【數(shù)學(xué) 】變化率問題（1）課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.1.1變化率問題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù).隨著對函數(shù)的研究的不斷深化，在十七世紀(jì)中葉產(chǎn)生了微積分，它是數(shù)學(xué)史上繼歐式幾何后的又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑.序言

微積分的創(chuàng)立與處理四類科學(xué)問題直接相關(guān)：一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程；二、求曲線的切線；三、求函數(shù)的最大值與最小值；四、求長度、面積、體積和重心等.

幾百年中，科學(xué)家們對這些問題的興趣與研究經(jīng)久不衰.終于，在十七世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茲在前人探索與研究的基礎(chǔ)上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分.（1646.7.1—1716.11.14）（1643.1.4—1727.3.31）

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一.它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題的最一般、最有效的工具.導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個(gè)變量相對于另一個(gè)變量變化的快慢程度.

本章，我們將利用豐富的背景與具體實(shí)例，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念、基本運(yùn)算與思想方法.通過具體實(shí)例感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的意義。

在必修第一冊中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識，定性的研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道“對數(shù)增長”是越來越慢的，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多，進(jìn)一步的能否精確定量的刻畫變化速度的快慢呢？下面我們就來研究這個(gè)問題。新知引入5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問題什么是變化率？

一個(gè)變量相對另一個(gè)變量的變化而變化的快慢程度叫做變化率選修第二冊

《第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》5.1.1變化率問題教材P59探究：在一次跳水運(yùn)動(dòng)中,某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系

h(t)=-4.9t2+2.8t+11.

如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?請計(jì)算hto問題1：跳水運(yùn)動(dòng)員的速度可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段，用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地描述他的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).問題2：你能否根據(jù)經(jīng)驗(yàn)描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度？析：在上升階段越來越慢

在下降階段越來越快在上升階段越來越慢

在下降階段越來越快這段時(shí)間里的平均速度為0顯然，在這段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員并不處于靜止?fàn)顟B(tài).因此，用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這一時(shí)間段里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里并不處于靜止?fàn)顟B(tài).

為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念。

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。探究2：問題5：瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1是的瞬時(shí)速度嗎？

用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題是微積分的重要思想

觀察給出

更多的值,利用計(jì)算工具計(jì)算對應(yīng)的平均速度的值，當(dāng)

無限趨近于0,平均速度有什么變化趨勢？

(3)如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過程中在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度？問題6：？思考(1)求運(yùn)動(dòng)員在t=0.5s時(shí)的瞬時(shí)速度.（2）你能否利用上述關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度？(1)求運(yùn)動(dòng)員在t=0.5s時(shí)的瞬時(shí)速度.問題6：？思考（2）你能否利用上述關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度？（3）如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過程中在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度？例1：某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體的初速度和物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度．思路：求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為s＝s(t)，則求物體在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度的步驟如下：求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(3)求瞬時(shí)速度v：求極限(2)求平均速度:(1)寫出時(shí)間改變量Δt，位移改變量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)).方法歸納瞬時(shí)速度物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．課堂小結(jié)

升華素養(yǎng)瞬時(shí)速度平均速度逼近思想取極限本質(zhì)：瞬時(shí)速度是平均速度的極限平均速度瞬時(shí)速度2.求物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度一般步驟：平均變化率瞬時(shí)變化率1.物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的本質(zhì)是平均速度的極限.無限逼近取極限無