2024年高考數(shù)學壓軸題專項訓練（新高考）不等式壓軸題13題型 （學生版）

2024年高考數(shù)學壓軸題專項訓練（新高考通用）壓軸題03不等式壓軸題13題型匯總（學生版）

壓軸題03不等式壓軸題十三大題型匯總

壓軸題解讀

本專題考查類型主要涉及點等式與基本不等式的內(nèi)容，其中涉及了基本不等式與三角函

命題預測數(shù)，正余弦定理，解析幾何，集合，函數(shù)等內(nèi)容的結(jié)合。

預計2024年后命題會在上述幾個方面進行，尤其是多圓不等式的考查。

題型01多元不等式最值、取值范圍問題題型08指對函數(shù)與不等式

題型02基本不等式提升題型09基本不等式與立體幾何結(jié)合

題型03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合題型10基本不等式與集合、函數(shù)新定義

高頻考法題型Q4基本不等式與解析幾何結(jié)合題型11不等式與數(shù)列結(jié)合

題型05基本不等式與向量結(jié)合題型12基本不等式與函數(shù)結(jié)合

題型06基本不等式新考點題型13不等式罰考點

題型07基本不等式與正余弦定理結(jié)合

高分必搶

?題型01多元不等式最值'取值范圍問票

利用基本不等式求最值時，要從整體上把握運用基本正式，有時可乘以一個數(shù)或加上一個數(shù)，以及T

的代領(lǐng)應(yīng)用技巧.

1.（2024矍州?三模）以maxM（minM）表示數(shù)集M中最大（小）的數(shù).設(shè)a>0,b>0,c>0,已知a2c+/c=1,

則min{max區(qū)消卜__________.

2.（2022?浙江嘉興?模擬預測）已知正數(shù)a,b滿足a+b=l,ceR,則臣+=三+3^的最小值

DC+。QDC^-rQO

為.

3.侈選）（2024?浙江?二模）已知正實數(shù)a,b,c,且a>b>c,x,y,z為自然數(shù)，則滿足工+2+三>0

n—nn—/*/,—n

恒成立的X,y,Z可以是（）

A.x=1,y=1,z=4B.x=1,y=2,z=5

C.x=2,y=2tz=7D.x=1,y=3tz=9

4.（2024?河北邯鄲?三模）記min{x,y,z}表示x,y,z中最小的數(shù).設(shè)a>0,b>0,貝!Imin{*t+3b}

的最大值為.

5.（2024?四川德陽?模擬預測）已知正經(jīng)我，y,z滿足好+孫+yz+xz+x+z=6,貝！J3x+2y+z的

最小值是.

?題型02基本不等式提升

!00QO

I-■■----

;在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定一積或

i

!和為定值；三相等等號能否取得"，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.

6.（2024?全國?模擬預測）若實數(shù)a,b,c滿足條件：ekHc+e°+Ac=2e2（a-1）,則的最大值

a十。十c

是___.

7.（2024,全國,模擬預測）已知x>0,y>0且x+y=l,則名+9的最小值為（）

A.1B.|C.1D.I

8.（2024?江蘇蘇州?模擬預測舊知"a>0,b>0"與"a+b=l"互為充要條件，則口+*和叱+*

aOao

士的最小值之和為.

9.（2023?全國?模擬預測）已知xe[4,+oo）,ye（0,5],ze（0.1],則霎蘭+濘的最小值為_.

10.（2023?天津武清?模擬預測）已知a>0,b>0,c>0,MOg42+4clog16V2=^,則岑三+最小值

為.

?題型03基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合

i據(jù)三角恒結(jié)合基本桎儂最值需要菽"右牛是否滿足，舒馴牛不滿足時，也可勾

!函數(shù)進行求解

?

11.（2023?山西博測）已知Q,6,Y均是銳角，設(shè)sinacosj?+sin￡cosy+sinycosa的最大值為tan0,則

sin0（sin0+cos0）=（）

A.V3B.鳥C.1D.當

1313

12.（2024?湖南模擬預測）如圖所示，面積為n的扇形0MN中，乂,]7分別在%），軸上，點「出儂、上（點P

與點M,N不重合），分別在點P,N作扇形。MN所在圓的切線A，%,且A與白交于點Q,其中L與x軸交于點R,

A.4B.2V3C.V6D.2

13.（2023?江西?二模）在△ABC中2sim4+sinB=2sinC,則亮+白的最小值為（）

A.14B.16C.18D.20

14.（23-24高三上?重慶?階段練習）若a+0-siny=O,則的+#-匹兩的最大值為.

15.（22-23高三?溺?階好習）在△P4腫，P4=PB,點C,D分另U在PB,P^Lb.

⑴若乙4PB=會CD=1,求△PCD面積的最大值；

（2）設(shè)四郵4BCD的夕卜接圓隹為R,^APBe^.n）,且AB?BC?CD?DA的叱值為求R的值.

?題型04基本不等式與解析幾何結(jié)合

16.（2024河南模擬預測）已知點P（m,n）是圓C：x2+y2=8上的任怠一點，則（m-n）2K（m+找/+1]

的最大值為（）

A.2GR24C"D??

17.（2024浙江一模）已知4B分別是雙曲線C：，—y2=1的左，右頂點，P是雙曲線C上的一動點，直線

PA,PB與x=l交于M,曬點,△PMVHPAB的外接畫面積分別為工冬，則浜最小值為（）

A.4B.1C.D.1

18.（2024?陜西安康?模擬預測）如圖，雙曲線。9-3=1（。＞0?＞0）的右焦點為匕點人在。的漸近線

上，點A關(guān)于血的對稱點為B,OAAF=0（。為坐標原點）,記四邊形OAFB的面積為另，四邊形OAFB的

外接回A/的面積為52,則港］最大值為,此時雙曲線的離心率為.

19.（2023?上海崇明一模）已知正實數(shù)a,b,c,d滿足a?-ab+1=Q,c2+d2=L則當（a-c）2+（h-d）2

取得最小值時，ab=

20.（2024全國?模擬預測）我們將離，碎相等的所有橢圓稱為"一族橢圓系”.已知橢圓E：9+y2=i的

左、右頂點分別為48,上頂點為D.

（1）若橢圓F：二+號=1與橢圓造"一篋橢圓系”中，求常數(shù)s的值；

（2）設(shè)橢圓G：J+y2=忒0＜義＜1）,過A作斜率為h的直線乙與橢圓G有且只有一夜共點，過D作斜率為心

的直線L與橢圓G有且只有一在共點，求當2為何值時，|七|+|七1取得最小值，并求其最小值；

⑶若橢圓，事+￡=l（t＞2）與橢圓E在"一簇橢圓系"中，橢圓”上的任意一點記為C（祀y°）求證：△ABC

的垂心A/必在橢圓E上.

?題型05基本不等式與向量結(jié)合

21.（2024?河北邯鄲?二模）對任意兩個非零的平面向量3和瓦定義：=aO6=S.若平

ffl2+|3|同

面向量五b滿足國＞Ibl＞0,且H④屏OH。潮在集合國九eZ,0＜九三4）中，貝y④b+KGb=（）

A.1B.1C.1毛D.1或^

22.（2022浙江杭州模擬預測）已知單位向量5,向量瓦（i=1.2）,滿足歸一用=3瓦，且西+yK=e,

其中x+y=l,當瓦一引取到最小時，K?瓦=.

23.（23-24高三下?天津和平開學考試）在4ABC中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點.設(shè)麗=a,

AC=b,記而=nia+nb,則7n—n=；若乙4=,△ABC的面積為、區(qū)則當|BC|=時,

莉?而取得最小值.

24.（2022?浙江模擬預測）已知?為單位向量，ae=l,2022b=a+202Ye,當〈五月>取到最大值時，

同一同等于（）

A.V2022B.零C.V2021D.需

20222021

25.（2023?黑龍江哈爾濱一模）如圖，橢圓9+，=15>5>0）與^曲線5-9=15>6”>°）有公

共焦點Fi（-c,0）,F2（G0）（C>0）,橢圓的離心率為ei，雙曲線的離心率為e2,點P為兩曲線的一個公共點,

且〃產(chǎn)2=60°,則會+捻=；/為△/產(chǎn)2的內(nèi)心，％」,G三點共線，且次下=0,x軸上點48

滿足A/=Al?,BG=fiGP,貝，+/?的最小值為_____.

?蹌型06基本不等式拓考點

26.（2024?廣東湛江?二模）當x>0,y>0時，亨京避「這個基本根式可以推廣為當x,y>0時，Ax+

其中彳+〃=1且久>0,〃>0.考慮取等號的條件，進而可得當％時，Ax+〃y冬外用這

個式子估計g可以這樣操作：107x9^1x10+1x9=^,則依土^a3.167.用這樣的方法，可得儂

的近似值為（）

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

27.（2024?浙江?模擬預測）任意大于1的正礴m的三次熹均可"分裂"成m個連續(xù)奇數(shù)的和，iD：23=

3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…，按此規(guī)律，若小3分裂后，其中有—奇數(shù)是2019,

則m的值是（）

A.46B.45C.44D.43

28.（2024?廣東廣州?二模）設(shè)10=<X2<43<X4<與=50,隨機變量乙取值孫如對聞△的概率

均為0.2,隨機變量心取值亭誓，等，空，走的概率也均為02,若記D（A），D（《2）分別為八，七的方

差，則（）

A.D&）<D?2）

B.D?）=D?2）

C.D（6）>D^2）

D.D（A）與D（&）的大小關(guān)系與ax2,x3,x4,通的取值有關(guān)

29.（2023?山東?二模）已知隨機變量餐N（2R2）,且p（f=1）=p?na+2）,則一—一士-（x>0）的最

1+tlX1,FOX

大值為（）

A.3+2V3B.3-2V3

C.2+V3D.2-V3

30.（23-24高三上?江蘇鎮(zhèn)江?開學考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，

為了提高兩位主力的能力，體育老師安徘了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與

體育老師打2局，當兩人獲勝局數(shù)不少于3局時，則認為這輪訓練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲

勝的概率分別為P1，P2,且滿足Pi+P2=g,每局之間相互獨立.記甲、乙在諫訓練中訓練過關(guān)的輪數(shù)為X,

若EQ0=16,則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓練的輪數(shù)至少為（）

A.27B.24C.32D.28

?題型07基本不等式與正余弦定理結(jié)合

00Q?

求解三角形中有關(guān)邊、角、面積的最值（范圍）問題，常利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公西

建立a+b,ab,a2+》2（a,b為三角形的邊）等之間的等量關(guān)系與;關(guān)系，然后利用函數(shù)知識或基本榜

式求解.

31.（2024?全國?模擬預測舊知在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,瓦&2sin4=acosC,c=2.^G^ABC

的重心，貝UGA2+GB2-GC2的最小值為（）

A12-4誼B8+4V2Q46-2D4+2”

?9933

32.（2024黑龍江?二模）"不以蠅，不肯期汾圓"出自《孟子?離婁章句上》."規(guī)"指園規(guī)，"矩"指

由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫園和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，

按圖中數(shù)據(jù)，以"矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)

A10（V30+VT5）R10（V30-VTS）

A.-------------cmD.--------------cm

33

C.D.

33

33.（2024?四川瀘州?二模）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c2=3a2-3b2,則tan（4-B）

的最大值為.

34.（2024?四川瀘州?二模）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c2=2。2-2M,5!必-B

的最大值為.

35.（2024福建莆田?二模）如圖，點。是邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心，I是過點0的任一直線，將

此正六邊形沿著，折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為

?建型08指對函數(shù)與不等式

36.(2024?陜西咸陽?模擬預測)某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時間的

=X0cosh(Va&t)-J^yosinh(Vaht)

變化遵德蘭徹斯特模型：,,其中%分別為紅、藍兩方

=Vocosh(、石灰)-J|xsinh(va&t)

y(t)o

的初始兵力，為戰(zhàn)斗時間；x(t),y(t)分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數(shù)*b分別為紅方對藍方、藍

方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；cosh%=WT0sinhx==-分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定:

當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T.則下

列結(jié)論不正確的是()

A.若X。>A且a=b,則x(t)>y(t)(O<t<T)

B.若X。>yO且a=b,貝!IT=-In厚手

c.若瑟>：,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利

D.若葛〉J|,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利

37.(20244加豐臺?一模)目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具.其做法^在前一級火箭燃

料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時將人造天體

送入預定軌道.現(xiàn)有材料科技條件下，對于Tn級火箭，在第篦級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近

似表示為八3%+工曹".),

f>Xp+)nij

其中為=--a=1,2,-,ri).

mn+'m.-m.

注：表示人造天體質(zhì)量，嗎表示勒0=12…,71）級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.

給出下列三個結(jié)論：

①峻2“4<1；

②當”=1時，v<31nio；

③當ri=2時，若u=121n2,貝！]、屬瓦26.

其中所有正?^侖的序號是.

38.（2023?天津濱海新?模擬預測）已知正實數(shù)x,y,z滿足2,=3>=6=，則不正確的是（）

A.i+-=-B.2x>3y>6z

xys,

C.D.xy>4z2

236J

39.（2021?陜西安康?三模）若對任意％e[2,8],總存在ye[1,2],使得（y+2>,+m）（log就+4）=log2%成

立，則m的最小值是（）

A--TB--T—D--y

40.（2023?天津濱海新?三模）已知正實數(shù)m,n,滿足e?2m=Qm+n）e”,則m+g+%的最小值

nm

為.

?Si型09基本不等式與立體幾何結(jié)合

41.（2024-^>^^測）設(shè)P-ABCD與Q-ABCD為兩個正四例,防形ABCD的邊長為0且=

90°,點M在線段AC上，且3cM=AM,將異面直線PD,QM所成的角記為。，則sin?的最小值為（）

A.?B.|C.理D.1

3333

42.（2024?湖:]匕酸測）^中，AB=2^2,PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,

S.PCJ.AB,貝！]二面角P-AB-C的余弦值的最小值為（）

43.（23-24高三下?山西?階段練習）在棱長為4的正方體力BCD-ABiCWi中，E是CD的中點，F(xiàn)是Cg

上的動點，則三棱播4-DEF外接球半徑的最小值為（）

A.3B.2V3C.V13D.V15

44.（2022高三?全國?專題練習）四棱錐S-ABCD中，側(cè)面5BC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，BC=

2,AB=a,頂點S在底面從BCD的射影為H,當H落在AD上時，四棱錐5-ABCD體積的最大值是（）

A.1B.1C.2D.3

45.侈選）（2024?河南信陽?二模）如圖，在四棱錐Q-EFGH中，底面是邊長為2式的正方形，M為QG

的中點.QE=QF=QG=QH=4,過Q作平面EFG斤的垂線，垂足為。，連EG,EM,設(shè)EM,Q。的交點為

A,在aQ/fF中過力作直線BC交QH,QF于B,優(yōu)點，QB=xQH,QC=yQF,過EM作截面將此四棱錐分

成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為外,%，下列說法正確的是（）

函數(shù)新定義問題，命題新穎，常?？紤]函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值夠，且存在知識點交叉，

會和導函數(shù)，數(shù)列等知識進行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀

出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行解決.

46.（2024江蘇鹽城?模擬預測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=/（x,y）在約束條件g（x,y）

的田官邸信點.首生構(gòu)音中一小林格胡門磕勖函豺la（Yv\宜中2%用格朗RI羊熱.介

別對L(羽y”)中的x,y/部分求導，并使之為0,得到三個方程組，如下：

r

Lx(x,y,A)=fr(xy)+沏工-0

Ly(x,y,A)=f,.(x,y)+Agy(x,y)=0,解此方程組，得出解(x,y),就是二元函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

、L式羽y,Q=g(x,y)=0

g(x,y)的可能極值點.x,y的值代入到f(x,y)中即為極值.

補充說明：【例】求函數(shù)f(x,y)=%2+到+*關(guān)于變戢的..即:將變量)，當做常數(shù)，即:f,(x,y)=2x+y,

下標加上》,代表對目變量x進行求導.即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的%k表示分別對x,y”進行求導.

22

(1)求函數(shù)f(x,y)=xy+2xy+犯尸關(guān)于變量),的導數(shù)并求當?shù)?1處的導數(shù)值.

(2)利用拉格朗日建法求：設(shè)實數(shù)xy滿足5@/)=4必+丫2+劃-i=o,求f(%y)=2x+)的最大值.

(3)①Wx,y,z為經(jīng)!?，且％+y+z=l,證明：x2+y2+zz>

②設(shè)a>b>c>0,求2a2+—+―---lOac+25c2的最小值.

Jaba(a-b)

47.(多選)(23-24高三下?河南?階段練習)定義函數(shù)y=f(x)的曲率函數(shù)K(x)=一八行(/是y'的導函

(1+(力2>

數(shù))，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的曲率半徑為該點處曲率K5)的倒數(shù)，曲率半徑是函數(shù)圖象在該點處曲率

圓的半徑，則下列說法正確的是()

A.若曲線在各點處的曲率均不為0,則曲率越大，曲率圓越小

B.函數(shù)［，=sinx在x=抽的曲率半徑為1

C.若圓C為函數(shù)y=Inx的一個曲率圓，則圓C半徑的最小值為2

D.若曲線y=lnx在》1，*2。［左々)處的彎曲程度相同，則%上<：

48.(2024?全國?模擬預測)“讓式子丟掉次數(shù)"：伯努利不等式

伯努利不等式(Bernoulli'sinequality),又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學的分析不等式中最常見的一種

榜式,由瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利提出:e(-1,+8),在ne［1,+8)時，有x)n>1+

wc成立；在ne(0,1)時，有不萼式(1+x)n<1+me成立.

⑴猜想伯努利不等式等號成立的條件;

(2)當n>1時，對伯努利不等式迸行證明;

⑶考慮對多個變量的不萼式問題.已知aig,…,eN，)是大于一1的實數(shù)(全部同號)，證明(1+4)(1+

a2)—(l+a?)>1+ax+a2H-----Fan

49.(2024?海南海口一模)在計算機科學中，7?維數(shù)組X=。1，孫…，$)，％e{0.1},ieN+,n>2是一種基

礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用.對于n維數(shù)組A=(%,a2.aj,B=(比,方，…，》n)，

定義A與B的差為A-B=('一瓦I，陶一&2|,-,|an-匕|)乂與B之間的距離為d(4B)=券一如.

(1)若“維數(shù)組。=(00-0),證明：d(4C)+d(B,C)Nd(4B)；

(2)證明：對儂的數(shù)組4B,C,有d(A-C,B-O=d{A.B)；

⑶穌合5n={X|X=(孫孫…%)，Xie{0,1},ieN+,n>2},PcSn,若集合P中有m(m>2)個n維數(shù)組，

記p中所有兩元羲間的距離的平均值為d(p),證明：d(p)<

2(m-1;

50.(2020?全國?模擬預測)定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在(a,b)上的導函數(shù)為尸(乃，若〃乃在(al)上也存在導

函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(X)在(ab)上存在二階導函數(shù)，簡記為y=fk).若在區(qū)間(a,b)上八x)<0,則稱函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a?)上為"凸函數(shù)".已知f(x)=ln(l+ex)-皿2在區(qū)間(一LD上為"凸函數(shù)"，則實數(shù)m

的取值范圍為.

?題型11不等式與數(shù)列結(jié)合

1I

;數(shù)列與函數(shù)、桎式的綜合問題的常見題型;

1I

II

!1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：!

II

?I

II

|①已知函數(shù)條件，解決數(shù)歹|」問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；i

ii

??

I②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一股要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡;

?I

II

，變形.!

??

??

；2.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等問題，需要熟練應(yīng)用礦式知識解決數(shù)；

列中的相關(guān)問題.

51.（多選）（2024?湖北?模擬預測）已知數(shù)列｛叫的前n項和為工,且2s￡+i+S計i=3,4=a（0<tr<l）,

則（）

A.當0<a<嚀細，④>的

B.a3>a2

C.數(shù)列⑸1｝單調(diào)遞增，⑸“｝單調(diào)遞減D.當&=襯，恒有￡11|5*-II<9

52.（2024?廣東一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學的一個重要分支，其主要研究對象包括向

量和矩陣.對于平面向量3=（x,y）,其模定義為國=產(chǎn)仔.類似地，對于兀行n列的矩陣4?=

alla12a13…aln

aaa,其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂镮I川=（22：】*）

21&223…2n（其中旬為矩陣中第i行第/

a31&2a33…a3n

列的數(shù)，￡為求和符號），記作II川卜，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣&2=

（：；；：；：）=6：），其矩陣模11小卜=（，得）="2+42+32+52=3死.弗羅貝尼烏斯范

數(shù)在機器學習等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.

Ooo

/IOo

0VO2o

(1)vneN*,n>3,矩陣B””0求使||B||F>3遍的7?的最小值.

…V:3

oo?

\0

(2)vnEN”1n>3,,矩陣

/ICOS0COS0cosd??COS0COS0

0一sinfl-sin0cos0—sin0cos0??—sin0cos0-sin0cos8

00sin20sin20cos0??sin20cos0sin20cos0

求IlCb

??(一廣n-2n2

000012sinf(—l)sin_0cos0

\0000??0（-1尸一"也』

，In—00-0

n+1

1n(彳產(chǎn)ln(中產(chǎn)0...o

(3)矩陣DE,證明：vneN\n>3,||D||>扃.

Vn-1Vn-1Vn-1f

碉』G嚴碓嚴??o

［啕F飛盧6伊…唱廠/

的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即?！?gt;曬醞F，當且僅當%=&2=?■?=/時,等號成立.若

無窮正項數(shù)列S”｝同時滿足下列兩個性質(zhì)：①以>0,冊<M；②｛4｝為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列｛叫具有性質(zhì)P.

⑴若0n=n+4,越列｛冊｝的最小項；

(2)若幾=￡,記又判斷數(shù)列｛5“提否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(3)若嗪=(1+3",求證：數(shù)列｛.｝具有性質(zhì)P.

54.(2024高三上?全國?競賽)已知等比數(shù)列｛an｝的公比q>1,4,a2,￡13-1成公差為d的等差數(shù)列.

⑴求q+d的最小值；

(2)當內(nèi)i取最小值時，求集合A=｛an|aneN*｝中所有元素之和.

55.(2023?全國?模擬預測)古印度數(shù)學家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布

施，初日施2子安貝(古印度貨幣單位)，以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31

天計算，記此人第n日布施了冊子安貝(其中1￡31,rieN*),數(shù)列｛aj的前篦項和為S”.若關(guān)于n的不

等式晨+i+2562(5“+2)(t+5)恒成立，則實數(shù)t的最大值為()

A.15B.20C.24D.27

?題型12基本不等式與函數(shù)結(jié)合

56.(23-24高三上?浙江寧波?期末)設(shè)實數(shù)x,y滿足xy>3,不等式k(2x-3)(y-3)<8x3+y3-

12%2-3y2恒成立，則實數(shù)k的最大值為()

A.12B.24C.2V3D.W3

57.(2024?云南大理?模擬預測)若ni為函數(shù)f(x)=m(x-m)2(n-x)(其中mh0)的極小值點，則()

A.m>n>0B.m<n<0

C.mn>m2D.mn<m2

58.(2024?全國?模擬預測)min｛a,b｝表示兩個實數(shù)a,b中的較〃檄.已知函數(shù)f(x)=min(3+logix,log2xj,

且當0<a<b時，f(a)=f(b),則a?+b的最小值為.

59.（2024湖北?模擬預測）若函數(shù)f（x）=x-早在不同兩點4（立人/））,8（如八㈤）處的切線互相平行,

則這兩條平行線間距離的最大值為.

60.（2024?廣東深圳?一模）已知函數(shù)f（x）=a（x-Xi）（x-X2）（x-X3）（a＞0）,設(shè)曲線y=f（x）在點

（陽,，（即））處切線的斜率為田@=1,2,3）,若X1，沏，43均不相等，且⑥=-2,則g+4k3的最小值為.

?題型13不等式新考點

61.（2024?全國?二模）已知a,b為實數(shù)，若根式|20%2+（4q+5）%+4&+川±2|*+1]對任意%€卜：,1]

恒成立，貝!J3a+b的最大值是.

62.（2024?浙江模擬預測）對y）定義一種新運算T,規(guī)定：7（%/）=零（其中a,b均為非零常數(shù)），這

里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0/）=寫舒=瓦已知T（L-1）=-2,T（4,2）=1,若關(guān)于m的

不等式組愕普二黑）工恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是.

63.（2023?江蘇無錫?模擬預測）從古至今，中國人一直追求著對稱美學,世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為

完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)一故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對稱分

布，壯美有序，和諧莊嚴，映襯著藍天白云，宛如東方仙境.再往遠眺，一線貫穿的對稱風格，撐起了整

座W綠城.某建筑物的外形輪廓部分可用因數(shù)八外=麻』1+國的圖像來刻畫，滿足關(guān)于4的方程

/（%）=/合有三個不同的實數(shù)根又1，力,必，且X1＜必＜%3=。（其中C（0,+8））,貝丹的值為（）

64.(多選)(2023浙江?二模)已知x>0時，(ex-ax-6-c)(ax+&-Inx)>0,貝(J()

A.當c<2時，a+Ina>cB.當c<2時，a+Ina>2c—3

C.當c>3時,a+Ina<cD.當c>3時,a+lna<2c—3

65.（2022?山東德州?二模）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集"

是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間［0,1］均分為三段，去掉中

間的區(qū)間段記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間［o,j存1］分別均分為三段，并各自去掉中間的

區(qū)間段，記為第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段,

同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集"，第三次操

作后，依次從左到右第三個區(qū)間為,若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長度之和不小于貝！|需

要操作的次數(shù)n的最小值為.Qg2=0.30,lg3=0.47）

壓軸地頸測

66.（2024金國?模擬預測）若2*-4>'=a，x,yeR,貝k-T的最小值為（）

A.1B.|C.。D.4

224

67.侈選）（2023?全國?模擬預測）若x+y+z=2023,x,y,zeR.乙+；+卜備，則以下說法正確的

有（）

A.（x+y）（y+z）（z+力的最大值為盤x20233

B.（x+2023）（y+2023）（z+2023）的叱值為2x20233

C.。-2023）3-2023）（2-2023）的最大值為0

D.秒+yz+z*亙小于0

68.（2023?河南洛陽?模擬預測）已知a>0,b>0,c>0,+：+c=2,則女之+也最小值為.

69.（2023?安徽?模擬預測）已知正實數(shù)滿足2Tn3+2n3+6mn=27,則m+n的取值范圍為.

70.（2022?浙江模擬預測）已知實數(shù)x,y滿足e'+x-1=壬-ln（y+1）,則^+4y的最小值是.

壓軸題04立體幾何壓軸題十大題型匯總

壓軸題解讀

本專題考查類型主要涉及點立體幾何的內(nèi)容，主要涉及了立體幾何中的動點問題，外接球

命翹預測內(nèi)切球問題，以及不規(guī)則圖形的夾角問題，新定義問題等。

預計2024年后命題會繼續(xù)在以上幾個方面進行。

題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題題型06幾何中的旋轉(zhuǎn)問題

題型02立體幾何中的計數(shù)原理排列組合問題題型07立體幾何中的折蠡問題

高頻考法題型03立體幾何動點、最值問題題型08不規(guī)則圖形表面積、體積問題

題型。4不規(guī)則圖形中的面面夾角問題題型09立體幾何新定義問題

題型05不規(guī)則圖形中的線面夾角問題題型10立體幾何新考點

高分必搶

?題型01幾何圖形內(nèi)切球、外接球問題

解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法^作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維

流程如下：

(D定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元春以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

1.(多選)(23-24高三下浙江開學考試)如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點4BCD

在同一面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為2的正方形，貝！I()

A.異面直線4E與DF所成角大小為丁

B.二面角A-EB-C的平面角的余弦值為"

C.聞1面體一定的外接球

D.此八面體的內(nèi)切球表面積為早

2.（2024浙江寧波?二模）在正四棱臺4BCD-&B?Di中，AB=4,AlB1=2,AA1=V3,若球。與上底

面占8也1%以及棱月B,BC,CD,D幽相切，則球。的表面積為（）

A.9TIB.16TlC.25TID.36TI

3.（2024河it?家莊?二模）已知正方體的棱長為20，連接正方體各個面的中，9到T八面體，以正

方體的中心。為球，%乍一個半徑為乎的球，則該球。的球面與八面體各面的交線的總長為（）

A.2\fbnB.警TTC.竽nD.4rj6n

4.（多選）（2022?山東聊城?二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形

狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離

稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高,橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的幾倍，已知某

圓柱的底面半徑為2,用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個

斜圓柱，下列選項正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為暫

B.側(cè)面積為24727r

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為367r

5.（21-22高三上?湖:！藻陽?期中）在正方儂4BCD-&BCD1中，球0同時與以A為公共頂點的三個面

相切，球。2同時與以心為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點F,若以F為焦點，AB1為準線的拋物