24.4 弧長和扇形面積(提升訓(xùn)練)(解析版)

24.4弧長和扇形面積【提升訓(xùn)練】一、單選題1．如圖，一扇形紙扇完全打開后，兩竹條外側(cè)和的夾角為120°，長為，貼紙部分的長為，則貼紙部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】貼紙部分的面積實際是扇形OAB和扇形OCD的面積差，可根據(jù)扇形的面積公式分別表示出兩部分的面積，進(jìn)而可求出貼紙部分的面積．【詳解】解：S=S扇形OAB-S扇形OCD==25π（cm2），

故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積的計算方法，不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．2．如圖，中，，，，點從點出發(fā)，沿運動到點停止，過點作射線的垂線，垂足為，點運動的路徑長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點，連接、，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，則可確定點Q的運動軌跡，再利用弧長的計算公式計算即可．【詳解】解：取中點，連接、，∵和中，，∴在以為圓心，為直徑的圓上，運動路徑為，，∴，∴點運動路徑長為．故選：D．【點睛】本題考查了弧長的計算問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并確定點運動的路徑．3．如圖，在中，，，，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交AB于點D，交AC于點C，以點B為圓心，AC的長為半徑畫弧，交AB于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理可求出AC的長，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得∠A+∠B=90°，根據(jù)S陰影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD即可得答案．【詳解】∵，∴∠A+∠B=90°，∵，，∴=1，∴S陰影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD=BC·AC-=×1×2-=1-，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理及扇形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵．4．如圖，正六邊形的邊長為2，以為圓心，的長為半徑畫弧，得，連接，，則圖中陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等六邊形的性質(zhì)計算出AC的長度，再根據(jù)扇形面積計算公式計算即可．【詳解】解：過B點作AC垂線，垂直為G，

根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，，∴，∴S扇形=，故選：A．【點睛】本題主要考查扇形面積的計算，根據(jù)正六邊形性質(zhì)計算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．5．如圖，王虎使一長為4cm，寬為3cm的長方形木板，在桌面上做無滑動的翻滾（順時針方向）木板上點A位置變化為A→A1→A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成30°角，則點A翻滾到A2位置時共走過的路徑長為（）A．10cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到點A以B為旋轉(zhuǎn)中心，以∠ABA1為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到A1；A2是由A1以C為旋轉(zhuǎn)中心，以∠A1CA2為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到，由于∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝5cm，CA1＝3cm，然后根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：點A以B為旋轉(zhuǎn)中心，以∠ABA1為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到A1，A2是由A1以C為旋轉(zhuǎn)中心，以∠A1CA2為旋轉(zhuǎn)角，順時針旋轉(zhuǎn)得到，∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝cm，CA1＝3cm，∴點A翻滾到A2位置時共走過的路徑長＝（cm）．故選：C．【點睛】本題考查了弧長公式以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點A的運動軌跡是兩段弧，是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是的直徑，為半圓的中點，為弧上一動點，連接并延長，作于點，若點從點運動到點，則點運動的路徑長為（）A． B． C． D．4【答案】A【分析】首先根據(jù)點的軌跡，來確定點的軌跡，確定軌跡為圓后，再利用弧長公式進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意知點的軌跡是圓，則點的軌跡是以為直徑的圓上，以為直徑作圓，如下圖：要求點運動的路徑長，結(jié)合臨界點法，當(dāng)點與重合時，點到點處，當(dāng)點與重合時，點到點處，運動的路徑長為的長，由已知：點為半圓的中點，，點轉(zhuǎn)過的圓心角為，點轉(zhuǎn)過的圓心角也為，即對應(yīng)的圓心角為，根據(jù)弧長公式：，點運動的路徑長為：，故選：A．【點睛】本題考查了動點的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點的軌跡，來確定點的軌跡，確定為圓后，利用弧長公式求解時，要去找到所求弧長所對應(yīng)的圓心角即可．7．如圖，是等腰直角三角形，，，把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到，則線段在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分（陰影部分）的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=∠CAC′=45°，則點B′、C、A共線，利用線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分（陰影部分）的面積=S扇形BAB′-S扇形CAC′進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，AB=AC=2，∵△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=45°，∴點B′、C、A共線，∴線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分（陰影部分）的面積=S扇形BAB′+S△AB′C′-S扇形CAC′-S△ABC=S扇形BAB′-S扇形CAC′=π．故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積的計算：陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．8．如圖，內(nèi)切于邊長為2的正方形，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】正方形的面積減去圓的面積除以4即可求得答案．【詳解】解：∵正方形的邊長為2，∴圓的半徑為1，∴陰影部分的面積：=，故選：D．【點睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計算，解題的關(guān)鍵是了解陰影部分的面積的計算方法．9．如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點O，B的對應(yīng)點分別為，，連接，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OO′，BO′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等邊三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等邊三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OO′，BO′，∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等邊三角形，∴∠AOO′=60°，OO′=OA，∴點O′中⊙O上，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等邊三角形，∴∠AO′B=120°∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴圖中陰影部分的面積=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=．故選：C．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．如圖，等邊的三個頂點都在上，是的直徑．若，則劣弧的長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠BAC，證明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧長公式計算．【詳解】解：連接OB，OC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BOC=2∠BAC=120°，又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO=30°，∴∠BOD=60°，∴劣弧BD的長為=π，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，解題的關(guān)鍵是求出圓心角∠BOD的度數(shù)．11．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝10，以O(shè)B為邊作平行四邊形OBCE，若CE與半圓O相切于點C，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目已知條件OB是⊙O的切線，利用切線的性質(zhì)，連接OC，構(gòu)造,又因為EC=CO,可得是等腰直角三角形，用等腰面積減去45°扇形面積即可求出答案．【詳解】解：設(shè)OE與⊙O的交點為F；如圖，連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴，∵四邊形OBCE為平行四邊形，∴,∴∠COB=∠ECO=90°，∠EOC=∠OCB，∵CO=OB,∴∠OCB=45°，∴∠EOC=45°，∵,∵S陰影=S△ECO-S扇形COF=,故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積計算，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)作輔助線，證明△ECO是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在扇形中，，半徑交弦于點，且．若，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過O作OE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE和OE，根據(jù)勾股定理求出DE，再求出陰影部分的面積即可．【詳解】解：過作于，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，陰影部分的面積，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，扇形面積的計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，注意：已知扇形的圓心角是n°，半徑是r，那么這個扇形的面積=．13．在中，已知，，．如圖所示，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，在根據(jù)求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵，∴AC=2BC=2，∴，∵繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，∴∴∴．故選：B【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法，熟記扇形面積公式，根據(jù)求解是解題關(guān)鍵．14．如圖，邊長為的等邊三角形內(nèi)接于，過點作的切線交的延長線于點，交于點，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的半徑為R，作，根據(jù)求解即可．【詳解】【點睛】此題主要考查了與圓有關(guān)的陰影部分的面積，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖是一圓錐的左視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)，可得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．120° D．135°【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑得到圓錐的底面周長，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)勾股定理得到圓錐的母線長，利用弧長公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為2，∴圓錐的底面周長為4π，∵圓錐的高是8，∴圓錐的母線長為，設(shè)扇形的圓心角為n°，∴，解得n=120．答：圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．16．如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到2πr，解方程求出r，然后求得直徑即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則AE=BF=6-2r根據(jù)題意得2πr，解得r＝1，側(cè)面積=，底面積=所以圓錐的表面積=，故選：B．【點睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．17．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，點P是線段AB上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線于點Q，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，邊PQ掃過區(qū)域（陰影部份）面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得，設(shè)P(a，2-2a)，則Q(a，3-a)，利用扇形面積公式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，∴，則，∵點P在直線上，點Q在直線上，且PQ∥軸，設(shè)P(a，2-2a)，則Q(a，3-a)，∴OP2=，OQ2=，，設(shè)，∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，∴的最大值為．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．18．如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形半徑，圓心角，則此圓錐高的長度是（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖求出圓錐的底面圓的周長，進(jìn)而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r∵AC=6，∠ACB=120°∴，即：r=OA=2在R△AOC中，OA=2，AC=6，由勾股定理得，．故填：．【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式、勾股定理等知識點，根據(jù)弧長公式和圓的周長公式求得OA是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖，中，，，以為直徑的交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OE，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝2，得出OA＝OD＝1，由圓周角與圓心角定理求出∠AOE＝140°，再由弧長公式即可得出答案．【詳解】連接OE，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠AOE＝2∠D＝140°，∴的長=.故選:C．【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、弧長計算，根據(jù)平行四邊形得到需要的邊長及角度即可代入公式計算弧長．20．如圖，是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的月牙問題，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為的三條邊，若，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個半圓的面積加上一個直角三角形ABC的面積減去一個以AB為直徑的半圓的面積．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，∠ACB=30°，∴AB=BC=6，AC=，S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為AB的半圓的面積+S△ABC-直徑為BC的半圓的面積=π()2+π()2+AC×AB-π()2=π()2+π×62-π×122+××6=π+π-π+．故選：B．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算公式，陰影部分的面積可以看作是幾個規(guī)則圖形的面積的和或差．21．如圖，在半徑1的圓形紙片中，剪一個圓心角為90°的扇形（圖中陰影部分），則這個扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值，即可．【詳解】解：連接BC，∵∠BAC＝90°，∴BC為⊙O的直徑，∴BC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝，∴S扇形ABC=故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論、扇形的面積計算方法．關(guān)鍵是利用所學(xué)的勾股定理以及扇形面積公式求值．22．如圖，在半徑為的圓形紙片中，剪一個圓心角為90o的最大扇形（陰影部分），則這個扇形的面積為（）A．π B． C．2π D．【答案】A【分析】如圖，根據(jù)∠BAC=90°，可確定BC是⊙O的直徑，故OA=OB=OC=，計算AB=AC=2，根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC是⊙O的直徑，∠ABC=∠ACB=45°，∴OA=OB=OC=，AO⊥BC，∴AB=AC==2，∴扇形面積為：=π．故選A．【點睛】本題考查了扇形的面積，90°的圓周角所對的弦是直徑，等腰直角三角形的判定，靈活運用90°的圓周角所對的弦是直徑，計算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．23．如圖，一張扇形紙片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，將這張扇形紙片折疊，使點A與點O重合，折痕為CD，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于即可得出結(jié)果；【詳解】連接AD、DO，由折疊可知，，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積；故答案選A．【點睛】本題主要考查了翻轉(zhuǎn)變換和扇形的面積計算，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．24．如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是的扇形，則此扇形圍成的圓錐底面圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，并作于點D．由圓周角定理可求出，從而求出，且．再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，可求出，從而求出．由題意易證是等邊三角形，即，最后由弧長公式即可求出的長，最后根據(jù)圓錐的性質(zhì)即可求出此扇形圍成的圓錐底面圓的半徑的大?。驹斀狻咳鐖D，連接，并作于點D．∵，∴，∵OB=OC，∴，，∴．∴．∵AB=AC，∴是等邊三角形，∴，∴，∴設(shè)此扇形圍成的圓錐底面圓的半徑為r，∴，∴．故選D．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，弧長公式以及圓錐的底面半徑．作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，點在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過的中點．若的半徑為5，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、OB、OD、CD，作于點F，作于點E，由垂徑定理可知于點D，由勾股定理可知OD的值，再利用折疊性質(zhì)判斷AC=DC，利用等腰三角形性質(zhì)得出，再證明四邊形ODFE為正方形，得到△CFB為等腰三角形，計算出弧AC所對圓周角度數(shù)，進(jìn)而得弧AC所對圓周角度數(shù)，再代入弧長公式可得弧長．【詳解】解：連接AC、OB、OD、CD，作于點F，作于點E，由垂徑定理可知于點D，又CA、CD所對的圓周角為、，且，△CAD為等腰三角形又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=四邊形ODFE為正方形故△CFB為等腰三角形，所對的圓心角為故選A．【點睛】本題考查了弧長的計算、圓的折疊的性質(zhì)、圓周角定理和垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)定理和弧長公式是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以點A為圓心、AC的長為半徑作交AB于點E，以點B為圓心、BC的長為半徑作交AB于點D，則陰影部分的面積為（）A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2【答案】C【分析】空白處的面積等于△ABC的面積減去扇形BCD的面積的2倍，陰影部分的面積等于△ABC的面積減去空白處的面積即可得出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴S△ABC=×4×4=8，S扇形BCD，S空白=2×(8-2π)=16-4π，S陰影=S△ABC-S空白=8-16+4π=4π-8，故選：C．【點睛】本題考查了扇形的面積公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，明確空白處的面積等于△ABC的面積減去扇形BCD的面積的2倍是解題的關(guān)鍵．27．如圖，等邊△ABC邊長為3，將△ABC繞AC上的三等分點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△，其中點B的運動軌跡為，圖中陰影部分面積為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分別連接OB、，過O作OD⊥BC于點D，設(shè)與BC交于點E，則有關(guān)系式：，利用等邊三角形的性質(zhì)可分別求得的面積，及四邊形的面積，易得，故有，利用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得OB的長，進(jìn)而可求得扇形的面積，最后可求得結(jié)果．【詳解】如圖，分別連接OB、，過O作OD⊥BC于點D，設(shè)與BC交于點E

由題意得：為等邊三角形，且邊長為3，易得其面積為；為等邊三角形，且邊長為1，易得其面積為；為等邊三角形，且邊長為2，易得其面積為，所以四邊形的面積為由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：為等邊三角形，，∴∴∴∴在Rt△OCD中，∠COD=90°-∠ACB=30°∴∴，在Rt△ODB中，由勾股定理得∴∵∴∴故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，求圖形的面積等知識，難點在于將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差來解決，本題的解答有一定的難度．28．如圖，在矩形中，為對角線，，，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交于點，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，過作于點,此時根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，，再根據(jù)等邊三角形判定得出為等邊三角形，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最終求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求解即可．【詳解】如下圖，連接，過作于點,在矩形中，∵，，，∴，,又∵，，∴為等邊三角形，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考察了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等邊三角形的判定、割補法求面積、扇形面積計算等知識點，綜合性較強，屬于選擇題中的壓軸題，靈活運用相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在中，，以的中點D為圓心，作圓心角為的扇形，點C恰好在上，設(shè)，當(dāng)由小到大變化時，圖中兩個陰影部分的周長和（）A．由小變大 B．由大變小 C．不變 D．先由小變大，后由大變小【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，，，根據(jù)全等三角形的判定推出，再用弧長公式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖．，，為的中點，，，，，，，，，，在和中，，，，，圖中兩個陰影部分的周長和的長，與均為定值，而，，當(dāng)由小到達(dá)大變化時，的長度由小變大，當(dāng)垂直時達(dá)到最大，然后長度變小，所以圖中兩個陰影的周長和是由小變大再變小，故選：D．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式等知識點，注意：①一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半，②一條弧所對的圓心角是，半徑為，那么這條弧的長度是．30．如圖，在正方形紙片中，點M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點A和點D重合于點I，的外接圓分別交于點P，Q．若，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)推出，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，，過點作，則OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧長公式計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，由折疊知：，，∴，，∴，∵圓是的外接圓，∴點是的內(nèi)心，∴OB平分，OC平分，∴，，過點作，則OH平分BC．則：，在中：，由勾股定理得：，即，解得：，（舍），∴．故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外接圓，內(nèi)心的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理，掌握求弧長所需的條件．二、填空題31．如圖，已知在扇形中，，半徑．P為弧上的動點，過點P作于點M，于點N，點M，N分別在半徑上，連接．點D是的外心，則點D運動的路徑長為________．【答案】【分析】依題意,點D運動的路徑為繞點旋轉(zhuǎn)的一段弧長，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】如圖：連接點D是的外心四點共圓為圓的直徑,設(shè)點D運動的路徑長為，故答案為：．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，弧長公式，三角形的外心的性質(zhì)，理解題意熟悉公式是解題的關(guān)鍵．32．如圖，已知半圓O的直徑，將半圓O繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點處，與半圓O交于點C，若弧BC的長為，則圖中陰影部分的面積是_________．【答案】【分析】連接OB，根據(jù)BC的弧長可求得∠BOC=90°，進(jìn)而可得∠BAC=45°，利用求解即可．【詳解】解：連接OC，設(shè)∠BOC=n°，∵弧BC的長為，半圓O的直徑，∴，解得：n=90，即∠BOC=90°，∴∠BAC=45°，∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得===，故答案為：．【點睛】本題考查弧長公式、圓周角定理、扇形面積公式，熟記公式，掌握圓周角定理是解答的關(guān)鍵．33．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半徑為5，則的長度是______．【答案】4π【分析】連接OB、OD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠BOD的度數(shù)，利用弧長公式計算即可．【詳解】解：連接OB、OD，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠C=180°，

∵∠A：∠C=2：3，

∴∠A+∠A=180°，

∴∠A=72°，

由圓周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，

∴的長：=4π，

故答案為4π．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及弧長的計算，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補、弧長公式是解題的關(guān)鍵．34．如圖，在正方形ABCD中，扇形BAD的半徑AB＝4，以AB為直徑的圓與正方形的對角線BD相交于O，連接AO．則圖中陰影部分的面積為___．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得∠AOB=90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得AO=BO，進(jìn)而可有求解．【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠AOB=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴AO=BO，∴S1=S2，∴==4π﹣8，故答案為：4π﹣8．【點睛】本題考查了圓周角定理、正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等角對等邊、扇形的面積、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識的性質(zhì)和運用是解答的關(guān)鍵．35．如圖，從一塊邊長為，的菱形鐵片上剪出一個扇形，這個扇形在以為圓心的圓上（陰影部分），且圓弧與，分別相切于點，，將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面圓半徑是__________．

【答案】【分析】先利用菱形的性質(zhì)得到含30°角的直角三角形，再利用勾股定理求出AE，最后利用弧長公式求出弧長，弧長即為圓錐底面圓的周長，再利用周長公式即可求半徑．【詳解】解：如圖，連接AE，由切線性質(zhì)可知：AE⊥BC，即∠AEB=90°；∵菱形鐵片上∠BAD=120°，∴∠B=180°-120°=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=2，∴BE=1，∵，∴，∴扇形的弧長為：，所以圓錐底面圓半徑為：，故答案為：．

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)性質(zhì)與公式，本題需要學(xué)生理解扇形與圓錐的關(guān)系，蘊含了一定的空間想象思維，涉及到了數(shù)形結(jié)合等思想方法．三、解答題36．如圖，在中，，點在邊上，為的半徑，是的切線，切點為點，，．（1）求證：是的切線；（2）求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）如圖，連接OD，根據(jù)切線性質(zhì)可得∠ODB=90°，利用SSS可證明△OBC≌△OBD，可得∠OCB=∠ODB=90°，即可得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論及AC=BC可得△ABC是等腰直角三角形，可得∠AOD=45°，根據(jù)平角的定義可得∠COD=135°，根據(jù)S陰影=2S△OBC-S扇形COD即可得答案．【詳解】如圖，連接OD，∵是的切線，切點為點，∴∠ODB=90°，在△OBC和△OBD中，∴△OBC≌△OBD，∴∠OCB=∠ODB=90°，∵為的半徑，∴是的切線．（2）∵∠OCB=90°，，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠AOD=45°，∴∠COD=135°，∵△OBC≌△OBD，∴S△OBC=S△OBD，∵，，∴，∴S陰影=2S△OBC-S扇形COD=2×OC·BC-=．【點睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形面積，圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理并熟記扇形面積公式是解題關(guān)鍵．37．如圖，已知是底角為30°的等腰三角形，B為AD上一點，以AB為直徑的恰好過點C．（1）判斷直線CD與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）M為下半圓上的一個動點，若在某一時刻滿足，已知半徑等于2，求弧AM的長．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【分析】（1）連接OC，結(jié)合題意，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，得；再根據(jù)三角形外角、三角形內(nèi)角和性質(zhì)、切線的性質(zhì)計算，即可完成證明；（2）根據(jù)圓直徑所對圓周角為直角性質(zhì)，得；通過角度計算，得，根據(jù)圓周角和圓心角性質(zhì)，得；再根據(jù)弧長公式計算，即可得到答案．【詳解】（1）連接OC，∵，∴，∴，∴∵OC為半徑，∴CD與圓O相切；（2）連接OM∵AB為直徑，∴，∴∴∴∴∵∴弧長．【點睛】本題考查了圓、三角形、弧長的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線、等腰三角形、三角形外角、三角形內(nèi)角和、圓周角、圓心角、弧長計算的性質(zhì)，從而完成求解．38．如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，過點作于點，連接．（1）求證：；（2）若是的切線，，連接，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB=2時，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCO是菱形，理由見解析；（3）陰影部分的面積為．【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得∠D=∠EBC，再利用圓周角的性質(zhì)證得∠D+∠CAD=，即可證明∠CAD=∠ECB；（2）①利用切線的性質(zhì)得到OC⊥EC，從而證明OC∥AE，再證明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可證明四邊形ABCO是菱形；②先計算，再利用扇形的面積公式計算，即可求得陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D+∠ABC=，∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，∵AD為⊙O直徑，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四邊形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，∴∠BAO=∠EBC=60°，∴BC∥AO，∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴四邊形ABCO是菱形；②∵四邊形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，∵∠CAD=30°，∴CD=AD=2，AC=2，過點C作CF⊥AD于點F，∴CF=，∴，∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．39．如圖，在平行四邊形中，點A、B、D三個點在⊙上，與⊙交于點F，連結(jié)并延長交邊于點E，點E恰好是的中點．（1）求證：是⊙的切線．（2）若，①求的長．②求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）①，②【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)推出，即可得證；（2）①由平行四邊形的性質(zhì)以及垂徑定理可推出，，然后在中分別求出，，從而得出結(jié)論；②連接，，，然后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）由題意，根據(jù)垂徑定理，∵四邊形平行四邊形，∴，∴，∵為半徑，∴是⊙的切線；（2）如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，，∴，∴，∴；②如圖，連接，，，由題意，，由①可知，，，∴，∵，∴，∴,為等腰直角三角形，∴，∴，由①可知，，，∴，，，，∴，∴陰影部分的面積．【點睛】本題考查證明圓的切線，垂徑定理，以及與扇形相關(guān)的陰影部分面積計算問題，掌握證明切線的方法，熟記扇形的面積計算是解題關(guān)鍵．40．如圖，在中，，與，分別相切于點E，F(xiàn)，平分，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑是1，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）過點作于點，連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）設(shè)分別交于點，連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積等于即可得．【詳解】證明：（1）如圖，過點作于點，連接，與相切于點，，平分，，在和中，，，，是的半徑，又，是的切線；（2）如圖，設(shè)分別交于點，連接，的半徑是1，，與相切于點，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，，則圖中陰影部分的面積為．

【點睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識點，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．41．某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑與母線長之比為．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中，．將扇形圍成圓錐時，，恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角的大?。?）若圓錐底面圓的直徑為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）

【答案】（1）=90°；（2）S陰影=（100-）cm2．【分析】（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，根據(jù)圓的周長求弧長，利用弧長公式求即可；（2）由，=90°，可得△ABC為等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm，利用三角形面積公式求S△BAC=，利用扇形面積公式求，利用面積差求S陰影即可．【詳解】解：（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，∴弧長，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S陰影=S△BAC-=（100-）cm2．【點睛】本題考查圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補法求陰影面積，掌握圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補法求陰影面積是解題關(guān)鍵．42．如圖，是的直徑，為上一點（不與點，重合）連接，，過點作，垂足為點．將沿翻折，點落在點處得，交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求陰影部分面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OC，先證明∠CDA=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓的半徑相等證明OCAE，從而求出∠ECO=90°，問題得證；（2）連接，過點作于點，證明四邊形OCEG為矩形，求出，，，進(jìn)而求出，∠COF=30°，分別求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面積，即可求出陰影部分面積．【詳解】解：（1）如圖，連接OC，∵，∴∠CDA=90°，∵翻折得到，∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，∴∠EAD=2∠DAC，∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA∴∠COD=2∠OAC，∴∠COD=∠EAD，∴OCAE，∴∠ECO=180°-∠E=90°，∴OC⊥EC，∴是的切線；（2）如圖，連接，過點作于點，∵∠E=∠ECO=90°，∴四邊形OCEG為矩形．∵，，∴，∴，∴，∵于點，OA=OF=2，∴，∠FAO=∠AFO=30°，∵OCAE，∴∠COF=∠AFO=30°，∴矩形OCEG面積為，△OGF面積為，扇形COF面積為∴陰影部分面積=矩形OCEG面積-△OGF面積-扇形COF面積=．【點睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，垂徑定理，扇形的面積等知識，綜合性較強，熟練掌握相關(guān)定理并根據(jù)題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．43．將一物體（視為邊長為米的正方形）從地面上挪到貨車車廂內(nèi)．如圖所示，剛開始點與斜面上的點重合，先將該物體繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至正方形的位置，再將其沿方向平移至正方形的位置（此時點與點重合），最后將物體移到車廂平臺面上．已知，，過點作于點，米，米．（1）求線段的長度；（2）求在此過程中點運動至點所經(jīng)過的路程．【答案】（1）米；（2）4米．【分析】（1）利用直角三角形FGH即可求解；（2）連接A1A2，則必過點D1，分別求出A1A2和的長，即可求出點A經(jīng)過的路程．【詳解】解：（1）∵M(jìn)G∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）連接A1A2，則必過點D1，且四邊形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四邊形ABCD和四邊形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整個運動過程中，點A運動至A2的路程為：（米）．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，熟知旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．如圖，在中，，，以點為圓心，為半徑的圓交的延長線于點，過點作的平行線，交于點，連接．（1）求證：為的切線；（2）若，求弧的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OB，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOB=60°，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得，再證明可得即可；（2）先求出∠COD，然后再運用弧長公式計算即可．【詳解】（1）證明：連接∵，∴又∵∴∴∴又∵∴∴又∵點在上∴是的切線；（2）∵∴∴．【點睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長公式等知識點，掌握圓的切線的證明方法成為解答本題的關(guān)鍵．45．如圖，是的直徑，是的切線，切點為，點為直徑右側(cè)上一點，連接并延長，交直線于點，連接．（1）尺規(guī)作圖：作出的角平分線，交于點，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，①求證：．②若半徑為2，當(dāng)?shù)拈L為______時，四邊形是正方形．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②π【分析】（1）利用尺規(guī)作圖，作出∠COD的角平分線，交CA于點E；（2）①證明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，則可得出結(jié)論；②由弧長公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，（2）①證明：連接DE，由（1）可知∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，∴△OCE≌△ODE（SAS），∴∠ODE=∠OCE=90°，∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO，∴∠CAD=∠ADE，∴DE=AE；②解：當(dāng)?shù)拈L為π時，四邊形OCED是正方形．∵的長為π，∴＝π，∴∠BOD=90°，∵∠OCE=90°，∴OD∥CE，∵OE平分∠DOC，∴∠DOE=∠COE=45°，∴OC=CE，又∵OD=OC，∴OD=CE，∴四邊形OCED是正方形．故答案為π．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，切線的性質(zhì)、圓周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，弧長公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的的性質(zhì)．46．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以線段為直徑作，與軸相交于兩點，在第一象限內(nèi)的圓上存在一點，使得為等邊三角形．（1）求過點的切線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求由線段、劣弧圍成的圖形面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）分別求出點E和點D的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求解即可；（2）用即可求出由線段、劣弧圍成的圖形面積．【詳解】解：（1）∵∵AB是的直徑∴是等邊三角形，，∵直線l是的切線，，又∴∵OA=2，AC=3∴∴作于點，是等邊三角形，∴在中，∴又∴設(shè)直線l的解析式為把E（-1，0），代入得，解得，∴函數(shù)關(guān)系式：；（2）∵∴∴又∴由線段、劣弧圍成的圖形面積．【點睛】此題主要考查了圖形與坐標(biāo)，圓的切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，不規(guī)則圖形面積的計算等知識，求出DH的長是解答此題的關(guān)鍵．47．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點，，的坐標(biāo)分別為，，．（1）將向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度，畫出平移后得到的，并直接寫出點的坐標(biāo)；（2）將繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到．①畫出旋轉(zhuǎn)后的；②點旋轉(zhuǎn)到點所經(jīng)過的路徑長為______個單位長度．【答案】（1）作圖見解析；點的坐標(biāo)為；（2）①作圖見解析；②．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作出圖形，然后根據(jù)圖像求解即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形即可；②連接，，利用網(wǎng)格求出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90°，求出弧長即可．【詳解】解：（1）如圖示，即為所求的三角形，由圖像可知，點的坐標(biāo)為（2）①如圖示，即為所求的三角形．②如圖示，連接，，則點旋轉(zhuǎn)到點所經(jīng)過的路徑長是，且旋轉(zhuǎn)角是90°∴則，【點睛】本題考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，求弧長等知識點，能準(zhǔn)確做出旋轉(zhuǎn)后得圖形是解題的關(guān)鍵．48．如圖，在⊙O中，直徑AB＝24，點C、D在⊙O上，AB與CD交于點E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足為點H，DF交BA延長線于點F，∠CDF＝2∠B．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若FD＝BD，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OD，易證∠CDF＝∠FOD，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，即可得∠CDO+∠FOD=90°，所以∠CDF+∠COD=90°，由此即可證得DF是⊙O的切線；（2）已知FD＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠F，再由∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，即可求得∠B=∠F=30°，∠FOD=60°；在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，可得OH=6，DH=，根據(jù)即可求得圖中陰影部分的面積．【詳解】（1）連接OD，∵∠FOD＝2∠B，∠CDF＝2∠B，∴∠CDF＝∠FOD，，∵CE＝ED，AB為直徑，∴AB⊥CD，∴∠CDO+∠FOD=90°，∴∠CDF+∠CDO=90°，即∠ODF=90°，∴DF是⊙O的切線；（2）∵FD＝BD，∴∠B＝∠F，∵AB為直徑，AB=24，∴OD=12，∵∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，∴∠B=∠F=30°，∠FOD=60°，∵DO=BO，∴∠B＝∠ODH=30°，在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，∴OH=6，DH=，∴．【點睛】本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、垂徑定理，熟練運用相關(guān)定理進(jìn)行證明是解決問題的關(guān)鍵．49．如圖，是⊙O的直徑，是⊙O上一點，平分，過點作交延長線于點．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ACO，推出ADOC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCD=90°，于是得到CD是⊙O的切線；（2）求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）連接，∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵AC是∠BAD的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACO，∴ADOC，∴∠OCD+∠D=180°，∵∴∠CDA=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切線．（2）連接CE，OE，∵，∴，∵，，∴，和為等邊三角形∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．50．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點分別是A(?1，4)，B(?3，2)，C(?2，1)．（1）請畫出關(guān)于原點的中心對稱圖形；（2）請畫出將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的；（3）在（2）的條件下，求點旋轉(zhuǎn)到點所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）利用中心對稱的性質(zhì)，分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點A、B的對應(yīng)點A2、B2即可得到△A2B2C；（3）利用（2）的結(jié)論，再根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．【詳解】解：（1）如圖所示，為所求；（2）如圖所示，為所求；（3）∵A(?1，4)，C(?2，1)，∴，∵，∴點A旋轉(zhuǎn)到點所經(jīng)過的路線長為．【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，以及弧長的計算，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)頂點的位置是解題的關(guān)鍵．51．如圖，AB是⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線DE，與過點A的直線垂直于E，弦BD的延長線與直線AE交于C點．（1）求證：點D為BC的中點；（2）設(shè)直線EA與⊙O的另一交點為F，求證：CA2－AF2＝4CE?EA；（3）若＝，⊙O的半徑為r．求由線段DE，AE和弧AD所圍成的陰影部分的面積．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）連接OD、ED為⊙O切線，由切線的性質(zhì)知：OD⊥DE；根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線平行知：OD∥AC；由于O為AB中點，則點D為BC中點．（2）連接BF，AB為⊙O直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線平行知ED∥BF由平行線的性質(zhì)知，由于點D為BC中點，則點E為CF中點，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）?CF=2AE?CF，將CF=2CE代入即可得出所求的結(jié)論．（3）由于＝則弧AD是半圓ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；連接DA，可知等腰三角形△OAD為等邊三角形，則有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，則有S陰影=S梯形AODE-S扇形AOD，從而可求得陰影部分的面積．【詳解】解：（1）證明：連接OD，

∵ED為⊙O切線，∴OD⊥DE；∵DE⊥AC，∴OD∥AC；∵O為AB中點，∴D為BC中點；（2）證明：連接BF，

∵AB為⊙O直徑，∴∠CFB=∠CED=90°；∴ED∥BF；∵D為BC中點，∴E為CF中點；∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）?CF=2AE?CF；∴CA2-AF2=4CE?AE；（3）解：∵＝，∴∠AOD=60°；連接DA，可知△OAD為等邊三角形，

∴OD=AD=r，在Rt△DEA中，∠EDA=30°，∴EA=r，ED=r，∴S陰影=S梯形AODE-S扇形AOD=．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平方差公式、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及梯形和扇形的面積計算方法等知識．52．已知：點D是△ABC的邊AC上一點，tanC＝1，cos∠ADB＝，⊙O經(jīng)過B，C，D三點．（1）若BD＝4，求陰影部分圖形的面積；（2）若AD＝2CD＝4，求證：AB為⊙O的切線．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）連接，，由圓周角定理得出，由扇形的面積公式及三角形面積公式可得出答案；（2）過點作于點，設(shè)，則，求出，得出，證明，得出，證出，則可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接，，，，，，，，，．（2）證明：過點作于點，設(shè)，則，，，，，，，，又，，即，，，，又，，，是半徑，為的切線．【點睛】本題主要考查圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．53．如圖AB是⊙O的直徑，AC⊥AB，E為⊙O上的一點，AC＝EC，延長CE交AB的延長線于點D．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠CEA，∠FAO=∠FEO，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CEA=90°，由切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)OF=x，由直角三角形的性質(zhì)得出OA=2OF=2x，由勾股定理的(2)2+x2＝2x2，解得x=2，得出OA=4，求出S△EAO和S扇形EAO，即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE為⊙O的切線；（2）解：設(shè)OF＝x，∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，∴OA＝2OF＝2x，在Rt△OEF中，由勾股定理得：，解得x＝2，∴OA＝4，∴，∵∠AOE＝120°，AO＝4；∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積的計算等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．54．如圖，為的直徑，，點A為的中點，，連結(jié)，．

（1）求證：．（2）求圖中弓形陰影部分的面積之和．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠COA，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系得到，結(jié)合OA=OD證明，可得OC∥AD；（2）連接AC，證明與均為等邊三角形，推出，求出△ABC的面積，再根據(jù)即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，∵為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接AC，∵，，∴與均為等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴．

【點睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識，將弓形AD的面積和弓形AC的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．55．如圖，是半圓的直徑，弦，過點作圓的切線，與延長線相交于點，連接、，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時，求圍成陰影部分圖形的周長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)弧長公式求出的長，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：（1）證明：連接，是圓的切線，，由圓周角定理得，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2），，，，的長，圍成陰影部分圖形的周長．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、弧長的計算，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．56．如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于、兩點的任意一點，是半圓上一動點，與相交于點，是半圓所在圓的切線，與的延長線相交于點．（1）若，求證：；（2）若，，．求；（答案保留）（3）若，為的中點，點從移動到時，請直接寫出點移動的長度．（答案保留）【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角可得，再根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，得，由是半圓所在圓的切線得，可求，連接，得，再根據(jù)扇形面積計算公式求解即可；（3）根據(jù)“點移動的長度是以為直徑的圓的周長一半”求解即可．【詳解】解：（1）證明：∵是半圓的直徑∴在和中∴，∴；（2）連接．∵，由（1）知，∴，∵，∴，∴．∵是半圓所在圓的切線，∴，∴，∴，∴．∴．（3）連接OH,∵H是AC中點，則OH⊥AC,故H在以AO為直徑的圓上運動，當(dāng)點在點時，點H與點O重合，當(dāng)點C在A點時，點H與點A重合，所以，點移動的長度是以為直徑的圓的周長一半，即L=．【點睛】此題主要考查了與圓有關(guān)的計算，熟練掌握扇形面積計算公式和弧長公式是解答此題的關(guān)鍵．57．如圖，已知是的直徑，點D，C是圓上的兩個點，且，直線于點E．（1）求證：是的切線；（2）若，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可知，根據(jù)平行線的判定可知，根據(jù)根據(jù)垂直的判定和切線的判定定理即可求證結(jié)論；（2）連結(jié)，，根據(jù)外角定理和等邊三角形的判定可得是等邊三角形，含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得：，根據(jù)切線的性質(zhì)和角的和差可得，進(jìn)而可得：，，根據(jù)切割法可得：，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明∵，∴，∵，∵，∴，且是直徑，∴是的切線．（2）解連結(jié)，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵是切線，∴，∴，∵，∴，，∴．【點睛】本題考查切線的判定及其性質(zhì)、含30°角的直角三角形判定及其性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、扇形面積的計算公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識．58．在中，．將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到，記，連結(jié)，取的中點F，射線，交于點A．（1）填表：如圖1，當(dāng)時，根據(jù)下表中的值，分別計算的度數(shù)．（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）應(yīng)用：如圖2，當(dāng)時，請求出從逐漸增加到的過程中，點A所經(jīng)過的路徑長．【答案】（1）填表見解析；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；答案見解析；（3）．【分析】（1）當(dāng)時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得和是等腰三角形，則可求得，，利用，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得：；當(dāng)時，，，，利用三角形外角性質(zhì)得；（2）當(dāng)時，同（1）可求得：，，得，則；當(dāng)時，，，，利用三角形外角性質(zhì)得；（3）由（2）可得：則，可知點A所經(jīng)過的路徑是一條弧，以為邊畫等邊三角形，則點O是弧的圓心，根據(jù)同弧所對圓心角等于圓周角的2倍，求得：再證是等邊三角形，則可以得到，則可得，即可得：．【詳解】解：（