2025高考數學一輪復習-6.3.2-二項式系數的性質【課件】

第六章6.3

二項式定理6.3.2二項式系數的性質知識梳理知識點二項式系數的性質對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“

”的兩個二項式系數相等，即

＝____增減性與最大值增減性：當k<時，二項式系數是逐漸

；當k>時，二項式系數是逐漸

.最大值：當n為偶數時，中間一項的二項式系數____最大；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數______，_______相等，且同時取得最大值各二項式系數的和等距離增大的減小的2n2n－1思考若(a＋b)n的展開式中第5項的二項式系數最大，則n的值可以為多少？答案n＝7或8或9.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2.二項展開式中各項系數和等于二項式系數和.(

)4.二項展開式中系數最大項與二項式系數最大項相同.(

)√×××題型探究一、二項展開式的系數和問題例1已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；解令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.知a1，a3，a5為負值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.解由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，(3)a1＋a3＋a5.解因為a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.延伸探究在本例條件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；解因為a0是(2x－1)5的展開式中x5的系數，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；解因為(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以兩邊求導數得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.跟蹤訓練1

已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；解∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展開式化為(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.6(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.解令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.解由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二項式系數性質的應用例2

已知f(x)＝(＋3x2)n的展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.(1)求展開式中二項式系數最大的項；解令x＝1，則二項式各項系數的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5為奇數，∴展開式中二項式系數最大的項為中間的兩項，(2)求展開式中系數最大的項.∵k∈N，∴k＝4，跟蹤訓練2

已知

(n∈N*)的展開式中第5項的系數與第3項的系數的比是10∶1.(1)求展開式中各項系數的和；∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去).即所求各項系數的和為1.(2)求展開式中含

的項；∴展開式中含

的項為(3)求展開式中系數的絕對值最大的項.若第k＋1項的系數絕對值最大，故系數的絕對值最大的項為第6項和第7項，即T6＝－1792 ，T7＝1792x－11.隨堂練習123451.已知(ax＋1)n的展開式中，二項式系數的和為32，則n等于A.5 B.6 C.7 D.8√123452.(多選)

的展開式中二項式系數最大的項是A.第5項

B.第6項

C.第7項

D.第8項√√即第6項和第7項的二項式系數相等，且最大.123453.設(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于A.4 B.－71 C.64 D.199解析∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.√123454.

的展開式的各項系數的和為____.0123455.(2x－1)6的展開式中各項系數的和為____；各項的二項式系數的和為_____.164解析令x＝1，得各項系數的和為1；各二項式系數之和為26＝64.對點練習1.在(a＋b)n的二項展開式中，與第k項的二項式系數相同的項是A.第n－k項

B.第n－k－1項C.第n－k＋1項

D.第n－k＋2項基礎鞏固12345678910111213141516√故第n－k＋2項的二項式系數與第k項的二項式系數相同.2.已知(1＋x)n的展開式中只有第6項的二項式系數最大，則展開式中的奇數項的二項式系數之和為A.212

B.211 C.210 D.2912345678910111213141516解析∵展開式中只有第6項的二項式系數最大，∴n＝10，∵奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，√123456789101112131415163.(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展開式中各項系數之和為A.2n＋1

B.2n－1C.2n＋1－1 D.2n＋1－2解析令x＝1，則2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.√123456789101112131415164.(x－1)11的展開式中x的偶次項系數之和是A.－2048 B.－1023 C.1024 D.－1024√x的偶次項系數為負數，其和為－210＝－1024.123456789101112131415165.在

的展開式中，所有奇數項系數之和為1024，則中間項系數是A.330 B.462 C.682 D.792√解析∵二項展開式中所有項的二項式系數之和為2n，而所有偶數項的二項式系數之和與所有奇數項的二項式系數之和相等，故由題意得2n－1＝1024，∴n＝11，123456789101112131415166.若(x＋3y)n的展開式中各項系數的和等于(7a＋b)10的展開式中二項式系數的和，則n的值為_____.5令(x＋3y)n中x＝y(tǒng)＝1，則由題設知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.123456789101112131415167.(2x－1)10的展開式中x的奇次冪項的系數之和為_______.解析設(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，123456789101112131415168.已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于_______.－256解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，兩式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，兩式相減可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，則a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.123456789101112131415169.在二項式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項式系數之和；解設(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.12345678910111213141516(2)各項系數之和；解各項系數之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.12345678910111213141516(3)所有奇數項系數之和.解令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，12345678910111213141516(1)若展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大的項的系數；12345678910111213141516即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.當n＝7時展開式中二項式系數最大的項是第4項和第5項，當n＝14時，展開式中二項式系數最大的項是第8項，12345678910111213141516(2)若展開式中前三項的二項式系數之和等于79，求展開式中系數最大的項.12345678910111213141516解得n＝－13(舍去)或n＝12.設Tk＋1項的系數最大，又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展開式中系數最大的項是第11項，綜合運用1234567891011121314151611.(1＋3x)n的展開式中x5與x6的系數相等，則含x4項的二項式系數為A.21 B.35 C.45 D.28√1234567891011121314151612.在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中，x4的系數是首項為－2，公差為3的等差數列的A.第11項

B.第13項C.第18項

D.第20項√以－2為首項，3為公差的等差數列的通項公式為an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.1234567891011121314151613.(多選)設二項式

的展開式中第5項是含x的一次項，那么這個展開式中系數最大的項是A.第8項

B.第9項C.第10項

D.第11項√√所以展開式中系數最大的項是第10項和第11項.故選CD.1234567891011121314151614.設m為正整數，(x＋y)2m的展開式中二項式系數的最大值為a，(x＋y)2m＋1的展開式中二項式系數的最大值為b，若13a＝7b，則m＝____.6拓廣探究1234567891011121314151615.(多選)(1＋ax＋by)n的展開式中不含x的項的系數的絕對值的和為243，不含y的項的系數的絕對值的和為32，則a，b，n的值可能為A.a＝1，b＝2，n＝5 B.a＝