圓的方程-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第3課時(shí)圓的方程

［考試要求］i.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)

方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

［鏈接教材?夯基固本】落實(shí)主干?激活技能

€＞梳理?必備知識(shí)

1.圓的定義及方程

定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)

標(biāo)準(zhǔn)方程（%一—）2+。—力2=戶（尸＞0）圓心(訪b),半徑尸

圓心(二號(hào)

一般方程222

x+/+JDx+￡>+F=0（D+￡-4F>0）半徑

京評(píng)土蜉"

提醒：當(dāng)D2+E2~4F=0時(shí)，方程x2+y2+Qx+￡y+/7=0表示一個(gè)點(diǎn)(―弓，—?jiǎng)颍?/p>

當(dāng)。2+印—4/〈0時(shí)，方程》2+產(chǎn)+9+4+/=。沒有意義，不表示任何圖形.

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(xo,/)與圓(X—。)2+。-5)2=八&＞0)的位置關(guān)系：

(1)^M(xo,yo)在圓外，則(X0—02+(V0—6)2＞F2.

(2)若M(XO,)0)在圓上，則(X0—a)2+(V0—6)2=F2.

(3)若M(xo,yo)在圓內(nèi)，則(xo—aF+廿。一＜r2.

［常用結(jié)論］

1.圓的三個(gè)性質(zhì)

(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；

⑵圓心在任一弦的中垂線上；

(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

2.以Z(xi,yi),5(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(％—X2)+(y—V2)

=0.

?激活,基本技能

一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.

(2)方程(%+。)2+。+6)2=修。弓2表示圓心為(口，b),半徑為力的一個(gè)圓.()

⑶方程//+%+0?+9+4+尸=0表示圓的充要條件是/=cwo,8=0,

D2+E^-4AF>0.

(4)若點(diǎn)M(xo,yo)在圓/+產(chǎn)+￡)/+砂+E=0外，則就+%+Dxo+gyo+77>

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)V

二、教材經(jīng)典衍生

1.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P85練習(xí)T3改編)已知點(diǎn)Z(l,-1),5(-1,1),

則以線段43為直徑的圓的方程是()一■一>

A.x2+y2=2B.x2+y2=y/2

C.x2+j,2=1D.x2+y2=4

A［法一：4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

\AB\=7(1-(-1))2+(-1-l)2=2V2,所以圓的方程為爐+產(chǎn)=2.

法二(應(yīng)用常用結(jié)論)：以4B為直徑的圓的方程為(x—l)?(x+l)+(y+1)任一1)

=0,即/+了2=2.］

2.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P84例3改編)過點(diǎn)Z(l,-1),5(-1,1),且圓

心在直線x+v-2=0上的圓的方程是()、-------)

A.(x-3)2+(y+1)2=4

B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x-l)2+(y-l)2=4

D.(x+l)2+(y+1)2=4

C［法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,b),半徑為兀因?yàn)閳A心C在直線x+y—2=0

上，所以6=2—a.又|G4|2=QB|2,所以g—j+Q—a+i)2=(a+i)2+(2一口一I)2,

所以a=l,b=l.所以r=2.所以方程為(x—Ip+Q—1>=4.

法二：由已知條件得4B的垂直平分線方程。：y=x,

由解得『?

1%+y—2=0,ly=1,

...圓心坐標(biāo)為(1,1),

.,.^=(1-1)2+[1-(-1)]2=4,

.?.圓的方程為(x—l)2+(y—1/=4.]

3.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P88練習(xí)T2改編)若點(diǎn)尸(1,1)在圓C：x2+j2+x

—左=0的外部，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.(-2,+8)B.[-2,

C.(—2,0D.(-2,2)

C[由題意得戶1+1-1+解得-2〈左<3故選C.]

il+l-4k>0,2

4.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P86例4改編)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,

0),(L1),(2,0)的圓的方程為.

x2+j;2—2x=0[設(shè)圓的方程為好+產(chǎn)+￡)丫+4+/=0.，.,圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,

1),(2,0),

r=0,(D=-2,

.,.<2+￡)+E+F=0,解得(E=0,

(4+2D+F=0,=0.

圓的方程為x2+v2-2x=0.]

[典例精研?核心考點(diǎn)]重難解惑?直擊高考

考點(diǎn)一圓的方程

[典例1]⑴(多選)(2023?遼寧葫蘆島二模)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,

2)中的三點(diǎn)的圓的方程為()

A.(x-2)2+(y-l)2=5

B.(x-2)2+(y-3)2=13

C酸)+(廣丁=22

D.(x-1)2+(y-l)2=|

(2)(2022?全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y—1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M

上，則?！ǖ姆匠虨?

(1)AB(2)(x-l)2+(y+l)2=5[(1)對(duì)于A,點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)在圓(x—

2)2+(y—1)2=5上，故A正確；

對(duì)于B,點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)在圓(x—2)2+(y—3)2=13上，故B正確；

對(duì)于C,點(diǎn)(0,0),(-1,1)都不在圓(％—qj+Q_g2=22上，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,點(diǎn)(4,0),(-1,1)都不在圓(X-芋+。一.上，故D錯(cuò)誤.故選

AB.

⑵法一(三點(diǎn)共圓)：

?點(diǎn)〃在直線2x+y~1=0上，

設(shè)點(diǎn)〃為Q1—2°),又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。河上，

...點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑七

J(a—3)2+(1—2a2=Ja2+(—2a)2=R,

a2—6a+9+4a2—4a+1=5a2,解得a=l,

-1),R=店,

QM的方程為(x—l)2+(y+1)2=5.

法二(圓的幾何性質(zhì))：

由題意可知，/是以(3,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線了=3》-4與直線

2x+y—l=0的交點(diǎn)(1,-1).又圓的半徑火=花，所以?！ǖ姆匠虨?x—1)2+。

+1)2=5.］

名師點(diǎn)評(píng)求圓的方程的兩種方法

(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.

(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a,6)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

求出a,6r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,F的

方程組，進(jìn)而求出。，E,尸的值.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)若一圓的圓心坐標(biāo)為(2,—3),一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和了軸上，則

此圓的方程是()

A.(x—2)2+0+3)2=13

B.(x+2)2+(y-3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y—3)2=52

(2)已知aGR,方程a?/+(q+2)儼+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是

,半徑是.

(1)A(2)(-2,-4)5[⑴易得該直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,—6),

可得直徑長為2m,則半徑長為g,所以所求圓的方程是(X—2)2+(J+3)2=

13.

(2)由已知方程表示圓，得屋=。+2,

解得a=2或a—1.

當(dāng)。=2時(shí)，原方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當(dāng)a=-1時(shí)，原方程為》2+了2+4%+8了-5=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2A+(y+4>=25,

表示以(一2,—4)為圓心，半徑為5的圓.]

【教師備選資源】

1.(多選)設(shè)有一組圓G：(x—左)2+(y—左)2=4(左?R),下列命題正確的是()

A.不論上如何變化，圓心C始終在一條直線上

B.所有圓a均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)

C.經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓J有且只有一個(gè)

D.所有圓的面積均為4兀

ABD[圓心坐標(biāo)為(左，k),在直線y=x上，A正確；

令(3—￡)2+(0—左)2=4,化簡得2R—6左+5=0,=36-40=-4<0,：.2吩一

6左+5=0無實(shí)數(shù)根，...B正確；

由(2—￡)2+(2—￡)2=4,化簡得上2—4左+2=0,

VJ=16-8=8>0,此方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，

...經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Q有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；

由圓的半徑為2,得圓的面積為4兀，D正確.故選ABD.]

2.如圖，點(diǎn)2(0,8),8(0,2),那么在x軸正半軸上存在點(diǎn)C,使得NZC8最

大，這就是著名的米勒問題.那么當(dāng)NZC5取得最大時(shí)，AZ5c外接圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程是.

(x—4)2+(y—5)2=25［因?yàn)辄c(diǎn)Z,5是了軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是x軸正

半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)米勒定理及圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)△48C的外接圓與x

軸相切時(shí)，/ACB最大.由垂徑定理可知，弦45的垂直平分線必過△4SC外接

圓的圓心，所以弦48的中點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，即為△48C外接圓半徑的大小，即r

=5,依題意，設(shè)△ZBC的外接圓圓心為(a,5),a>0,可得△NBC的外接圓的

方程為(x—a)2+(y—5)2=25,把點(diǎn)2(0,8)代入圓的方程，求得a=4(負(fù)值舍去)，

所以LABC的外接圓的方程為(x—4)2+。-5)2=25.］

口考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題

考向1斜率型、截距型、距離型最值問題

［典例2］已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程爐十儼―以+1=0.求：

(里的最大值和最小值；

(2)v-x的最大值和最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

［解］原方程可化為(x—2>+產(chǎn)=3,表示以(2,0)為圓心，百為半徑的圓.

(1年的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)：=左，即3；=丘.

當(dāng)直線,v=Ax與圓相切時(shí)，斜率左取最大值或最小值(如圖1),此時(shí)|2fc-0|=V3,

Vfc2+i

解得k=±y/3.

所以，勺最大值為舊，最小值為-

X

圖1圖2圖3

(2?—x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱

截距b取得最大值或最小值(如圖2),此時(shí)與滬=8,解得Z)=-2±V6.

所以y—x的最大值為一2+n，最小值為一2—V6.

(3)%2+72表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，/+產(chǎn)在原點(diǎn)

和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3).

又圓心到原點(diǎn)的距離為J(2—0)2+(0—0)2=2,

所以x2+v2的最大值是(2+V3)2=7+4V3,最小值是(2—V3)2=7-4g.

〉考向2建立函數(shù)關(guān)系求最值

［典例3］設(shè)點(diǎn)尸(x,仍是圓：/+Q—3)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)2(2,0),8(—2,

0),貝伊力?尸8的最大值為.、-------'

12［法一：由題意，知刀=(2—x,~y),PB=(-2~x,~y),所以成?麗=

X2+J2.4；由于點(diǎn)尸(x,仍是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程/+。-3)2=1,故/

=-(y-3)2+l,所以成?而=一。-3)2+1+B一4=6y一12.由圓的方程/十

。一3>=1,易知2WyW4,所以當(dāng)y=4時(shí)，刀?麗的值最大，最大值為6X4

-12=12.

法二：由向量的極化恒等式，得方?麗=而2—前2=而2-4,

由于點(diǎn)尸在圓：爐+任一3)2=1上，則

當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,4)時(shí)，而2取得最大值16,

...方?麗的最大值為16-4=12.］

考向3利用對(duì)稱性求最值

22

［典例4］已知M,N分別是曲線G：必+/_以一4y+7=0,C2：x+j；-2x=0

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸為直線x+y+l=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM+FW的最小值為

()

A.V2B.V3

C.2D.3

D［曲線C：/+產(chǎn)一以一4y+7=0是以Ci(2,2)為圓心，半徑為1的圓，。2：

3+廿一2%=0是以。2(1,0)為圓心，半徑為1的圓.由圓的對(duì)稱性可得的最

小值為|PC|—i,1PM的最小值為|尸。2|一i.

過。2作直線x+y+l=O的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)為(加，n),

f,曰n1m+1,n?,八

可得一

m-1;=12,-2+-+1=0,

解得加=-1,n=-2,即5(—1,12).

連接5Ci,交直線于點(diǎn)尸，連接尸C2,可得|PCI|十『C2|=|PG|+|P5|，|5C]|=

V(2+l)2+(2+2)2=5.當(dāng)且僅當(dāng)8,P,Ci三點(diǎn)共線可得|PCi|十|PC2怕勺最小

值為5,則尸M+FM的最小值為5—2=3.故選D.]

名師點(diǎn)評(píng)

1.與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法

(1)斜率型：形如〃=?形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.

(2)截距型：形如/="+勿形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.

(3)距離型：形如機(jī)=(x—a)2+(y—6)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距

離的平方的最值問題.

2.建立函數(shù)關(guān)系式求最值問題的解題策略

根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用

參數(shù)法、配方法、判別式法、單調(diào)法等，利用基本不等式求最值.

3.求解形如(其中河，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓c有關(guān)的折線段的最值問題

的基本思路：

(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即

將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.(1)(2023?全國乙卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足/+儼一4_￥—2y一4=0,則x~y的最

大值是()

C.1+3V2D.7

(2)已知點(diǎn)P(x,y)為圓C：/+y2—以+3=0上一點(diǎn)，。為圓心，則麗?麗(0為

坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是()

A.[-3,1]B.[-1,1]

C.[-1,3]D.[1,3]

⑶(2024?廣東惠州模擬)已知圓G：(%—2)2+(y—3)2=1,圓Q：(%—3)2+(y—

4)2=9,M,N分別是圓C,C2上動(dòng)點(diǎn)，尸是x軸上動(dòng)點(diǎn)，則『川一的最大

值是.

⑴C(2)C(3)4+V2[⑴法一(判別式法)：令x—y=k,貝|》=上十了，

代入原式化簡得2產(chǎn)+(2左一6).v+砂一4左一4=0,

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y,則/20,

即(2k—6)2-4X2/2—4左一4)三0,

化簡得層一2左一17W0,解得1-3A/2^^＜1+3V2,

故x-y的最大值是3e+1.故選C.

法二(換元法)：x2+v2—4x—2j—4=0,

整理得(x—2)2+(y—1)2=9,

令x=3cos6+2,j?=3sin0+\,其中。?[0,2K],

貝Ux—j=3cos3sin0+1=3V2cos(6+：)+l,

因?yàn)閑?[o,2K],所以當(dāng)，則。+：=2兀，即。=:時(shí)，x—y取得最大

4L44J44

值3或+1.故選C.

法三(幾何意義)：由爐+產(chǎn)―4x—2y—4=0可得

(x-2)2+(v-l)2=9,

設(shè)》一＞=左，則圓心到直線》一＞=左的距離解得1—3/W左W1+

3V2.

故選C.

⑵將圓C的方程9+/一紙+3=0化為(x—2)2+V=i,所以圓心。的坐標(biāo)為(2,

0).所以而=(2—x,-j),而而=(—x,-y),所以麗?麗=爐+了2—2%.因?yàn)?/p>

x2+y2—4x+3=0,所以N+y2=4x—3,所以尸C?尸。=41一3—2x=2x—3.因?yàn)?/p>

(x-2)2+v2=l,所以1WXW3.因此一lW2x—3W3,從而而?而(O為坐標(biāo)原

點(diǎn))的取值范圍為[-1,3].故選C.

(3)由題設(shè)，Ci(2,3)且半徑為=1,。2(3,4)且半徑功=3,

所以|CIC2|=J(3—2>+(4-3)2=&<劣一7=2,即圓。2包含圓G.

又N分別是圓Ci,。2上動(dòng)點(diǎn)，尸是x軸上動(dòng)點(diǎn)，

要使平川一的最大，P，M,N,Ci,G共線且N在Ci,G的兩側(cè)，所

以

(|P^-|P^)max=|CiC2|+r2+ri=4+V2.]

【教師備選資源】

(2018,全國HI卷)直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于Z,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x

—2)2+/=2上，則AAB0面積的取值范圍是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2]

A[圓心(2,0網(wǎng)直線的距離d=缺羅=2/，所以點(diǎn)尸到直線的距離力@[魚，

3/].根據(jù)直線的方程可知Z,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2(—2,0),8(0,-2),所以

|^|=2V2,所以△AB0的面積S=^AB\d\=^2d\.因?yàn)榱璠V2,3V2]，所以S?[2,

6],即423尸面積的取值范圍是[2,6].]

口考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題

[典例5]已知直角三角形48c的斜邊為48,且Z(—1,0),8(3,0).求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊8c的中點(diǎn)M的軌跡方程.

[解](1)法一(直接法)：設(shè)C(x,y),因?yàn)殓?，B,C三點(diǎn)不共線，所以yWO.

因?yàn)閆CL5C,所以kac，kBc=—l.

又左/c=97，kc=^~,

x+1Bx—3

所以二Y?七■=—1,化簡得％2+產(chǎn)—2x—3=0.

I_LD

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為/十72-2%一3=0(yW0).

法二(定義法)：設(shè)45的中點(diǎn)為。，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得。(1,0),由直角三角形的

性質(zhì)知|。。=孑48|=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為

半徑的圓(由于Z,B,C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x—1>+產(chǎn)=4。W0).

(2)(相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)M(x,j),C(xo,jo),因?yàn)?(3,0),/是線段8c的中點(diǎn)，由中

點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=生產(chǎn)，所以xo=2x—3,yo=2y.由⑴知，點(diǎn)C的軌跡

方程為(x—l)2+y2=4(yW0),將xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,即

(X—2)2+v2=l.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為0—2)2+儼=l(y7^0).

名師點(diǎn)評(píng)求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.

(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解.

(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.

(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式

求解.

提醒：注意特殊點(diǎn)的取舍.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.如圖所示，兩根桿分別繞著定點(diǎn)/和5(48=2。)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

兩桿保持互相垂直，求桿的交點(diǎn)尸的軌跡方程.

［解］如圖，以4B所在直線為x軸，以線段45的垂直平分線為y軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，則2(一%0),B(a,0).

設(shè)尸(x,j),因?yàn)?8,

化簡得X2+儼=a\x^±a).

當(dāng)x=±a時(shí)，點(diǎn)尸與Z或8重合，此時(shí)了=0,滿足上式.故點(diǎn)尸的軌跡方程是

x2+^2=a2.

拓展視野2阿波羅尼斯圓

如圖，點(diǎn)Z,5為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足|我|=4?卻

AB

當(dāng)4=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為直線；當(dāng)丸＞0且丸W1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為圓，后世

稱之為阿波羅尼斯圓.

證明：設(shè)|48|=2儂優(yōu)＞0),|E4|=7|尸引，以48的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線48為x軸建

立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則/(一加0),B(m,0).

又設(shè)P(x,y),則由|口|=用尸引得J(%+m)2+y2=丸J(%-7n)2+y2,

兩邊平方并化簡整理得(下一1)x2—2m(A2+1)x+(A2—l)j2=m2(l—A2).

當(dāng)7=1時(shí)，x=0,軌跡為線段Z5的垂直平分線；

當(dāng)丸＞0且7W1時(shí)，(久一看2m)+y=(：；：尸軌跡為以點(diǎn)(芫|g，0)為圓心，

[典例](1)(多選)(2024?海南中學(xué)模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系。町中，4—2,

0),8(4,0).點(diǎn)尸滿足黑=g設(shè)點(diǎn)尸所構(gòu)成的曲線為C,下列結(jié)論正確的是

()

A.C的方程為(x+4)2+y2=16

B.在C上存在點(diǎn)。，使得。到點(diǎn)(1,1)的距離為10

C.在C上存在點(diǎn)使得|M0|=2|M4|

D.C上的點(diǎn)到直線3x—4y—13=0的最大距離為9

(2)在平面直角坐標(biāo)系。町中，設(shè)點(diǎn)2(1,0),8(3,0),C(0,a),。(0,a+2),

若存在點(diǎn)P,使得阿=魚|05|,|PC|=『0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(1)AD(2)[-2V2-L2V2-1][⑴由題意可設(shè)點(diǎn)P(x,y),由2(—2,0),5(4,

0)l^l-1得J(x+2)2+y2=」

1，|PB|-2'寸J(x_4)2+y2-2,

化簡得—+廿+8x=0,即(》+4)2+廿=16,A正確;

點(diǎn)(1,1)到圓上的點(diǎn)的最大距離為J(—4—1)2+(0—1)2+4＜10,故不存在點(diǎn)。

符合題意，B錯(cuò)誤；

設(shè)M(xo,/)，由|M0|=2|M4|,得J焉+%=2j(%o+2)2+端又(%o+41+%

=16,

聯(lián)立方程消去刈得xo=2,解得外無解，C錯(cuò)誤；

C的圓心(一4,0)到直線3x-4j-13=0的距離為d=—(-：)-冏=5,且曲線C的

半徑為4,則C上的點(diǎn)到直線3x—4卜一13=0的最大距離為d+r=5+4=9,D

正確.故選AD.

(2)設(shè)尸(x,y),則J(4-1)2+儼=魚?J(%―3)2+*,

整理得(工-5)2+儼=8,即動(dòng)點(diǎn)尸在以(5,0)為圓心，2聲為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).另

一方面，由|PC|=|P0知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在線段CD的垂直平分線了=。+1上運(yùn)動(dòng)，因而

問題就轉(zhuǎn)化為直線y=a+l與圓(x—5>+產(chǎn)=8有交點(diǎn).所以|a+l|W2VI故實(shí)數(shù)

。的取值范圍是[―2加-1,2V2-1].]

課時(shí)分層作業(yè)(五十二)圓的方程

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'單項(xiàng)選擇題

1.(2022?北京高考)若直線2x+yT=0是圓(x—4+/=1的一條對(duì)稱軸，則

?=()

11

A.-B.--C.1D.-1

22

A[若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，圓心坐標(biāo)(a,0),所以由2a+0—1

1

=0,解得a=].]

2.設(shè)甲：實(shí)數(shù)a<3；乙：方程f+廿一%+3y+。=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

B[若方程爐+產(chǎn)-x+3.v+a=0表示圓，

貝可(-1)2+32—4。=10—4。>0,解得a<|.

"二a<3a<^-=>a<3,

2，2，

，甲是乙的必要不充分條件.故選B.]

3.(2023?廣東湛江二模)若與y軸相切的圓C與直線/：也相切，且圓。

經(jīng)過點(diǎn)尸(2,V3),則圓C的直徑為()

A.2B.2或上

3

「7八7Txi6

C.-D.-34—

443

B[因?yàn)橹本€/:y=*的傾斜角為30。，

所以圓C的圓心在兩切線所成角的角平分線上.

設(shè)圓心C(a,V3a),則圓C的方程為

(x-a)2+(y-V3a)2=a2,

將點(diǎn)尸(2,舊)的坐標(biāo)代入，得(2—a>+(百一四°)2=屋，整理得3/-104+7=

,7

0,解得。=1或Q=]

所以圓C的直徑為2或？.故選B.]

4.如果實(shí)數(shù)x,y滿足(x—1)2+儼=不那么[的最大值是()

1

BV3-

-

A.23

C.yD.V3

D[顯然xWO,令予=左，即^=丘，代入(x—l)2+y2=:得(1+左2)/—2x+[=0,

所以/=4—4X(l+左2)乂二三0,解得一百W左Wg.

所以上的最大值為舊,故選D.]

5.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.4B.5

C.6D.7

A[設(shè)圓心C(x,y),則JO—3>+(y—4)2=1,

化簡得(x—3)2+(y—4/=1,

所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓，如圖，

所以|OC|+lNQM=，32+42=5,所以。。|三5一1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段(W

上時(shí)取得等號(hào)，故選A.]

6.(2024?湖南郴州模擬)已知Z,8是。C：(x—2)2+。-4>=25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

產(chǎn)是線段45的中點(diǎn)，若14sl=6,則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.(x-4)2+(y-2)2=16

B.(x-2)2+(y-4)2=ll

C.(x-2)2+(y-4)2=16

D.(x―4)2+(y—2)2=11

C[N,8是。C:(x—2)2+。一4)2=25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是線段Z5的中點(diǎn)，

=6,圓的半徑為5,可得1Pq=，25—9=4,所以點(diǎn)尸的軌跡方程為(X—2)2+0

-4>=16.故選C.]

7.一束光線從點(diǎn)2(—3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x—2>+(y—3)2=1上的

最短路徑的長度是()

A.4B.5

C.5V2-1D.2V6-1

C[根據(jù)題意，設(shè)⑷與Z關(guān)于X軸對(duì)稱，且幺(一3,2),則?的坐標(biāo)為(一3,-

2),又由M'C|=V25+25=5魚,則4到圓C上的點(diǎn)的最短距離為5加—1.故這

束光線從點(diǎn)2(—3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C:(》一2)2+。-3)2=1上的最短路

徑的長度是5四一1.故選C.]

8.(2024?北京海淀區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知產(chǎn)是圓C：(x-3)2

+(y—4)2=1上的動(dòng)點(diǎn).若省一a,0),5(a,0),a#0,則|成+而|的最大值為()

A.16B.12

C.8D.6

B［因?yàn)閨方+而|=2］而而1max=QC|+l=百+1=6,所以|方+而Imax

=12.故選B.]

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2024?遼寧沈陽模擬)若方程/+廿+9+4+廠=。表示以(2,—4)為圓心,

4為半徑的圓，則下列結(jié)論正確的是()

A.F=4

B.圓關(guān)于直線y=—2x對(duì)稱

C.圓與〉軸相切

D.-2)2+(y-1)2的最大值為9

ABD[由題意，以(2,—4)為圓心，4為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》一2)2+。+4)2

=16,

化成圓的一般式為f+f—4x+8y+4=0,A正確；

因?yàn)閳A心(2,—4)在直線y=-2x上，所以圓關(guān)于直線y=-2x對(duì)稱，B正確；

圓心到y(tǒng)軸的距離d=2V4,則圓與y軸相交，C錯(cuò)誤；

—2尸+(y—1)2的幾何意義為圓上任意一點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(2,1)的距離，

從而J(%—2)2+(y—1)2的最大值為圓心Q,一4)到點(diǎn)(2,1)距離與半徑之和，

故J(%—2)2+(y—l)2的最大值為J(2—2>+(—4—1)2

+4=9,D正確.故選ABD.]

10.(2024?山東鄴城模擬)已知點(diǎn)幺(1,0),5(—2,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足翳=2,則

下面結(jié)論正確的為()

A.點(diǎn)尸的軌跡方程為(》+3)2+儼=4

B.點(diǎn)尸到原點(diǎn)。的距離的最大值為5

C.△P48面積的最大值為4

D.PA?麗的最大值為18

ABD［設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),

則由1^1?

IP陰J(%+2)2+y2

即(x—1)2+y2=4[(%+2)2+y2],

化簡得：x2+/+6x+5=0,即(、+3)2+儼=4,A正確;

因?yàn)辄c(diǎn)尸軌跡是圓心為(一3,0),半徑為2的圓，

則點(diǎn)P到原點(diǎn)。的距離最大值為J(—3—0)2+(0—0)2+2=5,B正確；

又Z,8和點(diǎn)尸軌跡的圓心都在x軸上，且|48|=3,

所以當(dāng)圓的半徑垂直于x軸時(shí)，△K48面積取得最大值1X3X2=3,C錯(cuò)誤；

又P4?PB=(1—x,—y),(—2—%,-j)=(l—x)(—2—x)+v2=x2+j2+x—2,

因?yàn)閥2=-x2—6x—5(——1),

所以港?麗=—5x—7(—5WxW—l),

則兩?而w—5X(—5)—7=18,D正確.

故選ABD.]

三、填空題

11.(2024?云南昆明模擬)已知點(diǎn)Z(—2,0),B(0,2),動(dòng)點(diǎn)M滿足俞?祈豆

=0,則點(diǎn)/到直線y=x+2的距離可以是.(寫出一個(gè)符合題意的整數(shù)

值)

0或1(只寫一個(gè)即可)[由題設(shè)知前，而瓦即〃在以48為直徑的圓上，且圓

心為(-1,1),半徑為四，

所以M的軌跡為(x+1)2+07—1)2=2,

而(-1,1)到直線y=x+2的距離為公親=0,即直線過圓心，

所以河到直線y=x+2的距離范圍[0,V2],

所以點(diǎn)〃到直線了=x+2的距離的整數(shù)值可以是0或1.]

12.已知等腰三角形Z8C,其中頂點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(0,0)