2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題+答案

2024年重慶市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................2

2024年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................3

2024年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................4

2024年吉林省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題...........................................................5

2024年廣西高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題...........................................................7

2024年內(nèi)蒙古高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................9

2024年北京市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽一試..........................................................10

2024年北京市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽二試..........................................................11

2024年重慶市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、填空麟本大摩共8小*每小題8分，滿分64分.

1.已知復(fù)數(shù)Z使得Z—3為純虛數(shù)，則|z-l-i|的最小值為.（其中i為虛數(shù)單位）

2.設(shè)函數(shù)/（x）=2*—2一工的反函數(shù)為y=/T（x）,則不等式|/-*（x-l）|<1的解集為.

4.在AABC中，已知您?元=2BC?扇=3刀?赤，則AA8C最大角的正弦值為.

UG+a2a3H-----6a7=3,Ja024=___________.

5.數(shù)歹{a?}*黃足?=1,~~N*）,若axa2Fa貝!2

Q“a〃+2

6.由1,2,…，9這九個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的所有圓排列中，任意相鄰兩數(shù)之積均不超過60的圓排列的個(gè)數(shù)為

7.已知四面體ABC。滿足=1,且異面直線4D與2c所成的角為60°,

則四面體/BCD的外接球的體積為.

8.一珍稀物種出現(xiàn)在地球,對每個(gè)珍稀生物，每天有如下事件發(fā)生:有p（0<p<1）的概率消失，有二義的

概率保持不變,有與￡的概率分裂成兩個(gè),有與？的概率分裂成三個(gè).對所有新產(chǎn)生的生物每天也會

發(fā)生上述事件.假設(shè)開始只有一個(gè)這樣的珍稀生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過。，則p至多

為.

二、解警星:共3小題，清分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演鼻步

9.（16分）已知函數(shù)/（x）=Inx—sinx,若兩不相等的實(shí)數(shù)片,x2￡（0,兀）滿足曲線y=/（x）在點(diǎn)（xb/（xi））和

點(diǎn)（M，/（X2））處的切線斜率相等,求證:/（/）+/（必）>-2.

10.（20分）已知拋物線。：y=%2,動線段在直線y—3上（8在/右側(cè)），且|/引=2，1.過/作。

的切線，取左邊的切點(diǎn)為朋■.過8作。的切線，取右邊的切點(diǎn)為N.當(dāng)〃/8時(shí)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo).

11.（20分）設(shè)無1=3,無”+1=Jx“+14—+2,求［無I+MH-----Fx?］的值.

（其中［x］表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).）

2024年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、填空題(每小摩8分，共計(jì)96分)

1.設(shè)集合/=卜|去：&()},集合8={xl』+2x+加W0}.若/￡8,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

2.設(shè)函數(shù)/：{1,2,3}-{2,3,4}滿足/(7(x)—l)=/(x),則這樣的函數(shù)有個(gè).

3.函數(shù)y=$品名嗎+1的最大值與最小值之積為____.

sinx+1

4.已知數(shù)列{x?}滿足：%=，xn+i=x?.I，">1，則通項(xiàng)x?=_________.

2Vx?+n(n+\)

5.已知四面體A-BCD的外接球半徑為1,若8c=1,ZBDC=60°,球心到平面BDC的距離為.

6.已知復(fù)數(shù)z滿足,=(z—1尸。=1,則復(fù)數(shù)z=.

7.已知平面上單位向量3,M垂直，3為任意單位向量,且存在/C(0,1),使得向量4+(1-。百與向量士一方垂

直，則\a+b~c\的最小值為.

2024

8.若對所有大于2024的正整數(shù)幾,成立〃。。。,二WXC，qGN*,則41+42024=.

1=0

9.設(shè)實(shí)數(shù)a,6,cC(0,2］,且6>3a或■，則max{6—a,c—6,4—2c}的最小值為.

10.在平面直角坐標(biāo)系了作上，橢圓E的方程為￡+卷=1,E為E的左焦點(diǎn)；圓C的方程為(x—。丫+

3—6)2=為。的圓心.直線/與橢圓后和圓C相切于同一點(diǎn)P(3,l).當(dāng)/O/R最大時(shí)，實(shí)數(shù)廠=

H.設(shè)〃為正整數(shù)，且鼠“￡茨24=圭，則〃

12.設(shè)整數(shù)〃>4,從編號1,2,…，〃的卡片中有放回地等概率抽取,并記錄下每次的編號.若1,2均出現(xiàn)或

3,4均出現(xiàn)就停止抽取，則抽取卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

二、解警■(13題清分14分，14、15星清分各20分，合計(jì)54)

13.正實(shí)數(shù)左，左2,心滿足左1<42〈人3;實(shí)數(shù)5,。2滿足。1=左2—左1，C2—Q=2(島一左2),定義函數(shù)

發(fā)iX,04x41

標(biāo)x,0&x41

k?x—1Vx<2

/(X)=<左2%—3,1Vx&2,g(x)=,

左31—

Q,X>2k2x—正",x>2

試問，當(dāng)發(fā)，左2,僅滿足什么條件時(shí),存在4>0使得定義在［04］上的函數(shù)g(x)+/(4—x)恰在兩點(diǎn)處達(dá)至！J

最小值？

14.設(shè)集合S={1,2,3,…,997,998},集合S的左個(gè)4個(gè)元子集4,出，…，4滿足:對S中任一二元子集8,均

存在在{1,2,…府，使得824.求發(fā)的最小值.

15.設(shè)/(x),g(x)均為整系數(shù)多項(xiàng)式，且degf(x)>degg(x).若對無窮多個(gè)素?cái)?shù)p,pf(x)+g(x)存在有理根,

證明：/(%)必存在有理根.

2024年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

（考試時(shí)間：2024年5月19日9:00~11:00）

一、填空K：本大K共8小*每小題8分，4分64分.

1.設(shè)函數(shù)/（x）=ln|x|+|x］—2的零點(diǎn)都在區(qū)間［a,b］（a,bEZ,a<b）內(nèi)，則b—a的最小值為.

2.已知a>b>1,若logab+log6a=■!■/1］.著的最大值為.

3.設(shè)aC尺,若函數(shù)/（x）="-告一21nx在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的最小值為.

4,用/（XI）表示點(diǎn)X與曲線「上任意一點(diǎn)距離的最小值.已知。。:爐+/=1及。。］：（x—4丫+/=4,設(shè)

P為OO上的動點(diǎn)，則〃P,OQ）的最大值為.

5.設(shè)ZUBC中，NC=2,248C=248/C,則“臺。面積的最大值為.

6.將邊長為1的正方體ABCD—的上底面48GA繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到一個(gè)十面體4BC。-

EFGH（如圖）,則該十面體的體積為.

100

7.若7=^2"+k?3皿-則7的末尾數(shù)字0的個(gè)數(shù)為.

k=\

8.記/={1,4,5,6},U={1,2,3,-??,25},集合U的子集4={?，%必知,憑},滿足|《一町|國7（VKz<j<5）,

則符合條件的集合/的個(gè)數(shù)為.（用具體數(shù)字作答）

二、解鋤■:本大國共3小■，清分56分.保警應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步事.

9.（16分）已知，為正實(shí)數(shù),若曲線y=f-e，與橢圓C：彳+/=1交于力、8兩個(gè)不同的點(diǎn)，

求證:直線的斜率左<夸.

10.（20分）設(shè)復(fù)數(shù)x,y,z滿足：|x+2y+3z|=1.求|x|2+|y|2+|z|2+|x2+y2+z2|的最小值.

11.（20分）給定正整數(shù)〃>2,數(shù)組⑷”,…,得）稱為“好數(shù)組”是指：即，均不為0,%=1,且對任

意的14左W〃-1,均有3+1+恁）（恁+1—恁-1）=0.求“好數(shù)組”（加的,…”）的組數(shù).

2024年吉林省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、選擇一本大摩共6小*每小題x分，滿分x分.

1.記s=^±;+5±，+妥;+…+腎4,則與s最接近的整數(shù)為()

3-44-45-413-4

A.14B.15C.16D.17

一一—>acu

2.在四邊形45CZ)中，45〃。。，4。=/145+〃40(兒姓氏).若%+〃=5,則+=4=()

2網(wǎng)

A.yB.yC.1D.2

3.函數(shù)/(x)=ax3—6X(QGH),若|/(x)|&2對Vxe[―1,：]成立，則()

A.|/(x)|41對Vxe[―成立B.|/(x)|4-1■對w%e[—成立

C.l/(x)l418對Vxe[—成立D.|/(x)|《考■對Vxe[―]成立

4.在正四面體/BCD中，棱AD的中點(diǎn)和面BCD的中心的連線為MV,棱C￡)的中點(diǎn)和面/BC的中心的連線

為PQ,則與P。所成角的余弦值為()

A[R]0[T')]

18171615

5.已知函數(shù)/(>)=盾口^百京^+幺-x+1,則()

A./(x)的最小值為8B./(%)的最小值為9

C./(x)=8有1個(gè)實(shí)根D./(x)=9有1個(gè)實(shí)根

6.已知/,8,C是平面上三個(gè)不同點(diǎn)，且BC=a,C/=6,/3=c，則々的最小值為()

a+bc

A.V2-^B.璋-JC.2-4D.1-浮

乙乙乙乙乙

二、填空:本大I■共6小*每小?龍分，清分無分.

7.設(shè)集合S={1,2,3,4,5}.若S的子集/滿足:若xe/,則6—xe/,則稱子集N具有性質(zhì)小現(xiàn)從S的所有

非空子集中，等可能地取出一個(gè)，則所取出的非空子集具有性質(zhì)p的概率為.

8.函數(shù)/(x)=log“(4—ax)(a>0,且aW1),若/(x)>1對VxC[1,2]成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9.已知甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對某10道判斷題的解答情況如下表：

題號12345678910

甲XVXXVXVVVX

乙XXVVXVVVXX

丙VVXVVVXVXV

TXXVVXXVVXX

若甲、乙、丙三人均答對7題,則丁答對的題數(shù)為.

10.己知函數(shù)/(x)=lnx-V+——若三加>0,使得f(m)>/,則實(shí)數(shù)a的最大值為______

x

11.設(shè)函數(shù)〃x)=sinx-sin3x,若關(guān)于x的方程/(x)=。在(0,兀]上有奇數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的值為

12.在△48C中，/P平分交2C于尸，BQ平分NABC,50交C4于0,/A4c=30°,且+8P

=/Q+02,則/ABC的度數(shù)為.

三、解答:本大題共4小題,每小題無分，滿分無分.

13.已知橢圓Ci的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.圓C2的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過點(diǎn)/(-2,0)且傾斜角

為30°的直線與圓。2相切.

⑴求圓。2的方程；

⑵過圓C2上任意一點(diǎn)尸(沏,%)(w為W0)作圓C2的切線，與橢圓G交于/,8兩點(diǎn),均有AAOB=90°成立.

判斷橢圓G是否過定點(diǎn)？說明理由.

_]20241

14.已知數(shù)列{g}滿足：?]=1,a2=2,an+i=—+a0_i(">2).求證：>88.

15.如圖，。。1、外切于點(diǎn)/，過點(diǎn)/的直線交。。1于另一點(diǎn)8,交。。2于另一點(diǎn)c，CD切。Q于點(diǎn)

D,在BD的延長線上取一點(diǎn)F,使得BF2=BC2-CD2,連接CF交OO?于E,求證：￡>￡與。Q相切.

16.全體正有理數(shù)的集合。+被分拆為三個(gè)集合/,2,c(即/UBUC=Q+,且=c=cn/=。,

滿足2*/=2,2*5=。，2*。=4,這里7/*長={h-k\hEH,kEK}.

⑴給出一個(gè)滿足要求的例子(即給出42,C)；

(2)給出一個(gè)滿足要求的例子，且1,2,…，35中的任意兩個(gè)相鄰正整數(shù)均不同時(shí)在/中.

2024年廣西高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、填空摩（本大國共8小題,每小摩10分，共80分）.

1.設(shè)函數(shù)/（x）=|log2x|.若a<b且f（a）=f（b），則a+20246的取值范圍是.

2.已知橢圓。+%=l（a>b>0）的焦點(diǎn)為后，為橢圓上一點(diǎn)，乙項(xiàng)V*=當(dāng)，.則橢圓的

離心率為.

3.若正實(shí)數(shù)x,y滿足x—=J2x—y,貝Ux的最大值為.

4.方程3工=/的正整數(shù)解為.

5.設(shè)Xi，X2,X3,X4均是正整數(shù)，且｛知/*I14Y/V左44｝=｛18,36,54｝.則^1+x2+x3+x4—.

6.正三棱雉P—/2C中，4?=3,/2=4.設(shè)。是直線2。上一點(diǎn)，面/如與直線3。的夾角為45°,則線段

PD的長度是.

7.已知四次多項(xiàng)式X,一25/+ax2+61x-2024的四個(gè)根中有兩個(gè)根的乘積是一253,則實(shí)數(shù)a=.

8.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足為=2001,招+i=X"+%,其中為等于x?的個(gè)位數(shù),則無2024=.

二、解警■（本大國共4小題，共70分.解警應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步事.）

9.（15分）如圖所示,AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE,NADC=ADPE=4BEC=90°.證明：

尸為線段N8的中點(diǎn).

10.（15分）設(shè)/為數(shù)集｛1,2,3,-,2024｝的"元子集，且/中的任意兩個(gè)數(shù)既不互素又不存在整除關(guān)系.求〃

的最大值.

11.（20分）用[x]表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列｛x.｝滿足：Xi=1,X"+i=4x〃+[VlTx?].求X2024的個(gè)位數(shù).

12.(20分)圖G是指一個(gè)有序二元組(KE),其中k稱為頂點(diǎn)集，￡1稱為邊集.一個(gè)圖G中的兩點(diǎn)無，了的距

離是指從x到y(tǒng)的最短路徑的邊數(shù)，記作d(x,y).一個(gè)圖G的直徑是指G中任意兩點(diǎn)的距離的最大值，記

作力切”(G),即由。加(G)=max{d(x,y)\x,yEG}.

記Z,,={[0],[1],[2],…，[〃一1]}是模"的剩余類，定義Z,,上的加法和乘法,均是模〃的加法和乘法，

例如在Z|2={[0],[1],[2],…，[11]}中：[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3]；[3]-[4]=[0],[6]-[9]=[6].

在Z”中，設(shè)[尤]W[0].若存在[用手[0]使得[x].[力=[0],則稱[x]是Z”的一個(gè)零因子.記Z”的所有零

因子的集合為。(Z“).例如。(ZQ={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Z”的零因子圖，記為r(Z“)，它是以

D(Z〃)為頂點(diǎn)集，兩個(gè)不同的頂點(diǎn)[x],[用之間有一條邊相連當(dāng)且僅當(dāng)[x]-[旬=[0].

下圖是「(ZQ的例子.

【91

證明：對一切的整數(shù)都有diam(f(Z?))W3.

2024年內(nèi)蒙古高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

(2024年5月19日,8:30-9:50)

一、填空國(本國滿分64分,每小屋8分)

1.集合〃={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于.

2.設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù)，滿足a+6+c=1,a2+ft2+c2=1,aW0,的取值范圍為.

a

3.已知正三棱柱ABC-43cl的側(cè)棱長為4,底面邊長為2,過點(diǎn)/的一個(gè)平面截此棱柱,與側(cè)棱BB1,CCX

分別交于點(diǎn)M,N,若/\MNA為直角三角形，則/^INA面積的最大值為.

4.已知在ZU5C中8C=，？，/=告，麗=。就,則線段AD的最大值為.

5.從1,2,…，11中任取三個(gè)不同的數(shù)，則這三個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為.

6.O是原點(diǎn)，橢圓曰+(■=1,直線/過(1,0)且與橢圓交于N,8兩點(diǎn)，則^ABO面積的最大值為.

[20241

7.數(shù)列{a?}中，=而，且對任意n^N*,a“+i=a：+,求匯一工工的整數(shù)部分是.

8.已知關(guān)于X的方程/—3x+4=0的三個(gè)復(fù)數(shù)根分別為Z1—則(Z「Z2)2(Z2—Z3)2(Z3—zj的值為

二、解鋤■(本1分56分)

9.(16分)已知雙曲線C：牛一弓"1,直線/：y=fcr+1與雙曲線C的左右支分別相交于兩點(diǎn),雙曲線

C在4,8兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)尸，求A4AP面積的最小值.

10.(20分)已知函數(shù)/(x)=er——1二”

ax—2x+1

(1)當(dāng)a=0時(shí),討論了(x)在(—4,：)上的極值.

⑵若x=0是/(x)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.

11.(20分)設(shè)"是一個(gè)給定的正整數(shù)，集合S.={(z,j)114i,/42%，,六獷1},求最大的正數(shù)c=c(〃)，使得對

任意正整數(shù)乩，必，都存在集合S?的子集P,滿足集合P至少有cn2個(gè)元素，且集合P的任兩個(gè)元素(z,j),

—均有(，一后I+(j—I)?片&,(AI)?+(/—I)?看辦

2024年北京市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽一試

考試時(shí)間：8:00-9:20

一、填空題(1-8■每星8分，第9題16分，第10,11國每摩20分，共120分)

1.設(shè)整數(shù)集合/={可.,%,。.％}，若4中所有三元子集的三個(gè)元素之積組成的集合為B={—30,—15,

—10,—6,—5,—3,2,6,10,15},則集合/={-30,—15,—10,—6,-5,—3,20,10,15},則集合6=.

fx+2,x<0；

2.已知函數(shù)/(x)=<zi八、八若關(guān)于x的方程/(/(%))=加恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根修，必，必且

［In(了x+

滿足/<X2<X3,則，―9,、的取值范圍是

ln(x2+4)

3.從1,2,…，2024中任取兩個(gè)數(shù)Q,則3。+7b的值中，個(gè)位數(shù)字為8的數(shù)有個(gè).

4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|3z—2i|=6,令.=與筌4,則|zj的最大值是

z-3十/1

_卜，若X為無理數(shù)；

5.已知函數(shù)/(x)=(q+1q甘由.06店、

(----,右工=萬,其中p,qGN,且〃，夕互質(zhì),p>q.

則函數(shù)在區(qū)間(1?磊)上的最大值為.

6.對于c>0,若非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2—2ab+4/—。=0,且使\2a+b\最大，則+看的最小值為

7.已知函數(shù)/(x)=cos4x+sin%+asin4x—b,且/(工+專)為奇函數(shù).若方程/(%)+機(jī)=0在［0,兀］上有四個(gè)

不同的實(shí)數(shù)解修，X2,不，羽，則/(X1+X^X3+X4)的平方值為.

8.已知NQ{1,2,…，2625},且N中任意兩個(gè)數(shù)的差的絕對值不等于4,也不等于9,則\A\的最大值為

2023

9.設(shè)多項(xiàng)式/(X)=/24+?奴,其中c,.e{—1,0,1}.記N為/(X)的正整數(shù)根的個(gè)數(shù)(含重根).若八X)無負(fù)

i=0

整數(shù)根，N的最大值是.

10.在棱長為4的正方體/RR—中，E為棱N4上的一點(diǎn)，且4E=1,歹為截面4Ao上的動點(diǎn)，

則AF+FE的最小值等于.

H.數(shù)列{《,}定義如下:設(shè)寫成既約分?jǐn)?shù)后的分母為N(〃)，/等于2/(")的最大質(zhì)因數(shù)，則劣,

加(〃+2024)!

的最大值等于

2024年北京市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽二試

考試時(shí)間：9:40—12:30

1.（40分）設(shè)a,6,c是三個(gè)正數(shù),求證：

2af2b+2c<3VI（a+b+c）

V2a2+b2+c2Va2+2b2+c2^/a2+b2+2c2y/5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca

2.（40分）如圖所示,銳角4ABC的三條高線AD,BE,CF交于點(diǎn)〃，過點(diǎn)尸作尸G〃/C交直線8c于點(diǎn)G,

設(shè)△CFG的外接圓為。O,與直線/C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,過尸作P0〃Z）E交直線于點(diǎn)°,連接

OD,O0.求證：OD=OQ.

3.（50分）有〃個(gè)球隊(duì)參加比賽,球隊(duì)之間的比賽計(jì)劃已經(jīng)安排好了.但是每場比賽的主場客場還沒有分配

好.這時(shí)每個(gè)球隊(duì)都上報(bào)了自己能夠接受的客場比賽的最大次數(shù).最終組委會發(fā)現(xiàn)這些次數(shù)加在一起恰好

是比賽的總場次，并且組委會還發(fā)現(xiàn)任意挑出若干支球隊(duì)，他們能夠接受的客場次數(shù)之和都要大于等于

他們之間的比賽總場次.

請問組委會能否安排好主客場使得每支球隊(duì)都滿意，請證明你的結(jié)論.

4.（50分）設(shè)m，w為〃個(gè)兩兩不同的正整數(shù)且。圖2…恰有4048個(gè)質(zhì)因數(shù).如果ax,a2,…，a.中任

意多個(gè)數(shù)相乘均不是一個(gè)整數(shù)的4049次方，求”的最大值.

2024年重慶市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................2

2024年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................3

2024年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................4

2024年吉林省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題...........................................................5

2024年廣西高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................7

2024年內(nèi)蒙古高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題..........................................................9

2024年北京市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽一試..........................................................10

2024年北京市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽二試..........................................................11

2024年重慶市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、填空麟本大題共8小*每小題8分，滿分64分.

1.已知復(fù)數(shù)z使得Z—3為純虛數(shù)，則|z-l-i|的最小值為2—血.(其中i為虛數(shù)單位)

【答案】2-

【解析】z—@為純虛數(shù)nz—"=一仔-2)=z+》=(1).

ZZ\Z)ZZ

當(dāng)z+5=0時(shí)，，|z—l—i|min=1；

當(dāng)z+NW0時(shí)，，則|z|=2,,此時(shí)|z—1—i|min—2—A/2V1,,當(dāng)z=V2(1+i)可取等號.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=2'—2一"的反函數(shù)為〉=/TQ),則不等式v1的解集為(一十卷).

【答案】(一

【解析】因?yàn)?(X)為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，，且值域?yàn)樾?所以/T(x)也為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù).

注意/⑴=等,，故\f~\x—1)|<1=-1~Vx—1<-1-Q―VxV-1".

3.若點(diǎn)4(—關(guān)于直線尸點(diǎn)對稱的點(diǎn)在圓(%—2)2+J；2=1上，則左=.

【答案】遮

［解析】注意點(diǎn)4在圓/+y2=1上，，且4關(guān)于直線V=Ax對稱的點(diǎn)必然在圓￥+J?=1上，，而圓了2+,2=

1與圓(x—2y+/=i僅有唯一公共點(diǎn)8(1,0),,因此對稱點(diǎn)只能是9易知乙4。3=120°,,因此左=tan600

=A/3.

4.在A4BC中，已知丸?元=2BC-BA=3CA-CB,^\AABC最大角的正弦值為.

【答案】甘

【解析】設(shè)館？。的內(nèi)角4,2,,C所對的邊分別為。，，6,,c,,由條件知

川十廠=02+02—從=3("+,/),,解得62=/“2=’,,故最大角為角C,,

tz2+Z?2—c2V10一?廠3V10

由余弦定理得cosC=

5.數(shù)列｛四｝滿足％=1,6N*)，若處出+42a3H--------ha6a7=3,則tz2024=2029

?！?2

【答案】6

2029

［解析］由="—+|可得-^+—L='一，，則數(shù)列［工1為等差數(shù)列，，首項(xiàng)為」-=1,,設(shè)公

冊為+2冊為+2。什1I為J5

差為”則“22+”2“3+一.+°6。7=士+(i+d)；i+2d)+…+(1+54)1(1+64)=

Xrfi____L_UM_______i—［+…(一i_______i—口=_2=3ndJ

dlA1+""+d1+2"十"+5dl+6d〃―1+6Q—6

6

故1=112023=2029=42024=

“2024662029,

6.由1,2,…，9這九個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的所有圓排列中，任意相鄰兩數(shù)之積均不超過60的圓排列的個(gè)數(shù)為

21600.

【答案】21600

【解析】一個(gè)圓排列滿足要求當(dāng)且僅當(dāng)該排列中8,,9與7,,9這兩對數(shù)均不能相鄰.設(shè)滿足8,,9相鄰的圓

排列有M個(gè)，，滿足7,,9相鄰的圓排列有％個(gè)，，滿足8,,9相鄰且7,,9相鄰的圓排列有M個(gè)，，則N1=

電=①-7!,,'3=4》6!,,從而由容斥原理，，滿足要求的排列的個(gè)數(shù)為"=8!-(凡+電一乂)=21600.

7.已知四面體/BCD滿足45_L8C,8C_LCD,=3C=CO=1,且異面直線/。與8c所成的角為60°,

則四面體4BCD的外接球的體積為1A.

【答案】空

【解析】由題設(shè)條件，，可將四面體補(bǔ)成直三棱柱NBA-aCD,，如圖所示.由題知/4/。=60°,,44]=1,,

于是4。=/僅=,,又=BA=1,,則NAB"=120°.設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O,,則O在平

面ABD｛的投影Q為△48,的外心，，且OQ=。.由正弦定理知，，Q/=1,,從而外接球半徑R=OA=

今,，于是『=1收=上要.

236

8.一珍稀物種出現(xiàn)在地球，對每個(gè)珍稀生物，每天有如下事件發(fā)生:有p(0W〃Wl)的概率消失，有與R的

概率保持不變，有的概率分裂成兩個(gè)，有的概率分裂成三個(gè).對所有新產(chǎn)生的生物每天也會

發(fā)生上述事件.假設(shè)開始只有一個(gè)這樣的珍稀生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過!，則P至多

為?.

I答案1備

【解析】設(shè)開始有一個(gè)珍稀生物、最終滅絕的概率為/(I)=4<。，，那么若開始有〃個(gè)珍稀生物、最終滅絕

的概率則為/(〃)=q".由題知，,f⑴=p+130/(1)+131/(2)+13°八3),,從而有q=0+13+

~~^~cC---即(q-])[~y^(/+2q+3)一]"=0,,由于qW：,,則0=—^-(^2+2^+3)—14

——1,,得0W京故。至多為-j^-.

注:該題也可以用母函數(shù).其第"天的母函數(shù)為fM(x),,

其中f(x)=P+1)x+1Jd+1」工3,，考慮lim(0)&]即可.

二、解警星:共3小■，清分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演莫步索.

9.(16分)已知函數(shù)9(%)=Inx—sinx,若兩不相等的實(shí)數(shù)為，x2G(0,兀)滿足曲線y=/(%)在點(diǎn)(卬/(修))和

點(diǎn)(%2，/(必))處的切線斜率相等,求證:/(X1)+/(x2)>-2.

【解析】先證一個(gè)引理:對、>0,,有sinx<x.

引理的證明：令9(x)=sinx—x9,9'(x)=cosx—1<0,,故夕(不)為減函數(shù)，，

所以當(dāng)x>0時(shí)，，夕(工)<^(0)=0,,引理得證！4分

=z

回到原題：/'(X)~~~cosx,,由題知:(修)=/(x2).

不妨看>孫，則馮(0,3)，，于是由廣(看)=/(不)并結(jié)合引理可得

修一M。.Xl+%2.占一》2

-----=cosx2—cos%]=2sin—T—sm————8分

%1%2----------------------------------22

7c.X]~X2-X]—X2r-,3

<2sm—工—<2x---二修一小，，因立匕/工2>1-12分

所以/(修)+/(洶)=lnX[X2—sin%1—sinx2>—sinxi—sinx2>—2.16分

10.（20分）已知拋物線。：y=￥,動線段在直線＞=，1%一3上（5在/右側(cè)），且［45|=2，J.過4作。

的切線，取左邊的切點(diǎn)為".過5作Q的切線，取右邊的切點(diǎn)為N.當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)4的橫坐標(biāo).

【解析】設(shè),Ng瀚,,

工2—工2

21

注意kMN=_=Xi+x2,，從而當(dāng)MN//AB時(shí)，，=kAB=V3^X1-\-X2=V3.5分

-2-

因?yàn)閥=2x,,所以kAM=2xi,,可得切線的方程為y—Xi=2修(工一修)，，即y=2xix—Xj.

y=%2.

同理可得切線BN的方程為2X2X—

由題設(shè)中4,,B的要求,,可設(shè),,5(Z+V3,V3r),,10分

將代入切線4M的方程，，

得A/Yt—3—Ztx、—X；,,即xj—1tX\+A/3-t—3—0,,

可求得X]=%—V—A/3-t~\~3,,

這里取較小的根是因?yàn)?為左邊的切點(diǎn).

同理可求得%2=f+A/3^+^+3.15分

于是修+M=A/3"nt—y/12—V3/+3+￡+y/3+J)+/+3=A/3-,,

整理得《1+=0=>/=0.

故點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為0.20分

11.(20分)設(shè)X]=3,X"+i=〃招+14―〃x,,+2(”CN")，求[xi+xzH--Fx?]的值.

(其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).)

[解析】設(shè)/(x)=Vx+14-4+2=—==j—==.

Vx+14+vx+2

對于尤>0,,7(x)連續(xù)且單調(diào)遞減.

由于龍1>2,,則0<%2=/(尤1)</(2)=2,,

進(jìn)而依次可以得到x3>2,,0<I4<2,,即0左<2,,M左+i>2.5分

令g(x)=X+/(無).由于g，(x)=1+0-0>。恒成立，，

2Mx+71T4z2vx+2

故當(dāng)x>0時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增.

又由于g(2)=4,,故當(dāng)尤>2時(shí)，，g(x)>4;當(dāng)0<%<2時(shí)，，g(無)<4.10分

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，，設(shè)〃=2左依CN*),,有

X]+…+當(dāng)無=(X1+X2)+(X3+X4)+…+。2"1+%2。=g(xj+g(X3)H-----bg(X2”i)>4左，，

且---\-Xlk—Xx+(X2+X3)+(X4+X5)H----H(X2"2+X2"1)+xlk

=Xi+g(x2)+g(X4)+??-+g(X2”2)+x2t<4k+1,,

故[xi+xzH---\-x2k\=4k=2n.

當(dāng)"為大于1的奇數(shù)時(shí)，，設(shè)〃=2上+1依6N*),,

有X)H-----\-Xlk+\=(X1+X2)+(X3+X4)H-----1"(尤2無-1+尤2*)+尤2%+1

=g(Xl)+g(》3)+…+g(X2"l)+X2斤+1>必+2

X1+…+X2"+i=Xi+(x2+x3)+(X4+X5)+…+(必《+應(yīng)"+1)

=%i+g(%2)+g(%4)+…+g(%)V4左+3,,

故［XI+MH----左+i］=4左+2=2〃.

當(dāng)〃=1時(shí)，，［xj=3.

綜上，，當(dāng)〃=1時(shí)，，［修］=3;當(dāng)〃>2時(shí)，，［XI+MH-----=2n.20分

2024年浙江省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題

一、填空題(每小屋8分，共計(jì)96分)

1.設(shè)集合N=|x|券=<()},集合8={x1』+2苫+加40}.若NQ8,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為“W—3.

【答案】加《一3

【解析】集合/=卜|十<xWl},,要使NU3,,則l?+2x1+加W0,,解得加W—3.

2.設(shè)函數(shù)/：{1,2,3}r{2,3,4}滿足-1)=/(x),則這樣的函數(shù)有10個(gè).

【答案】10

【解析】令尸/(X)-1e{1,2,3},,則=y+1.

對/(I)=2以下三種情況都滿足條件

/⑵=/⑶=2；〃2)=/(3)=3;42)=/⑶=4,,共3種.

同理對/(2)=3,,/(1)=/(3)有3種情況；

[(3)=4,,/(1)=/(2)也有3種情況.

又/(I)=2,,/(2)=3,,/(3)=4顯然滿足條件.

所以滿足已知條件的函數(shù)共有3X3+1=10個(gè).

(可以看出這種映射的限制僅在值域上，，因此也可對值域大小分類討論.)

3.函數(shù)y=而號叫+1的最大值與最小值之積為1.

sinx+1

【答案】等

【解析】令/=sinx,,一W1,,原式變形歹=1H-----,當(dāng)，W0時(shí)

當(dāng)方=0時(shí)，,y=1.所以y的最大、最小值分別為,其積為等.

4.已知數(shù)列{X〃}滿足：修二，xn+x-xn./，〃>1，則通項(xiàng)xn—N3H—1.

【答案】J茄M

【解析】將已知條件變形得------Wr，，將上式從1到"疊加得到

—........-=1----即工=/n

焉mJ?%V3?-l-

5.已知四面體力—BCD的外接球半徑為1,若8c=1,/8OC=60°,球心到平面8OC的距圖為二^.

【答案】呼

【解析】因?yàn)榍蛐脑谄矫鍮DC上的投影就是4BDC的外心，，由已知求得&BDC的外接圓半徑為?，，所以

球心到平面BDC的距離為看?=空.

1.V3?

6.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z?4=(Z—1產(chǎn)。=1,則復(fù)數(shù)Z=1土>1.

【答案】。土與i

【解析】由已知得以I=|z—1|=1,,解得z=。土空.顯然這兩個(gè)解滿足題設(shè)條件.。

7.已知平面上單位向量3,3垂直，+為任意單位向量，且存在/e(0,1),使得向量3+(1—與向量才一3垂

直，則\a+^-c\的最小值為.

【答案】，IT

【解析】令日=(0,1),,1=(1,0),,c-(cos6,sin。)，,6&［0,2%)，，于是

4+(1一,)5=(1—%,1=(cos0,sin0—1).

由向量1+(1—/訪與向量3—G垂直，，得到COS0+sin8=1+tcos?.

\a+b-c\=j3_2V?sin((9+號),，當(dāng)6>=￡,"=2—JI時(shí)，，j+5—@取到最小值，I—1.注：本題由向量

的幾何意義也直接得到答案.。

2024

2024

8.若對所有大于2024的正整數(shù)n,成立?=，凡CN*,則由+a2024=1+2024!.

z=0

【答案】1+2024!

【解析】因?yàn)?=&,,"2=2!&+&,,/=3!d+6d+&,,