數(shù)列極限、數(shù)學(xué)歸納法講義- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第⑷若，則?！纠}2】已知，是數(shù)列的前n項(xiàng)和………………（）(A）和都存在(B)和都不存在(C)存在，不存在(D)不存在，存在【例題3】求下列極限：（1）（）;（2）【例題4】（1）等差數(shù)列、的公差都不為零，若，則．（2）等差數(shù)列、，若，則．【例5】（1）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________（2）若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，集合，則用列舉法表示．（3）是不等的兩正數(shù)，若，則的取值范圍是．（4）若存在，則r的取值范圍是()(A)r≥–或r≤–1(B)r>–或r<–1(C)r>–或r≤–1(D)–1≤r≤–【例6】（1）已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且是常數(shù)，則此無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和是（）A．．B．．C．．D．．(2)已知無(wú)窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都等于它后面所有各項(xiàng)的和，則公q=__________．（3）若無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和等于，則的取值范圍是.【例7】如圖，在等腰直角三角形ABC中，已知∠A°，斜邊BC長(zhǎng)為，途中排列著的內(nèi)接正方形的面積分別為求：（1）無(wú)窮個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和；（2）無(wú)窮個(gè)正方形的面積之積【例8】（1）已知、為圓的兩條相互垂直的弦，重足為，則四邊形的面積的極限值為．（2）已知，，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)、與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，△的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），則．（3）設(shè)是直線（）與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限（）A．B．C．D．（4）已知數(shù)列滿足，，均在雙曲線上，則．【例9】由“無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和“可知，當(dāng)時(shí)，有，若對(duì)于任意的，都有，則．【例10】已知數(shù)列滿足：，且，，若，則．【例11】已知，與軸交點(diǎn)為，若對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)，在其圖象上總存在另一點(diǎn)、異于，滿足，且，則．鞏固訓(xùn)練 1、已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有（－qn）=,求首項(xiàng)a1的取值范圍是_______．2、已知點(diǎn)，，，其中為正整數(shù)，設(shè)表示的面積，則．3、已知等差數(shù)列的公差不為0，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，且，求的值．4、在半徑為的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無(wú)限繼續(xù)下去，設(shè)為前個(gè)圓的面積之和，則．5、已知△ABC的頂點(diǎn)分別是，記△ABC的外接圓面積為，則＿＿＿＿＿.6、如圖所示：矩形的一邊在軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上（其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，矩形的面積記為，則．7、設(shè)為一組多邊形，其作法如下：是邊長(zhǎng)為1的三角形以的每一邊中間的線段為一邊向外作正三角形，然后將該線段抹去所得的多邊形為，如圖所示。令表示的周長(zhǎng)，表示的面積。（1）計(jì)算的面積，，；（2）求(+…+)的值8、已知，在坐標(biāo)平面中有斜率為的直線與圓相切，且交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則的值為．9、如圖，一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿向量到達(dá)點(diǎn)，再沿軸正方向從點(diǎn)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿的方向從點(diǎn)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿軸正方向從點(diǎn)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，，這樣無(wú)限前進(jìn)下去，則質(zhì)點(diǎn)最終到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)是10、定義函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，．當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則______________．11、已知數(shù)列滿足，，若，且是遞增數(shù)列、是遞減數(shù)列，則．（二）數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)梳理數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.注意：①應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要運(yùn)用“歸納假設(shè)”，沒有運(yùn)用“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法。②由k到k+1的證明，實(shí)際問題中由k到k+1的變化規(guī)律是數(shù)學(xué)歸納法的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握由k到k+1的推論方法，在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系。利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)；或從P(k+1)從分離出P(k)，再進(jìn)行局部調(diào)整；也可考慮尋求二者的“結(jié)合點(diǎn)”，以便順利過渡。3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式，常采用從一邊開始并以另一邊為目標(biāo)進(jìn)行推證的辦法；用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，常采用配湊的辦法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，常常需要運(yùn)用不等式的性質(zhì)以及比較法、放縮法、分析法、綜合法等基本方法；用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，常常要運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)。四、歸納——猜想——論證“歸納、猜想、證明”就是運(yùn)用“檢驗(yàn)有限個(gè)的值，尋找一定規(guī)律，猜想一個(gè)結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明所猜想的結(jié)論正確”的解題方法．理解一個(gè)完整的思維過程，往往是既要發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要證明結(jié)論的正確性．這就需要掌握運(yùn)用由特殊到一般的思維方法，也就是通過觀察、歸納，提出猜想，探求結(jié)論，且運(yùn)用嚴(yán)密的邏輯推理，即數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論（猜想）的正確．領(lǐng)會(huì)“歸納、猜想、證明”的思想方法，非常有助于提高觀察分析能力．例題精講【例12】設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”．那么，下列命題總成立的是（）．若成立，則成立；．若成立，則成立；．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立；．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立．【例13】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：若是大于1的自然數(shù)，求證：，從到，不等式左邊添加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為．【例14】試證：n為正整數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．【例15】是否存在常數(shù)、、使等式對(duì)一切正整數(shù)成立？證明你的結(jié)論．【例16】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及的值；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，，的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（3）對(duì)任意正整數(shù)，若恒成立，求的取值范圍．鞏固訓(xùn)練1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：的過程中，從到時(shí)，比共增加了A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)2、設(shè)數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求；（3）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一、填空題1、記直線與坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積為，則．2、已知一個(gè)圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓與軸正半軸交點(diǎn)為．若一個(gè)粒子從點(diǎn)出發(fā)沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度到達(dá)點(diǎn)，接著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度到達(dá)點(diǎn)，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度到達(dá)點(diǎn)，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度到達(dá)點(diǎn)．以后按照逆時(shí)針、順時(shí)針交替旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)的角度大小都是上一次的一半．這樣無(wú)限進(jìn)行下去，則粒子到達(dá)極限位置時(shí)其橫縱坐標(biāo)之和為．3、一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是一個(gè)非零的自然數(shù)，公比是另一個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)，此數(shù)列的各項(xiàng)和為3，那么這個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)之和等于．4、如圖，記棱長(zhǎng)為1的正方體，以各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，以各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為，以各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，，以此類推得一系列的多面體，設(shè)的棱長(zhǎng)為，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．5、如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕與交于點(diǎn)，然后復(fù)原，記；第二步，將紙片以為頂點(diǎn)向下翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；第三步，將紙片以為頂點(diǎn)向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟，得到，，，，，則．6、如果等差數(shù)列，的公差都為，若滿足對(duì)于任意，都有，其中為常數(shù)，，則稱它們互為同宗”數(shù)列．已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，數(shù)列為數(shù)列的“同宗”數(shù)列，若，則．二、選擇題7、設(shè)，則可表示為A． B． C． D．8、數(shù)列中，，則數(shù)列的極限為A．0 B．2 C．0或2 D．不存在9、已知數(shù)列，，如果數(shù)列和的極限均存在，那么在下列數(shù)列中，其極限不一定存在的數(shù)列是A． B． C． D．10、在數(shù)列的極限一節(jié)，課本中給出了計(jì)算由拋物線、軸以及直線所圍成的曲邊區(qū)域面積的一種方法：把區(qū)間，平均分成份，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使得每個(gè)矩形的左上端點(diǎn)都在拋物線上（如圖），則當(dāng)時(shí)，這些小矩形面積之和的極限就是．已知．利用此方法計(jì)算出的由曲線、軸以及直線所圍成的曲邊區(qū)域的面積為A． B． C． D．三、解答題11、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若且數(shù)列也為等差數(shù)列，試求的值；（3）設(shè)，且恒成立，求證：存在唯一的正整數(shù)，使得不等式成立．12、我們要計(jì)