河南省2025屆高三數(shù)學(xué)招生模擬考試試題理（含解析）

河南省2025屆高三數(shù)學(xué)招生模擬考試試題理(含解析)

留意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={y|y=2”,x〉0},B={%|y=log2(%-2)},則A=B)=

A.[0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,+s)

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡集合A,B,利用交并補(bǔ)運(yùn)算得到結(jié)果.

【詳解】由題意易得：4=(1,+。)，3=(2,+。)

^B=(-oo,2],

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算實(shí)

力.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+JM)z=l+，，則復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出z的坐標(biāo)得答案.

【詳解】由(1+后)z=l+i,得

21+,0+0(1-J)1+省+(1-6)，1+8卜石,

z1+/(1+73Z)(1-V3Z)1+34+41'

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(巨8,匕且)，在第四象限.

44

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)

題.

3.已知函數(shù)f(x)=sin4x—cos,x,則下列說法正確的是

A.f(x)的最小正周期為2%B./(無)的最大值為2

c.f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱D./(尤)在區(qū)間［工，工］上單調(diào)遞減

42

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一推斷即可.

【詳解】：/*(x)=sir?x-cos4x=sin2jr-cos、=-cos2x,

???函數(shù)的最小正周期7=兀，

-x)=-cos(-2x)=-cos2x=_f(x),

???f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于p軸對(duì)稱，

7/7/7/7/

,:fqX)=cos2x在［―,―］上單調(diào)遞減，故/1(x)=-?0$2丫在［—,―］上單調(diào)遞增.

4242

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性以及最值，三角函數(shù)的周期公式，以及平方關(guān)

系、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，嫻熟駕馭函數(shù)的性質(zhì)與公式是解題的關(guān)鍵.

4.古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知

線段的黃金分割點(diǎn)，詳細(xì)方法如下：(1)取線段AB=2,過點(diǎn)B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂

線上截取BC=^AB,連接AC；(2)以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；(3)以A為

2

圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E.則點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn).若在線段AB上隨

機(jī)取一點(diǎn)F,則使得BEWAFWAE的概率約為()(參考數(shù)據(jù)：］?\2.236)

A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618

【答案】A

【解析】

【分析】

由勾股定理可得:AC=75?2.236,由圖易得：0.764WAFW1.236,由幾何概型可得概率約

^1.236-0.764

為-3—=0.236.

【詳解】由勾股定理可得：AC=-^5~2.236，由圖可知：BC=CD=1,AD=AE=-^5—1—1.236,

BE?2-1.236=0.764,貝ij：0.764WAFW1.236,由幾何概型可得：使得BEWAFWAE的概率

1.236-0.764

約為=-------------=0.236,

2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、幾何概型求概率的問題，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知等比數(shù)列伍“｝中，有。3%1=4%，數(shù)列他,｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且用=%，

則S"=()

A.26B.52C.78D.104

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為g,利用等比性質(zhì)可得癡=4%,即%，再結(jié)合金=13%即

可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為G：=4%，；.4；=4%W0,解得%=4,

數(shù)列也｝是等差數(shù)列，且用=%.

13x（〃+犯）

???，3=——111=132=13%=52

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力,

屬于中檔題.

6.已知兩條直線a力和平面a,若Z?ua,則a//b是a//a的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】

先推斷a//Z?=a//a與a//（z=a//b的真假，然后利用充要條件的定義，得到a//b與

alia的關(guān)系.

【詳解】當(dāng)時(shí)，

若a//。時(shí)，。與a的關(guān)系可能是a//g,也可能是aua,即。//a不肯定成立，故

allb=aIla為假命題；

若a//a時(shí)，a與力的關(guān)系可能是。//0,也可能是。與b異面，即a//b不肯定成立，故

a//a=a//b也為假命題；

故a//。是a//a的既不充分又不必要條件

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查充要條件、直線與平面平行關(guān)系的推斷,求解的關(guān)鍵是先推斷a/力na//a

與a//a=a//b的真假.

x<2

7.已知函數(shù)f（x）='2'若/（。）之1,則。的取值范圍是

2

^log3（x-l）,x>2,

A.[1,2)B.[l,+oo)C.[2,+oo)D.

(-oo,-2][1,+<?)

【答案】B

【解析】

【分析】

依題意，對(duì)a分a<2,與aN2探討，再解相應(yīng)的不等式即可.

'ex~1,x<2,

【詳解】V/(x)=f(a)>l

log3[x-l),x>2,

'a<2Ja>2

2

"或log3(a-1^>1

a<2a>2

即《或<

6Z-l>0a2-l>3

即l<a<2或a22

。的取值范圍是[L+8)

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，突出考查分類探討思想與方程思想的綜合

應(yīng)用，屬于中檔題.

2x+y>2,

8.若％,y滿足約束條件x<2,則上的取值范圍為

c八x+2

x-2<0,

A.[-萬1]B.]u[l,+oo)C.[0,1]D.[-J]

【答案】A

【解析】

【分析】

問題轉(zhuǎn)化為在約束條件下目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，作出可行域由斜率公式數(shù)形結(jié)合可得.

2x+y>2

【詳解】作出x,y滿足約束條件\y-x<2的可行域如圖：

x-2<0

小ABC,上-表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(-2,0)連線的斜率，

x+2

x=2

聯(lián)方程組《可解得8(2,-2),同理可得2(2,4),

2x+y=2

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，〃取最小值：----=—-

2+22

4

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)/時(shí)，〃取最大值----=1.

2+2

1

則二y一的取值范圍：[—-,1].

x+22

【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.須要留意的是：一、精確

無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要留意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)

行比較，避開出錯(cuò)；三、一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取

得.

1,1

9.[2024?開封一模]已知數(shù)列｛4｝中，a-,??+1=1-一，利用下面程序框圖計(jì)算該數(shù)

l=a

2n

列的項(xiàng)時(shí)，若輸出的是2,則推斷框內(nèi)的條件不行能是()

A.n<2012B.“W2015C.?<2017D.

ra<2018

【答案】C

【解析】

【分析】

本程序框圖為“當(dāng)型”循環(huán)結(jié)構(gòu)，推斷框內(nèi)為滿足循環(huán)的條件，模擬程序的運(yùn)行過程知，該

程序運(yùn)行時(shí)計(jì)算A的值是以3為周期的函數(shù)，當(dāng)程序運(yùn)行后輸出4=2時(shí)求出滿足題意的選項(xiàng)

即可.

【詳解】通過分析，本程序框圖為“當(dāng)型”循環(huán)結(jié)構(gòu)，

推斷框內(nèi)為滿足循環(huán)的條件，

循環(huán)前，A=—,72=1;

2

第1次循環(huán)，2=1-2=-1,〃=1+1=2；

第2次循環(huán)，/=1+1=2,72=2+1=3；

第3次循環(huán)，A=l~—=—,77=3+1=4；

22

所以，程序運(yùn)行時(shí)計(jì)算A的值是以3為周期的函數(shù)，

當(dāng)程序運(yùn)行后輸出/=2時(shí)，〃能被3整除，此時(shí)不滿足循環(huán)條件.

分析選項(xiàng)中的條件，滿足題意的C.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)肯定

留意以下幾點(diǎn)：（1）不要混淆處理框和輸入框；（2）留意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是

循環(huán)結(jié)構(gòu)；（3）留意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；（4）處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)肯定

要正確限制循環(huán)次數(shù)；（5）要留意各個(gè)框的依次，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題

中只要依據(jù)程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.

10.已知AABC中，A=60°,AB=6,AC=4,。為AABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足

Q4=05=O。.設(shè)AO=+,則％+〃的值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

AO-AB=IS

由由。4=。3=。。，得：點(diǎn)。是A4BC的外心，由向量的投影的概念可得：，

AOAC=8

62+2〃=3

再代入運(yùn)算《,即可

34+4〃=2

【詳解】解：由。4=03=。。，得：點(diǎn)。是AA5C的外心,

又外心是中垂線的交點(diǎn)，則有：\AO-AB=18

AOAC=8

f(2AB+^AC)?4B=

[(2AB+〃AC)%C=

又AB=6,AC=4,AB.AC=12>

2=-

62+2//=39

所以《「：c，解得：1

32+4//二21

4111

即4+//=—I—=—

9618

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了外心是中垂線的交點(diǎn)，投影的概念，平面對(duì)量的數(shù)量積公式，屬中檔題.

22

11.已知P是雙曲線二-1=1（。＞0力＞0）上一點(diǎn)，且在X軸上方，K，工分別是雙曲線的

ab

左、右焦點(diǎn)，1耳81=12,直線PK的斜率為—4岔，AP月月的面積為246，則雙曲線的

離心率為

A.3B.2C.73D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形的面積求出戶的縱坐標(biāo)，通過直線的斜率，求出戶的橫坐標(biāo)，然后求解a,c,然

后求解雙曲線的離心率即可.

22

【詳解】戶是雙曲線二-與=1（a>0,6>0）上一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)\,K分別是雙曲線

a2b2

的左、右焦點(diǎn)，㈤用=12,c=6,

1r-

△陽月的面積為24真，可得尸的縱坐標(biāo)y為：-X12X3；=24V3,7=473.直線行的斜

率為-4逝，

所以盧的橫坐標(biāo)X滿足：上=—46，解得X=5,則戶（5,473），

x-6

\^\=7（5+6）2+（4A/3-0）2=13，

1^1=7（5-6）2+（4^-0）2=7,

所以2a=13-7,a=3,

所以雙曲線的離心率為：e=-=2.

a

故選B.

【點(diǎn)睛】求離心率的常用方法有以下兩種：

（1）求得兄。的值，干脆代入公式e=f求解；

a

（2）列出關(guān)于。，仇c的齊次方程（或不等式），然后依據(jù)廿=4_02,消去b后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e

的方程（或不等式）求解.

12.已知4B,。為球。的球面上的三個(gè)定點(diǎn)，ZABC=60，AC=2,戶為球。的球面上的

動(dòng)點(diǎn)，記三棱錐。一/歐的體積為K，三棱錐。一/回的體積為力，若關(guān)的最大值為3,則

球。的表面積為（)

16%647r3兀

A.——B.——C.—D.67r

992

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)AABC的外接圓圓心為O',其半徑為r,球。的半徑為R,且|OO[=d,依據(jù)體積比求

22

得R=2d,利用球的性質(zhì)，得氏=r,再由三角形的性質(zhì)，求得廠=,利用球的表面

積公式，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)AABC的外接圓圓心為0',其半徑為，球。的半徑為R,且[00]=d

依題意可知11]=”4=3,即H=2d,明顯出=屋+產(chǎn)，故R=j,

也人xdV3

cAC42

又由"='//=F，故「=不，

smZABCV3J3

...球。的表面積為4乃夫92=一16%/9=一64乃，故選艮

39

【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積的計(jì)算，以及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)幾何體

的結(jié)構(gòu)特征，合理利用求得性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象實(shí)力，

屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的誕生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、

龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個(gè),三位同學(xué)依次

選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜愛牛和馬，乙同學(xué)喜愛牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)祥瑞物都喜愛.假如

讓三位同學(xué)選取的禮物都滿足,則選法有種.

【答案】50

【解析】

【分析】

先分狀況甲選牛共有C；-Ch=20,甲選馬有?C：o=30,得出結(jié)果若

【詳解】解：先分類，若甲同學(xué)選了牛，則乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有10種選法，共有

C；C；o=2O種選法；

若甲同學(xué)選了馬，則乙同學(xué)有3種選法，丙同學(xué)有10種選法,共有C；?C：o=30種選法.

故三位同學(xué)的選法共有20+30=50（種）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合,分狀況選擇是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.

14.已知正數(shù)乂丁滿足好+>2=1,則當(dāng)x=時(shí)，一+一取得最小值，最小值為

【答案】(1).與(2).2&

【解析】

【分析】

先依據(jù)基本不等式得好+/22盯，結(jié)合必+丁2=1得,再由基本不等式得

工+工＞2」222后，最終檢驗(yàn)％=y=變時(shí)成馬上可.

xyVxy_2

【詳解】解：由基本不等式可得Y+y22孫，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立.

正數(shù)％。滿足好+丁=1,.?.孫wg,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=也時(shí)等號(hào)成立..?.工+工》2」工》2行，

2xyyxy

J?11「

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=在時(shí)等號(hào)成立，..?一+一的最小值為2&-

2%y

故答案為：(1).叵(2).2亞

2

【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，要留意”肯定二正三相等”.

15.已知函數(shù)/(幻是定義域?yàn)?-8,+8)的偶函數(shù)，且/(X-1)為奇函數(shù)，當(dāng)xc[O,l]時(shí)，

/(x)=i-d,則勺_)=_.

7

【答案】

8

【解析】

【分析】

先由題意，“力是定義域?yàn)?T&+8)的偶函數(shù)，且/(X-1)為奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性

推出了。)的周期7=4,可得/(g)=—/(g)，然后帶入求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(X—1)為奇函數(shù)，所以/(—X—1)=—/(%—1).??/(—x—2)=—/(無)

又因?yàn)椤κ嵌x域?yàn)?TR”)的偶函數(shù)，所以/(-%)=/(%)

即f(-x-2)=-f(-x).??/(x-2)=-f(x)

所以/(x)的周期T=4

295551

因?yàn)?(y)=/(12+-)=/(-)=-/(--2)=-/(-)

297

所以/(K)=—6

2o

7

故答案為---

8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)的變形以及公式的熟記是解題的關(guān)鍵，屬于

中檔題.

16.已知點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)歹是拋物線=2px（p>0）的焦點(diǎn)，直線所與拋物線交于“，

N兩點(diǎn)，若點(diǎn)"為線段所的中點(diǎn)，且|NF|=12,則.

【答案】8

【解析】

【分析】

設(shè)石（03），又尸2°］，由M為所的中點(diǎn)，求得網(wǎng)0,、歷p）,直線所的方程代入

y2^2px,得4f—5px+p2=。，求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義，即可求解.

【詳解】設(shè)￡（03），又（"1，°］，因?yàn)?為所的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)A7的坐標(biāo)為（弓，y］,則丁2=2夕義￡=￡-,即M4P,

U-42（42）

又由則人=&〃，即石（O,0p）,

直線EF的方程為y=-20%+,代入y2=2p%,得4%之-5p%+p?=。，

設(shè)N（x,y）,則x+d.，解得x=P,

由拋物線的定義得：|NR|=P+^=12,解得：p=8.

y

￥

K

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解

答中把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義合理計(jì)算是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知AA5C的面積為3#，且內(nèi)角4B、。依次成等差數(shù)列.

(1)若sinC=3sinA,求邊AC的長；

(2)設(shè)。為邊AC的中點(diǎn)，求線段長的最小值.

【答案】(1)2近(2)3.

【解析】

【分析】

(1)由題意可得6=60°,結(jié)合面積公式得ac=12.利用正弦定理角化邊，據(jù)此可得a,c值,

最終由余弦定理可得AC的長.

(2)由題意可得=+利用向量的運(yùn)算法則和均值不等式的結(jié)論可得長

的最小值.

【詳解】(1)AABC三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，.?.6=60°

設(shè)A、AC所對(duì)的邊分別為a,4c,由S=3百=工acsinB可得ac=12.

2

sinC-3sinA,由正弦定理知c=3a,:.a=2,c=6.

△ABC中，由余弦定理可得尸=/+02—2accosB=28,，z，=2j7.

即AC的長為2a

(2)是AC邊上的中線，.?.JBD=g(3C+R4)

BIX=^BC2+BK+IBC砌=1(tz2+c2+laccosB^=^a2+c2+ac)

>^(2ac+ac)=9,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”

23,即5。長的最小值為3.

【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題

中若出現(xiàn)邊的一次式一般采納到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采納到余弦定理.應(yīng)用正、

余弦定理時(shí)，留意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，留意角的限制范圍.

18.如圖，在三棱錐A—BCD中，A6c是等邊三角形，/BAD=NBCD=90。，點(diǎn)P是AC

的中點(diǎn)，連接成,DP.

(1)證明:平面ACDJ_平面

(2)若3。="，且二面角A—BD—C為120°,求直線AD與平面5CD所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)@

2

【解析】

【分析】

(1)由ABC是等邊三角形，ZBAD=NBCD=90°,得AD=CD.再證明

PDVAC,PBLAC,從而和證明AC,平面PBD,故平面ACDL平面5DP得證.

(2)作CELBD,垂足為￡連接AE.由RtABDcRtCfi。，證得AE，3D,AE=CE,

結(jié)合二面角A—BD—C為120。，可得AB=2,AE=空,=.建立空間直角坐標(biāo)

33

、一(V61（也V6A

系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)則。0,--,0A一,向量AD=彳-,5-,-1，即平面BCD

777

,.m-AD?I

的一個(gè)法向量m=(0,0,1),運(yùn)用公式cos(m,AD)=和sin6=cos(m,AD),即可得

出直線AO與平面BCD所成角的正弦值.

【詳解】解：(1)證明：因?yàn)?ABC是等邊三角形，ZBAD=NBCD=90。,

所以RtAB￡>=RtCBD,可得AD=CD.

因?yàn)辄c(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，則PB±AC,

因?yàn)镻￡>PB=P,PDu平面PBD,QBu平面PBD,

所以AC,平面因?yàn)锳Cu平面ACD,

所以平面AGO，平面5。尸.

(2)如圖，作CELBD,垂足為E連接AE.

所以AE，BD,AE=CE,ZAEC為二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A—BD—C為120°,知ZAEC=120°.

在等腰三角形A￡C中，由余弦定理可得AC=

因?yàn)锳6c是等邊三角形，則AC=A6,所以=

在RtA4BD中，有2AE?=工AB?A。，得3D=&￡>,

22

因?yàn)?0=#，所以4￡>=，5.

又BI?=AB?+")2,所以Ap=2.

則AE=^LED=—.

33

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量EC,ED的方向分別為x軸，V軸的正方向,

以過點(diǎn)E垂直于平面BCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則D[O,乎,o],向量=乎,一1,

平面BCD的一個(gè)法向量為根=(0,01)，

設(shè)直線AD與平面3CD所成的角為仇

則cos<m,AD)=R=一Zsin'=|cos(m,AD)|=一

所以直線AO與平面BCD所成角的正弦值為YZ.

2

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明和線面所成角的大小,考查空間想象力和是數(shù)形結(jié)合的實(shí)力,

屬于基礎(chǔ)題.

19.已知橢圓。：二+/=1(?！?〉0)的離心率為孝，短軸長為2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/：y=依+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若自用?自N=；，

求證：點(diǎn)(加,外在定圓上.

【答案】(1)橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+V=1(2)證明見解析

4

【解析】

試題分析：(1)由已知可得e=g=W，

2b=2b=l,a=2n橢圓C為作+/=1；(2)

a2

y=kx+m

222

2=^>+l^x+8^mx+4m-4=0=>/^+10,且玉+%

由<X21<

—+y=1

UJ

8km4m2-4

n%%=左2Mx2+^m(xi+/)+療，又

4FTT,X1X2=7FTT

22

k0M.kON="I=：4y%=5XR2N4k^x2+4bn(xl+x2)+4m=n

(4Z:2-5)(m2-l)-

8左2m2+%2（4左2+］）=0nm2+左2=3②，由①②得0V%2<9,J_</V9=點(diǎn)

\'45204

（冽,左）在定圓X2+y2——上.

試題解析：（1）設(shè)焦距為2c,由已知e=￡=Y3，2b=2,：.b=l,a=2,

a2

...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+丁=1.

4-

y=kx+m

2

（2）設(shè)加（七，M）,"（X2，%），聯(lián)立'x2得（4左2+1）］2+8初1T+4/-4=0,

、「v=

依題意，A=（8^m）2-4（4^2+l）（4m2-4）>0,化簡得病<48+1，①

8km4m2-4

yxy2=（監(jiān)+m）（g+m）=左+9）+4，

5y%5-

右k（）M，-T?則—］，即4yM=5x^2，

MN4大？H"

4左2石%2+4km（%+%2）+4m2=5%/，

./“2c\4"T「ShnA

??（4左2—5］-v,----+4^m---------+4m2=0，

\>4左2+1I4^2+l）

即（4左2-5）（n?_］）—8左2nl2+m2（4左2+］）=0,化簡得機(jī)？+左2=:,②

,61,5

由①②得0<7獷<-,一<k-<-.

5204

???點(diǎn)（”出在定圓好+丁=；上.（沒有求左范圍不扣分）

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、斜率公式等學(xué)問,

涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運(yùn)算求解實(shí)力

和邏輯推理實(shí)力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標(biāo)準(zhǔn)方程為

—+V2=1;（2）設(shè)而不求法求得

4-

y=kx+m

<fn(4左2+1)尤2+8妨氏+4m2-4=0=<4左2+1①，再利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化

—+y=1、)

I4'

得8左2m?+根2(4左2+])=0n"?2+左2=』②，由①②得0<徵2<9,!<左2<』0點(diǎn)

v'45204

(加,女)在定圓x2+y2=—上.

20.已知函數(shù)/(x)=mex-Inx-1.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=/(?在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若7"c(l,+8),求證：/(x)>1.

【答案】(1)y=(e—l)x；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)代入機(jī)=1,可得y=f(x)的解析式.求得導(dǎo)函數(shù),即可得直線方程的斜率,求得點(diǎn)坐標(biāo)后,

由點(diǎn)斜式即可求得切線方程.

(2)依據(jù)放縮法，由相>1得/(x)=mex-Inx-l>eJC-lnx-l.從而證明ex-\nx-2>0

即可.構(gòu)造函數(shù)g(x)=靖—Inx,通過求得導(dǎo)函數(shù)g'(x)="—l，再令/z(x)="—工，求得

XX

"(x)=/+±>0.即可推斷丸(x)=e"—工的單調(diào)性,進(jìn)而求得g\x)=ex--的零點(diǎn)所在

XXX

區(qū)間,并推斷出該零點(diǎn)為g(x)=ex-Inx的微小值點(diǎn),求得在該點(diǎn)的最小值,即證明不等式成

立.

【詳解】(1)當(dāng)根=1時(shí)，/(x)=ex-1nx-l

所以="-工

X

所以/'⑴=e—l,又因?yàn)?(I)=e—1,即點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e—1)

所以曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,e—1)處的切線方程為y—(e—1)=(e—1)(%-1)

即丁=(e—l)x

(2)證明：當(dāng)機(jī)>1時(shí)，y(x)=mex-lnx-l>^x-lnx-l,

要證明了(X)>1,只需證明"—InX—2>0,

設(shè)g(x)=ex-Inx,貝！]g'(x)=el--,

x

設(shè)“(x)=e"—！，則/(x)=e'+二>0,

XX"

所以函數(shù)/l(x)=g'(X)=靖-」在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X

因?yàn)間[￡|=e5—2<0,gQ)=e—1>0,

所以函數(shù)g'(x)=e*-工在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)/,且/,

因?yàn)間'(%)=°，所以*=一，即ln%=—Xo，

XQ

當(dāng)xe(O,Xo)時(shí),gr(x)<0；當(dāng)xe(%,+oo)時(shí)，g'(x)>0,

所以當(dāng)x=/時(shí)，g(x)取得最小值g(%)，

故g(x)2g(xo)=e&-lnx0-2=—+x0-2>0；%0e|-,1|

xo^2J

綜上可知,若me(1,+oo),f(x)>1.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，由導(dǎo)數(shù)證明不等式成立.依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)

性和極值,函數(shù)的最值及零點(diǎn)的綜合應(yīng)用,對(duì)思維實(shí)力要求較高,是高考的?？键c(diǎn)和重難點(diǎn),屬

于難題.

21.2024年12月以來，湖北武漢市發(fā)覺多起病毒性肺炎病例，并快速在全國范圍內(nèi)起先傳播,

專家組認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之

間的傳染，可以通過與患者的親密接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過親密接觸的人群稱為親密

接觸者，每位親密接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位親密接觸者在接觸一個(gè)患者后被感

染的概率為。(0<〃<1),某位患者在隔離之前，每天有。位親密接觸者，其中被感染的人

數(shù)為X(0<X<a),假設(shè)每位親密接觸者不再接觸其他患者.

(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)為X的概率尸(X)與。、0的關(guān)系式和X的數(shù)學(xué)期望；

(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛藏期，在這14天的潛藏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒

傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的其次天又有。位親密接觸者,從某一名患者被感染,

按第1天算起，第〃天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為心(〃22).

(i)求數(shù)列｛gj的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列｛￡“｝為等比數(shù)列；

2

(ii)若戴口罩能降低每位親密接觸者患病概率，降低后的患病概率p'=ln(l+p)-§p,

當(dāng)P'取最大值時(shí)，計(jì)算此時(shí)"所對(duì)應(yīng)的線'值和此時(shí)P對(duì)應(yīng)的E6值，依據(jù)計(jì)算結(jié)果說明戴

口罩的必要性.(取a=10)

(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln5B1.6,ln3al.l』n2a0.7,』a0.3,2a0.7)

33

【答案】(1)P(X)YpX("p)n-x；EX=ap.

2

(2)(i)En=ap(l+apy-,證明見解析；(ii)16,6480,戴口罩很有必要.

【解析】

【分析】

(1)由題意，被感染人數(shù)聽從二項(xiàng)分布：X~B(a,p),則可求出概率及數(shù)學(xué)期望；

(2)(/)依據(jù)第〃天被感染人數(shù)為(1+即)"T,及第〃—1天被感染人數(shù)為(1+")-2,

nln2

作差可得可得，En=(1+ap)--(l+ap)-=ap(i+即產(chǎn)?，可證，(力.)利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算此

時(shí)"所對(duì)應(yīng)的66‘值和此時(shí)2對(duì)應(yīng)的石6值，依據(jù)計(jì)算結(jié)果說明戴口罩的必要性.

【詳解】(1)由題意，被感染人數(shù)聽從二項(xiàng)分布：X~B(a,p),

xx

則pm=c^P(i-Py~,(o<x<?),

X的數(shù)學(xué)期望EX=ap.

(2)(7)第九天被感染人數(shù)為(l+ap)a,

2

第九—1天被感染人數(shù)為(1+aPy-,

由題目中均值的定義可知，

E"=(1+ap)"T—(1+ap)n~2=ap(l+ap)"~2

E

則=1+卬，且E?=ap.

???{￡；}是以在為首項(xiàng)，1+叩為公比的等比數(shù)列.

令

（77）/(p)=ln(l+p)-gp,

1__2_~2p+l

則f'(p)=7+l-3-3(p+l)

(0,；)上單調(diào)遞增，在(；/)上單調(diào)遞減.

/(/?)_=J(l)=ln---=ln3-ln2--?l.l-0.7-0.3=0.1.

J\廣)max"\2/233

2

則當(dāng)a=10,En=10pd+10Py-

E6'=10X0.1（1+10X0.1）4=16.

4

E6=10X0.5（1+10X0.5）=6480.

-E6>E6'

二戴口罩很有必要.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的概率及期望，數(shù)學(xué)期望與數(shù)列綜合，考查綜合分析及轉(zhuǎn)化實(shí)力,

考查學(xué)問的遷移實(shí)力，屬于較難題.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

7T

22.在極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為6=§（peR）.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半

x=2sin。

軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線。的參數(shù)方程為《，c,（a為參數(shù)）.