人教版九年級數(shù)學下冊競賽專題練習卷(共30個專題)

1【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！拷狻⒎植?、換元等技巧.有條件的二次根式的化簡與求值問題是代數(shù)變形的重點，也是直接將已知條件代入待化簡求值的式子.適當?shù)刈儣l件、適當?shù)刈兘Y(jié)論，同時變條件與結(jié)論，再代入求值.數(shù)學中充滿了矛盾，如正與負，加與減，乘與除，數(shù)與形，有理數(shù)與無理數(shù)，常量與變量、有理式與無理式，相等與不等，正面與反面、有限與無限，分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數(shù)學就是在矛盾中產(chǎn)生，又在矛盾中發(fā)展.（紹興市競賽試題）（黃岡市中考試題）2（五城市聯(lián)賽試題）（北京市競賽試題）（陜西省競賽試題）解題思路：若一開始把分母有理化，則計算必定繁難，仔細觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通過分解、分析等方法尋找它們的聯(lián)系，問題便迎刃而解.思想精髓：因式分解是針對多項式而言的，在整式，分母中應用非常廣泛，但是因式分解的思想也廣泛應用于解二次根式的問題中，恰當?shù)刈黝愃朴谝蚴椒纸獾淖冃?，可降低一些二次根式問題的難度.（西安交大少年班入學試題）解題思路：直接展開，計算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設3的根式為復合二次根式，常用配方，引入?yún)?shù)等方法來化簡復合二次根式.解題思路：從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化.2解題思路：對于（1目前運用代數(shù)的方法很難求此式的最小值，2義是直角邊為a，b的直角三角形的斜邊長，從構(gòu)造幾何圖形入手，對于（222＋AC的最小值，以下可用對稱分析法解決.解決根式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式.47解題思路：配方法是化簡復合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對應式子A級3EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up21(1),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up21(9),1)5（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）是()（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）8、有下列三個命題其中正確命題的個數(shù)是()（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）6-x-xy-yxyx-xy（天津市競賽試題）72-5x2試題)822y2＝＿＿＿＿（＝＿＿＿＿＿=()(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)1a8.若[a]表示實數(shù)a的整數(shù)部分，則[]等于()（陜西省競賽試題）9．把(a1).中根號外的因式移到根號內(nèi)，則原式應等于()（武漢市調(diào)考題）4）（92為有理數(shù)，證明：為整數(shù).【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載。】專題02從求根公式談起一元二次方程是解數(shù)學問題的重要工具，在因式分解、代數(shù)式的化簡與求值，應用題，各種代數(shù)方程，幾何問題、二次函數(shù)等方面有廣泛的應用.初學一元二次方程，需要注意的是：解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基礎，它體現(xiàn)了“降次求解”的基本設想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，對于各項系數(shù)較大的一元二次方程，可以先從分析方程的各項系數(shù)特征入手，通過探求方程的特殊根來求解，常用的兩個結(jié)論是：222、善于變形解有些與一元二次方程相關(guān)的問題時，直接求解常給解題帶來諸多不便，若運用整體思想，構(gòu)造零值多項式，降次變形等相關(guān)思想方法，則能使問題獲得簡解.一元二次方程的求根公式為x1,2=這個公式形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富：②公式包含了初中階段所學過的全部六種代數(shù)運算；③公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個問題，方程有沒有實數(shù)根？有實=0，則方程的根是_____xx2（晉江市中考試題）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：通過去絕對值，將絕對值方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解.22解題思路：若求出m，n值或展開待求式，則計算繁難，由方程根的定義可得關(guān)于m，n的等式，不妨從變形等式入手.一元二次方程常見的變形方法有：x其中①②體現(xiàn)了“降次”代換的思想；③則是構(gòu)造倒數(shù)關(guān)系作等值代換.2當m1≠0時，還考慮就b24ac的值的三種情況加以討論.x22解題思路：這是一個一元二次方程有公共根的問題，可從求公共根入手.方法指導：公共根問題是一元二次方程常見問題，解這類問題的基本方法是：①若方程便于求出簡單形式的根，則利用公共根相等求解.②設出公共根，設而不求，消去二次項.是整數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：本題有兩種解法，由方程系數(shù)特點發(fā)現(xiàn)1為隱含的根，從而將試題進行降次處理，或變更主元，將原方程整理為關(guān)于a的較低次數(shù)的方程.A級成＿＿＿＿＿的形式.（杭州市中考試題）＿＿＿＿（天津市中考試題）＿＿＿＿（＿＿＿＿A、2個B、3個C、4個D、5個（山東省選拔賽試題）2等于()（德州市中考試題）（江蘇省競賽試題）8、方程x2|x|1=0的解是()（荊州市競賽試題）0有且只有一個公共根？如果存在，求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由.值為____=______]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程x22[x]3=0解的個數(shù)為()EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(1),a)2（）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）（重慶市競賽試題）11、首項系數(shù)不相等的兩個二次方程22①有一個公共根，求的值.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）個方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中.方程換元法得新方程解新方程檢驗求原方程的解【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！扛c系數(shù)的關(guān)系稱為韋達定理，其逆定理也成立，理形式簡單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學解題中有著廣泛的應用，主要體現(xiàn)在：5．證明代數(shù)等式、不等式.當所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個一元二次方程的根時，可先利用根與系數(shù)的關(guān)系找到這些字母間的關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件進行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關(guān)系解題所以，應用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，必須滿足判別式△≥0.實數(shù)m的取值范圍是.2α2的值.x4y24的值.335A級2記為.值為()2A．{B．{C．{D．{8．如圖，菱形ABCD的邊長是5，兩對角線交于O點，且AO，BO的長分別是關(guān)于x的方程x229．已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實數(shù)值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個根是x,x，且滿足x=xI+2,求m在，說明理由.CADBB級EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)2A.3一25—2有兩個不相等實數(shù)根x,x.【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載。】方程、方程組.降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：5、整體疊加、疊乘等.轉(zhuǎn)化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二次方程，這也可以說是“九九歸宗”._______（北京市競賽題）解題思路：通過消元，將待求式用同一字母的代數(shù)式表示，運用根與系數(shù)的關(guān)系求值.【例2】方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是解題思路:原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手．【例3】解下列方程:（河南省競賽2解題思路：注意到方程左邊或右邊項與項的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，利用換元法求解.【例4】解下列方程組:（山東省競賽（山東省競賽（西安市競賽試（西安市競賽試（全蘇數(shù)學奧林匹克試（全蘇數(shù)學奧林匹克試解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個方程的特點和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理.【例5】若關(guān)于x的方程只有一個解（相等的解也算一個）.試求k的值與方程的解.（江蘇省競賽試題）（江蘇省競賽試題）解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識進行解題.A級（武漢市選拔賽試題）2-4)x2-)x)成立的x的值得個數(shù)為6．已知方程組有實數(shù)根，那么它有A．一組解B．二組解C．三組解9．已知關(guān)于x,y的方程組有整數(shù)解(x,y)，求滿足條件的質(zhì)數(shù)p.（四川省競賽試題）數(shù).EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),2)2-6a-11，試求a的值.（南通市中考試題）試求這個一元二次方程.（杭州市中考試題）B級5．若二元二次方程組有唯一解，則k的所有可能取值為.（上海市競賽試題）7．方程x3-6x2-x+6=0的所有根的積是()（美國猶他州競賽試題）（武漢市選拔賽試題）10．對于實數(shù)a，只有一個實數(shù)值x滿足等式試求所有這樣的實數(shù)a的和.（江蘇省競賽試題）方程解的情況.（陜西省競賽試題）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）（武漢市競賽試題）)（湖北省競賽試題）2【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載。】二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進一步學習1.二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置.決定拋物線對稱軸與頂點的位置.3.二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設法，可使解題過程簡捷.有()A.1個B.2個C.3個D.4個（天津市中考試題）解題思路：由拋物線的位置確定a，b，c的符號，解題關(guān)鍵是對相關(guān)代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并能綜合推理.y（陜西省競賽試題）解題思路：設法將S表示為只含一個字母的代數(shù)式，求出相應字母的取值范圍，進而確定S的值的變化范圍.【例3】某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的坐標系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件）.2在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10米，入水處3距池邊的距離為4米，同時，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會失誤.（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調(diào)3整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3米.此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由.5（河北省中考試題）3解題思路：對于（2判斷此次跳水會不會失誤，關(guān)鍵時求出距池邊的該運動員與跳臺的垂直距離.yyAAOx【例4】如圖，在直角坐標xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（4，-3且在x軸上截得的線段AB的長為6.（3）在x軸的上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q，A，B三點為頂點的三角形與△州市中考試題）應關(guān)系，需分類討論.yC【例5】如圖，已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE，其中AF＝2，BF（遼寧省中考試題）解題思路：設DN＝PM＝x，矩形PNDM的面積為y，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式.解題的關(guān)鍵是：最值點不一定是拋物線的頂點，應注意自變量的取值范圍.MDAPPNFBC+3沿x軸翻折，得拋物線c2，如圖所示.（1）請直接寫出拋物線c的表達式.2（2）現(xiàn)將拋物線c向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的1交點從左到右依次為A，B；將拋物線c向右也平移移m個單位長度，平移后得到的新拋物2yy線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D，E.②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請（江西省中考試題）故解題的關(guān)鍵是分類討論.yxc1x2.已知拋物線y=x2+bx+c與（四川省中考試題）（1）這個二次函數(shù)的解析式是y=;中考試題）4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點及點(?,?),且圖象與x軸的另一交點到原點的距（安徽省中考試題）OABC過點（1，0）……求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是()A.過點（3，0）B.頂點是（22）C.在x軸上截得的線段長度是2D.與y軸的交點是（0，3）（鹽城市中考試題）（大連市中考試題）yE8.如圖，某中學的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米處高各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到（吉林省中考試題）9.如圖，是某防空部隊進行射擊訓練時在平面直角坐標系中的示意圖.在地面O，A兩個觀5于O點正上方千米D點處的直升機向目標C發(fā)射防空導彈，該導彈運行到達距地面最大3高度3千米時，相應的水平距離為4千米（即圖中E點）.（1）若導彈運行為一拋物線，求拋物線的解析式；（2）說明按（1）中軌道運行的導彈能否擊中目標的理由.（河北省中考試題）yDαECβADDEC.(陜西省中考試題)yA1Bx點，點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M.設點P的橫坐標為t；寧市中考試題）y1OBPMx+c的圖象頂點與坐標原點的距離為5上.設OA的長為m(0＜m＜3).矩形ABCD的周長為l，則l與m的函數(shù)解析式為.（昆明市中考試題）ADOByABADOByABxyDC第2題圖第3題圖交于點A2，4B（8，2則能使y1>y2成立的x的取值范圍時.(杭州市中考試題)（重慶市中考試題）yyxOxyyAyOyOxBxCD（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）yyO值為()A.－1杯”初中數(shù)學競賽試題）10.如圖，已知點M，N的坐標分別為（0，101點P是拋物線2上的一個動點.（2）設直線PM與拋物線2的另一個交點為Q，連結(jié)NP，NQ，求證：∠PNM=∠（全國初中數(shù)學競賽試題）yMONPx（天津市競賽試題）（1）若直線m的解析式為，求A，B兩點的坐標；證明：對于直線l上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA＝AB成立；（3）如圖3，設直線l交y軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求（武漢市中考試題）ylmAPBlylmAPBxOxC【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！砍探馕鍪綄嶋H上是關(guān)于x的二次三項式，若令y=0，則得ax2+bx+c=0這是一個關(guān)于x的一元二次方程，因此，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，表1.當Δ>0時，方程有兩個不相等實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個不同的交點，設為3.當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點.由于二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，所以，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問題的常用技巧.是直角三角形，則ac=.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：對于（1ΔABC為直角三角形，則A，B兩點在原點的兩旁，運用根與系數(shù)關(guān)系及射影定理解題，對于（2作出函數(shù)圖象，借助圖象解題.解題思路：因為根的表達式復雜，故應把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，作出函數(shù)圖象，借助圖象找制約條件.（3）設（2）的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線是否存在一點P，使得ΔPAB面積等于ΔBCM的面積的8倍？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由.（南京市中考試題）解題思路：由題設條件得相應二次方程兩實根的符號特征，兩實根的關(guān)系，這是解本例的突破口.【例4】設p是實數(shù)，二次函數(shù)y=x2-2px-p的圖像與x軸有2個不同的交點).EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),2)（2）若A，B兩點之間距離不超過2p-3，求p的最大值.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）綜合運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系、根的方程、不等式來解.且兩根都在2與4之間？如果有，試確定k的取值范圍；如果沒有，試述理由.解題思路：由于根的表示形式復雜，因此，應把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來討論，即討論相應二次函數(shù)交點在2與4之間，k應滿足的條件，借助函數(shù)圖象解題.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）mt+3≥2t+n，因此不等式對任意實數(shù)t都成立，故將問題轉(zhuǎn)化為判別式結(jié)合正整數(shù)求解.A級2的圖象與x軸有兩個交點A，B，頂點為C，若△（杭州市中考試題）yyCBAxO第3題圖yy第4題圖yx（黑龍江省中考試題）于3，則m的取值范圍是()（天津市競賽試題）)的圖象如圖所示，它與x軸交于A，B兩點，且2-4c-4（福州市中考試題）那么a的取值范圍是()（全國初中數(shù)學競賽試題）9．已知二次函數(shù)y=x2-（1）求證：不論m取任何實數(shù)，此函數(shù)的圖象都與x軸有兩個交點，且兩個交點都在（2）設這個函數(shù)的圖象與x軸交于B，C兩點，與y軸交于A點，若△ABC的面積為值徐州市中考試題）)（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由.（武漢市中考試題）兩點，與y軸交于點C(0，b)，O為原點.18為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求所有k值；若不存在，請說明理由.（黃岡市中考試題）yyCQ（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？（武漢市中考試題）B級范圍為.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）2（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）為等腰直角三角形，則k=.yC（1）求證：無論k為何實數(shù)，拋物線經(jīng)過x軸上的一定點；（2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)，兩點，且滿足：x1說明理由，如果有，求出其坐標.（武漢市中考試題）賽試題）8．隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高，某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例的關(guān)系，如圖1所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能（南寧市中考試題）y11xy21x9．已知以x為自變量的二次函數(shù)y=4x2-8nx-3n-2，該二次函數(shù)圖象與x軸兩個根，求n的值.（紹興市競賽試題）順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段OB.（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC周長最??？若存在，求點面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.（深圳市中考試題）yBAOA現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q(0，3)作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，問在y軸的負半軸上是否存在點P，使得△PEF的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.（武漢市中考試題）AMDOxyyFExO（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！繑?shù)學問題中常見的一類問題是：求某個變量的最大值或最小值；在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常碰到一些帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等，這類問題我們稱之為最值問題，解最值問題的常見方法有：），最小值最大值【例1】當x變化時，分式的最小值是.2（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）通過配方確定最小值.2的最小值為()（太原市競賽試題）解題思路：待求式求表示為關(guān)于x(或y)的二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，需注意的是變量x、y的隱含限制.b).解題思路:本題通過討論a，b與對稱軸x=0的關(guān)系得出結(jié)論.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）2222的值.還有下列常用方法：平方法、判別式法、運用根式的幾何意義構(gòu)造圖形等.【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購進大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運費是公路運費的一半，問：該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使（河南省競賽試題）EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(題思路),又設鐵)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(設鐵路與公路的交點),每千米的運費為a元)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(＝m),通)過有理化，將式子整理為關(guān)于y的方程．r（香港中學競賽試題）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）)A級2（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）A.(0，-)B.(0，0)C.(0，)D.(0，-)（鹽城市中考試題）（黃岡市競賽試題）7．某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)可近似看作（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S元.①試用銷售單價x表示毛利潤；②試問：銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的（南通市中考試題）（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值.（江蘇省競賽試題）2-ab2的最大值與最小值.（黃岡市競賽試題）（天津市競賽試題）11．某單位花50萬元買回一臺高科技設備，根據(jù)對這種型號設備的跟蹤調(diào)查顯示：該設備投入使用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結(jié)論：第x天應付的養(yǎng)護與維修費為元.（1）如果將設備從開始投入使用到報廢所需的養(yǎng)護與維修費及購買設備費用的總和均攤到每一天，叫作每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù).（2）按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當此設備的平均損耗達到最小值時，就應當（河北省競賽試題）B級時向南航行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為km.（全國初中數(shù)學競賽試題）BA+bd＋cd的最小值為()（天津市競賽試題）則s的最大值與最小值的和為()（天津市選拔賽試題）的面積的最小值為()7．某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理則日銷售量就減少5個；若將這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每降低1元，則日8．有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是p（萬元）和q（萬入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能（紹興市競賽試題）小值.（四川省競賽試題）（國家理科實驗班招生試題）的最大值為A，最小值為B，求A＋B的值．（全國初中數(shù)學競賽試題）【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！咳呛瘮?shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，解三角函數(shù)相關(guān)問題時應注意以下兩點：1．理解同角三角函數(shù)間的關(guān)系.2．善于解直角三角形.從直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的過程叫作解直角三角形．解關(guān)鍵是合理選用邊角關(guān)系，它包括勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)的概念．許多幾何計算問題都可歸結(jié)為解直角三角形，常見的基本圖形有：例題與求解解題思路：通過計算，尋找BC2，AC2，AB2之間的關(guān)系，判斷三角形形狀，看能否直接用三角函數(shù)的定義解題.AADABDCAEBFD解題思路：本題的解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造的原則是不能破壞∠A，所以連結(jié)AC不行．延長AD和BC交于一點E（如圖1這樣既構(gòu)造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；或過點D作矩形ABEF（如圖2）來求解.【例3】如圖，已知正方形ABCD中，E為BC上一點．將正方形折疊起來，使點11解題思路：將tan7AEN=與DC＋CE＝10結(jié)合起來，可求出相關(guān)線段的長，為解題鋪平道路.的中點D出發(fā)沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達客輪．兩船同時起航，并同度是貨輪速度的2倍.（1）選擇：兩船相遇之處E點()A．在線段AB上C．可以在線段AB上，也可以在線段BC上DA（2）求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？（結(jié)果保留根號）（南京市中考試題）解題思路：對于（2過D作DF⊥CB于F，設DE=x，建立關(guān)于x的方程.（江蘇省競賽試題）解題思路：解本例的關(guān)鍵是建立嚴密約束條件下的含不等式、等式的混合組，需綜合運用一元二次方程，三角函數(shù)的知識與方法.nnn（福建省競賽試題）解題思路：由直角三角形的邊可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)正余弦來解．其不等關(guān)系可以利用正弦、余弦的有界性來證明.A級則AE=.（上海市理科實驗班招生考試試題）0ADDBBCADBBB5．如圖，小雅家（圖中點O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中 3是()（大連市中考試題）7．一漁船上的漁民在A處看見燈塔M在北偏東600方向，這艘漁船以28海里/時的速度向正東航行．半小時后到B處，在B處看見燈塔M在北偏東150方向，此時燈塔M與漁船的距離是等于()ADA0BD0AB9．如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖．已知真空集熱管AB與支架（揚州市中考試題）OBDEAEA（寧波市競賽試題）（加拿大數(shù)學奧林匹克競賽試題）CADB00沖之杯”邀請賽試題）4．如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且0AD平分∠CAB，則-值為()33D．6-23（湖北省選拔賽試題）ABMDNC第4題圖ABDC第5題圖（天津市競賽試題）（山東省競賽試題）DADEB第6題圖BADC第7題圖8．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道是由兩段互相平行并且與地面成370角的樓梯AD，BE和一段水平天臺DE構(gòu)成．已知天橋高度BC＝4.8米，引橋水平跨度AC＝8米.000（長沙市中考試題）BDMEANC程（武漢市中考試題）10．如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對角線EG和FH所夾的銳角為θ,且7BEG與7CFH都是銳角．已知EG=k,FH=l,四邊形EFGH的面積為S.（2）試用k,l,S來表示正方形ABCD的面積.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）ADHADFGBEB（2）點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的出發(fā)向點D運動．若兩點均以每秒1個單位的速度同時出發(fā)，連接EF，求△EFC面積的最大值，并說明此時E，F(xiàn)的位置.（濟寧市中考試題）ADFBEC（2）如果甲樓的影子剛好落在乙樓上，那么兩樓的距離應當（山東省競賽試題）【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！吭谄矫鎯?nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大小．通過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動同樣大小的角度．旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形有下列性質(zhì)：（2）對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）對應線段相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段的垂直平分線都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中使得A2B2丄B1C1，則兩個三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為＿＿．之間的關(guān)系．AAFOFOCEBEDDCM，Q，P分別為AB，CB，CD，AD的中點．求證：四邊形NMQP為正方形．逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，且∠AED＝90°,這是證明本例的關(guān)鍵．BMNECQAO【例3】如圖，巳知在△ABC中，AB＝AC，P為形內(nèi)一點，且∠APB<∠APC.求證：PB＞PC北京市競賽試題）解題思路：以A為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)一個∠BAC，使AB邊與AC邊重合，這時△APBAP∠BAC=∠CED，直線AE，BD交于點F.（1）如圖1，若∠BAC＝60°,則∠AFB＝＿＿＿＿；如圖2，若∠BAC＝90°,則∠AFB=_______;中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿；在圖5中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是____.請你任選其中一個結(jié)論證明武漢市中考試題）DDFDFAAAFAFBEBEBEBEDAAFBFBCDQAE解題思路：從特殊到一般，在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：△ABC∽△EDC，ABCD求此正方形的邊長廣東省競賽試題）解題思路：本例是費馬點相關(guān)的問題的變形，解題的關(guān)鍵是確定最小值時E點的位置，通過旋轉(zhuǎn)變換，把EA，EB，EC連結(jié)起來.AEEDCA級轉(zhuǎn)，使點E落在直線BC上的點F處，則F，C兩點的距離為上海市中考試題）ADABCB第1題BEAPADPBAB之間的距離為_____,∠APB=________.（青島市中考試題）CD以點D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE，則ΔADE的面積是______.4．如圖，在RtΔABC中，已知∠C＝90°,∠B＝50°,點D在邊BC上，BD＝2CD．把ΔABC繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜180）度后，如果點B恰好落在初始RtΔABC的邊上，那么m=________.（上海市中考試題）ADDD’DEAAHPCKB則這兩個正方形重疊部分的面積是_____.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至ΔDEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形重疊部分的面積為____.（黃岡市競賽試題）則點A的坐標為()（河南省中考試題）yAA’AAPB，PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是()（全國初中數(shù)學通訊賽試題）（武漢市競賽試題）FABEADADαOBCB（2）當α=30°時，求證：△AOE'為直角三角形.（南通市中考試題）11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC=∠EDF=α,點M，N分別是BE，CF的中點.（1）若點A與點D重合，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上（如圖1則AM與AN的數(shù)量關(guān)系是______,∠MAN與α的數(shù)量關(guān)系是_____;若成立，請證明；若不成立，請說明理由.BMEA(D)A(D)圖1MBNCFEA(D)∠MDN＝60°，則ΔAMN的周長＝＿＿＿＿．AAMNBD第1題CABNMAyO（重慶市競賽試題）x2．如圖，在等腰RtΔABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN＝45°，記AMMN＝x，BN＝n，則以線段x，m，n為邊長的三角形的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．（安徽省競賽試題）434（麗水市中考試題）AABEDFAPDBAAPDBA（江蘇省競賽試題）ADC（日本數(shù)學奧林匹克試題）COOPBAB（杭州市競賽試題）線上，M為線段AE的中點．探究：線段MD，MF的關(guān)系；CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上，M為AE的中點．試問1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（大連市競賽試題）FFMDCAEBABAFADBBMECDDFCME點G（如圖3第（1）問中的結(jié)論是否仍成立？不必證明.ADABEBBFBDADEAEAEBDFF轉(zhuǎn)中心，把ΔABO順時針旋轉(zhuǎn)，得ΔACD．記旋轉(zhuǎn)角為α,∠ABO為β.（1）如圖1，當旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標；（3）當旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時，求直線CD的解析式.（天津市中考試題）ODAyBCBDDxAP【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載。】平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，是研究比例線段及相似形的最基本、最重要的理論．運用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵是尋找題中的平行線．若無平行線，需作平行還要熟悉并善于從復雜的圖形中分解出如下的基本圖形：＿＿＿＿．（上海市競賽試題）解題思路：建立含PQ的比例式，為此，應首先判斷PQ與AD（或BC）的位置關(guān)系，關(guān)鍵是從復雜的圖形中分解出基本圖形，并能在多個成比例線段中建立聯(lián)系．AEDFC解題思路：因題設條件沒有平行線，故須過M作BC的平行線，構(gòu)造基本圖形．AAMHEDB（吉林省中考試題）線上，故不能直接應用定理，需觀察分解圖形.QAPBCDSRPE＋PF這個結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由.ADFEFE（上海市閔行區(qū)中考試題）ADAFEF解題思路1）不難證明；對于（2先假設結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB＝PE+PF，即要證明PE＋PF＝1，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與成比例線段相關(guān)問題的證明.依次交AB，AD，CD，CE于點M，N，P，Q．（浙江省競賽試題）EQPDFNFAMBA＝＿＿＿＿．（濟南市中考試題）AMNPCAAAMNMNMPPPB解題思路：本題涉及的考點有三角形中位線定理、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì).A級1．設K則K=________.（鎮(zhèn)江市中考試題）DADFEFBANDBMCAEBDDGGHFAFGBEB______.（杭州市中考試題）=________.（重慶市中考試題）=b（a＞b當BF平分AE時，則a的值為()b225+225+22AAQAQBEFDDAFEFBD第8題591）閱讀下列材料，補全證明過程.不寫畫法及證明過程）ADAOOFDCDCGABEBEFOC12511．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD.ADBC（3）求證：+=.（宿遷市中考試題）12．如圖，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上的一點，CE的延長線與BC的延長線交于點F，過點E作BA的平行線交CD的延長線于點M，MB與AD交于點N.求證：∠AFN=∠DME.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）PFANEMDBQC面4m，6m的A，C處，向兩側(cè)地面上的E，D和B，F(xiàn)點處，用鋼絲繩線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為＿＿＿＿m．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）CA第1題ADOFBBAADFCE＝＿＿＿＿．（黑龍江省中考試題）＝＿＿＿＿．＝＿＿＿＿．AADFEMCKDNABFEBL（江蘇省競賽試題）AAFME第6題（）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）AB，AC于點M，N．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c＞a＞b，（山東省競賽試題）EF＝32，GF＝24，則BE等于()（美國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）FDEBAB（黃岡市競賽試題）ADNDADNMBMBPFBAFB第9．如圖，P是梯形ABCD的中位線MN所在直線上的任意一點，直線AP，BP分別交直線CD于E，F(xiàn).求證：.（寧波市競賽試題）BC，AD及AC的延長線分別交于點M，N，R，S和（山東省競賽試題）ACMNlABEFDEF——+——ABCDEF成立（不要求證出）．以下請回答：若將圖中垂直改為AB△BDC的關(guān)系式，并給出證明.（黃岡市競賽試題）ADAD（2）如圖2，當PQ不與AD垂直時1）的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（直接寫出結(jié)果）APDQAPDQAPBDQ【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不成功，文檔內(nèi)容齊全完整，請放心下載?！肯嗨迫切蔚闹R應用廣泛，可以證明角的相等、線段成比例等問題.通過尋找（或構(gòu)造）相似三角形獲得比例線段或等角，用以論證或計算的方法，我們稱為相似三角形法，這是幾何學中應用最廣泛的方法之一.全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊的過程，不僅是認識形式上的變化，而且在思維方法上也是一個飛躍，在相似形的問題中出現(xiàn)的線段間的關(guān)系比全等形中的等量形式更為復雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式，甚至是線段乘積的和差、線段比的和差.證明這類問題，常常要通過命題的轉(zhuǎn)換或中間量的過渡.熟悉下面這些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形.漢市競賽試題）解題思路：從尋找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的傳遞性.AEBQPSRDCA，D為頂點的三角形和以P，B，C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有()解題思路：通過代數(shù)化，將P點的個數(shù)的討論轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)的討論.要使兩個三角形相似，并沒有具體的對應關(guān)系，所以結(jié)論具有不確定性，應注意分類討論.DDPAB解題思路：由于BP，PE，PF在一條直線上，所以必須通過等線段的代換促使問題的轉(zhuǎn)化.證明比例式或等積式是幾何問題中的常見題型，解決它的常用方法是：①找相似：三點定形法；②作平行：根據(jù)要證明的式子，找到一個分點，過此點作平行線，能寫出要證式子中的一個比或與其相關(guān)的比；③變原式：包括等量代換、等積代換和等比代換.APBDFEC解題思路：由題設易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導判定兩個三角形相似的條件.ACDB積式在計算與證明中應用極為廣泛，其特點是：①一線段是兩個三角形的公共邊；②另兩條線段在同一直線上.構(gòu)造逆命題是提出問題的一個常用方法，例4是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎上提出的一個逆命題.你能提出新的問題嗎？并加以證明.如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點.②若△ABC的內(nèi)心(∠A，∠B，∠C角平分線的交點）P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù).（南京市中考刻理解“自相似點”的概念，是解題的關(guān)鍵.DEAAADEPP（河北省中考試題）解題思路：對于（3借助三角形相似的判定方法，由于未指明對應關(guān)系，探求質(zhì)點運動的時間應注意分類討論.DQAPCBA級AA1ECB2DAMMBCBAEBDFC果連接MN，使得△AMN與原三角形相似，則AN=.其中結(jié)論正確的有.（填序號即可）（宜昌市中考試題）4.在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點，且BFDGAHHADBFDGAHHADAEAHBFDGEECBCF（2）當k值為時，四邊形EFGH為平行四邊形.F（4）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足條件時，EFGH為矩形.（黃岡市中考試題）共有()（山西省中考試題）BBAAB'ACFDDAFEEBBP等于()（重慶市中考試題）7.將三角形紙片(△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，即為點B′，那么BF的長度為()（山東省中考試題）則PC等于()（重慶市競賽試題）（1）如圖1，可以算出一個正方形的對角線長2，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長，進而猜想出n個正方形并排拼成的矩形的對角線長；（3）由圖3，在下列所給的三個結(jié)論中，通過合情推理選出一個正確的結(jié)論加以證明：EEF（三明市中考試題）A（黃岡市競賽試題）連接AE，求證：AE∥BC；（2）如圖2，將（1）中的等邊△ABCEDC改成相似于△ABC，請問：是否仍有AE∥BC？證明你的結(jié)論.ADBEADECD（全國初中數(shù)學競賽試題）AFEB級1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABEFDABIGIHCJAPBDCABDEFCGab