安徽省合肥中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽省合肥中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三棱錐中,是等邊三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.2.已知,,,若,則()A. B. C. D.3.射線測厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度,是自然對數(shù)的底數(shù),為被測物厚度,為被測物的密度,是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.4.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.85.復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.6.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項(xiàng)相等,則項(xiàng)系數(shù)為()A.10 B.32 C.40 D.807.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.8.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.9.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.11.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.1012.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.10二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對角線折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.14.在中,角,,的對邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為________.15.實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最大值為__________.16.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對任意,若經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時(shí),為的幾何平均數(shù).(只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.18.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.19.(12分)在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若,的平分線與交于點(diǎn)D,與的外接圓交于點(diǎn)E(異于點(diǎn)A),,求的值.20.(12分)已知函數(shù).(1)設(shè),若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證:;(2)設(shè),在不單調(diào),且恒成立,求的取值范圍.(為自然對數(shù)的底數(shù)).21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對恒成立,求的取值范圍.22.(10分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形,取中點(diǎn),可證明平面,從而,即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為,可求得到平面的距離,畫出幾何關(guān)系,設(shè)球心為,即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑,進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn),是等邊三角形,所以,又因?yàn)椋?,所以平面,則,由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面等邊的重心為,可得,,所以三棱錐的外接球球心在面下方,設(shè)為,如下圖所示:由球的性質(zhì)可知,平面,且在同一直線上,設(shè)球的半徑為,在中,,即,解得,所以三棱錐的外接球表面積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算,正三棱錐的外接球半徑求法,球的表面積求法,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.2、B【解析】

由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示,考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.3、C【解析】

根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識與物理知識相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.4、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計(jì)算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng),然后二項(xiàng)式系數(shù)和,可得,最后依據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為又展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí),所以項(xiàng)系數(shù)為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式,熟悉公式,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因?yàn)閳A心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.8、B【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.9、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.10、C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.11、D【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,由圖可知到原點(diǎn)的距離最大,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.12、C【解析】

取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,得到直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,則由球的性質(zhì)可知,直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,取的中點(diǎn),連接,,由條件得,,連接,因?yàn)椋瑥亩?,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔試題.14、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.15、10【解析】

畫出可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解:作出可行域如下:由得,平移直線,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,最大解得的最大值為10故答案為:10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法,基礎(chǔ)題.16、【解析】

由定義可知三點(diǎn)共線,即,通過整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點(diǎn)共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式,考查了推理能力,考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),求出最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù),由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí),需求量為500,求出Y=900元;當(dāng)溫度在[20,25)℃時(shí),需求量為300,求出Y=300元;當(dāng)溫度低于20℃時(shí),需求量為200,求出Y=﹣100元,從而當(dāng)溫度大于等于20時(shí),Y>0,由此能估計(jì)估計(jì)Y大于零的概率.【詳解】解:(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得到最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶,如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶,如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p.(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí),需求量為500,Y=450×2=900元,當(dāng)溫度在[20,25)℃時(shí),需求量為300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,當(dāng)溫度低于20℃時(shí),需求量為200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,當(dāng)溫度大于等于20時(shí),Y>0,由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有:90﹣(2+16)=72,∴估計(jì)Y大于零的概率P.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查利潤的所有可能取值的求法,考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.18、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)先根據(jù)絕對值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進(jìn)行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個(gè)不等式,再進(jìn)行不等式相加,即可得答案.【詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即兩邊開平方得.同理可得,.三式相加,得.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式、應(yīng)用基本不等式證明不等式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和推理論證能力.19、(1);(2)【解析】

(1)由,利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結(jié)合,設(shè),在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,即,即,所?(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設(shè),O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,從而.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.20、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)先求出,又由可判斷出在上單調(diào)遞減,故,令,記,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可;(2)由在上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解,可得,令,分類討論求的最大值,再求解即可.【詳解】(1)已知,,由可得,又由,知在上單調(diào)遞減,令,記,則在上單調(diào)遞增;,在上單調(diào)遞增;,(2),,在上不單調(diào),在上有正有負(fù),在上有解,,,恒成立,記,則,記,,在上單調(diào)增,在上單調(diào)減.于是知(i)當(dāng)即時(shí)

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