河北省石家莊市二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE14河北省石家莊市二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分。下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1、已知集合，，則（）A． B． C． D．2、若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則()A． B．1 C． D．無(wú)法確定3、沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形態(tài)完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，起先時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所須要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為12cm，體積為的細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A．3cm B．8cm C．64、已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A．-1 B．1 C．2 D．-25、已知m，n為不同的直線(xiàn)，α，β為不同的平面，下列四個(gè)命題中，正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，mα，則m∥α6、函數(shù)的部分圖像如圖中實(shí)線(xiàn)所示，圖中圓與的圖像交于，兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)7、將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的肯定值最小的，我們稱(chēng)為12的最佳分解.當(dāng)(且p?)是正整數(shù)n的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)，例如，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A． B． C． D．8、若函數(shù)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分。下列每小題所給選項(xiàng)至少有一項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）9、已知等比數(shù)列中，滿(mǎn)意，，是的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中，，，仍成等比數(shù)列10、，表示不超過(guò)的最大整數(shù).十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采納，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱(chēng)之為“取整函數(shù)”．則下列命題中正確的是（）A．， B．，C．， D．函數(shù)的值域?yàn)?1、如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，E為邊的中點(diǎn)，過(guò)E作于D.把沿翻折至的位置，連結(jié).翻折過(guò)程中，其中正確的結(jié)論是（）A．；B．存在某個(gè)位置，使；C．若，則的長(zhǎng)是定值；D．若，則四面體的體積最大值為12、已知定義在上的函數(shù)，定義函數(shù)（其中為實(shí)數(shù)），若對(duì)于隨意的，都有，則整數(shù)可以為（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每題5分，共20分；第16題第一個(gè)空2分，其次個(gè)空3分）13、已知函數(shù)，則____________．14、若直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，則的最小值是_______．15．已知在銳角中，，,則的取值范圍是.16.我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱(chēng)為芻童.如圖的芻童有外接球，且，，，，平面與平面間的距離為，則該芻童外接球的體積為_(kāi)____.解答題：（本大題共6小題，共70分;第17題10分，第18-22題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17、已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意_____.（從①②成等比數(shù)列；③，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到題干中的橫線(xiàn)位置，并依據(jù)你的選擇解決問(wèn)題）（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18、在中，角所對(duì)的邊分別為，；（1）證明：為等腰三角形；（2）若為邊上的點(diǎn)，，且，，求的值．19、如圖，三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉(zhuǎn)至平面的位置，記點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（不在平面內(nèi)），、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值.20、為了探討某種癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律和一種新型抗癌藥物的作用，將癌細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行試驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律與天數(shù)的關(guān)系如下表.已知這種癌細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)時(shí)小白鼠將會(huì)死亡，注射這種抗癌藥物可殺死其體內(nèi)癌細(xì)胞的.天數(shù)1234567…癌細(xì)胞個(gè)數(shù)1248163264…（1）要使小白鼠在試驗(yàn)中不死亡，第一次最遲應(yīng)在第幾天注射該種藥物？(精確到1天)（2）若在第10天，第20天，第30天，……給小白鼠注射這種藥物，問(wèn)第38天小白鼠是否仍舊存活？請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：）21、在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面.（1）求二面角的余弦值；（2）線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22、已知函數(shù)，．（1）求證：；（2）用表示，中的最大值，記，探討函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．21、已知三棱錐中，與均為等腰直角三角形，且，，為上一點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）過(guò)作一平面分別交，，于，，，若四邊形為平行四邊形，求多面體的表面積.22、已知函數(shù)，．（1）求證：；（2）用表示，中的最大值，記，探討函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．選擇題1-4CBCB6-8DBAC多選題9.AC10.CD11.ACD12.AB填空題13、14、15、（0，,12）16、.17、（1）①由，得，即；②由，，成等比數(shù)列，得，，即﹔③由，得，即；選擇①②、①③、②③條件組合，均得、，即﹔（2）由（I）得，則，即18、（1），由正弦定理得：，由余弦定理得：；化簡(jiǎn)得：,所以即，故為等腰三角形．（2）如圖，由已知得，，，，又，，即，得，由（1）可知，得．解法二：取的中點(diǎn)，連接．由（1）知，由已知得，，，．19、（1）如圖，連接、，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，，，，則，，所以為直角三角形，且，又、分別是、的中點(diǎn)，所以，所以；（2）如圖，連接、，因?yàn)槿忮F與三棱錐為同一個(gè)三棱錐，且的面積為定值，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，則平面平面，，則，為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面，平面，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，在中，因?yàn)?，，所以，所以的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為．20、（1）依據(jù)表格可得癌細(xì)胞個(gè)數(shù)，成等比數(shù)列增長(zhǎng)，首項(xiàng)為1，公比為2，其通項(xiàng)為，要使小白鼠在試驗(yàn)中不死亡，可建立不等式.∴，即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）設(shè)第次注射藥物后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為，則，且.∴∴，即第3次注射后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為.∴到第38天小白鼠體內(nèi)這種癌細(xì)胞個(gè)數(shù)為∴第38天小白鼠仍舊存活.21、設(shè)是中點(diǎn)，為正三角形，則，平面平面，面，又∵，，所以為正三角形，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，(1)設(shè)平面的法向量為，由得一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則由圖知為銳角，所以，二面角的余弦值為.(2)設(shè)，則，，所以解得或，所以存在點(diǎn)M為線(xiàn)段PC的三等分點(diǎn).22、（1）設(shè)，其定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即，故成立．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即．（?。┤簦?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）若，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，，則．此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；（ⅲ）若，當(dāng)時(shí)，依據(jù)（1）知，．而，所以，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，從而肯定存在，使得，即，即．當(dāng)時(shí)，，所以，從而從而在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)1．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．21、（1）由，