結(jié)合相關(guān)三角形面積、線段的數(shù)量關(guān)系得，進而得，即可求最大值.【詳解】線段上取點E使得，又，則，故，所以，則，設(shè)，則.由上易知，且，而，所以，則，結(jié)合及，且，由三角形內(nèi)角性質(zhì)，所以，綜上，.故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：線段上取點E使得，利用向量加減、數(shù)乘整理題設(shè)條件為，進而得到相關(guān)三角形面積、線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合及三角形面積公式求最值.9．AB【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱性判斷AC，利用正切函數(shù)的單調(diào)性判斷B，由偶函數(shù)的定義，利用特殊值判斷D．【詳解】，A正確；當(dāng)時，，因此此時單調(diào)遞增，B正確；函數(shù)的圖象不是軸對稱圖形，函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移個單位得到的，所以其圖象也不是軸對稱圖形，C錯誤；因為，但不存在，D錯誤，故選：AB．10．BCD【分析】A．根據(jù)點與平面的關(guān)系作出判斷；B．根據(jù)線面平行的判定定理進行分析；C．根據(jù)與平面的位置關(guān)系作出判斷；D．設(shè)出正方體棱長以及的長度，根據(jù)條件得到到平面的距離，從而可計算出三棱錐的體積并完成判斷.【詳解】因為，，同在平面上，而不在平面上，所以，不在同一個平面內(nèi)，故A錯誤；因為，平面，平面，所以平面，故B正確；因為平面，而平面，所以，連接，交于點，則，而，平面，平面，所以平面.因為平面，所以，故C正確；不妨設(shè)正方體的棱長為，，則.由于平面，則平面，，所以.因為，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：BCD.【點睛】易錯點睛：空間中線面平行的證明以及三棱錐體積計算的注意事項有：（1）證明線面平行時，注意說明哪一條直線在面內(nèi)，哪一條直線不在面內(nèi)；（2）求解三棱錐體積時，注意選擇合適的點作為頂點，合適的三角形作為底面積，這樣可以很大程度上簡化計算.11．BCD【分析】選項A：當(dāng)點P在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的重心點Q時，可得PD?平面PDQ，PD⊥BC，即可判斷；選項B：取BD的中點O，連接OP、OC，則OP＝OC．當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC為等腰直角三角形，即可判斷；選項C：由題可得PC與平面BCD所成的角為∠PCO，當(dāng)PC時，由余弦定理知∠PCO＞60°，即可判斷；選項D：若B到平面PDC的距離為，則有DB平面PCD，即DB⊥CD，與△BCD是等邊三角形矛盾．【詳解】選項A：當(dāng)點P在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的重心點Q時，有PQ⊥平面BCD，DQ⊥BC，∴PQ⊥BC，又DQ∩PQ＝Q，DQ、PQ?平面PDQ，∴BC⊥平面PDQ，∵PD?平面PDQ，∴PD⊥BC，即選項A正確；選項B：取BD的中點O，連接OP、OC，則OP＝OC．當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC為等腰直角三角形，∴PCOP，即選項B不正確；選項C：由題可知，△ABD和△BCD均為等邊三角形，由對稱性可知，在翻折的過程中，PC與平面BCD所成的角為∠PCO，，當(dāng)時，此時，即選項C錯誤；選項D：∵點B到PD的距離為，點B到CD的距離為，∴若B到平面PDC的距離為，則平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，則有DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，與△BCD是等邊三角形矛盾．即選項D錯誤.故選：BCD．12．【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積的運算律計算，再開根即可.【詳解】解：因為向量夾角為，，，所以，所以.故答案為：.13．①③④【分析】根據(jù)新定義分析得到的圖象，即可判斷①②③；將方程有且僅有3個根轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個交點，然后結(jié)合圖象即可判斷④.【詳解】因為符號x表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)，所以當(dāng)x∈0,1時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；所以函數(shù)的圖象如圖所示：對于①，由上面的圖象可知，①是正確的，對于②，由上面的圖象可知，②是錯誤的，對于③，由上面的圖象可知，③是正確的，對于④，由上面的圖象可知，，，，因為方程有且僅有3個根，等價于與的圖象有個交點，結(jié)合圖象可知，當(dāng)或.故答案為：①③④.14．【分析】根據(jù)題意設(shè)，，，由得出的范圍，由得出關(guān)系，則，根據(jù)得出的關(guān)系以及取等的條件可得出答案.【詳解】設(shè)，，所以由，可得，即由，可得所以又，所以則當(dāng)時，等號成立.此時，或即，或（這與矛盾，故舍去），由，則，即所以，解得此時所以故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)模的范圍求夾角的范圍和求向量數(shù)量積的最大值，解答本題的關(guān)鍵是由條件得出的范圍，由得出關(guān)系，再將關(guān)系代入中，根據(jù)取等條件得出答案，屬于中檔題.15．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得的值，代入所求，即可得答案；（2）左右同時平方，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及二倍角公式，即可得答案；（3）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及二倍角公式，化簡可得所求=，根據(jù)的范圍，可得的范圍，分析即可得答案；（4）根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合題干條件，可得的值，根據(jù)二倍角正切公式，代入計算，即可得答案.【詳解】（1）因為，所以，所以（2）因為，左右同時平方可得：，所以，所以（3），因為，所以，所以，所以；（4），所以16．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換化簡即可得解；（2）利用向量化結(jié)合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（3）由（1）及余弦定理得出的關(guān)系，再利用正弦定理化邊為角，進而可得出答案.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，又，則，又，所以，即，又且，所以，所以，所以；（2）因為，所以，則，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則，即的面積的最大值為；（3）由（1）及余弦定理得，整理得，由正弦定理得，則，得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以是直角三角形.【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.17．(1)(2)【分析】（1）前3輪比賽答對至少2題包含三題都答對，或三題中只答對兩題，然后由互斥事件和獨立事件的概率公式計算；（2）記小陳同學(xué)參加比賽獲得的獎金為（單位：元），由題意需要分別計算的概率，各個概率可獨立事件的概率公式計算，然后相加后可得結(jié)論．【詳解】（1）記“小陳同學(xué)前3輪比賽答對至少2題”為事件，第1輪答錯時沒有損失獎金風(fēng)險，故前2輪必答；前3輪比賽答對至少2題包含兩種情況