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文檔簡(jiǎn)介
幾何模型專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)
一、三角形三邊關(guān)系拓展
知識(shí)提煉
二、飛鏢模型、8字模型、A字模型、“風(fēng)箏”模型
知識(shí)提煉
1.如圖,/I=60°,則.+ZC+/D+/E+/F=()
A.240°B.280°C.360°D.540°
2.如圖,在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中”乙D=28。,則乙4++/C+/F的度數(shù)為().
A.62°B.152°C.208°D.236°
3.如圖,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=
三、三角形角平分線
知識(shí)提煉
【核心解讀】
角平分線模型中,除了上述的數(shù)量關(guān)系之外,??冀瞧椒志€的“知二得三”,即表格第二列的結(jié)論,需要主動(dòng)去構(gòu)造相應(yīng)的輔
助線。
四、多邊形
知識(shí)提煉
⑴正多邊形必須同時(shí)滿(mǎn)足“各邊相等”,“各角相等”兩個(gè)條件,二者缺一不可;
⑵過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引|(n-3)條對(duì)角線,n邊形對(duì)角線的條數(shù)為午2;
(3)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成((n-2))個(gè)三角形.
(4)n邊形的內(nèi)角和為((n-2)?180°(n>3).
(5)內(nèi)角和公式的應(yīng)用:①已知多邊形的邊數(shù),求其內(nèi)角和;②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù);
(6)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,都等于(7)丁0。;
(7)多邊形的外角和為360。,在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角,這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒
等于360。,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān);
⑻正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,所以它的每個(gè)外角都相等,都等于號(hào)二;
(9)多邊形的外角和為:360。的常見(jiàn)考察方式:
①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù);
②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù).
模型快練
1.如圖,在五邊形ABCDE中+/E=300°,,DP,CP分別平分.zEDC,/BCD,則NP的度數(shù)是()
A.60°B.65°C,55°£).50°
A
DC
2.如圖,小明從O點(diǎn)出發(fā),前進(jìn)6米后向右轉(zhuǎn)20。,,再前進(jìn)6米后又向右轉(zhuǎn)20。,…,這樣一直走下去,他第一次回到出發(fā)點(diǎn)
O時(shí)一共走了()
A.72米B.108米C.144米D.120米
五、全等三角形的性質(zhì)補(bǔ)充
知識(shí)提煉
全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等。(對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)角的角平分線分別相等)
AA'
高、角平分線,則:(CM=C'M\AH=A'H\BD=B'D'.
模型快練
1.如圖,△ABC三&4'8'C',邊BC、B'C'交于點(diǎn)Q,連接AQ.求證:AQ平分ABQC.
2.如圖,AABC和A4DE共頂點(diǎn)A4QB4E<180),4B=AC,AD=AE.乙BAC=^DAE=a,F,G分另?。轂锽D,CE的中點(diǎn),貝!J.ZGFA
=°.度(用a表K)
六、手拉手全等模型
圖解模型
【基本結(jié)論】⑴角生角,(60°t60°;90°—90°
圖1,Z.BAC=Z.DAE=90。,,因此BD、CE夾角(90°;
圖2,AE、BD夾角60。;
圖3,BG、DE夾角90。.
⑵角平分,第三邊所在直線的夾角或其鄰補(bǔ)角,被它們交點(diǎn)和公共頂點(diǎn)的連線平分。
【基本方法】手拉手,導(dǎo)角找“8”字模型或利用四邊形的內(nèi)角和為360。.
模型快練
1.【已知條件】已知△ABC與△ADE均是等邊三角形,且A、B、E三點(diǎn)共線.
【可得結(jié)論】①ABCD之△ACE(SAS);②△BCN/^ACM,△ECM^ADCN;③拉手線BD與AE的銳角夾角等于6(T(NAPB
=60°);@ACMN為等邊三角形;⑤CP平分/BPE;⑥PB=PA+PC;⑦PE=PD+PC.以上結(jié)論請(qǐng)同學(xué)們自主證明.
備用圖
七、一線三等角全等模型(三垂直)
圖解模型
圖2圖3圖4
【基本結(jié)論】①AACM當(dāng)ZXCBN(圖1、圖2);②MN=BN+AM(圖1);③MN=BN-AM(圖2);④ZXABQ名△FHG(圖3);?APMQ
名Z\FHG(圖4).
模型快練
1.如圖,△ABC中,AB=AC,NBAC=90。.過(guò)點(diǎn)A作直線1,過(guò)點(diǎn)B,C分別作BD1/于點(diǎn)D,CE±1于點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)直線1在4ABC的外部時(shí),求證:.DE=BD+CE-,
⑵當(dāng)直線1在^ABC的內(nèi)部如圖2所示時(shí),求證:.DE=BD-CE-,
(3)當(dāng)直線1在乙ABC的內(nèi)部如圖3所示時(shí),直接寫(xiě)出DE,BD,CE三者之間的數(shù)量關(guān)系式為
八、一線三等角全等模型(任意角)
圖解模型
一線三等角(同側(cè)型)一線三等角(異側(cè)型)
D
【基本結(jié)論】△APC=△BDP
【基本方法】導(dǎo)角1,“一線”,平角180。導(dǎo)角2,“內(nèi)角和”或推論
判定定理:AAS或ASA
模型快練
1.如圖.△4BC為等邊三角形,D,E,F分別AB,BC,AC上的點(diǎn),NDEF=60°,BD=CE.求證:BE=CF.
2.如圖.在等腰RtAABC中,NACB=90。,點(diǎn)D.E分別為AB,BC上的點(diǎn),且(CD=DE,NCDE=45。,求證:BD=BC.
3.如圖.A4BC為等腰直角三角開(kāi)鄉(xiāng),LACB=90°,CD=4/BDC=90。,求△40C的面積.
九、對(duì)角互補(bǔ)(雙直角)
知識(shí)提煉
【雙垂線:構(gòu)造變式三垂直模型;旋轉(zhuǎn):構(gòu)造手拉手全等】
1.雙直角異側(cè)型2.雙直角同側(cè)型
輔助線起點(diǎn):等腰直角三角形的直角頂點(diǎn);或等腰三角形的頂點(diǎn)
本質(zhì):“等鄰邊”、“對(duì)角互補(bǔ)”、“角平分”三個(gè)條件,互推(“知二推一”)
模型快練
1.如圖,在四邊形ABCD中,ZABC=ZADC=90°,BD平分NABC.求證:
(1)AD=CD;
(2)4B+BC=&BD;
(3)S??“=-BD2.
四邊形ABCD2
十、對(duì)角互補(bǔ)(任意角)
知識(shí)提煉
①AB+AD=2AM=2AN;②AD-AB=2DN=2BM;③邊相等一角平分;角平分一邊相等
【基本方法】
輔助線1:割補(bǔ)一雙垂線
輔助線2:旋轉(zhuǎn)一構(gòu)造手拉手
模型快練
1.如圖,四邊形ABCD中..ABAD=60。,/BCD=120。,BC=DC,求證:AB+AD=4c
【從“同側(cè)型對(duì)角互補(bǔ)”到“折弦圖
十一、夾半角全等模型(內(nèi)+外)
知識(shí)提煉
1.90。半角模型——內(nèi)半角
【基本結(jié)論】.BM+DN=MMACMN周長(zhǎng)為正方形周長(zhǎng)的一半;4H=正方形邊長(zhǎng);Z.ANM=zAND,AAMN=Z.AMB-,
BF2+DE2=EF2
2.90。半角模型一一^外半角
【基本結(jié)論】DN-BM=MN;乙ANM="ND;BF2+DE2=EF2
【核心解讀】
1.輔助線作法:過(guò)45。角的頂點(diǎn)作其中一邊的垂線,交正方形的邊(或延長(zhǎng)線)得到“風(fēng)箏形”或“燕尾形”全等。
2.夾半角模型解題中有兩次全等:“旋轉(zhuǎn)全等”+“翻折全等”。
模型快練
I.如圖,B(4,4),BC1y軸于點(diǎn)C,BA1久軸于點(diǎn)A,E為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),F為AB上一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足.乙OEF=乙4OE
,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△BEF的周長(zhǎng)變嗎?若不變求其值;若變化求其變化范圍.
2.如圖,四邊形ABCD中,48=AD.^BAD=ZC=90。,,E,F分別為BC,CD上的點(diǎn)NE4F=45°.EF,BE,DF之間有何數(shù)量關(guān)
系?寫(xiě)出關(guān)系式并證明.
3.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,2),B(2,0),點(diǎn)C在乙4BO)的平分線上,/ACO=67.5。,求乙4OC的度數(shù)
十二、全等模型解題演練
模型快練
(-)手拉手模型
1.如圖,AB=AC,AD=AE,Z.BAC=^DAE=a,直線BD,CE交于點(diǎn)P,連接AP.
(1)求證:BD=CE;
⑵求乙4PB的度數(shù)(用n表示);
(3升等圖形旋轉(zhuǎn)至如圖2所小的位置,其余條件不變,在圖2中㈣出點(diǎn)P,直接與出Z.APB=(用a表ZF).
圖I
2.如圖,△4BC和△4DC均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,E、F分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上,/-FEA=60。,求CE-CF的值.
(二)“十字架模型"(三垂直模型拓展)
模型快練
1.在正方形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且EG_LFH.求證:EG=HF.
2.如圖,在等腰RtAABC中AB=AC,ABAC=90。,,點(diǎn)D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),.AFIDE交BC于點(diǎn)F,且AF=DE.求證:A
D=CE.
A
3.如圖,△ABC^p,Z-CAB=^CBA=45°,CA=CB點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),CN±AE交AB于N,GVJ_ZE連EN,求證:AE=CN+EN
4.如圖,在四邊形ABCD中,.AC=BC=BD,AC1BD,AB=逐,求△ABD的面積.△ABD
(三)對(duì)角互補(bǔ)模型
1.如圖,等邊.△ABC的邊長(zhǎng)為1,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別位于AB,AC邊上,且NEDF=120。,那么AE+AF的長(zhǎng)是否為定
值?如果是,求出該值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.AE+AF
2.如圖,乙=AADC=9(T,BD是乙的令際卜角.々MB。的平分線.求證:
⑴ZD=CD;
(2)BC-AB=y/2BD;
(3)SBDC—SABD=53。之.
3.如圖,在四邊形ABCD中,/ABC=2AADC=1202BD平分/.ABC.
(1)求證:AD=CD;
(2)求證:AB+BC=BD.
(四)半角模型
(1)90。的半角模型
【已知條件】已知正方形ABCD中.E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)/E4F=45。A£、AF分別與BD相交于點(diǎn)0、P.求證:
(1)EF=BE+DF;
(2)AE平分上BEF,AF平分上DFE:
(3)CCFF=2倍正方形邊長(zhǎng);
(4)S.BE+^ADF—S*EF;
(5)4B=4G=4。(過(guò)點(diǎn)A作4GJ.EF,垂足為點(diǎn)G);
⑹OP?=OB2+OD2;
⑺若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn).
(2)120。半角模型
①文□圖1,已矢口△4BC為等邊三角形,DB=DC/BDC=120°,AMDN=60°.
求證:.MN=BM+NC.
②如圖2,已知A4BC為等邊三角形,DB=DCjBDC=120。,乙MDN=60°.
求證:MN=NC-BM.
圖1圖2
(3)135。半角模型(270。夾135°)
1.在Rt△4BC中,點(diǎn)E、點(diǎn)D分別為AB,AC邊上動(dòng)點(diǎn),四邊形AEFD是正方形,且乙BFC=135。,求證:CB=CD+BE
十三、角平分線定理
知識(shí)提煉
【已知條件】AD是A4BC的角平分線.
【可得結(jié)論】界=,
【證明方法】
方法一:面積法一見(jiàn)“模型快練”
方法二:相似法一過(guò)C作AB的平行線,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,利用X形相似證明
模型快練
1.如上圖,AD是^ABC的角平分線.求證:黑=笫
2.如圖,△ABC和^ADE都是等邊三角形,點(diǎn)D在BC上,DE與AC交于點(diǎn)F,若48=5,BD=3,則弓=
3.如圖,在.RtA4BC中,乙4cB=90。,4c=1,BC=2?D是邊AB上一點(diǎn).連接CD.將A4CD沿直線CD折疊,點(diǎn)A落在E處.
當(dāng)點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部(不含邊界)時(shí),AD長(zhǎng)度的取值范圍是_.
例解模型
問(wèn)題:在平面內(nèi)求作C點(diǎn),使△4BC為等腰三角形
【解析】作圖結(jié)果如圖,排除如圖5個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)圓和一條直線
1平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使△4BC為等腰三角形,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()
6MC=8,D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí),求線段DB的長(zhǎng).
B
A
十五、平分+平行=等腰
知識(shí)提煉
基本類(lèi)型:①平分+平行=等腰;②平分+等腰=平行;③平行+等腰二平分。
同類(lèi)模型:等腰評(píng)行=新百
模型快練
1.如圖.點(diǎn)F是乙4BC的平分線和外角.N4CG的平分線的交點(diǎn),DF||BC,交AB于D,交AC于E,求證:.DB=DE+EC.
2.如圖,在△4BC中,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),(CF||4B且乙BAE=/E4F,求證:AF+CF=AB.
A
3.如圖,點(diǎn)P(2,0),直線AP交y軸于A,點(diǎn)M在直線AP上,.MN”軸于N,且MN=MP,NG=NH,,其中點(diǎn)G在x軸負(fù)半軸上,
點(diǎn)H在AP上,求PG-PH的值
4.如圖,在矩形ABCD中4。=10,4B=6,,E為BC上的一點(diǎn),ED平分乙4EC,,則CE的長(zhǎng)為.
5.如圖,在平行四邊形ABCD中,乙4BC,NBCD的平分線BE,CF分別與AD相交于點(diǎn)E、F,BE與CF相交于點(diǎn)G,若.AB=3,
BC=5,CF=2?貝!]BE的長(zhǎng)為.
十六、例說(shuō)雨傘模型(逆向構(gòu)造三線合一)
圖解模型
圖1,RtAABC中,ZC=90°,BD平分NABC,過(guò)A作BD的垂線,交BD的延長(zhǎng)線于E圖2,RtAABC中,ZC=90°,AC=BC.BD平
分/ABC,過(guò)A作BD的垂線,交BD的延長(zhǎng)線于E
圖2
統(tǒng)一結(jié)論:AE=A,E(補(bǔ)形后的圖形整體像一把雨傘,故稱(chēng)為“雨傘模型”)
模型快練
1.如圖,已知,ZBAC=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線,且CE±BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:BD=2CE.
2.如圖,0A為第一象限的角平分線,點(diǎn)E在y軸上,乙OEF=乙40F,FE±OF交0A于M點(diǎn)求證:.EM=20F.
3.在Rt△中,/.ACB=90°,AE,BD是角平分線,(CM1BD于M,CN_LAE于N,若CN_LAEAC=6,BC=8,則MN=
c
十七、二倍角模型
知識(shí)提煉
【核心解讀】當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)兩個(gè)角的度數(shù)存在2倍的關(guān)系,即可使用該模型。輔助線如圖,能得到兩個(gè)等腰三角形,
利用等腰三角形的對(duì)稱(chēng)性求解,通常和勾股定理相關(guān)聯(lián)。
模型快練
1.如圖,在A4BC中,乙4cB=90°,AB=2瓜F為AB中點(diǎn),D為AB上一點(diǎn),連CD,CF,DE±BC于點(diǎn)E,若乙CDE+3乙4
=180°,ED=1,則CE的長(zhǎng)是()
A.y/2B.V3C.2D.2V3
2.如圖,矩形ABCD中..AB=12,^D=18?E為AB中點(diǎn),F為BC邊上一點(diǎn),若Z.BFE=4/ADE,則BF長(zhǎng)為
D
BC
十八、三等腰模型
圖解模型
【核心方法】設(shè)參導(dǎo)角
圖1圖2
如圖3,(0A=OB=OC/AOC=a,則4ABe=多圖4中,乙ABC=135。,圖5中,N4BC=150°
模型快練
1.如圖1,四邊形ABCD為正方形,AE=AD.連DE、BE,H為DE中點(diǎn)AH交BE于P,求證:NBPA=45。.
2.如圖2,AABC為等邊三角形,AD=AC,連BD、CD,H為CD中點(diǎn)AH交BD于P,求證:ZBPA=60°.
十九、常見(jiàn)的SSA(胖瘦模型)
圖解模型
AA
常見(jiàn)的S網(wǎng)(胖瘦模型)
說(shuō)明:SSA并不作為類(lèi)似于SAS的判定定理使用,本書(shū)中的SSA特指一類(lèi)圖形規(guī)律和解題方案。
SSA問(wèn)題產(chǎn)生情景:求作△4BC,滿(mǎn)足:BC=a(定長(zhǎng)).BA=c(定長(zhǎng)),BC所對(duì)的角.乙4=a,為固定大小
如圖1,當(dāng)a<九時(shí),這樣的三角形不存在。
如圖2,當(dāng)a=M寸,這樣的三角形有且只有1個(gè).
如圖3,當(dāng)a>h(a片c)時(shí),這樣的三角形有2個(gè)。
二十、378/578以及357模型
圖解模型
【核心解讀】
378、578拼成等邊三角形(SSA模型),這兩個(gè)三角形中邊長(zhǎng)“7”所對(duì)的角為(60。.
作邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC,在BC上取D,使.BD=3,CD=5,可證AD=7?因此有378、578模型。
證明:取BC的中點(diǎn)H,連AH,易證.DH=1,AH=4百
AD=>JAH2+DH2=J(4V3)2+I2=7
357模型由上面兩個(gè)模型演變而來(lái),在“378”三角形中切掉一個(gè)邊長(zhǎng)為3
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