定積分典型例題20例答案

定積分典型例題20例答案定積分典型例題20例答案/定積分典型例題20例答案定積分典型例題20例答案例1求．分析將這類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限．若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間等分寫(xiě)出積分和，再與所求極限相比較來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限．解將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為，然后把的一個(gè)因子乘入和式中各項(xiàng)．于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分．即==．例2=_________．解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()與軸所圍成的圖形的面積．故=．解法2本題也可直接用換元法求解．令=（），則====例3（1）若，則=___；（2）若，求=___．分析這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，利用下面的公式即可．解（1）=；（2）由于在被積函數(shù)中不是積分變量，故可提到積分號(hào)外即，則可得=．例4設(shè)連續(xù)，且，則=_________．解對(duì)等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，故，令得，所以．例5函數(shù)的單調(diào)遞減開(kāi)區(qū)間為_(kāi)________．解，令得，解之得，即為所求．例6求的極值點(diǎn)．解由題意先求駐點(diǎn)．于是=．令=，得，．列表如下：-＋－故為的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)．例7已知兩曲線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，其中，，試求該切線(xiàn)的方程并求極限．分析兩曲線(xiàn)與在點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，隱含條件，．解由已知條件得，且由兩曲線(xiàn)在處切線(xiàn)斜率相同知．故所求切線(xiàn)方程為．而．例8求；分析該極限屬于型未定式，可用洛必達(dá)法則．解=====．注此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則．例9試求正數(shù)與，使等式成立．分析易見(jiàn)該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法則．解==，由此可知必有，得．又由，得．即，為所求．例10設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，是的（）．A．等價(jià)無(wú)窮小．B．同階但非等價(jià)的無(wú)窮?。瓹．高階無(wú)窮?。瓺．低階無(wú)窮小．解法1由于．故是同階但非等價(jià)的無(wú)窮?。xB．解法2將展成的冪級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到，則．例11計(jì)算． 分析被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分．解＝＝＝．注在使用牛頓－萊布尼茲公式時(shí),應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿(mǎn)足可積條件．如，則是錯(cuò)誤的．錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無(wú)界.例12設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則．分析本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）．解因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且．所以，即，從而，所以．例13計(jì)算．分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性．解=．由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有,于是===由定積分的幾何意義可知,故．例14計(jì)算，其中連續(xù)．分析要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有，因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo)．解由于=．故令，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，而，所以==，故===．錯(cuò)誤解答．錯(cuò)解分析這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)中不含有變限函數(shù)的自變量，而含有，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元．例15計(jì)算．分析被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法．解．例16計(jì)算．分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法．解===．例17計(jì)算．分析被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法．解由于，（1）而，（2）將（2）式代入（1）式可得,故．例18計(jì)算．分析被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法．解．（1）令，則．（2）將（2）式代入（1）式中得．例19設(shè)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，