2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中與角有關(guān)的存在性問題復(fù)習(xí)講義

二次函數(shù)中與角有關(guān)的存在性問題復(fù)習(xí)講義

與角有關(guān)的存在性問題包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍數(shù)關(guān)系角的存在性等，解決這類問

題我們通常利用以下知識(shí)點(diǎn)去構(gòu)造相關(guān)角：

①平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；②等腰三角形的等邊對(duì)等角；③相似三角形對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形對(duì)應(yīng)角

相等；⑤三角形的外角定理等。

然后利用解直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系作為計(jì)算工具去計(jì)算求解，難度相對(duì)較大，需要同學(xué)們靈活運(yùn)

用，融會(huì)貫通。

【類型一相等角的存在性問題】

方法一：角相等，則正切值相等(銳角范圍內(nèi))

【例1】如圖，拋物線y=-/+?+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，

過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E,連接DB.

⑴求此拋物線的解析式.

⑵點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.當(dāng)ZMBA=ZBDE時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解答】⑴把點(diǎn)B(3,0),C(0,3)代入y=_x^+bx+C得到廠9+36+c=。解得(b=2，拋物線的解析式為

Ic=3*1c=3，

V=-x2+2JC+3.---y=-x2+2x-l+l+3=-(x—+4，，頂點(diǎn)D坐標(biāo)(1,4).(2)作MG1無(wú)軸于G,連接BM.貝

/-MGB=90°,設(shè)M(jn<—m2+2m+3),

n〃cI2,cclr-?z-?AMGI-7712+2771+3|

???MG=—m2+2m+3LBG=3—m,：tanZ-MBA=—=--------------,

11BG3-m

VDE±x軸,D(l,4),ZDEB=90°,DE=4,OE=1,

c/cC、CLr-?.CCLBE1HACLI~2,TTI+3\1

8(3,0),???BE=2,???tanZ-BDE=—=-,???Z-MBA=Z-BDE,???--------------=-

、八DE23-m2

當(dāng)點(diǎn)M在X軸上方時(shí)，魯+3=/解得血=后或3(舍去),??.M(-久)當(dāng)點(diǎn)M在X軸下方時(shí)，M：［胃+3

-/解得m=-1或m=3倍去)，，點(diǎn)M(-1，-綜上所述,滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)(-1，或(-1，-

提示：也可以利用ADBEs^BMG來求解，大家不妨自己嘗試。

方法二：利用平行線構(gòu)造相等角

【例2］如圖，拋物線y="2+b久+§與X軸交于點(diǎn)A(-5,0),B(1,O),頂點(diǎn)為D,與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式及D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在直線AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得NECA=2/CAB,如果存在這樣的點(diǎn)E,求出△4CE面積，如

為：y=-|/-2x+*.?.頂點(diǎn)。(一2，?；

⑵如圖,過點(diǎn)C作CM//AB,過點(diǎn)E作EFXCM,設(shè)點(diǎn)￡(m--|m2-2m+|),

：y=-|x2-2x+|交y軸交于點(diǎn)C,...點(diǎn)C(。,)，,OC=I，

：CM〃AB，,ZMCA=ZCAB,

ZECA=2ZCAB=ZECF+ZMCA,ANECF=/CAB,且./.AOC=乙EFC=90°,

1o5

---Tn—2m-FFCOrrAE/O

，--------=n,tanzFCF=tan^CAB,???—=—,gp解得，

-m5CFAO

m=0(不合題意),m=-3,

.?.點(diǎn)￡(-3-4),=jx(j+4)x3+jx4x2-jx5xj=y.

【例3］如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交

y軸的，正半軸于點(diǎn)c和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得△PCB=A804(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).若拋物線與x軸正半軸交

點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F間拋物線上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn)),其橫坐標(biāo)為m.

⑴直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

⑵求滿足.NMP。=NP0A的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【簡(jiǎn)答】(1)易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

⑵①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)「CP||x軸，

當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí),NMP。="04,???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4);

②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取.點(diǎn)D,連接DP,使得IDO=DP,此時(shí)乙DP0=Z.P0A,

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n,0),則DO=n,DP2=(n-3)2+16,n2=(n-3)2+16,解得：幾=凸,.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為

o

伶。)?

設(shè)直線PD的解析式為廣kx+a(k邦),將P(3,4)、D(?,0)代入y=kx+a,可求得直線PD的解析式為y=-+釁.

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聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組即可解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

綜上所述:滿足/MPO=/POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)或得，詈).

方法三：利用圓周角定理構(gòu)造相等角

［例4］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a久2一8a久-9a的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),交x軸于點(diǎn)A、B(A點(diǎn)在B

點(diǎn)左側(cè)),頂點(diǎn)為D.

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

⑵將△力8c沿直線BC對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為.4,試求A的坐標(biāo)；

(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使乙BPC=NB4C?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】⑴：把C(0,3)代入y=ax2-8ax-9a得-9a=3,解得a=-

???所以拋物線的解析式為y=-|x2+fx+3.

2

?.?令y=0得:-|x+|x+3=0,解得：Xi=-l,x2=9,.-.4(-l，0),B(9,0).

⑵如圖1,作A'H1x軸，垂足為H.

???/.ACB=ZOFC+乙BCO=90°,

??A'HHOC,AC=A'C,OH=OA=1,A'H=2OC=6;"(1,6);

(3)分兩種情況：

①如圖2,以AB為直徑作。M,OM交拋物線的對(duì)稱軸于P(BC的下方).

?.?%=—=4,??點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4.由圓周角定理得.=皿B,

vX(-l<0),B(9,0),；.AB=10.MP==5???.P(4，-5).

圖2圖3

②如圖3所示：以A'B為直徑作OM',Q交拋物線的對(duì)稱軸于P',過點(diǎn)M作.M'E1PE垂足為E,連接P'M'.

?.?點(diǎn)A，與點(diǎn)A關(guān)于BC對(duì)稱,AB=A'B=10,乙4=N4.

VZCP'B=ZCA'B,.,.ZCP'B=ZA,VA'(1,6),B(9,0),.*.M'(5,3).

M'P'=^A'B=5,.-.P'E=>JP'M'2-M'E2=2痣.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2y[6+3).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(4,-5)pg((4-2V6+3).

【類型二二倍角或半角的存在性問題】

(一)二倍角的構(gòu)造方法

如圖，已知/a,我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造2a,在BC邊上找一點(diǎn)D,使得BD=AD,則/

ADC=2a.

這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)(一般用正切)計(jì)算就可以了。

【例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=巳％+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=|x2+

bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

①連接BC、CD,設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E,ACDE的面積為S1;ABCE的面積為SS?,求三的最大值；

32

②過點(diǎn)D作DF±AC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得ACDF中的某個(gè)角恰好等于/BAC的2倍?若存在,

求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【簡(jiǎn)答】(1)根據(jù)題意得A(-4,0),C(0,2),--.y=-|x2-|x+2;(2)①易知B(l,0),

過D作DM1久軸交AC于M,過B作BN1x軸交于AC于N,

:DMBN,：.DMEBNE,.%=>喘

設(shè)D(CP-1十—|q+2),??.M+2),??.。),???N(L|)

???F=/=紇絲=—］(a+2)2+［；.當(dāng).a=-2時(shí),?取最大值是(；

<J2DIN-53<->25

@VA(-4,0),B(l,0),C(0,2),，OA=4,OC=2,

/.在OA上取一點(diǎn)P使得PA=PC,設(shè)OP=m,則PC=PA=4-m,

在RTAPCO中，由勾股定理得：(4-m)2=m2+22,解得m=|,,?.P(-1-0),tanzCPO=1,

過D作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延長(zhǎng)線于G,

情況一：如圖2,AZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,

???MDG=^BAC,：.tanzCDG=tanABAC=［即-=

2DR2

設(shè)D(a，——小——tz+2),*'?DR=-CL,RC=——a2——dt

y

=

~—~%=。舍去），g=-2,<',XD=-2,

—ciz.

情況二：乙FDC=2/-BAC,??.tanzFDC=*設(shè)FC=4k,DF=3k,,則DC=5k,

????，?tanZ.DGC-----=一,，RG=6k,CG—2.k,DG=3V5fc,RC———k,RG=——k,DR—3V5fc——k=---——k.

FG25555

nVsk

―丁,a1=0舍去),a2=-算...點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2或一9

RC-嗎--az--a1111

(二)半角的構(gòu)造方法

如圖1,已知/a,構(gòu)造半角可以用下面兩種辦法：

方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對(duì)應(yīng)，利用外角定理，如圖2,延長(zhǎng)CB至D,使得IBD=B4廁ZD="若AC、

BC的長(zhǎng)度已知，則容易求出tanND的值，從而進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

方法二:如圖3,直接做Na的角平分線BE,若AC、BC的長(zhǎng)度已知,則容易求出tanZEBC的值。

【例6］如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x+5)(x-3)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),且過點(diǎn)(2,4),

⑴接寫出a的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的新拋物線與x軸交于MN兩點(diǎn)兩拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)M到直線PB

的距離；

(3)在⑵的條件下，若點(diǎn)D為直線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使得ADAB=3/PB力?若存在，請(qǐng)求點(diǎn)D的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】⑴將點(diǎn)(-2,4)代入y=a(x+5)(x-3)得:4=a(-2+5)(-3-2),解得：a=-2點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P(0,4),

則PB=5;

(2)平移后，點(diǎn)A、M、N的坐標(biāo)分別為(-5,0)、(-3,0)、(3,0),設(shè)點(diǎn)M到直線PB的距離為h,

則SPMB=1X/iXPB=|xMBxOP,即:hx5=6x4,解得:h=g,...點(diǎn)M到直線PB的距離為g;

⑶存在，設(shè)Z-DAB=|Z.PBA=a,

過點(diǎn)B作NPBA的平分線BH交y軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作HG±PB于點(diǎn)G,

設(shè)0H=m,則HG=m,PH=4-m,PG=PB-BG=5-3=2,則.PH2=HG2+PG2,即(2-m)2=m2+2,解得：爪=*二

tanzHBO=tana=—=-,■?.tan/.DAB=

OB22

設(shè)DA與y軸交于Q,則穿=OA=5,.-.OQ=Q(0，[)

由A、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AD的表達(dá)式為：y=[x+|……①，

易求得直線PB的表達(dá)式為：y=-1x+4②，

聯(lián)立①②并解得：*=看,故點(diǎn)。尋||).

【針對(duì)練習(xí)】

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=+b*+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(3,0),直線.y=-x+3恰好經(jīng)過B,C兩點(diǎn)

⑴求出拋物線y=x2+bx+c的解析式,并寫出拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線頂點(diǎn)為D且.Z.APD=乙4CB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖拋物線y=收+法+6與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)D(4,m)在拋物線上，連接BC、BD.試問，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,滿足乙PBC=乙DBC?

如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

3.如圖拋物線y=a/+"+c與x軸交于4(-1，0),8(5,0),與y軸交于C(0,|),點(diǎn)D在該拋物線上,且點(diǎn)D的橫坐