2024年中考數(shù)學(xué)突破費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)（原卷版）

專題2-2費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

好■/題型?解讀/

1

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

題型一普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題

題型二加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

題型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

*w滿分?技巧/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【問(wèn)題提出】如圖△/EC所有的內(nèi)角都小于120度，在△力6。內(nèi)部有一點(diǎn)尸，連接口、PB、PC,

當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求此時(shí)2/陽(yáng)與乙ZQC的度數(shù).

P

B,C

【問(wèn)題處理】如圖L將A/C毆著點(diǎn)。頓時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△4C尸，則△ZC&A4C尸，CP=CP,AP

=4戶，乂?：乙PCF=60°,CP是等邊三角形，‘尸尸1=%,.-,PA+PB+PC=PA+PB+PP,

如圖2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)氏P、尸、4共線時(shí)，84+尸8+尸。最小，最小值為此時(shí)48尸。=乙4尸。=心力尸8

【問(wèn)題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：

1對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三

角形的等角中心；

也）對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3,連接力4,我們發(fā)現(xiàn)△ZC4為等邊三角形，點(diǎn)唯48上，同理，我們可以得到等

邊△843,點(diǎn)尸也在。8上，因此，我們可以以△Z6C三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線

的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120。時(shí)）

B'

0、

BC

圖3

【例1】如圖，在△/BC中，AACB=90°,AB=AC=1,尸是△NBC內(nèi)一點(diǎn)，求尸N+PB+尸。的最小值.

【練習(xí)1］如圖，已知矩形/8CO,/B=4,3C=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)￡為8C邊上任意一點(diǎn),貝IJM4+MD+ME

的最小值為.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問(wèn)題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解決方法類似，也

是通過(guò)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過(guò)要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。

【類型一單系數(shù)類】

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度；V2對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90：%對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°

另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形Z8C中，邊長(zhǎng)為4,映三角形Z6C內(nèi)部一點(diǎn)，求4P+HP+0PC的最小值

AA

【練習(xí)2】在中，/C=3,BC=26,￡為三角形/8C內(nèi)部一點(diǎn)，求4P+3P+岳。的最小值

BB

【類型二多系數(shù)類】

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法；

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形.

【例3】如圖，在AABC中，乙4c3=60。，5C=3,ZC=4,在AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接P4,PB,PC,

則（1）4尸2+、5尸8+尸。的最小值為；（2）且「2+!必+產(chǎn)。的最小值為

2222

BCBC

【練習(xí)3】如圖，在△力6。中，ACB=60°,BC=36,AC=6,在△力夕。內(nèi)部有一點(diǎn)尸，連接

PA,PB,PC,貝12PZ+P8+@的最小值為.

*■/核心?題型/

題型一普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題

1.（2021濱州）如圖，在△NBC中，乙4cB=90。,ABAC=30°,48=2,點(diǎn)P是△NBC內(nèi)一點(diǎn)，則

PA+PB+PC的最小值為-

CA

2.問(wèn)題背景：如圖1,將△Z8C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到42?！闐E與BC交于點(diǎn)P,可推出結(jié)論:

PA+PC=PE.

問(wèn)題解決：如圖2,在△例/VG中，MN=6,4例=75°,例G=4也，點(diǎn)。是△例/VG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到

△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

圖2

3.如圖，在A/IE。中，4c48=90°,AB=AC=2,Q是△Z8C內(nèi)一點(diǎn)，求〃+陽(yáng)+QC的最小值.

4,已知，在△ZI8C中，乙208=30°,力。=4,48=J7(CB>C4)點(diǎn)?是AZE。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，貝I」84+陽(yáng)

+尸。的最小值為

A

P

8C

5.如圖，已知矩形ZECD,AB=4,EC=6,點(diǎn)例為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)￡為8。邊上任意一點(diǎn)，則/U4+

MD+點(diǎn)的最小值為.

6.4B、C、。四個(gè)城市恰好為一個(gè)邊長(zhǎng)為2a正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市

之間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度（/尸+BP+PQ+DQ+CQ）最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建?

最小長(zhǎng)度是多少?

B

2023?隨州中考真題

7.1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)4B,C,求

平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明,

該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題.

(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，如圖1,將△4PC繞，點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A/'PC,連接PP,

由PC=PC,APCP'=60P,可知為______三角形，故PP=PC,又P/=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP1>A'B,

由②可知.當(dāng)B,P,P,Z在同一條直線上時(shí)，尸/+尸6+PC取最小值，如圖2,最小值為42,此時(shí)

的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有ZAPC=NBPC=AAPB=；

已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若N8NCN120。，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn).

(2)如圖4,在“8C中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且ZC=3,BC=4,ZACB=30°,已知點(diǎn)尸為"8C的"費(fèi)

馬點(diǎn)”，求尸/+P8+PC的值；

CBCB

(3)如圖5,設(shè)村莊Z,B,。的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知/C=4km,BC=2?m,乙4c8=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向4B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊4B,。的鋪設(shè)成本分別為

a元/km,a元/km,0a元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)

果用含a的式子表示）

廣東省江門市一模

8.如圖，在AABC中，/胡。=90。,48=5,/。=26，點(diǎn)尸為“3C內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)P到“3C三個(gè)頂點(diǎn)

之和的最小值是.

武漢中考

9.問(wèn)題背景：如圖1,將△NBC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE與BC交于效P,可推出結(jié)論:

PA+PC=PE.

問(wèn)題解決：如圖2,在中，MN=6,乙M=75°,MG=4夜，點(diǎn)。是△?花內(nèi)一點(diǎn)，貝［］點(diǎn)。到△AWG

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

2023?四川宜賓?中考真題

10.如圖，拋物線了="2+/+0經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（-3,0）,頂點(diǎn)為W（Tm）,且拋物線與N軸的交點(diǎn)8在（0,-2）和

（0,-3）之間（不含端點(diǎn)）,則下列結(jié)論:

③當(dāng)-3SXW1時(shí)，"0；②當(dāng)?shù)拿娣e為還時(shí)，a=6,

22

③當(dāng)“BM為直角三角形時(shí)，在^AOB內(nèi)存在唯一點(diǎn)P,

使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+973.

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

一題四問(wèn)，從特殊到一般

11.背景資料：在已知“3C所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖

1,當(dāng)zU8c三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在內(nèi)部，當(dāng)乙4尸8=乙42^=/。尸8=120。時(shí)，則

PA+PB+PC取得最〃、值.

(1)如圖2,等邊08C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求N4PB的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將“2尸繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)A/CP=A/AP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,

將三條線段加、PB、尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出乙1尸8=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與08C的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)

題.

(2)如圖3,三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在外側(cè)作等邊三角形AWBU,連接C9,求證：CB'過(guò)^ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在尺加48。中，ZC=90°,AC=1,N/8C=30。，點(diǎn)尸為“3C的費(fèi)馬點(diǎn)，連接/尸、BP、CP,

求尸N+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形/BCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接/￡、BE、CE,且邊長(zhǎng)/B=2；求AE+BE+CE

的最小值.

題型二加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)■單系數(shù)型

2023?武漢?慧泉中學(xué)校月考

3

12.如圖，RtZUBC中，ZCAB=30°,8C=§,點(diǎn)尸為內(nèi)一點(diǎn)，連接上4,心,尸C,則尸C+P8+百尸N

的最小值為.

西安市鐵一中二模

13.已知，如圖在“3C中，44c3=30。，BC=5,AC=6,在"3C內(nèi)部有一點(diǎn)。連接則

DA+DB+42DC的最小值是.

2023'成都市郭都區(qū)中考二模

14.如圖，矩形他CD中，AB=2,3C=3,點(diǎn)E是N5的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8c邊上一動(dòng)點(diǎn).將/BEF沿著E尸

翻折，使得點(diǎn)8落在點(diǎn)夕處，若點(diǎn)尸是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接HT、PC、PD,則JlPC+BD的最

小值為.

題型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

1JS

15.在邊長(zhǎng)為4的正△28。中有一點(diǎn)尸