2024年中考數(shù)學計算能力訓練-整式的運算

備考2024年中考數(shù)學計算能力訓練3整式的運算

一、選擇題

2.計算（-/）3的結(jié)果是()

A.-%6B.X6C.—xsD.—%8

2.下列計算正確的是（)

A.%7%=%7B.(―3%2)2=—9%4

2

C.x3?x3=2x6D.(x3)=x6

3.下列計算正確的是（)

A.3x+3y=6xyB.a2*a3=a6C.b64-b3=b2D.(m2)3=m6

4.下列計算正確的是（)

A.3a3?2a3=6a3B.(—4/5)2-8a6b2

2222

C.(a+b)2=a+bD.-2a+3a2=a

5.下列運算正確的是（)

222

A.(%—1)(%+1)=X乙一X:-1B?%—2%+3=(%—l)+4

C.(%—I)2=x2-2x—1D.(%—1)(—1—%)=1—%2

6.觀察一列單項式：x,—3%3,7xs,-15/,31/,….則第〃個單項式是（）

A.(-l)n+1(2n-I)%271-1B.(-l)n(2n-l)x2n+1

C.(-l)n+1(2n-l)%271-1D.(—1)九(2九+I)-九t

7.若k為任意整數(shù)，則(2/c+3）2-4k2的值總能（）

A.被2整除B.被3整除c.被5整除D.被7整除

8.已知10。=25,100fc=二40,則a+2b的值是()

A.1B.2C.3D.4

9.對于任意自然數(shù)小關于代數(shù)式（"+7）2-（〃-5）2的值，說法錯誤的是（）

A.總能被3整除B.總能被4整除C.總能被6整除D.總能被7整除

10.若2a-3b=-1,則代數(shù)式4a2—12ab+9b2的值為()

A.-1B.1C.2D.3

11.已知關于％的兩個多項式A=x2-ax—2,B=X2-2X-3.其中〃為常數(shù)，下列說法：

①若4-B的值始終與%無關，貝g=-2；

②關于%的方程4+B=0始終有兩個不相等的實數(shù)根;

③若4的結(jié)果不含X2的項，貝b=|;

④當a=1時，若力的值為整數(shù)，則x的整數(shù)值只有2個.

D

以上結(jié)論正確的個數(shù)有()

A.4B.3C.2D.1

12.對于若干個單項式，我們先將任意兩個單項式作差，再將這些差的絕對值進行求和并化簡，這樣

的運算稱為對這若干個單項式作“差絕對值運算”.例如：對2,3,4作“差絕對值運算"，得到|2-3|+

|2—4|+|3-4|=4,則

①對1,3,4,7作“差絕對值運算”的結(jié)果是19；②對x,—3(/>%>—3)進行“差絕對值運

算”的結(jié)果是38,則左=±4；③對a,b,c(互不相等)進行“差絕對值運算”的結(jié)果一共有7種.

以上說法中正確的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

13.已知3x+y=-3,xy=-6,貝1]xy3+9x3y=.

14.若實數(shù)也滿足⑺一2023)2+(2024-6)2=2025，貝-2023)(2024-m)=.

15.已知m+n+^^=4,則(6+n)2+(啟為?的值為-------.

16.小明在化簡：(4/—6%+7)—(4/—口％+2)時發(fā)現(xiàn)系數(shù)“□”印刷不清楚，老師提示他：“此題的

化簡結(jié)果是常數(shù)”，則多項式中的“口”表示的數(shù)是.

17.如果一個三位自然數(shù)小=麗的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足a+c=b,那么稱這

個三位數(shù)為“中庸數(shù)”.將“中庸數(shù)”m=而的百位、個位數(shù)字交換位置，得到另一個“中庸數(shù)"=而，

記F(加)=與薩，7(叫=與空?例如：rn=792,m'=297.F(m)=%/=5,T(m)=

7署;;97=計算F(583)=；若“中庸數(shù)"ni滿足2F(m)=s?,2T(m)=t2,其中s,t為自

然數(shù)1,2,3……，則該"中庸數(shù)”:m是.

18.一個四位自然數(shù)M,若它的千位數(shù)字與十位數(shù)字的差為3,百位數(shù)字與個位數(shù)字的差為2,則稱

M為“接二連三數(shù)”，則最大的“接二連三數(shù)”為；已知“接二連三數(shù)”M能被9整除，將其千

位數(shù)字與百位數(shù)字之和記為P,十位數(shù)字與個位數(shù)字之差記為Q,當稱為整數(shù)時，滿足條件的M的最

小值為?

三'計算題

19.計算：

(1)x(l—%)；

(2)(a-1)(2CL+3)—2a(a—4)；

(3)士y—x—1-

x—1

20.計算:

(1)(—2xy2)2-3x2y-

(2)(—2a2)(3ab2—5ah3).

(3)(3m2n)2?(—2m2)3-j-(—m2n)2-

(4)(a—2b—3c)(a—2b+3c).

21.(x+2)2+(2x+l)(2x-1)-4x(x+1),其中

22.-1(xy-x2)+3(y2-jx2)+2(jxy-jy2),其中x=-2,y=5

23.先化簡,再求值：[(%+2y)2-(%+2y)(%-2y)]+4y,其中％=1,y=-1.

四、解答題

24.觀察下面的等式：32-I2=8x1,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=8X4,-

(1)寫出192-172的結(jié)果.

(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論(用含n的等式表示，n為正整數(shù))

(3)請運用有關知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.

25.嘗試：0152=225=1x2x100+25.

②252=625=2x3x100+25.

③352=1225

運用：小濱給出了猜想和證明，請判斷是否正確，若有錯誤請給出正確解答.

猜想:(10a+5/=100a(a+1)+25.

證明:(10a+5/=100a(a+1)+25,

所以10a2+100a+5=100a2+100a+25.

所以10a2=100a2.

因為a豐0,

所以10。2*iooa2.

所以等式不成立，結(jié)論錯誤.

26.已知實數(shù)a、6滿足(2a2+Z>2+l)(2a2+Z?2-l)=80,試求2a2+〃的值.解：設2a2+〃=加，則原方

程可化為(m+1)(m-1)=80,即根2=81,解得：m—±9,2a2+Z>2>0,2a2+b2=9,上面的這種方

法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復雜的數(shù)和式的運算中，若

把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復雜問題簡單化.根據(jù)以上閱讀

材料，解決下列問題：

(1)已知實數(shù)x、y滿足(2/+2y2-i)(%2+_y2)=3,求3r+3儼-2的值；

(2)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120,求這四個正整數(shù).

27.閱讀下列材料：

我們把多項式〃2+2油+5及緇2"+加叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我

們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值

不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，可以求代數(shù)式的最大值或最

小值.

例如：求代數(shù)式/+2x-3的最小值.

解：x2+2x-3-x2+2x+l2-l2-3—(x2+2x+l2)-4=(尤+1)2-4.

(x+1)2>0,(x+1)2-4>-4,

...當x=-l時，x2+2x-3的最小值為-4.

再例如：求代數(shù)式-/+4獷1的最大值.

解：-x2+4x-l=-(x2-4x+l)=-(x2-4x+22-22+l)

=-[(x2-4x+22)-3]=-(x-2)2+3

,/(x-2)2>0,(x-2)2<0,：.-(x-2)2+33

當尤=2時，-/+4襄1的最大值為3.

(1)【直接應用】代數(shù)式/+4x+3的最小值為；

(2)【類比應用】若〃=。2+拄-2。+4匕+2023,試求M的最小值；

(3)【知識遷移】如圖，學校打算用長20根的籬笆圍一個長方形菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠

長)，求圍成的菜地的最大面積.

///〃/(/〃/〃〃//〃/////〃/(//〃

菜地

28.在學習《完全平方公式》時，某數(shù)學學習小組發(fā)現(xiàn)：已知a+b=5,ab=3,可以在不求a、b的值

的情況下，求出a2+b2的值.具體做法如下：

a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=(a+b)2-2ab=52-2x3=19.

(1)若a+b=7,ab=6,則a?+b?=；

(2)若m滿足(8-m)(m-3)=3,求(8-m)2+(m-3)2的值，同樣可以應用上述方法解決問題.具

體操作如下：

解：設8-m=a,8-m=a,m-3=b,

則a+b=(8-m)+(m-3)=5,a+b=(8-m)+(m-3)=5,ab=(8-m)(m-3)=3,

所以(8-m)2+(m-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2x3=19.

請參照上述方法解決下列問題：若(3x-2)(10-3x)=6,求(3x-2)2+(10-3x)2的值；

29.利用完全平方公式a?+2ab+廬=缶+b)2^a2-2ab+b=2(a-b下的特點可以解決很多數(shù)學

問題.下面給出兩個例子：

例1、分解因式：%2+2%—3

久2+2久-3=/+2%+1—4=(X+I)2—4—(%+1+2)(%+1—2)=(x+3)(%—1)

例2、求代數(shù)式2--4K-6的最小值：

2——4久-6=2(/-2%)—6=2(%2-2%+1—1)-6=2[(%-I)2-1]-6=2(%-I)2-8

又???2(%-I)2>0

.??當％=1時,代數(shù)式2K2一4久-6有最小值,最小值是-8.

仔細閱讀上面例題，模仿解決下列問題：

(1)分解因式：m2—8m+12；

(2)代數(shù)式—％2+軌—2有最(大、小)值，當％=時，最值是；

(3)當久、y為何值時，多項式2久2+,2—&久+6y+25有最小值？并求出這個最小值.

30.發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)的平方與其個位數(shù)字的平方的差，一定是20的倍數(shù).如：132-32=160,160

是20的8倍；262-62=640,640是20的32倍.

(1)請你仿照上面的例子，再舉出一個例子：(…>—(??…產(chǎn)=(??…):

(2)十位數(shù)字為1,個位數(shù)字為a的兩位數(shù)可表示為,若該兩位數(shù)的平方與a的平方的差

是20的5倍，則。=；

(3)設一個兩位數(shù)的十位數(shù)字為m,個位數(shù)字為幾(0<m<10,0<n<10,且m,n為正整數(shù))，

請用含葭的式子論證“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論是否符合題意.

31.靈活運用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+■可以解決許多數(shù)學問題.

例如：已知a—b=3,ab-求a2+B的值.

解：,-a—b=3,ab=1,(a—b)2=9,2ab=2,a2—2ab+b2=9,

■.a2—2+b2-9,a2+b2=9+2=11.

請根據(jù)以上材料，解答下列問題.

(1)若。2+必與2a6—4互為相反數(shù)，求a+b的值.

(2)如圖，矩形的長為a,寬為b,周長為14,面積為8,求(^+房的值.

a

32.定義：對于一個三位正整數(shù)，如果十位數(shù)字恰好等于百位數(shù)字與個位數(shù)字之和的一半，我們稱這

個三位正整數(shù)為“半和數(shù)”.

例如，三位正整數(shù)234,因為3=(2+4),所以234是“半和數(shù)”.

(1)判斷147是否為“半和數(shù)”，并說明理由；

(2)小林列舉了幾個“半和數(shù)”：111、123、234、840...,并且她發(fā)現(xiàn)：111+3=37,123+3=41,

234+3=78,840+3=280…，所以她猜測任意一個“半和數(shù)”都能被3整除.小林的猜想正確嗎？

若正確，請你幫小林說明該猜想的正確性；若錯誤，說明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】B

12.【答案】B

13.【答案】-270

14.【答案】-1012

15.【答案】12

16.【答案】6

17.【答案】2；121或484或583

18.【答案】9967；8856

19.【答案】(1)解：%(1—%)=%—%2

(2)解:(a—l)(2a+3)—2a(a—4)

=2a2+3a—2a—3—2a2+8a

=9a—3

(3)解：二2一一

_X2—(%+1)(%—1)

_%—1

x2—x2+1

_x—1

1

x—1,

20.【答案】(1)解：(―2xy2)2,3x2y

=4%2y4.3%2y

=12%4y5；

(2)解：(-2a2)(3ah2-5ah3)

=-6a3b2+10a3b3；

(3)解：(3m2n)2?(—2m2)34-(—m2n)2

=9m4n2-(—8m6)+m4n2

=—72m10n2+m4n2

=-72m6；

(4)解：(a—2b—3c)(a—2b+3c)

—[(a-2b)—3c][(a-2b)+3c]

=(a-2b/—9c2

=a2—4ab+4b2—9c2.

21.【答案】解：原式=x2+4x+4+4x2-1-4x2-4x

=x2+3,

當％=一^時，

.?.原式=2+3

=31

22.【答案】解：—3(xy—X?)+3(y2—gx2)+2弓xy—gy2)

1131

=-2xy+2X2+3y2~2x2+]對

=-x2+2y2,

當x=—2,y=2時，

原式=-(-2)2+2x(1)2

1

=-4+2*,

1

=-4d--

2

__7

=~2'

23.【答案】解：

化簡方法一：[(%+2y尸—(%+2y)(x—2y)]+4y

=[(%+2y)(%+2y—%+2y)]+4y

=[(%+2y)-4y]+4y

=x+2y

化簡方法二：

[(%+2y>—(%+2y)(%—2y)]+4y

=[(%2+4xy+4y2)—(%2—4y2)]+4y

=(%2+4xy+4y2—%2+4y2)+4y

=(4xy+8y2)+4y

=4xy+4y+8y2+4y

=x+2y

當％=1,y=-1時，

原式=1+2x(—1)=-1.

24.【答案】(1)8X9

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n

(3)(2n+l)2-(2n-l)2

=(2n+1+2n—l)(2n+1—2n+1)=4nx2=8no

J結(jié)論正確.

25.【答案】解：嘗試：3x4x100+25；

運用：猜想正確，證明錯誤，

證明：(10a+5)2=100a(a+1)+25,

左邊二100a2+100a+25,

右邊二100a2+100a+25,

故左邊=右邊，

???等式成立，結(jié)論正確.

26.【答案】(1)解：令x2+y2=m,

(2x2+2y2-l)(x2+y2)=3化為：(2m-l)m=3,

解得：m=或m=-l,

,:x2+y2>0,

???%2乙+I葉2=23，

工3久2+3y2—2=3x|-2=|;

(2)解：設最小的數(shù)為x,則x(x+1)(x+2)(x+3)=120,

(x2+3x)(x2+3x+2)=120,

設x2+3x=m,貝ljm2+2m-120=0,

解得：mi=-12m2=10,

???x是正整數(shù)，

x2+3x=10,

解得：xi—2,X2=-5(舍去)，

.?.這四個正整數(shù)為2,3,4,5.

27.【答案】(1)-1

(2)解：M=a2+b2-2a+4b+2023

=a2-2a+b2+4b+2023

=a2-2a+l2+b2+4b+22+2018

=(a-l)2+(b+2)2+2018,

V(a-l)2>0,(b+2)2>0,

(a-I)2+(b+2)2+2018>2018

/.M的最小值為2018；

(3)解：設垂直于墻的一邊長為xm,圍成的菜地的面積為S,則平行于墻的一邊長為

(20-2x)m,

根據(jù)題意得：S=(20-2x)x

=-2x2+20x

=-2(x-5)2+50,

-2<0,

當x=5時，S取得最大值，最大值為50,

答：圍成的菜地的最大面積為50m2.

28.【答案】(1)37

(2)解：(3x-2)(10-3x)=6,

(3x-2)+(10-3x)=8,

(3