2024高考數(shù)學(xué)模擬卷1（19題結(jié)構(gòu)）解析版

2024高考數(shù)學(xué)模擬卷01

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

絕密☆啟用前

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.設(shè)集合4={0,-。},3={l,a-2,2a-2},若A=B,則?？冢ǎ?

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【分析】

根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=8,則有：

若“一2=0,解得a=2,此時(shí)A={0,—2},B={l,0,2},不符合題意；

若2a-2=0,解得a=l,此時(shí)A={0,—l},B={1-1,0},符合題意;

綜上所述：

故選：B.

2.已知圓錐的底面半徑為4,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)四分之一圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，

則2w="，解得/=16?

故選：C.

3.已知J^sina=?05弓一。），則tan2a=（）.

A.是B.一走C.一gD.百

33

【答案】D

【分析】綜合應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式即可解決.

【詳解】由Gsintz=cos（g-a）=』cose+且sine,即^^sinc=』cosa,

32222

2陋

可得tana=@,由正切的倍角公式可得tan2a=后.

3I-1

3

故選：D.

4.2024年3月，甲、乙兩人計(jì)劃去貴州旅游，現(xiàn)有梵凈山、黃果樹(shù)大瀑布、西江千戶(hù)苗寨、荔波小七孔、

青巖古鎮(zhèn)、肇興侗寨六個(gè)景區(qū)供他們選擇，甲去兩個(gè)景區(qū)，乙去三個(gè)景區(qū)，且甲不去梵凈山，乙要去青巖

古鎮(zhèn)，則這兩人的旅游景區(qū)的選擇共有（）

A.60種B.100種C.80種D.120種

【答案】B

【分析】

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)公式可得.

【詳解】第一步，甲從黃果樹(shù)大瀑布、西江千戶(hù)苗寨、荔波小七孔、青巖古鎮(zhèn)、肇興侗寨五個(gè)景區(qū)中任選

兩個(gè)，有覆種選擇；

第二步，乙從梵凈山、黃果樹(shù)大瀑布、西江千戶(hù)苗寨、荔波小七孔、肇興侗寨這五個(gè)景區(qū)中任選兩個(gè)，有C；

種選擇；

故這兩人的旅游景區(qū)的選擇共有C；C；=100種.

故選：B

5.在平面內(nèi)，M,N是兩個(gè)定點(diǎn)，尸是動(dòng)點(diǎn)，若MP-NP=4，則點(diǎn)尸的軌跡為（）

A.橢圓B.拋物線C.直線D.圓

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程即可判斷.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),點(diǎn)M(-c,O),N(c,O),

貝1]〃P=(x+Gy),NP=(x-c,y).

由MPNP=4可得：(x+c)(x-c)+y2=4,即/+/=4+C2.

所以點(diǎn)尸的軌跡為圓.

故選:D

6.設(shè)數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)之積為，，滿(mǎn)足氏+24=1(〃eN*),則的)24=()

4047101110114048

A.------B.------C.------D.------

4049101310124049

【答案】A

【分析】由已知遞推式可得數(shù)列｛｝｝是等差數(shù)列，從而可得(，進(jìn)而可得。2024的值.

1n

【詳解】

因?yàn)?+27；=1(”eN*),

所以％+27]=1,即q+2%=l,所以

所以，+21=1(，亞2,〃eN*),

,〃一1

11*

所以彳一k=2(""〃eN),

1n1n-l

所以數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)為"=1=3,公差為2的等差數(shù)列，

1na\

所以：=3+2(幾一1)=2〃+1,

]

即＜二』！’所以"2?！?:024.2x2024+1=4047

金23――1__4049?

2x2023+1

故選：A.

7.已知奇函數(shù)〃尤)與偶函數(shù)g(x)滿(mǎn)足/(x)+g(x)=e工，則下列結(jié)論正確的是()

A.[/(2024)J-[g(2024)]2=lB./(2024)=/(1012)g(1012)

C.g(2024)=[/(1012)]2+[g(1012)]2D./(2024)-g(2024)=e-2024

【答案】c

【分析】由題可得/(x)+g(x)=e，，-g(x)=-e，進(jìn)而可得e，),g(x)=；(e'+小)，

分選項(xiàng)計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤盁o(wú))為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，所以〃T)=-/(X),g(f)=g(x),

因?yàn)椤▁)+g(x)=e，所以/(—x)+g(-x)=-/(x)+g(x)=eT,

BPf(x)-g(x)=-e-\所以"x)=，eX_eT),g(x)=g(e'+er)

對(duì)于A,[/(2024)]2-[g(2024)]2

=[/(2024)+g(2024)][/(2024)-g(2024)]=-1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(2024)=l(e2024-e-2024)/(1012)g(1012)=l(e2024-e-2024),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,g(2024)=1(e2024+e-2024)=[/(1012)]2+[g(1012)]?,故C正確；

對(duì)于D,/(2024)—g(2024)=YR4,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

22

8.已知雙曲線c：1y-￡=13>0乃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)耳的直線與y軸相交于M點(diǎn)，與雙曲

線C在第一象限的交點(diǎn)為尸，若F1M=2MP,FlPF2P=0,則雙曲線C的離心率為()

A.V2B.拒C.延D.73+1

2

【答案】D

【分析】設(shè)/小招=6,，為銳角，依題意可得產(chǎn)"桃，閥|=三a町|,再由|町|=個(gè)r，得到

乙C7

Qz'__

又|P&l=2csin。，利用勾股定理得到方程，即可求出COS。，從而求出，，最后求出離心率即

2cos6

可.

【詳解】

設(shè)NP用心=6,9為銳角,

3

因?yàn)槎鶤f=2MP,F1PF2P=0,所以P4門(mén)工，閥|=萬(wàn)眼制，

■■\MF\=--,:\PF^-\MF{\=--又|P&|=2csin6,

cos22cose

|尸耳『+|尸丁|2=|耳天匕

/.———F4c2sin20=4c之,

4cos20

/.9+16sin29cos20=16cos20，

/.9+16（l-cos26）cos?6=16cos之6,

.,.9-16cos4^=0,

.-.cos26?=^,COS0=—（負(fù)值舍去），.?.8=30。，

42

33cL

.\|P^|=-|MF；|=--=V3c,\PF21=2csin0=c,

???雙曲線c的離心率e=tf=篇"n=Vb=/+L

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有

兩種方法：

①求出。，c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于。，b,。的齊次式，結(jié)合62=°2一/轉(zhuǎn)化為°,c的齊次式，然后等式（不

等式）兩邊分別除以。或片轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z-N=4i,|z|=|z+2|,則（）

A.在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的向量與i對(duì)應(yīng)的向量所成角的正切值為2

B.在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z在第四象限

C.z的虛部為2

D.z的實(shí)部為一

【答案】CD

【分析】

設(shè)2=。+歷，a、beR,結(jié)合題意計(jì)算即可得z,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念與幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】設(shè)z-a+bi,a、beR,

由忖=|z+2],即有"+萬(wàn)2=（4+2）2+k，即。=-1,

由z—2=4i,即有a+歷—（a—?dú)v）=4i,即6=2,即z=—l+2i,

對(duì)A：設(shè)z對(duì)應(yīng)的向量與i對(duì)應(yīng)的向量所成角為a,

則cosa=即tana=g,故A錯(cuò)誤；

V4+1-V152

對(duì)B：在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z為（-1,2）,在第二象限，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C、D：z的虛部為2,實(shí)部為-1,故C、D正確.

故選：CD.

10.若a>6>l,ceR,則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.aobcB.log^a>1

C.-+7^4D.若a+b=4,則2"+2〃>8

ab

【答案】BCD

【分析】舉例說(shuō)明判斷A；利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷B；利用不等式性質(zhì)判斷C；利用基本不等式判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)c=0時(shí)，ac-Q-bc,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由得log/>logM=l,B正確；

對(duì)于C,由a>b>l,#0<-<-<1,貝H+1<2V4,C正確；

abab

對(duì)于D,由“>b>l,a+b=4,得2">2">2,2"+2">2亞3=2后了=8，D正確.

故選：BCD

cosx,x<0

11.設(shè)函數(shù)〃尤）=Xc，下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)〉=/（>）-彳有且只有一個(gè)零點(diǎn)

c.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

D.對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)為,三，若/&）=/（9）,貝！|尤i+3<2

【答案】AB

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷x>0時(shí)，y=〃x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求值域，然后結(jié)合x(chóng)WO時(shí)，f（x）=cosx,從而

可判斷選項(xiàng)A,C；首先利用導(dǎo)數(shù)判斷xW。時(shí)，g（x）=f（x）-x=cosx-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；然后再利用單調(diào)性

判斷x>0時(shí)，g（尤）=/（》）-彳=占-苫的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可判斷選項(xiàng)B；不妨設(shè)。（工<1<%，根據(jù)題意把

要證明%+%>2,轉(zhuǎn)化為證明/（2-石）>/&）；然后構(gòu)造函數(shù)以彳）=擊一宗（0<》<1）,利用導(dǎo)數(shù)判斷

函數(shù)的單調(diào)性即可證明，從而判斷選項(xiàng)D.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，〃尤）=3,所以/（x）=/=A，

e（e）e

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，r（x）>0,所以y=/（x）在（0,1）單調(diào)遞增，

當(dāng)X>1時(shí)，/'（無(wú)）<0,所以y=/（元）在（1,口）單調(diào)遞減，

且當(dāng)X-+8時(shí)/（無(wú)）-0,故x>0時(shí)，0</（x）</（l）=l,

又當(dāng)x〈0時(shí)，f（x）=cosx,所以-lwy（x）Wl,

所以函數(shù)Ax）在（。,1）單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?M］,所以A正確，C錯(cuò)誤；

當(dāng)xWO時(shí)，令g（x）=/（x）-x=cosx-x,貝！jg'（x）=_sinx_l<0,

所以g（x）=cos尤-尤在（Y?,0］單調(diào)遞減，所以當(dāng)無(wú)<0時(shí)，g（x）>g（O）=l,

所以函數(shù)y=f（x）-x在（-8,5上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)X>0時(shí)，令〃7（彳）=/（%）_彳=卡_了=?擊_1）,

所以只需求函數(shù)為0）=3-1在（0,+⑹上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

e

又因?yàn)?，（x）=3-1在（0,+功上單調(diào)遞減，且〃（1）=3-1=0,

ee

所以函數(shù)y=/（x）-x在（。,+⑹上只有一個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)y=/（尤）-彳有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以B正確；

當(dāng)x>o時(shí)，若〃%）=/?）,因?yàn)楹瘮?shù)/（元）在（0,1）單調(diào)遞增，在（Ly）單調(diào)遞減,

所以不妨設(shè)。<不<1<%,貝！

所以要證%+%>2,只需證2-尤1cx2，即只需證/（2-菁）>/（々），

又因?yàn)?&）=/（9），所以只需證“2-玉）＞〃玉）.

因?yàn)?⑷一〃2一百）=?一言=今一宗

e1e1e1e1

所以令函數(shù)0（x）=3x—-2—x（o＜尤＜i）,

ee

所以夕（尤）=W一；三在（0,1）單調(diào)遞增，所以虱X）＜。⑴=5一g?=°，

X，一Y

即以尤）=告-"＜0（0〈尤＜1）恒成立，所以夕（西）＜0,

ee

gp/（x1）-/（2-x1）=-J_-1^＜0,所以y（2f）＞〃石），

從而國(guó)+%＞2成立，所以D錯(cuò)誤.

故選:AB.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系;

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

第n卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在（2》+°）卜+彳：的展開(kāi)式中，f的系數(shù)為-120,則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】-320

【分析】

利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.

【詳解】由二項(xiàng)式定理知：［尤+：］的展開(kāi)式中含尤2的項(xiàng)為C*4H］=60x2,

其展開(kāi)式中沒(méi)有含X的項(xiàng)，也沒(méi)有含:的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為C*3[彳)=160,

所以(2尤+°)[+：]的展開(kāi)式中，

含X1的項(xiàng)為ax60x2=60ax2=>60a=—120=>a=—2f

此時(shí)(2尤-2)(X+2)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-2x160=-320.

故答案為：-320

13.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是。，b,c,

(cosA+cosB)(cosA-cosfi)=sinC^sinC-sinA^j,b=3y/2，a+c=6,貝UABC的面積為.

【答案】3

【分析】利用同角的平方關(guān)系與正弦定理邊角變換得到〃+，2-從=1女,從而求得cosB,sinB,進(jìn)一步

13

利用余弦定理得"=結(jié)合三角形面積公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?854+858)(0054-853)=sinc[sinC-,

所以1-sin?A-^l-sin2B)=sin2C-^sinCsinA,

所以由正弦定理，得/+02-62=《收，

所以cosB=礦+/一4=工,又0<8<兀，貝！JsinB=U.

lac1313

5ig

因?yàn)閎=3\/^,a+c=6,由余弦定理，得18=a?+，—=(々+。)2—,

1Q1□

即18=36—2QCX^|,所以QC=5，

o1.?11312

所以S^ABC=—<7csinB=—x—x—=o3.

故答案為：3.

14.在三棱柱A5C-A與C中，四面體AA5C是棱長(zhǎng)為2的正四面體，。為棱CG的中點(diǎn)，平面。過(guò)點(diǎn)。且

與A5垂直，則a與三棱柱A5C-A與G表面的交線的長(zhǎng)度之和為.

【答案】3+^3+y/2

【分析】

設(shè)ABcA用=。，可證A3,平面AB。，可得平面隅C〃平面a,結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得平面a即為平

面。ENG,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)ABcA瓦=。，取AC的中點(diǎn)耳，連接CO,4c

可知CO=OA=?OH=亞,

由題意可知：A8AA°，A8AC。，5.A0CO=O,AO,COu平面AB。，

所以AB，平面ABC,

又因?yàn)锳B_L平面a,可知平面AB。〃平面a,

設(shè)平面aA41-E,即平面a,平面A41cle=DE,

且平面ABC平面441GC=AC,則AC〃OE,

且。為棱CG的中點(diǎn)，可知E為棱的中點(diǎn)，

同理取A4,瓦C的中點(diǎn)瓦￡G,連接防rG,OG,

可知平面a即為平面DEFG,

則DE=2,EF=AO=?GF=；AG=l,DG=gB?=OH=應(yīng),

所以a與三棱柱ABC-A瓦G表面的交線的長(zhǎng)度之和為2+6+1+0=3+6+應(yīng).

故答案為：3+>/3+A/2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正四面體的性質(zhì)可證A3,平面Me,結(jié)合線面平行的性質(zhì)可得平面Me〃平

面a,即以平面MC為參考作截面，即可得結(jié)果.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）根據(jù)國(guó)家電影局統(tǒng)計(jì)，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國(guó)電影票房為80.16億元,

觀影人次為L(zhǎng)63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長(zhǎng)了18.47%和26.36%,均創(chuàng)造了同檔期新的

紀(jì)錄.2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者，并統(tǒng)計(jì)了每名觀影者對(duì)當(dāng)日觀看的電影的滿(mǎn)意度評(píng)分

(滿(mǎn)分100分)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖(分組區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]).

(2)估計(jì)這100名觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分的第40百分位數(shù)(結(jié)果精確到0.1)；

(3)設(shè)這100名觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分小于70分的頻率為A，小于80分的頻率為若甲、乙2名觀影者在春節(jié)

檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A,8影片的概率分別為1-P2，乙觀看A,B影片的概率分別為

0,1-A.當(dāng)天甲、乙觀看哪部電影相互獨(dú)立，記甲、乙這2名觀影者中當(dāng)天觀看A影片的人數(shù)與觀看8影

片的人數(shù)之差為X,求X的分布列及期望.

【答案】(1)70

(2)63.3

(3)分布列見(jiàn)解析，￡(X)=0.8

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60分的頻率,進(jìn)而可得觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60

分的人數(shù)；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的概念直接得解；

(3)根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可得概率，進(jìn)而可得分布列與期望.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60分的頻率為

0.03x10+0.02x10+0.015x10+0.005x10=0.7,

則100中觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分不低于60分的人數(shù)為100x0.7=70；

(2)設(shè)這100名觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分的第40百分位數(shù)。

由頻率分布直方圖可知0.01X10+0.02x10=0.3<0.4,0.01xl0+0.02x10+0.03xl0=0.6>0.4,

所以ae[60,70）,

K0.01x10+0.02x10+0.03x（a-60）=0.4,

解得"63.3,

即這100名觀影者滿(mǎn)意度評(píng)分的第40百分位數(shù)為63.3；

（3）由已知Pi=0.01x10+0.02x10+0.03x10=0.6,p2=0.01x10+0.02x10+0.03x10+0.02x10=0.8,

設(shè)甲觀看A影片為事件M,則甲觀看8影片為事件M，乙觀看A影片為事件N,則乙觀看B影片為事件N,

即尸（M）=0.8,P（而）=1一0.8=0.2,P（N）=0.6,P（2V）=1-0.6=0.4

由已知可得X的可能取值有-2,0,2,

根據(jù)獨(dú)立事件可知，

貝（JP（X=-2）=P（M\P網(wǎng)=0.2x0.4=0.08,

p（X=0）=P（M）?尸（齊）+尸（府）-P（N）=0.8x04+0.6x0.2=0.44,

P（x=2）=P（M）?P（N）=0.8x0.6=0.48,

則分布列為

X-202

P0.080.440.48

貝瞬望為E(X)=-2x0.08+0x0.44+2x0.48=0.8.

16.(15分)已知函數(shù)分(x)=ax-ln(x+l).

⑴若/(%)的零點(diǎn)也是其極值點(diǎn)，求。；

⑵若/(x)>0對(duì)所有xe(O,+e)成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)1

⑵[1,+8)

【分析】(1)求導(dǎo)，分類(lèi)討論判斷函數(shù)單調(diào)性求得極值點(diǎn)即可求解；

(2)注意到"0)=0,討論aWO,0<a<l及三種情況，說(shuō)明函數(shù)值與0的大小關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)

/(x)=ox-ln(x+1),x>-l,f'(^x)=a——,

若aWO,貝U1f(x)=o-￡<0,/(x)在(T,+8)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，不合題意;

若a>0,廣⑺J；：；貝卜i<x(Tj，(x)〈O;x〉T，r(x)M；

故/(X)在卜,了)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故“無(wú))極小值=4TjT_a+lnq

因?yàn)椤▁)的零點(diǎn)也是其極值點(diǎn)，貝!11-a+ln〃=。，

設(shè)g(a)=l-o+ln<7(a>0),g,(<7)=-l+—=---,

則0(a?,g'(a))0;a〉l,g'(a)<0；故g⑷在(0,4)上單調(diào)遞增，在(區(qū)+⑹上單調(diào)遞減,

且易知g(l)=0,故g(a)=。有唯一解a=L

此時(shí)〃力的零點(diǎn)和極值點(diǎn)均為0,符合題意；故。=1.

(2)首先注意到"0)=0,

/(x)=ccv-ln(x+l),x>0,=a^__ax+a1,

①若aWO,則尸(x)<0在x>0時(shí)恒成立，故/(x)單調(diào)遞減，

則對(duì)所有x>。，/(x)</(0)=0,不滿(mǎn)足題意，故舍去；

②若貝!|0<x］r，-(x)〈0;x〉y,1(x)：0;

故/⑺在上單調(diào)遞減，在［上單調(diào)遞增，

則/(x)1nhi=/(y)<〃0)=0,不滿(mǎn)足題意，故舍去；

③若a21,貝！|/(》)=+(依+加1)>0在x>0時(shí)恒成立

所以/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,則對(duì)所有x>0,〃x)>〃0)=0,

符合題意，該情況成立.

綜上所述，a的取值范圍是［L").

17.(15分)如圖，幾何體PABCD中，APBD和△CB。均為等邊三角形，平面平面尸3。，

AB=AD=5BD=2,PC=43,/為3。中點(diǎn).

(1)證明：P、A、M、C四點(diǎn)共面；

(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

⑵警

【分析】

(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

(2)以M為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】(1)

連接CM,由=APBD.為等邊三角形，M為8。中點(diǎn)，得AM_LSD,PMVBD,CMLBD,

又40加二^^㈤^尸河^^平面小必，則即工平面APM，上4u平面APM，于是皮>_LP4；

而CAfc尸M=M,CM,尸河u平面C尸M,則平面CPM,又尸Cu平面CPM,于是BD_LPC；

XPA\PC=P,PA,PCu平面PAC,因此比)工平面PAC,

設(shè)平面PAC與直線80交于點(diǎn)“，則5。LAM',顯然A"'u平面4班，

在平面加內(nèi)，過(guò)直線8。外一點(diǎn)A有且僅有一條直線與80垂直，

所以M與AT重合，即有P,A,M,C四點(diǎn)共面.

(2)由(1)知，平面R4MC_L平面BCD,在平面PAMC內(nèi)過(guò)點(diǎn)/作Mz_LMC,

而平面PAMC平面3cD=MC,則Mz_L平面BCD,直線兩兩垂直，

以/為原點(diǎn)，直線MB,MC,法分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由平面平面尸AD,平面ABDc平面P3Z>=3D,AMu平面MD,AM1平面PBD,

而MPu平面尸8￡>,則AM_LMP,由△尸助和△CBD均為等邊三角形,

得PM=MC=PC=>5,Z.PMC=60°,由AB=AZ)=正，得AM=2,

于是P(0,孝,1),C(0,V3,0),BQ,0,0),A(o,-V3,l),

則AB=(1,y/3,-1),BP=JI*|),BC=(-1,50),設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),

3

m,BP=-xH-----yH—z=0i—

則2-2令＞=,，得"=(3,6,1),

m-BC=-x+6y=0

設(shè)直線AB與平面PBC夾角為6,則sin6=|cos<AB,tri)\=>=華，

\AB\\m\V5.V1313

所以直線A3與平面PBC所成角的正弦值為運(yùn).

13

22

18.(17分)已知橢圓C:=+與=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(3,0),直線/:xsine+ycos(9=6(0<e<7t)與C

ab

相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求直線/被圓O:/+/=/所截的弦長(zhǎng)；

(2)當(dāng)。=］時(shí)，|AB|=y.

(i)求C的方程；

(ii)證明：對(duì)任意的兀)，的周長(zhǎng)為定值.

【答案】(1)6

⑵(i)《+當(dāng)=1;(ii)證明見(jiàn)解析.

2316

【分析】(1)由點(diǎn)到直線的距離得圓。到直線/的距離d=6,再利用幾何法求出直線與圓的相交弦長(zhǎng)，從

而可求解.

(2)(D當(dāng)時(shí)，直線/的方程為*=“將該直線方程代入橢圓方程，求出|AB|,根據(jù)已知條件求出。、

b的值，即可得出橢圓C的方程；

(ii)求出原點(diǎn)到直線鉆的距離，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理分析額可知點(diǎn)A、B的

橫坐標(biāo)均為正數(shù)，利用勾股定理、橢圓方程可求出△礪的周長(zhǎng).

,.|-Z?|

【詳解】(1)由題意得圓。的圓心為。(0,0),到直線/的距離d=「，=8,

Vsin0+cos-6

則直線/被圓0所截弦長(zhǎng)為2^/?二7=2c=6-

故直線/被圓。所截得的弦長(zhǎng)為6.

（2）解：當(dāng)。時(shí)，直線/的方程為*=%

x=b

⑴聯(lián)立爐y2得y=±"，所以］陰="￡=兔=，，

［a2b1

又因?yàn)椤?=82+，，所以。=5,b=4,

所以，橢圓C的方程為《+1=1；

（ii）設(shè)點(diǎn)A（&X）、B（x2,y2）,貝！）—5工玉W5,且y；=16—蕓%；,

所以，|-3）~+「；=-6七+9+16—X；=x；—6%+25

=-^-5=5--^,同理可得忸用=5_g3

因?yàn)樵c(diǎn)到直線AB的距離為d==Z?=4,

Vsin2^+cos20

過(guò)原點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)M,如下圖所示:

所以，|筋二|則+忸閭=10心片+J畫(huà)=商+犬_16+&+￡_16

X；+16一2%；—16+

xsin0+ycos0=4

聯(lián)立，工2,2(16+9sin26>)x2-200xsin0+400sin20=0

12516

A=40000sin26?-1600sin26>(16+9sin26?)=14400sin26?cos26>>0,

當(dāng)且僅當(dāng)。=］時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，合乎題意,

因?yàn)棰?貝(lOvsinOWL

士土中士r200sin400sin26八川、八

由韋達(dá)定1理m可4a得%+“E”＞。-2=即赤＞0,故占＞n。，。。,

333

所以，|陰=y㈤+#2|=卓3+凡），

33

因此，的周長(zhǎng)為|+忸司+1AB]=10—+々)+y(玉+元2)=1。(定值).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

19.(17分)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(X)在x=0處的?N*)階導(dǎo)數(shù)都存在

時(shí)，〃“=〃0)+廣(0卜+/?/+*2}/++*0x“+L.注：/(力表示〃x)的2階導(dǎo)數(shù)，即

為「(力的導(dǎo)數(shù)，/0(2("23)表示〃力的”階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱(chēng)麥克勞林公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin；的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位;

V-2/62

⑵由該公式可得：cosx=l-—+—-—+..當(dāng)XN0時(shí)，試比較COSX與1_二的大小，并給出證明;

2!4!6!2

弋1____]_

⑶設(shè)女N*,證明：A(61>n4n+2-

J(n+k)tan----

n+k

【答案】⑴048；

(2)cosx>1--,證明見(jiàn)解析;

2

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

357

(1)根據(jù)麥克勞林公式求得sinx=x-1^+?+賦值即可求得近似值；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=cosx-1+1廣20,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，即可證明；

___________1____________1__________________________1_)

(3)根據(jù)(2)中所得結(jié)論，將目標(biāo)式放縮為1[2n+2k-l2〃+2左+J，再裂項(xiàng)求和