中考數(shù)學一輪復習第三講反比例函數(shù)（原卷版）

模塊三函數(shù)

第三講反比例函數(shù)

知識梳理夯實基礎

知識點1:反比例函數(shù)的概念

定義：一般地，函數(shù)y=A(左是常數(shù)，肚0)叫做反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以寫

X

成>=左/或移=左的形式.自變量X的取值范圍是XHO的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一

切非零實數(shù).

知識點2:反比例函數(shù)的圖象與性質

(1)圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，

或第二、四象限.由于反比例函數(shù)中自變量；#0,函數(shù)/0,所以，它的圖象與X軸、y軸都沒

有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸.

(2)性質：

當Q0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小.

當N0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大.

表達式y(tǒng)=-(左是常數(shù)，物0)

kk>0R0

大致圖象

所在象限第一、三象限第二、四象限

在每個象限內，y隨x的增大而減在每個象限內，y隨x的增大而增

增減性

小大

L反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x；

對稱性2.反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點.

反比例函數(shù)比例系數(shù)悶越大，圖象離原點越遠。

注意：

(1)畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲

線連接各點.

(2)隨著國的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永遠不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)y=-

中存0且月0.

（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內

的增減情況.當左＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地

說當左＞0時，y隨x的增大而減小.同樣，當N0時，也不能籠統(tǒng)地說丁隨x的增大而增大.

知識點3:反比例函數(shù)解析式的確定

1.待定系數(shù)法

確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)y=（中，只有一個待定系數(shù)，因

X

此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出左的值，從而確定其解析式.

2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟

（1）設反比例函數(shù)解析式為y=-（后0）；

X

（2）把已知一對x,y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)左的方程;

（3）解這個方程求出待定系數(shù)左；

（4）將所求得的待定系數(shù)上的值代回所設的函數(shù)解析式.

知識點4：反比例函數(shù)中|k|的幾何意義

1.反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積

2.涉及三角形的面積型

當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解.

（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S^ABC=2SAACO=\k\-,

①②③

（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=&交于A、3兩點，且一次函數(shù)與x軸交于

X

點C,則S^AOB=S^AOC+S^BOC=—OC-\yA\+-OC-\yB|=—0c?（|%|+1%I）；

（3）如圖③，已知反比例函數(shù)y=七的圖象上的兩點，其坐標分別為（5，％），

x

（乙，力），C為AB延長線與x軸的交點，則S?OB=SYOC-SABOC=1<9C-|yJ-|OC|yB|

=^OC-（\yA\-\yB\）.

知識點5:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

1.涉及自變量取值范圍型

當一次函數(shù)%=%x+6與反比例函數(shù)%=占相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后

X

求出交點坐標.針對％〉％時自變量X的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例

函數(shù)圖象的部分所對應的X的范圍.例如，如下圖，當%〉%時，X的取值范圍為或

XB<X<Q.同理，當為<為時，X的取值范圍為0<x<%4或X<%B.

2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標

（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.

①左值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；

②左值異號，兩個函數(shù)可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；

（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解

的情況.

知識點6:反比例函數(shù)的實際應用

解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特

別注意自變量的取值范圍.

直擊中考勝券在握

1.已知點A（1,-3）關于x軸的對稱點A，在反比例函數(shù)y=K的圖像上，則實數(shù)k的值為（

X

1]_

A.3B.C.-3D.

33

2.（2023?連云港中考）關于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數(shù)的一個特征.

甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點（—1,1）;

乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；

丙：當%＞0時，y隨x的增大而增大.

則這個函數(shù)表達式可能是（）

A.y=—xB.y=~C.y=x2D.y=--

3.己知點尸（2,祖）在反比例函數(shù)y=-:的圖象上，則點尸關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（-2,1）B.（1,-2）C.（2,-1）D.（2,1）

4.（2023?山西中考）已知反比例函數(shù)＞則下列描述不正確的是（）

A.圖象位于第一，第三象限B.圖象必經(jīng)過點（4,

C.圖象不可能與坐標軸相交D.＞隨x的增大而減小

5.（2023?天津中考）若點4（-5,%）,3（1,%）,。（5,%）都在反比例函數(shù)丁=-《的圖象上，則%，%，%的大小

關系是（）

AB當<%<%%<%<必

.yt<y2<%.c.D.%<%<%

6.（2023?大慶中考）已知反比例函數(shù)y=B，當久＜0時，y隨x的增大而減小，那么一次的數(shù)y=-"+k

的圖像經(jīng)過第（）

A.一，二，三象限B.—,二，四象限

C.一，三，四象限D.二，三，四象限

7.（2023?自貢中考）已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）

是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示.下列說法正確的是（）

B,蓄電池的電壓是18V

C.當/<10A時，R>3.6nD.當火=6。時，1=4A

，一k

8.（2023?荊門中考）在同一直角坐標系中，函數(shù)丁二丘-左與>=正j伏#0）的大致圖象是（）

;二,

0x0X

/

①②

y八

H

⑤④

A.①②B.②③C.②④D.③④

9.（2023?溫州中考）如圖，點A,3在反比例函數(shù)y="（左〉0,

x>0）的圖象上，AC_Lx軸于點C,

X

軸于點。，BELLy軸于點石，連結AE.若O￡=l,OC=-OD,AC=AE,則上的值為

（）

o\CDT

A.2B.C.-D.2及

24

k

10.（2023?長春中考）如圖，在平面直角坐標系中，點A、8在函數(shù)y=-。c>0,x>0）的圖象上，x過點A作

X

k

無軸的垂線，與函數(shù)>=--（彳>0）的圖象交于點C,連結8C交x軸于點D若點A的橫坐標為1,

X

BC=3BD,則點B的橫坐標為（)

D.3

11.如圖，點A在雙曲線y=：上，點B在雙曲線y=g上,且人8〃乂軸，點C、D在x軸上，若四邊形

ABCD為矩形，則它的面積為（）

A.4B.6C.8D.12

12.（2023?無錫中考）一次函數(shù)丫=x+幾的圖象與x軸交于點8,與反比例函數(shù)y=>0）的圖象交

于點4（1,m）,且A40B的面積為1,則優(yōu)的值是（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2023?蘭州中考）如圖，點4在反比例函數(shù)y=>0）圖象上，481%軸于點8,C是。B的中點，連

接A。，AC,若AAOC的面積為2,貝批=（）

C.12D.16

14.（2023?十堰中考）如圖，反比例函數(shù)y=/（x>0）的圖象經(jīng)過點4（2,1）,過A作ABly軸于點2,連

0A,直線CD1Q4,交x軸于點C,交y軸于點。，若點8關于直線CD的對稱點才恰好落在該反比例函數(shù)

圖像上，則。點縱坐標為（）

c.7D5V5+1

3?4

15.（2023?遼寧朝陽中考）如圖，。是坐標原點,點8在x軸上，在AOAB中，AO=AB=5,。8=6,點A

在反比例函數(shù)y=：（麻0）圖象上，則左的值（

A.-12B.-15C.-20D.-30

16.（2023?四川內江中考）如圖，菱形4BCD的頂點分別在反比例函數(shù)y=，和y=B的圖象上，若LBCD=

60。，則郁值為（）

A.gB.|C.D.

17.（2023?西藏中考）如圖.在平面直角坐標系中，她。2的面積為多，8A垂直x軸于點A,與雙曲線

O

y=V相交于點c,且Baaoc=i回2,則上的值為（）

X

99

A--3B.--C.3D,-

18.（2023?江蘇南通中考）平面直角坐標系久Oy中，直線y=2x與雙曲線y=￡（k>2）相交于A,B兩點,

其中點A在第一象限.設M（m,2）為雙曲線y=g（k〉2）上一點，直線力M,BM分別交y軸于C,。兩點,

則。C—。。的值為（）

A.2B.4C.6D.8

19.如圖，點C在反比例函數(shù)y（（x>0）的圖象上，過點C的直線與x軸，y軸分別交于點A,B,且

AB=BC,0AOB的面積為1,貝Ijk的值為（）

A.1B.2C.3D.4

20.（2023?陜西中考）若4（1,%）,3（3/2）是反比例函數(shù)丫=等（爪<9圖象上的兩點，貝丹1、%的大

小關系是小y2（填">"、"="或"<"）

2L（2023?山東青島中考）列車從甲地駛往乙地.行完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度"（km/h）之間

的反比例函數(shù)關系如圖所示.若列車要在2瓦內到達，則速度至少需要提高到km/b

22.（2023?山東棗莊中考）如圖，正比例函數(shù)月=自k應力0）與反比例函數(shù)）/2=宗七力0）的圖象相交于

4B兩點，其中點力的橫坐標為1.當丘若時，久的取值范圍是——.

23.（2023?遼寧鞍山中考）如圖，△48。的頂點8在反比例函數(shù)丫=2。>0）的圖象上，頂點C在x軸負半

軸上，28〃無軸，AB,BC分別交y軸于點Q,E.若等=果=|,S^ABC=13,貝味=.

24.（2023?廣州中考）一元二次方程/一4%+爪=0有兩個相等的實數(shù)根，點a。1,當）、BO^,為）是反比

例函數(shù)y=?上的兩個點，若%1<%2<0-則％________y2（填或">"或

25.（2023?貴州畢節(jié)中考）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=￡（k>0,x>0）的圖象交于A,B兩點，與x軸

交于點C,且4B=BC,連接。4.已知△04C的面積為12,則上的值為.

26.(2023?內蒙古通遼中考)如圖，△O4/i，LArA2B2,△①①殳…，△4r_i4r當都是斜邊在無軸上的

等腰直角三角形，點4，42，/，???，4i者B在X軸上，點當，B?,B3,&都在反比例函數(shù)y=

：(x>0)的圖象上，則點場的坐標為.(用含有正整數(shù)〃的式子表示)

27.(2023?廣西柳州中考)如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例數(shù)y=；(k>0)的圖像交于A,B兩點，點M在

以C(2,0)為圓心，半徑為1的OC上，N是4M的中點，已知。N長的最大值為|,則上的值是.

28.（2023?山東荷澤中考）如圖，一次函數(shù)y=久與反比例函數(shù)y=（（%>0）的圖象交于點力，過點4作

AB1OA,交x軸于點B；作B4〃04交反比例函數(shù)圖象于點4；過點兒作4212/交x軸于點8；再

作當出〃8&,交反比例函數(shù)圖象于點人2,依次進行下去，……，則點人2021的橫坐標為.

29.通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生

興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學生注意力指標y隨時間》（分鐘）

變化的函數(shù)圖象如圖所示，當0Wx<10和10Wx<20時，圖象是線段；當20WXW45時，圖象是反比

例函數(shù)的一部分.

（1）求點力對應的指標值；

（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道綜合

題的講解時，注意力指標都不低于36?請說明理由.

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