1.1.3直線的方程（第1課時(shí)直線方程的點(diǎn)斜式斜截式）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

1.3

直線的方程第1課時(shí)直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式第一章直線與圓北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式,并會(huì)用它們求直線的方程.2.了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.3.會(huì)用直線方程的點(diǎn)斜式與斜截式解決直線的平行與垂直問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

直線方程的點(diǎn)斜式1.直線的方程一般地,如果一條直線l上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是一個(gè)方程的解,并且以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上,那么這個(gè)方程稱為

.

2.直線方程的點(diǎn)斜式已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),且斜率為k,設(shè)Q(x,y)是直線l上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)P,Q都在直線l上,所以,即

,稱為直線方程的點(diǎn)斜式.

直線l的方程

y-y0=k(x-x0)名師點(diǎn)睛1.點(diǎn)斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在,若斜率不存在,則不能應(yīng)用此式.2.點(diǎn)斜式方程中的點(diǎn)只要是這條直線上的點(diǎn),哪一個(gè)都可以.3.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),方程可簡寫為y=y0.特別地,x軸所在直線方程是y=0;當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí),不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時(shí)可將方程寫成x=x0.特別地,y軸所在直線方程是x=0.思考辨析已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,3),且斜率k=2,Q(x,y)為直線l上的任一點(diǎn),試推導(dǎo)x,y滿足的關(guān)系式.提示

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P不重合時(shí),有

=2,即y=2x+3;當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí),把P(0,3)代入y=2x+3,式子成立,故x,y滿足的關(guān)系式為y=2x+3.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)y軸所在直線方程為y=0.(

)(2)直線y-10=k(x+6)恒過定點(diǎn)(-6,10).(

)(3)經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0)的所有直線都能用直線方程的點(diǎn)斜式來表示.(

)×√×2.[2024四川綿陽期末]已知直線l過點(diǎn)(1,1),且傾斜角為90°,則直線l的方程為(

)

A.x+y=1 B.x-y=1C.y=1 D.x=1D解析

因?yàn)橹本€l的傾斜角為90°,所以該直線斜率不存在,與x軸垂直,又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(1,1),所以直線l的方程為x=1.故選D.3.[人教A版教材習(xí)題]寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程.(3)y-3=0.知識(shí)點(diǎn)2

直線方程的斜截式若直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,b)且斜率為k,則點(diǎn)斜式中的點(diǎn)P(x0,y0)就可以為點(diǎn)(0,b),所以該直線方程的點(diǎn)斜式為y-b=k(x-0),即y=kx+b.該方程中的k為直線l的斜率,b為直線l在y軸上的

.稱y=kx+b為直線方程的斜截式.

注意與一次函數(shù)的區(qū)別

名師點(diǎn)睛1.直線方程的斜截式是直線方程的點(diǎn)斜式的特殊情況.2.截距是一個(gè)實(shí)數(shù),它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距,如直線y=2x-1的斜率k=2,在y軸上的截距為-1.截距思考辨析直線l過點(diǎn)P(0,b)且斜率為k,如何表示直線l的方程?提示

根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式有y-b=k(x-0),即y=kx+b.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)直線在y軸上的截距是直線與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(

)(2)直線y=kx-b在y軸上的截距為b.(

)(3)斜率相等,在y軸上的截距相等的兩直線重合.(

)×××2.[人教B版教材習(xí)題改編]根據(jù)下列直線方程,分別求出直線的斜率及在y軸上的截距.(1)y-2=x+1;(2)y+4=(x-2);(3)4x+y-3=0.3.[人教B版教材習(xí)題]寫出下列直線的斜截式方程.(1)斜率是,在y軸上的截距是-2;(2)斜率是-2,在y軸上的截距是4.(2)y=-2x+4.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一直線方程的點(diǎn)斜式【例1】

寫出下列直線方程的點(diǎn)斜式.(1)經(jīng)過點(diǎn)(2,5),傾斜角為45°;(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且l的一個(gè)方向向量為(1,2);(3)經(jīng)過點(diǎn)C(-1,-1),且與x軸平行;(4)經(jīng)過點(diǎn)D(1,1),且與x軸垂直.解

(1)因?yàn)閮A斜角為45°,所以斜率k=tan

45°=1,且過點(diǎn)(2,5),所以直線的方程為y-5=x-2.(2)由題意,得直線l的斜率為2,又l過點(diǎn)(1,1),所以直線l的點(diǎn)斜式方程為

y-1=2(x-1).(3)由題意知,直線的斜率k=tan

0°=0,所以直線方程的點(diǎn)斜式為y-(-1)=0,即y+1=0.(4)由題意可知直線的斜率不存在,所以直線的方程為x=1,該直線方程沒有點(diǎn)斜式.規(guī)律方法

求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟

[注意]當(dāng)斜率不存在時(shí),過點(diǎn)P(x0,y0)的直線與x軸垂直,直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,都為x0,故直線方程為x=x0.變式訓(xùn)練1求滿足下列條件的直線方程的點(diǎn)斜式.(1)過點(diǎn)P(-4,3),斜率k=-3;(2)過點(diǎn)P(3,-4),且與x軸平行;(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn).解

(1)∵直線過點(diǎn)P(-4,3),斜率k=-3,由直線方程的點(diǎn)斜式得直線方程為y-3=-3(x+4).(2)與x軸平行的直線,其斜率k=0,由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線方程為y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.(3)過點(diǎn)P(-2,3),Q(5,-4)的直線的斜率又直線過點(diǎn)P(-2,3),∴直線方程的點(diǎn)斜式為y-3=-(x+2).探究點(diǎn)二直線方程的斜截式【例2】

已知直線l的斜率為2,在y軸上的截距為m.(1)求直線l的方程;(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線過點(diǎn)(1,1)?解

(1)利用直線方程的斜截式,可得方程為y=2x+m.(2)將點(diǎn)(1,1)代入直線y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.變式探究1將本例的條件“在y軸上的截距為m”改為“在x軸上的截距為m”,如何求直線的方程?解

直線在x軸上的截距為m,即直線過點(diǎn)(m,0),又已知直線的斜率為2,則由直線方程的點(diǎn)斜式,可得所求直線方程為y-0=2(x-m),即y=2x-2m.變式探究2本例的條件不變,試問m為何值時(shí),直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為1?規(guī)律方法

求直線的斜截式方程的策略(1)直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況,其適用前提是直線的斜率存在,只要點(diǎn)斜式中的點(diǎn)在y軸上,就可以直接用斜截式表示.(2)直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+b中只有兩個(gè)參數(shù),因此要確定直線方程,只需知道參數(shù)k,b的值即可.(3)利用直線的斜截式求方程務(wù)必靈活,如果已知斜率k,只需引入?yún)?shù)b;同理如果已知截距b,只需引入?yún)?shù)k.變式訓(xùn)練2求滿足下列條件的直線方程的斜截式.(1)在y軸上的截距為-6,且與y軸的夾角為30°;(2)過點(diǎn)(2,3),(0,2).

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一·2024河南開封月考]直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,5),斜率為-2,則直線l的方程的點(diǎn)斜式為(

)A.y+5=-2(x+2) B.y-5=-2(x-2)C.y-5=2(x+2) D.y-5=-2(x+2)B解析

經(jīng)過點(diǎn)(2,5),斜率為-2的直線,其方程的點(diǎn)斜式為y-5=-2(x-2).故選B.17123456789101112131415162.[探究點(diǎn)一]已知直線的方程是y+7=-x-3,則(

)A.直線經(jīng)過點(diǎn)(-3,7),斜率為-1B.直線經(jīng)過點(diǎn)(7,-1),斜率為-1C.直線經(jīng)過點(diǎn)(-3,-7),斜率為-1D.直線經(jīng)過點(diǎn)(-7,-3),斜率為1C17123456789101112131415163.

[探究點(diǎn)二]已知直線的傾斜角為60°,在y軸上的截距為-2,則此直線的方程為(

)D17123456789101112131415164.

[探究點(diǎn)一]斜率為2的直線經(jīng)過(3,5),(a,7)兩點(diǎn),則a=

.

417123456789101112131415165.[探究點(diǎn)二]將直線y=(x-2)繞點(diǎn)(2,0)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后所得直線方程的斜截式是

.

17123456789101112131415166.[探究點(diǎn)二·2024北京海淀質(zhì)檢]直線y=-x-2的傾斜角是

,在y軸上的截距為

.

-217123456789101112131415167.[探究點(diǎn)一]根據(jù)下列條件,分別畫出經(jīng)過點(diǎn)P,且斜率為k的直線,并寫出傾斜角α:(1)P(1,2),k=1;(2)P(-1,3),k=0;(3)P(0,-2),k=-;(4)P(1,2),斜率不存在.17123456789101112131415161712345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.(多選題)[2024四川樂清質(zhì)檢]方程y=ax+對(duì)應(yīng)的直線可能是(

)AB1712345678910111213141516B171234567891011121314151610.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,點(diǎn)O(0,0),A(1,3),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,則直線AB的方程為(

)A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)D171234567891011121314151611.直線l1:y=ax+b與直線l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是(

)D171234567891011121314151612.(多選題)下列四個(gè)結(jié)論,其中正確的為(

)BC17解析

對(duì)于A,方程

,表示的直線不含點(diǎn)(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直線過點(diǎn)(-1,2),故這兩個(gè)方程表示不同的直線,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,直線l過點(diǎn)P(x1,y1),傾斜角為

,直線垂直于x軸,則其斜率不存在,其方程為x=x1,B正確;對(duì)于C,因?yàn)樾甭蕿?,故方程為y=y1,顯然正確;對(duì)于D,斜率不存在的直線就沒有點(diǎn)斜式方程.故D錯(cuò)誤.12345678910111213141516171234567891011121314151613.直線y+2=-(x+1)的傾斜角為

,其在y軸上的