3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題1：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓(a>b>0)的位置關(guān)系:問(wèn)題2：直線與橢圓的位置關(guān)系

Δ=22+12=16>0,故直線與橢圓相交.答案:COxyMFHdl圖3.1-12OxyMFHdl圖3.1-12OxyMFHdl圖3.1-12變式1.點(diǎn)M與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比是1：2，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形.橢圓的第二定義OF1F2xy圖3.1-13變式2

已知直線y=x+m與橢圓,當(dāng)直線和橢圓相離、相切、相交時(shí),分別求m的取值范圍.分析:將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式Δ判斷.故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).當(dāng)Δ>0,即-5<m<5時(shí),直線和橢圓相交;當(dāng)Δ=0,即m=±5時(shí),直線和橢圓相切;當(dāng)Δ<0,即m>5或m<-5時(shí),直線和橢圓相離.綜上所述,當(dāng)m>5或m<-5時(shí)直線與橢圓相離;當(dāng)m=±5時(shí),直線與橢圓相切;當(dāng)-5<m<5時(shí),直線與橢圓相交.反思感悟

直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種情形,判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),將直線方程代入曲線方程,消元后得關(guān)于x(或y)的方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),可由判別式Δ來(lái)判斷.當(dāng)Δ>0時(shí),直線與曲線相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與曲線相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與曲線相離.提醒:注意方程組的解與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系.【例3】

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程.分析:(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式Δ的符號(hào),建立關(guān)于m的不等式求解;(2)利用弦長(zhǎng)公式建立關(guān)于m的函數(shù)解析式,通過(guò)函數(shù)的最值求得m的值,從而得到直線方程.(2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.【變式訓(xùn)練3】

(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.(2)橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若|CD|=,求直線l的方程.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),與題意不符,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,將其代入橢圓方程,化簡(jiǎn),得(k2+2)x2+2kx-1=0.反思感悟

1.求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的方法:(1)是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解;(2)是用弦長(zhǎng)公式

求解,其中k為直線AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).2.有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題,要特別注意判別式的限制.【例4】

過(guò)橢圓

內(nèi)一點(diǎn)P(2,1)作一條直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),使線段AB被點(diǎn)P平分,求此直線的方程.分析:由于弦所在直線過(guò)定點(diǎn)P(2,1),所以可設(shè)出弦所在直線的方程為y-1=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立,通過(guò)中點(diǎn)為P,得出k的值,也可以通過(guò)設(shè)而不求的思想求直線的斜率.解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),解法二:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),∵P為弦AB的中點(diǎn),∴x1+x2=4,y1+y2=2.反思感悟

關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題,一般采用兩種方法解決(1)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.這樣就建立了中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系,從而使問(wèn)題得以解決.【變式訓(xùn)練4】

(1)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓

所截得的線段的中點(diǎn),則直線l的方程為

.

(2)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點(diǎn)在x軸上的橢圓所截得的線段的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為

.

解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),而橢圓的方程可以化為x2+4y2-36=0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),(2)設(shè)橢圓方程為

(a>b>0),直線x+2y-8=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且A(x1,y1),B(x2,y2),1.求下列直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)：四、當(dāng)堂檢測(cè)1.求下列直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)：答案:C答案:C∵直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16