2024年中考數學復習：幾何模型專項練習

幾何模型專項練習

一、三角形三邊關系拓展

知識提煉

二、飛鏢模型、8字模型、A字模型、“風箏”模型

知識提煉

1.如圖,/I=60°,則.+ZC+/D+/E+/F=()

A.240°B.280°C.360°D.540°

2.如圖,在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中”乙D=28。,則乙4++/C+/F的度數為（）.

A.62°B.152°C.208°D.236°

3.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

三、三角形角平分線

知識提煉

【核心解讀】

角平分線模型中，除了上述的數量關系之外，?？冀瞧椒志€的“知二得三”，即表格第二列的結論，需要主動去構造相應的輔

助線。

四、多邊形

知識提煉

⑴正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；

⑵過n邊形的一個頂點可以引|(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數為午2;

(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成((n-2))個三角形.

(4)n邊形的內角和為((n-2)?180°(n>3).

(5)內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數；

(6)正多邊形的每個內角都相等，都等于(7)丁0。；

(7)多邊形的外角和為360。,在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒

等于360。,它與邊數的多少無關；

⑻正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于號二；

(9)多邊形的外角和為：360。的常見考察方式：

①已知各相等外角度數求多邊形邊數；

②已知多邊形邊數求各相等外角的度數.

模型快練

1.如圖,在五邊形ABCDE中+/E=300°,,DP,CP分別平分.zEDC,/BCD,則NP的度數是()

A.60°B.65°C,55°￡).50°

A

DC

2.如圖，小明從O點出發(fā)，前進6米后向右轉20。,，再前進6米后又向右轉20。，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點

O時一共走了()

A.72米B.108米C.144米D.120米

五、全等三角形的性質補充

知識提煉

全等三角形的對應線段相等。(對應邊上的中線、對應邊上的高、對應角的角平分線分別相等)

AA'

高、角平分線，則：（CM=C'M\AH=A'H\BD=B'D'.

模型快練

1.如圖，△ABC三&4'8'C',邊BC、B'C'交于點Q,連接AQ.求證:AQ平分ABQC.

2.如圖,AABC和A4DE共頂點A4QB4E<180）,4B=AC,AD=AE.乙BAC=^DAE=a,F,G分另?。轂锽D,CE的中點，貝!J.ZGFA

=°.度（用a表K）

六、手拉手全等模型

圖解模型

【基本結論】⑴角生角,(60°t60°;90°—90°

圖1,Z.BAC=Z.DAE=90。,,因此BD、CE夾角(90°;

圖2,AE、BD夾角60。;

圖3,BG、DE夾角90。.

⑵角平分，第三邊所在直線的夾角或其鄰補角，被它們交點和公共頂點的連線平分。

【基本方法】手拉手，導角找“8”字模型或利用四邊形的內角和為360。.

模型快練

1.【已知條件】已知△ABC與△ADE均是等邊三角形，且A、B、E三點共線.

【可得結論】①ABCD之△ACE(SAS);②△BCN/^ACM,△ECM^ADCN;③拉手線BD與AE的銳角夾角等于6(T(NAPB

=60°);@ACMN為等邊三角形;⑤CP平分/BPE;⑥PB=PA+PC;⑦PE=PD+PC.以上結論請同學們自主證明.

備用圖

七、一線三等角全等模型(三垂直)

圖解模型

圖2圖3圖4

【基本結論】①AACM當ZXCBN（圖1、圖2）;②MN=BN+AM（圖1）;③MN=BN-AM（圖2）;④ZXABQ名△FHG（圖3）;?APMQ

名Z\FHG（圖4）.

模型快練

1.如圖,△ABC中,AB=AC,NBAC=90。.過點A作直線1,過點B,C分別作BD1/于點D,CE±1于點E.

（1）如圖1,當直線1在4ABC的外部時,求證:.DE=BD+CE-,

⑵當直線1在^ABC的內部如圖2所示時,求證:.DE=BD-CE-,

（3）當直線1在乙ABC的內部如圖3所示時，直接寫出DE,BD,CE三者之間的數量關系式為

八、一線三等角全等模型（任意角）

圖解模型

一線三等角（同側型）一線三等角（異側型）

D

【基本結論】△APC=△BDP

【基本方法】導角1,“一線”,平角180。導角2，“內角和”或推論

判定定理:AAS或ASA

模型快練

1.如圖.△4BC為等邊三角形,D,E,F分別AB,BC,AC上的點,NDEF=60°,BD=CE.求證:BE=CF.

2.如圖.在等腰RtAABC中，NACB=90。,點D.E分別為AB,BC上的點,且（CD=DE,NCDE=45。,求證:BD=BC.

3.如圖.A4BC為等腰直角三角開鄉(xiāng)，LACB=90°,CD=4/BDC=90。,求△40C的面積.

九、對角互補（雙直角）

知識提煉

【雙垂線：構造變式三垂直模型；旋轉：構造手拉手全等】

1.雙直角異側型2.雙直角同側型

輔助線起點：等腰直角三角形的直角頂點；或等腰三角形的頂點

本質：“等鄰邊”、“對角互補”、“角平分”三個條件，互推(“知二推一”)

模型快練

1.如圖,在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,BD平分NABC.求證:

(1)AD=CD;

(2)4B+BC=&BD;

(3)S??“=-BD2.

四邊形ABCD2

十、對角互補(任意角)

知識提煉

①AB+AD=2AM=2AN;②AD-AB=2DN=2BM;③邊相等一角平分;角平分一邊相等

【基本方法】

輔助線1：割補一雙垂線

輔助線2:旋轉一構造手拉手

模型快練

1.如圖，四邊形ABCD中..ABAD=60。,/BCD=120。,BC=DC,求證：AB+AD=4c

【從“同側型對角互補”到“折弦圖

十一、夾半角全等模型（內+外）

知識提煉

1.90。半角模型——內半角

【基本結論】.BM+DN=MMACMN周長為正方形周長的一半；4H=正方形邊長；Z.ANM=zAND,AAMN=Z.AMB-,

BF2+DE2=EF2

2.90。半角模型一一^外半角

【基本結論】DN-BM=MN;乙ANM="ND;BF2+DE2=EF2

【核心解讀】

1.輔助線作法：過45。角的頂點作其中一邊的垂線，交正方形的邊（或延長線）得到“風箏形”或“燕尾形”全等。

2.夾半角模型解題中有兩次全等：“旋轉全等”+“翻折全等”。

模型快練

I.如圖,B（4,4）,BC1y軸于點C,BA1久軸于點A,E為BC上一動點（不與B,C重合）,F為AB上一動點,且滿足.乙OEF=乙4OE

，在運動過程中，△BEF的周長變嗎？若不變求其值；若變化求其變化范圍.

2.如圖,四邊形ABCD中,48=AD.^BAD=ZC=90。,,E,F分別為BC,CD上的點NE4F=45°.EF,BE,DF之間有何數量關

系？寫出關系式并證明.

3.如圖.在平面直角坐標系中，點A(0,2),B(2,0),點C在乙4BO)的平分線上，/ACO=67.5。,求乙4OC的度數

十二、全等模型解題演練

模型快練

(-)手拉手模型

1.如圖,AB=AC,AD=AE,Z.BAC=^DAE=a,直線BD,CE交于點P,連接AP.

(1)求證:BD=CE;

⑵求乙4PB的度數(用n表示)；

(3升等圖形旋轉至如圖2所小的位置,其余條件不變，在圖2中㈣出點P,直接與出Z.APB=(用a表ZF).

圖I

2.如圖,△4BC和△4DC均為邊長為4的等邊三角形，E、F分別在CB、DC的延長線上,/-FEA=60。,求CE-CF的值.

（二）“十字架模型"（三垂直模型拓展）

模型快練

1.在正方形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點,且EG_LFH.求證:EG=HF.

2.如圖,在等腰RtAABC中AB=AC,ABAC=90。,,點D,E分別是AB,AC上的點,.AFIDE交BC于點F,且AF=DE.求證:A

D=CE.

A

3.如圖，△ABC^p,Z-CAB=^CBA=45°,CA=CB點E為BC的中點,CN±AE交AB于N,GVJ_ZE連EN,求證:AE=CN+EN

4.如圖，在四邊形ABCD中,.AC=BC=BD,AC1BD,AB=逐，求△ABD的面積.△ABD

(三)對角互補模型

1.如圖,等邊.△ABC的邊長為1,D是BC的中點，點E,F分別位于AB,AC邊上,且NEDF=120。,那么AE+AF的長是否為定

值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由.AE+AF

2.如圖，乙=AADC=9(T,BD是乙的令際卜角.々MB。的平分線.求證：

⑴ZD=CD;

(2)BC-AB=y/2BD;

(3)SBDC—SABD=53。之.

3.如圖,在四邊形ABCD中，/ABC=2AADC=1202BD平分/.ABC.

(1)求證:AD=CD;

(2)求證:AB+BC=BD.

(四)半角模型

(1)90。的半角模型

【已知條件】已知正方形ABCD中.E,F分別是BC、CD上的點/E4F=45。A￡、AF分別與BD相交于點0、P.求證:

(1)EF=BE+DF;

(2)AE平分上BEF,AF平分上DFE：

(3)CCFF=2倍正方形邊長；

(4)S.BE+^ADF—S*EF；

(5)4B=4G=4。(過點A作4GJ.EF,垂足為點G);

⑹OP?=OB2+OD2;

⑺若點E為BC中點則點F為CD三等分點.

(2)120。半角模型

①文□圖1,已矢口△4BC為等邊三角形，DB=DC/BDC=120°,AMDN=60°.

求證:.MN=BM+NC.

②如圖2,已知A4BC為等邊三角形，DB=DCjBDC=120。,乙MDN=60°.

求證：MN=NC-BM.

圖1圖2

(3)135。半角模型(270。夾135°)

1.在Rt△4BC中，點E、點D分別為AB,AC邊上動點,四邊形AEFD是正方形,且乙BFC=135。,求證：CB=CD+BE

十三、角平分線定理

知識提煉

【已知條件】AD是A4BC的角平分線.

【可得結論】界=,

【證明方法】

方法一：面積法一見“模型快練”

方法二：相似法一過C作AB的平行線，交AD的延長線于點E,利用X形相似證明

模型快練

1.如上圖,AD是^ABC的角平分線.求證:黑=笫

2.如圖，△ABC和^ADE都是等邊三角形,點D在BC上,DE與AC交于點F,若48=5,BD=3,則弓=

3.如圖,在.RtA4BC中，乙4cB=90。,4c=1,BC=2?D是邊AB上一點.連接CD.將A4CD沿直線CD折疊，點A落在E處.

當點E在△ABC的內部(不含邊界)時，AD長度的取值范圍是_.

例解模型

問題：在平面內求作C點，使△4BC為等腰三角形

【解析】作圖結果如圖，排除如圖5個點的兩個圓和一條直線

1平面直角坐標系中，已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標軸上取點C,使△4BC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是()

6MC=8,D是AB邊上的動點，當△BCD為等腰三角形時，求線段DB的長.

B

A

十五、平分+平行=等腰

知識提煉

基本類型：①平分+平行=等腰；②平分+等腰=平行；③平行+等腰二平分。

同類模型：等腰評行=新百

模型快練

1.如圖.點F是乙4BC的平分線和外角.N4CG的平分線的交點，DF||BC,交AB于D,交AC于E,求證:.DB=DE+EC.

2.如圖,在△4BC中，點E為BC的中點,(CF||4B且乙BAE=/E4F,求證：AF+CF=AB.

A

3.如圖，點P(2,0),直線AP交y軸于A,點M在直線AP上,.MN”軸于N,且MN=MP,NG=NH,,其中點G在x軸負半軸上,

點H在AP上，求PG-PH的值

4.如圖,在矩形ABCD中4。=10,4B=6,,E為BC上的一點,ED平分乙4EC,,則CE的長為.

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，乙4BC,NBCD的平分線BE,CF分別與AD相交于點E、F,BE與CF相交于點G,若.AB=3,

BC=5,CF=2?貝?。軧E的長為.

十六、例說雨傘模型（逆向構造三線合一）

圖解模型

圖1,RtAABC中,ZC=90°,BD平分NABC,過A作BD的垂線,交BD的延長線于E圖2,RtAABC中,ZC=90°,AC=BC.BD平

分/ABC,過A作BD的垂線,交BD的延長線于E

圖2

統(tǒng)一結論：AE=A，E（補形后的圖形整體像一把雨傘，故稱為“雨傘模型”）

模型快練

1.如圖,已知,ZBAC=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線,且CE±BD交BD的延長線于點E.求證:BD=2CE.

2.如圖，0A為第一象限的角平分線，點E在y軸上，乙OEF=乙40F,FE±OF交0A于M點求證:.EM=20F.

3.在Rt△中,/.ACB=90°,AE,BD是角平分線,(CM1BD于M,CN_LAE于N,若CN_LAEAC=6,BC=8,則MN=

c

十七、二倍角模型

知識提煉

【核心解讀】當一個三角形中出現(xiàn)兩個角的度數存在2倍的關系，即可使用該模型。輔助線如圖，能得到兩個等腰三角形，

利用等腰三角形的對稱性求解，通常和勾股定理相關聯(lián)。

模型快練

1.如圖,在A4BC中，乙4cB=90°,AB=2瓜F為AB中點,D為AB上一點，連CD,CF,DE±BC于點E,若乙CDE+3乙4

=180°,ED=1,則CE的長是（）

A.y/2B.V3C.2D.2V3

2.如圖,矩形ABCD中..AB=12,^D=18?E為AB中點,F為BC邊上一點,若Z.BFE=4/ADE,則BF長為

D

BC

十八、三等腰模型

圖解模型

【核心方法】設參導角

圖1圖2

如圖3,(0A=OB=OC/AOC=a,則4ABe=多圖4中,乙ABC=135。,圖5中,N4BC=150°

模型快練

1.如圖1,四邊形ABCD為正方形,AE=AD.連DE、BE,H為DE中點AH交BE于P,求證:NBPA=45。.

2.如圖2,AABC為等邊三角形,AD=AC,連BD、CD,H為CD中點AH交BD于P,求證：ZBPA=60°.

十九、常見的SSA（胖瘦模型）

圖解模型

AA

常見的S網（胖瘦模型）

說明：SSA并不作為類似于SAS的判定定理使用，本書中的SSA特指一類圖形規(guī)律和解題方案。

SSA問題產生情景：求作△4BC,滿足：BC=a（定長）.BA=c（定長）,BC所對的角.乙4=a,為固定大小

如圖1,當a<九時，這樣的三角形不存在。

如圖2,當a=M寸，這樣的三角形有且只有1個.

如圖3,當a>h（a片c）時，這樣的三角形有2個。

二十、378/578以及357模型

圖解模型

【核心解讀】

378、578拼成等邊三角形（SSA模型），這兩個三角形中邊長“7”所對的角為（60。.

作邊長為8的等邊△ABC,在BC上取D,使.BD=3,CD=5,可證AD=7?因此有378、578模型。

證明:取BC的中點H,連AH,易證.DH=1,AH=4百

AD=>JAH2+DH2=J（4V3）2+I2=7

357模型由上面兩個模型演變而來，在“378”三角形中切掉一個邊長為3