2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何模型專項(xiàng)練習(xí)

幾何模型專項(xiàng)練習(xí)

一、三角形三邊關(guān)系拓展

知識(shí)提煉

二、飛鏢模型、8字模型、A字模型、“風(fēng)箏”模型

知識(shí)提煉

1.如圖,/I=60°,則.+ZC+/D+/E+/F=()

A.240°B.280°C.360°D.540°

2.如圖,在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中”乙D=28。,則乙4++/C+/F的度數(shù)為（）.

A.62°B.152°C.208°D.236°

3.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

三、三角形角平分線

知識(shí)提煉

【核心解讀】

角平分線模型中，除了上述的數(shù)量關(guān)系之外，?？冀瞧椒志€的“知二得三”，即表格第二列的結(jié)論，需要主動(dòng)去構(gòu)造相應(yīng)的輔

助線。

四、多邊形

知識(shí)提煉

⑴正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；

⑵過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引|(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為午2;

(3)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成((n-2))個(gè)三角形.

(4)n邊形的內(nèi)角和為((n-2)?180°(n>3).

(5)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；

(6)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于(7)丁0。；

(7)多邊形的外角和為360。,在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒

等于360。,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

⑻正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于號(hào)二；

(9)多邊形的外角和為：360。的常見(jiàn)考察方式：

①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；

②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù).

模型快練

1.如圖,在五邊形ABCDE中+/E=300°,,DP,CP分別平分.zEDC,/BCD,則NP的度數(shù)是()

A.60°B.65°C,55°￡).50°

A

DC

2.如圖，小明從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)6米后向右轉(zhuǎn)20。,，再前進(jìn)6米后又向右轉(zhuǎn)20。，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)

O時(shí)一共走了()

A.72米B.108米C.144米D.120米

五、全等三角形的性質(zhì)補(bǔ)充

知識(shí)提煉

全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等。(對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)角的角平分線分別相等)

AA'

高、角平分線，則：（CM=C'M\AH=A'H\BD=B'D'.

模型快練

1.如圖，△ABC三&4'8'C',邊BC、B'C'交于點(diǎn)Q,連接AQ.求證:AQ平分ABQC.

2.如圖,AABC和A4DE共頂點(diǎn)A4QB4E<180）,4B=AC,AD=AE.乙BAC=^DAE=a,F,G分另?。轂锽D,CE的中點(diǎn)，貝!J.ZGFA

=°.度（用a表K）

六、手拉手全等模型

圖解模型

【基本結(jié)論】⑴角生角,(60°t60°;90°—90°

圖1,Z.BAC=Z.DAE=90。,,因此BD、CE夾角(90°;

圖2,AE、BD夾角60。;

圖3,BG、DE夾角90。.

⑵角平分，第三邊所在直線的夾角或其鄰補(bǔ)角，被它們交點(diǎn)和公共頂點(diǎn)的連線平分。

【基本方法】手拉手，導(dǎo)角找“8”字模型或利用四邊形的內(nèi)角和為360。.

模型快練

1.【已知條件】已知△ABC與△ADE均是等邊三角形，且A、B、E三點(diǎn)共線.

【可得結(jié)論】①ABCD之△ACE(SAS);②△BCN/^ACM,△ECM^ADCN;③拉手線BD與AE的銳角夾角等于6(T(NAPB

=60°);@ACMN為等邊三角形;⑤CP平分/BPE;⑥PB=PA+PC;⑦PE=PD+PC.以上結(jié)論請(qǐng)同學(xué)們自主證明.

備用圖

七、一線三等角全等模型(三垂直)

圖解模型

圖2圖3圖4

【基本結(jié)論】①AACM當(dāng)ZXCBN（圖1、圖2）;②MN=BN+AM（圖1）;③MN=BN-AM（圖2）;④ZXABQ名△FHG（圖3）;?APMQ

名Z\FHG（圖4）.

模型快練

1.如圖,△ABC中,AB=AC,NBAC=90。.過(guò)點(diǎn)A作直線1,過(guò)點(diǎn)B,C分別作BD1/于點(diǎn)D,CE±1于點(diǎn)E.

（1）如圖1,當(dāng)直線1在4ABC的外部時(shí),求證:.DE=BD+CE-,

⑵當(dāng)直線1在^ABC的內(nèi)部如圖2所示時(shí),求證:.DE=BD-CE-,

（3）當(dāng)直線1在乙ABC的內(nèi)部如圖3所示時(shí)，直接寫出DE,BD,CE三者之間的數(shù)量關(guān)系式為

八、一線三等角全等模型（任意角）

圖解模型

一線三等角（同側(cè)型）一線三等角（異側(cè)型）

D

【基本結(jié)論】△APC=△BDP

【基本方法】導(dǎo)角1,“一線”,平角180。導(dǎo)角2，“內(nèi)角和”或推論

判定定理:AAS或ASA

模型快練

1.如圖.△4BC為等邊三角形,D,E,F分別AB,BC,AC上的點(diǎn),NDEF=60°,BD=CE.求證:BE=CF.

2.如圖.在等腰RtAABC中，NACB=90。,點(diǎn)D.E分別為AB,BC上的點(diǎn),且（CD=DE,NCDE=45。,求證:BD=BC.

3.如圖.A4BC為等腰直角三角開(kāi)鄉(xiāng)，LACB=90°,CD=4/BDC=90。,求△40C的面積.

九、對(duì)角互補(bǔ)（雙直角）

知識(shí)提煉

【雙垂線：構(gòu)造變式三垂直模型；旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造手拉手全等】

1.雙直角異側(cè)型2.雙直角同側(cè)型

輔助線起點(diǎn)：等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)；或等腰三角形的頂點(diǎn)

本質(zhì)：“等鄰邊”、“對(duì)角互補(bǔ)”、“角平分”三個(gè)條件，互推(“知二推一”)

模型快練

1.如圖,在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,BD平分NABC.求證:

(1)AD=CD;

(2)4B+BC=&BD;

(3)S??“=-BD2.

四邊形ABCD2

十、對(duì)角互補(bǔ)(任意角)

知識(shí)提煉

①AB+AD=2AM=2AN;②AD-AB=2DN=2BM;③邊相等一角平分;角平分一邊相等

【基本方法】

輔助線1：割補(bǔ)一雙垂線

輔助線2:旋轉(zhuǎn)一構(gòu)造手拉手

模型快練

1.如圖，四邊形ABCD中..ABAD=60。,/BCD=120。,BC=DC,求證：AB+AD=4c

【從“同側(cè)型對(duì)角互補(bǔ)”到“折弦圖

十一、夾半角全等模型（內(nèi)+外）

知識(shí)提煉

1.90。半角模型——內(nèi)半角

【基本結(jié)論】.BM+DN=MMACMN周長(zhǎng)為正方形周長(zhǎng)的一半；4H=正方形邊長(zhǎng)；Z.ANM=zAND,AAMN=Z.AMB-,

BF2+DE2=EF2

2.90。半角模型一一^外半角

【基本結(jié)論】DN-BM=MN;乙ANM="ND;BF2+DE2=EF2

【核心解讀】

1.輔助線作法：過(guò)45。角的頂點(diǎn)作其中一邊的垂線，交正方形的邊（或延長(zhǎng)線）得到“風(fēng)箏形”或“燕尾形”全等。

2.夾半角模型解題中有兩次全等：“旋轉(zhuǎn)全等”+“翻折全等”。

模型快練

I.如圖,B（4,4）,BC1y軸于點(diǎn)C,BA1久軸于點(diǎn)A,E為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合）,F為AB上一動(dòng)點(diǎn),且滿足.乙OEF=乙4OE

，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BEF的周長(zhǎng)變嗎？若不變求其值；若變化求其變化范圍.

2.如圖,四邊形ABCD中,48=AD.^BAD=ZC=90。,,E,F分別為BC,CD上的點(diǎn)NE4F=45°.EF,BE,DF之間有何數(shù)量關(guān)

系？寫出關(guān)系式并證明.

3.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),B(2,0),點(diǎn)C在乙4BO)的平分線上，/ACO=67.5。,求乙4OC的度數(shù)

十二、全等模型解題演練

模型快練

(-)手拉手模型

1.如圖,AB=AC,AD=AE,Z.BAC=^DAE=a,直線BD,CE交于點(diǎn)P,連接AP.

(1)求證:BD=CE;

⑵求乙4PB的度數(shù)(用n表示)；

(3升等圖形旋轉(zhuǎn)至如圖2所小的位置,其余條件不變，在圖2中㈣出點(diǎn)P,直接與出Z.APB=(用a表ZF).

圖I

2.如圖,△4BC和△4DC均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，E、F分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上,/-FEA=60。,求CE-CF的值.

（二）“十字架模型"（三垂直模型拓展）

模型快練

1.在正方形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且EG_LFH.求證:EG=HF.

2.如圖,在等腰RtAABC中AB=AC,ABAC=90。,,點(diǎn)D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),.AFIDE交BC于點(diǎn)F,且AF=DE.求證:A

D=CE.

A

3.如圖，△ABC^p,Z-CAB=^CBA=45°,CA=CB點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),CN±AE交AB于N,GVJ_ZE連EN,求證:AE=CN+EN

4.如圖，在四邊形ABCD中,.AC=BC=BD,AC1BD,AB=逐，求△ABD的面積.△ABD

(三)對(duì)角互補(bǔ)模型

1.如圖,等邊.△ABC的邊長(zhǎng)為1,D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別位于AB,AC邊上,且NEDF=120。,那么AE+AF的長(zhǎng)是否為定

值？如果是，求出該值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.AE+AF

2.如圖，乙=AADC=9(T,BD是乙的令際卜角.々MB。的平分線.求證：

⑴ZD=CD;

(2)BC-AB=y/2BD;

(3)SBDC—SABD=53。之.

3.如圖,在四邊形ABCD中，/ABC=2AADC=1202BD平分/.ABC.

(1)求證:AD=CD;

(2)求證:AB+BC=BD.

(四)半角模型

(1)90。的半角模型

【已知條件】已知正方形ABCD中.E,F分別是BC、CD上的點(diǎn)/E4F=45。A￡、AF分別與BD相交于點(diǎn)0、P.求證:

(1)EF=BE+DF;

(2)AE平分上BEF,AF平分上DFE：

(3)CCFF=2倍正方形邊長(zhǎng)；

(4)S.BE+^ADF—S*EF；

(5)4B=4G=4。(過(guò)點(diǎn)A作4GJ.EF,垂足為點(diǎn)G);

⑹OP?=OB2+OD2;

⑺若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn).

(2)120。半角模型

①文□圖1,已矢口△4BC為等邊三角形，DB=DC/BDC=120°,AMDN=60°.

求證:.MN=BM+NC.

②如圖2,已知A4BC為等邊三角形，DB=DCjBDC=120。,乙MDN=60°.

求證：MN=NC-BM.

圖1圖2

(3)135。半角模型(270。夾135°)

1.在Rt△4BC中，點(diǎn)E、點(diǎn)D分別為AB,AC邊上動(dòng)點(diǎn),四邊形AEFD是正方形,且乙BFC=135。,求證：CB=CD+BE

十三、角平分線定理

知識(shí)提煉

【已知條件】AD是A4BC的角平分線.

【可得結(jié)論】界=,

【證明方法】

方法一：面積法一見(jiàn)“模型快練”

方法二：相似法一過(guò)C作AB的平行線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,利用X形相似證明

模型快練

1.如上圖,AD是^ABC的角平分線.求證:黑=笫

2.如圖，△ABC和^ADE都是等邊三角形,點(diǎn)D在BC上,DE與AC交于點(diǎn)F,若48=5,BD=3,則弓=

3.如圖,在.RtA4BC中，乙4cB=90。,4c=1,BC=2?D是邊AB上一點(diǎn).連接CD.將A4CD沿直線CD折疊，點(diǎn)A落在E處.

當(dāng)點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部(不含邊界)時(shí)，AD長(zhǎng)度的取值范圍是_.

例解模型

問(wèn)題：在平面內(nèi)求作C點(diǎn)，使△4BC為等腰三角形

【解析】作圖結(jié)果如圖，排除如圖5個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)圓和一條直線

1平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使△4BC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()

6MC=8,D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，求線段DB的長(zhǎng).

B

A

十五、平分+平行=等腰

知識(shí)提煉

基本類型：①平分+平行=等腰；②平分+等腰=平行；③平行+等腰二平分。

同類模型：等腰評(píng)行=新百

模型快練

1.如圖.點(diǎn)F是乙4BC的平分線和外角.N4CG的平分線的交點(diǎn)，DF||BC,交AB于D,交AC于E,求證:.DB=DE+EC.

2.如圖,在△4BC中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),(CF||4B且乙BAE=/E4F,求證：AF+CF=AB.

A

3.如圖，點(diǎn)P(2,0),直線AP交y軸于A,點(diǎn)M在直線AP上,.MN”軸于N,且MN=MP,NG=NH,,其中點(diǎn)G在x軸負(fù)半軸上,

點(diǎn)H在AP上，求PG-PH的值

4.如圖,在矩形ABCD中4。=10,4B=6,,E為BC上的一點(diǎn),ED平分乙4EC,,則CE的長(zhǎng)為.

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，乙4BC,NBCD的平分線BE,CF分別與AD相交于點(diǎn)E、F,BE與CF相交于點(diǎn)G,若.AB=3,

BC=5,CF=2?貝?。軧E的長(zhǎng)為.

十六、例說(shuō)雨傘模型（逆向構(gòu)造三線合一）

圖解模型

圖1,RtAABC中,ZC=90°,BD平分NABC,過(guò)A作BD的垂線,交BD的延長(zhǎng)線于E圖2,RtAABC中,ZC=90°,AC=BC.BD平

分/ABC,過(guò)A作BD的垂線,交BD的延長(zhǎng)線于E

圖2

統(tǒng)一結(jié)論：AE=A，E（補(bǔ)形后的圖形整體像一把雨傘，故稱為“雨傘模型”）

模型快練

1.如圖,已知,ZBAC=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線,且CE±BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:BD=2CE.

2.如圖，0A為第一象限的角平分線，點(diǎn)E在y軸上，乙OEF=乙40F,FE±OF交0A于M點(diǎn)求證:.EM=20F.

3.在Rt△中,/.ACB=90°,AE,BD是角平分線,(CM1BD于M,CN_LAE于N,若CN_LAEAC=6,BC=8,則MN=

c

十七、二倍角模型

知識(shí)提煉

【核心解讀】當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)兩個(gè)角的度數(shù)存在2倍的關(guān)系，即可使用該模型。輔助線如圖，能得到兩個(gè)等腰三角形，

利用等腰三角形的對(duì)稱性求解，通常和勾股定理相關(guān)聯(lián)。

模型快練

1.如圖,在A4BC中，乙4cB=90°,AB=2瓜F為AB中點(diǎn),D為AB上一點(diǎn)，連CD,CF,DE±BC于點(diǎn)E,若乙CDE+3乙4

=180°,ED=1,則CE的長(zhǎng)是（）

A.y/2B.V3C.2D.2V3

2.如圖,矩形ABCD中..AB=12,^D=18?E為AB中點(diǎn),F為BC邊上一點(diǎn),若Z.BFE=4/ADE,則BF長(zhǎng)為

D

BC

十八、三等腰模型

圖解模型

【核心方法】設(shè)參導(dǎo)角

圖1圖2

如圖3,(0A=OB=OC/AOC=a,則4ABe=多圖4中,乙ABC=135。,圖5中,N4BC=150°

模型快練

1.如圖1,四邊形ABCD為正方形,AE=AD.連DE、BE,H為DE中點(diǎn)AH交BE于P,求證:NBPA=45。.

2.如圖2,AABC為等邊三角形,AD=AC,連BD、CD,H為CD中點(diǎn)AH交BD于P,求證：ZBPA=60°.

十九、常見(jiàn)的SSA（胖瘦模型）

圖解模型

AA

常見(jiàn)的S網(wǎng)（胖瘦模型）

說(shuō)明：SSA并不作為類似于SAS的判定定理使用，本書(shū)中的SSA特指一類圖形規(guī)律和解題方案。

SSA問(wèn)題產(chǎn)生情景：求作△4BC,滿足：BC=a（定長(zhǎng)）.BA=c（定長(zhǎng)）,BC所對(duì)的角.乙4=a,為固定大小

如圖1,當(dāng)a<九時(shí)，這樣的三角形不存在。

如圖2,當(dāng)a=M寸，這樣的三角形有且只有1個(gè).

如圖3,當(dāng)a>h（a片c）時(shí)，這樣的三角形有2個(gè)。

二十、378/578以及357模型

圖解模型

【核心解讀】

378、578拼成等邊三角形（SSA模型），這兩個(gè)三角形中邊長(zhǎng)“7”所對(duì)的角為（60。.

作邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC,在BC上取D,使.BD=3,CD=5,可證AD=7?因此有378、578模型。

證明:取BC的中點(diǎn)H,連AH,易證.DH=1,AH=4百

AD=>JAH2+DH2=J（4V3）2+I2=7

357模型由上面兩個(gè)模型演變而來(lái)，在“378”三角形中切掉一個(gè)邊長(zhǎng)為3