2024年中考數(shù)學復(fù)習考前專項訓練：二次函數(shù)綜合（相似三角形問題）

2024年中考數(shù)學復(fù)習考前專項訓練一一

二次函數(shù)綜合（相似三角形問題）

1.如圖，以。為頂點的拋物線＞=-；/+法+。交X軸于A、B兩點,交y軸于點C,直線

BC的表達式為y=-x+6.

⑴求拋物線的表達式；

⑵在直線8C上存在一點P,使PO+PA的值最小，求此最小值；

（3）在x軸上是否存在一點0,使得以A、C、。為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請

求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

3一

2.如圖，已知拋物線y=1x2+bx+c與坐標軸父于A、B、C三點，A點的坐標為（一1,

3

0）,過點C的直線y=^x—3與x軸交于點Q,點P是線段BC上的一個動點，過P作PH_LOB

于點H.若PB=5t,且

（1）填空：點C的坐標是b=_,c=_；

（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；

（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與ACOQ相似？若

存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由.

3.如圖，一次函數(shù)＞=-無+3的圖象與x軸和y軸分別交于點8和點C,二次函數(shù)

y=-/+6x+c的圖象經(jīng)過8,C兩點，并與x軸交于點A.點是線段上一個動

點(不與點。、2重合)，過點M作無軸的垂線，分別與二次函數(shù)圖象和直線BC相交于點。

備用圖

(1)求這個二次函數(shù)的解析式.

(2)①求。E、CE的值(用含小的代數(shù)式表示).

②當以C,D,E為頂點的三角形與AABC相似時，求相的值.

(3)點尸是平面內(nèi)一點，是否存在以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接

寫出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

點8的橫坐標為2.

(1)求A、C兩點的坐標和拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)點。是直線AC上方拋物線上任意一點，P為線段AC上一點，且SAPC￡)=2SAB4。，求

點P的坐標;

試卷第2頁，共8頁

(3)如圖2,另有一條直線y=一尤與直線AC交于點M,N為線段。4上一點，/AMN=

NAOM.點。為x軸負半軸上一點，且點。到直線和直線M。的距離相等，求點。的

坐標.

5.已知拋物線yn-V+^+c與直線/交于A,8兩點，坐標分別為A。,2),B(5,-2).

7

6

5

4

X

3

2

1

(2)若將直線/沿著y軸向上平移〃?(機＞0)個單位，平移后的直線與拋物線有且只有一個交點,

求m的值；

(3)如圖，若點C是位于直線48上方拋物線上一點，過點C作直線/'直線，求直線/'與直

線/之間距離的最大值.

6.如圖，二次函數(shù)y=辦2+6x+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A(-2,0)、B(4,0),

與y軸交于點C(0,3),連接BC、AC,該二次函數(shù)圖象的對稱軸與X軸相交于點D.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式、

(2)點D的坐標及直線BC的函數(shù)解析式；

(3)點Q在線段BC上，使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出點Q的

坐標；

(4)在(3)的條件下，若存在點Q,請任選一個Q點求出ABDQ外接圓圓心的坐標.

7.如圖，二次函數(shù))=加+法+4(0工0)的圖象與直線40：，=6+6交于人(<0)、

(1)請直接寫出關(guān)于x的不等式℃?+6尤+4>區(qū)+6的解集：;

⑵求二次函數(shù)表達式；

⑶點E是線段(包含A,8)上的動點，過點E作x軸的垂線，交二次函數(shù)圖象于點P,

交直線AM于點N、若以點尸，N,A為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點尸

的坐標；若不存在，請說明理由.

8.如圖已知點A(-2,4)和點B(1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A，，點B的對應(yīng)點為B，，若四邊形A

A，B，B為菱形，求平移后拋物線的表達式；

(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB，的交點為點C,試在x軸上找點D,使得以點B\

C、D為頂點的三角形與△ABC相似.

9.已知矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為4(6,0),

C(0,3),直線y=+：與邊8C相交于點D

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⑴求點D的坐標；

(2)若拋物線丫=依2+泳(。70)經(jīng)過4、。兩點，試確定此拋物線的解析式；

(3)在(2)中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點點尸在對稱軸上，且與△A3。

相似，求點尸的坐標.

10.如圖，拋物線y=-2奴-3。(a為常數(shù)，a<0)與x軸分別交于A,B兩點(點A在

點8的左側(cè))，與y軸交于點C,且OB=OC.

⑴求a的值；

(2)點。是該拋物線的頂點，點、P(m,“)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個點，分別連接8。、

BC、CD、BP,當時，求機的值；

(3)點K為坐標平面內(nèi)一點，DK=2,點M為線段8K的中點，連接AM,當AM最大時，求

點K的坐標.

11.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a%2+6x+c(awO)的圖像經(jīng)過點B(4,0)、

0(5,3),設(shè)它與x軸的另一個交點為A(點A在點B的左側(cè))，且△的)的面積是3.

(1)求該拋物線的表達式和頂點坐標；

(2)求mAB的度數(shù)；

(3)若拋物線與y軸相交于點C,直線8交X軸于點E,點尸在線段AD上，當YAPE與

相似時，求”的長.

y個

?D

—1--1?-------->

0_Bx

12.如圖，拋物線廣加+法+3("0)經(jīng)過x軸上A(-LO)、2兩點，拋物線的對稱軸是直

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵拋物線與直線產(chǎn)-xT交于A、E兩點，與y軸交于點C.點P在x軸上且位于點8的左

側(cè)，若以尸，B,C為頂點的三角形與，ABE相似，求點尸的坐標；

⑶尸是直線BC上一點，。為拋物線上一點，是否存在點尸，使得A,E,D,尸四點組成的

四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點尸的坐標，若不存在，請畫圖說明理由.

13.如圖，拋物線〉="犬+人龍-3交x軸于A(—3,0),3(1,0)兩點，與,軸交于點C.連接AC,

BC.

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圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點尸為拋物線在第三象限的一個動點，尸河，x軸于點M,交AC于點G,

/>￡_14。于點后，當PGE的面積為1時，求點P的坐標；

(3)如圖2,若。為拋物線上一點，直線0Q與線段AC交于點N,是否存在這樣的點Q,使

得以A,O,N為頂點的三角形與ABC相似.若存在，請求出此時點。的坐標；若不存在，

請說明理由.

14.在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點及點A(1,2)

與x軸相交于另一點B(3,0),將點B向右平移3個單位得點C.

(1)、求二次函數(shù)的解析式；

(2)、點M在線段0C上，平面內(nèi)有一點Q,使得四邊形ABMQ為菱形，求點M坐標；

(3)、點P在線段0C上，從0點出發(fā)向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線A0于D

點，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF(當P點運動時，點D、點E、點F也隨之運

動)；

①當點E在二次函數(shù)的圖像上時，求0P的長；

②若點P從。點出發(fā)向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，若P點運動t秒時，

直線AC與以DE為直徑的。M相切，直接寫出此刻t的值.

15.拋物線y=o？+2x+3(a0)交x軸于A、B兩點，交y軸于點C