整式與因式分解（原卷版）-2024年中考數(shù)學真題

主題一數(shù)與式

k_____________________________________________________________________

整式與因式分解

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準把握重難點）

考點回歸（梳理基礎考點，清晰明了，便于識記）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一整式的加減與化簡求值

A考向二單項式與多項式的乘法

A考向三完全平方公式

A考向四平方差公式

A考向五整式的混合運算

A考向六因式分解

A考向七因式分解的應用

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）

知識目標

1、能并用代數(shù)式表示，會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定問題找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計

算.

2、掌握同類項及合并同類項的概念，并能熟練進行合并；掌握同類項的有關應用.

3、掌握去括號與添括號法則，充分注意變號法則的應用；會用整式的加減運算法則，熟練進行整式的化簡

及求值.

4、同底數(shù)嘉的乘法運算性質的過程，感受嘉的意義，發(fā)展推理能力和表達能力，提高計算能力.

5、了解整式的概念和有關法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算.

6、會推導平方差公式和完全平方公式，會進行簡單的計算；會用提公因式法、公式法進行因式分解.

三k中考解密

1.以考查整式的加減、乘除、乘法公式、得的運算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點，年年考查,

是廣大考生的得分點，分值為12分左右。

2.預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查嘉的運算性質、因式分解、整式的化簡、代入求值、探究規(guī)律，為避

免丟分，學生應扎實掌握.

金^考點回歸

代數(shù)式的有關1.代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.

概念2.代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號“x”用“?”表示或省略不寫；分數(shù)不要

用帶分數(shù)；除號用分數(shù)線表示等.

3.代數(shù)式的值：用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母，按運算順序計算出的結

果叫做代數(shù)式的值。

4.求代數(shù)式的值分兩步：第一步，代數(shù)；第二步，計算.要充分利用“整體”

思想求代數(shù)式的值。

整式的有關概1,整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

念2.單項式：單項式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項式中的數(shù)

字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)單項式中所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù).

【注意】單項式的系數(shù)包括它前面的符號

3.多項式：幾個單項式的和叫做多項式；多項式中，每一個單項式叫做多

項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項；多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)就

是這個多項式的次數(shù).

4.同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同

類項.

塞的運算1.同底數(shù)黑的乘法法則：同底數(shù)騫相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

【式子表達】：am-an=am+\（加，〃都是正整數(shù)）

［°，陽，”代表的廣泛性】代表數(shù)，字母，單項式，多項式.

［拓展］^（機，〃，夕都是正整數(shù)）等.

【要點】①同底數(shù)鬲，區(qū)別非同底數(shù)鬲.

②相乘，區(qū)別相加.

③底數(shù)不變.區(qū)別合并同類項，將底數(shù)的系數(shù)相加.

④指數(shù)相加，區(qū)別相乘.

【數(shù)學思想】將乘法運算轉化為加法運算，即將二級運算轉化為一級運算，

從而簡化運算.

2.寨的乘方是指幾個相同的幕相乘.

法則：募的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（腔）"=1"（m,n都是正整

數(shù)）.

3.積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方.

法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的募相乘

Uby=anbn（n是正整數(shù)）.

4.同底數(shù)褰的除法法則：同底數(shù)騫相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

am^an=am-n（m,n都是正整數(shù)，且m>n）;

a0=1（a#0）.

【溫馨提示】

1.鬲的乘方法則的條件是“鬲”的乘方，結論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”.這

里的“底數(shù)不變”是指“第”的底數(shù)“a”不變.例如：（a3）2=a6,其中，“第”的

底數(shù)是“a”，而不是“a2”，指數(shù)相乘是指“3x2”.

2.騫的乘方的指數(shù)中若有多項式，指數(shù)相乘時要帶括號.

3.同底數(shù)器的乘法和騫的乘方在應用時，不要發(fā)生混淆.

4.式子（a+b）2不可以寫成/+〃，因為括號內(nèi)的a與b是，加”的關系，

不是“乘”的關系.

5.應用積的乘方時，特別注意觀察底數(shù)含有幾個因式都分別乘方；要特

別注意系數(shù)及系數(shù)符號，對于系數(shù)是負數(shù)的要多加注意.

【方法技巧】

I~-\p

1.募的乘方：（腔）”=amp（m,n,p都是正整數(shù)）.

例如：[（/）3]4=X2、3*4=》24.這一性質由乘方運算降為乘法運算（指數(shù)

相乘）.

2.注意逆用騫的乘方法則，例如：amn=（屋）".

逆用積的乘方法則有。"力",即指數(shù)相同的鬲相乘，可將底數(shù)相

乘，相同的指數(shù)作為共同的指數(shù).

整式的加減幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。

整式的乘法1.單項式乘單項式

運算性質：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對

于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

注意①在計算時，應先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積②

注意按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性

質對于多個單項式相乘仍然成立.

2.單項式乘多項式：m(a+b+c)=ma+mb+mc.

(1)單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單

項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

(2)單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：

①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式；②用單項式去

乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號.

3.多項式乘多項式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

(1)多項式與多項式相乘的法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一

項，再把所得的積相加.

(2)運用法則時應注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相

乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之

積.

整式的除法1.單項式除以單項式，把系數(shù)、同底數(shù)的鬲分別相除，作為商的因式。對

于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式。

2.多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的

商相加。

乘法公式1,完全平方公式

(1)完全平方公式:Ca+l^=a2+2ab+b2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右

邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是

兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同.

(3)完全平方公式的幾何背景

①運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間

的數(shù)量關系對完全平方公式做出幾何解釋.

②常見驗證完全平方公式的幾何圖形

^a+b?=a2+2ab+b2.(用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b

的兩個正方形與兩個長寬分別是a,b的長方形的面積和作為相等關系)

(4)完全平方式

完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A,如果存在另

一個實系數(shù)整式B,使2=52,則稱A是完全平方式.

a2+2ab+b2=Ca+b)2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的

平方.另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方.算時

有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中

央.(就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2,然

后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中

間的符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-，后邊的符號

都用+)”

2.平方差公式

(1)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平

方差.

(a+b)(a-b)=a~-b~

(2)平方差公式的幾何背景

①常見驗證平方差公式的幾何圖形(利用圖形的面積和作為相等關系列出

等式即可驗證平方差公式).

口[------a—||-占.-|-b-j閃b互

羯2圖8

/-yV

aab

圖(3；

②運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的

數(shù)量關系對平方差公式做出幾何解釋.

探索規(guī)律與說1.解決規(guī)律探索型問題的策略是：

理通過對所給的一組(或一串)式子及結論，進行全面細致地觀察、分析、

比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結論，然后再給出合

理的證明或加以應用.

2.圖形固定累加規(guī)律：

(1)找關系：找后一個圖形所求元素個數(shù)與前一個圖形所求元素個數(shù)之間的

關系，一般通過作差的形式進行觀察；

(2)找規(guī)律：若第一個圖形所求元素個數(shù)為a,第二個圖形所求元素個數(shù)比

第一個圖形所求元素個數(shù)多b,且此后每一個圖形所求元素個數(shù)比前一個

圖形所求元素個數(shù)多b,則第n個圖形所求元素個數(shù)為a+b(n-l)；

⑶驗證：代入序號驗證所求代數(shù)式.

因式分解的概把一個多項式化成幾個因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法

念是互逆運算.

因式分解的基1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

本方法2.公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a+2ab+〃=(。+廳；

/—2ub+/=—bY0

3.分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

4.十字相乘法：Q2+(p+q)Q+pq=(Q+p)(Q+q)

分解因式的一1.如果多項式各項有公因式，應先提取公因式；

般步驟2.如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：

為兩項時，考慮平方差公式；

為三項時，考慮完全平方公式；

為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；

3.檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.

以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.

,重點考向

A考向一整式的加減與化簡求值

廨題按f亍易錯易混7痔期提醒一

①仔細辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義.如“除''與"除以”，“平方的

差（或平方差）與“差的平方’’的詞義區(qū)分.

②分清數(shù)量關系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系.

③注意運算順序.列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又

要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來.

④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與

數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么

時不加括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當運用.

⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

匚一（、萬醺而3一茬;希稱我的蓼想「數(shù)孽普看時育爐數(shù)摹匐薪浚訐活動幣;二膏塞星;；不孤浚訐了二不藪季揉

究活動；對依次排列的兩個整式加，"按如下規(guī)律進行操作：

第1次操作后得到整式中m,n,n-mi

第2次操作后得到整式中機，〃，〃-"2,-m；

第3次操作后……

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活

動命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）

A.m+nB.mC.n-mD.In

2.（2023?重慶）（定義新運算）在多項式x-y-z-加-〃（其中x>y>z>m>〃）中，對相鄰的兩個字母

間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操

作”.例如：x-y-\z-m\-n=x-y-z+w-n,\x-y\-z-\m-n\—x-y-z-m+n,....下列說法:

①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3.(2023?沈陽)當a+b=3時，代數(shù)式2(a+2b)-(3a+56)+5的值為.

4.(2023?泰州)若2a-6+3=0,貝U2(2a+6)-46的值為.

A考向二單項式與多項式的乘法

5.(2023?瀘州)下列運算正確的是()

A.加3-m2—mB.

C.3m2+2mi—5m5D.(2加2)3=8加

6.(2023?金昌)計算：a(a+2)-2a=()

A.2B.a2C.a2+2aD.a2-2a

7.（2023?隨州）設有邊長分別為。和6（a>6）的4類和8類正方形紙片、長為。寬為6的C類矩形紙

片若干張.如圖所示要拼一個邊長為a+6的正方形，需要1張/類紙片、1張8類紙片和2張C類紙

片.若要拼一個長為3a+6、寬為2a+26的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為（）

D.9

A考向三完全平方公式

解題技巧/易錯易混/特別提醒

應用完全平方公式時，要注意：

①公式中的a,b可是單項式，也可以是多項式；

②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；

③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式.

一石石］.赤峰）一下列運算至褫的是一（---、

A.(a2/?3)2—a4b6B.3ab-lab—1

C.(-a)3,o=a4D.(a+6)2=a2+b2

9.（2023?大慶）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人

們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”.

1

(a+b)i=a+b

11

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b"=Q3+3/b+3ab2+b3

14641(a+b尸=<14+4036+60262+4^3+64

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（a+b）7展開的多項式中各項系數(shù)之和

為—.

10.（2023?攀枝花）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數(shù)恒等式.給出以下4組圖形及相應的

代數(shù)恒等式:

①(a+b)2=a2+2ab+b2②(a—b)2=az—2ab+b2

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

A考向四平方差公式

解題技巧/易錯易混/特別提醒

應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡

便.

10.(2023?東營)下列運算結果正確的是()

A.x3,x3=x9B.2x3+3》3=5x6

C.(2x2)3=6x6D.(2+3x)(2-3x)=4-9x2

11.(2023?湖州)計算：(a+1)(a-1)=.

12.(2023?無錫)(1)計算：(-3)2-V25+|-4|;

(2)化簡：(1+2y)(x-2y)-x(x-y).

A考向五整式的混合運算

廨施技工力易錯易盅7將別盤酉星

有關代數(shù)式的常見題型為用代數(shù)式表示數(shù)字或圖形的變化規(guī)律.數(shù)與圖形的規(guī)律探索問題，關鍵要能夠通過

觀察、分析、聯(lián)想與歸納找出數(shù)或圖形的變化規(guī)律，并用代數(shù)式表示出來.

13.(2023?麗水)如圖，分別以a,b,m,〃為邊長作正方形，己知加＞"且滿足面〃-加=2,an+bm—

4.

(1)若。=3,6=4,則圖1陰影部分的面積是25；

(2)若圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形/3CD的面積為5,則圖2陰影部分的面積是—.

14.(2023?宿遷)若實數(shù)加滿足(m-2023)2+(2024-m)2=2025,則(m-2023)(2024-m)

15.(2023?涼山州)先化簡，再求值(2x+y)2-⑵+y)(2x-y)-2y(x+y),其中x=(寺)2023,尸

22022.

A考向六因式分解

解題技巧/易錯易混/特別提醒

因式分解是中考的高頻考點，其題型一般為填空題，難度中等。解此類題的關鍵在于熟練掌握因式分解的

兩種基本方法，即提取公因式法和公式法。

因式分解的一般步驟：

一提二套三檢查

16.(2023?黃石)因式分解：x(y-1)+4(1-y)=.

17.(2023?益陽)下列因式分解正確的是()

A.2a2-4a+2—2(〃-1)2

B.a1+ab+a=a(a+b)

C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b)

D.a3b-ab3=ab(a-b)2

18.(2023?綏化)因式分解：x2+xy-xz-yz=.

19.(2023?濟寧)下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是()

A.(。+3)2=層+6。+9

B.a2~4Q+4=Q(Q-4)+4

C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)

D.Q2-2Q-8=(fl-2)(Q+4)

A考向七因式分解的應用

20.(2023?浙江)一個多項式，把它因式分解后有一個因式為(x+1),請你寫出一個符合條件的多項

式：.

21.(2023?涼山州)已知N-2x-1=0,貝ij3x3-10x2+5x+2027的值等于.

最新真題套萃

1.（2023?重慶）對于一個四位自然數(shù)若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6,百位數(shù)字比十位數(shù)字多2,則

稱M為“天真數(shù)”.如：四位數(shù)7311,「7-1=6,3-1=2,；.7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421,.

8-屏6,二8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個“天真數(shù)””的千位數(shù)字為a,

百位數(shù)字為6,十位數(shù)字為c,個位數(shù)字為d,記尸（7W）=3（a+6）+c+d,Q（M）=a-5,若E■售?

Q（M）

能被10整除，則滿足條件的M的最大值為.

233

2.（2023?陜西）計算：6xy.（Axy）=（）

A.3今5B.-3x4j5C.3x3y6D.-3x3y6

3.（2023?揚州）若（）?2a1b^?.aib,則括號內(nèi)應填的單項式是（）

A.aB.2aC.abD.lab

4.（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示（41）.某同學分別用6

張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如表2和表3,其面積分別為Si，S2.

（2）比較矯與S2的大小，并說明理由.

5.（2023?浙江）（1）解不等式：2x-3>x+l.

（2）已知02+3ab=5,求（a+b）（a+26）-2〃的值.

6.（2023?臺州）下列運算正確的是（）

A.2（a-1）=2a-2B.Ca+b)2=4+62

C.3。+2。=5。2D.(ab)2=%

7.（2023?日照）下列計算正確的是（）

A.a2-a3=a6B.(-2m2)3=-8m6

C.（x+y）2=x2+y2D.2ab+30^=5a3b2

8.（2023?淄博）下列計算結果正確的是（)

A.3a+2a=5aB.3a-2a—\

。

C.3a，2a=6aD.(3a)+(2a)=3