2024新高考數(shù)學(xué)模擬沖刺卷（19題結(jié)構(gòu)）含答案

2024屆新高考模擬試卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分150分）

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回寄E選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考雌束后，將本試卷和答題旨-并交回.

一、選擇題：本題共S小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2024?河南焦作二模）設(shè)集合X=｛L-a｝：B=｛0,3-?3a-8｝,若AuB,則。=（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?福建福州二模）若復(fù)數(shù)二滿足二?甘，則n=（）

A.1B.0C.2D一出

3.（2024?黑龍江哈爾濱二模）2024年3月19日，新加坡共和理工學(xué)院代表團(tuán)一行3位嘉宣蒞臨我

校，就拓寬大學(xué)與中學(xué)間的合作、深化國際人才培養(yǎng)等議題與我校進(jìn)行了深入的交流.交流時嘉宴席

位共有一排8個空座供3位嘉宣就坐，若要求每位嘉宣的兩旁都有空座，目靠宣甲必須坐在3位嘉

宜中間，則不同的坐法有（）

A.8種B.12種C.16種D.24種

4.（2024?吉林模擬預(yù)測）已知&月為銳角，目8s（a+￡）=四月，則由尸的最大值為（）

sina

A.&B.立C.避D.巫

12462

5.（2024?河南開封?三模）記S.為數(shù)列｛《｝的前"項(xiàng)和,刀為數(shù)列｛《.｝的前〃項(xiàng)積，若4=1,。1=，，

則滿足7；>1項(xiàng)的〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

6.（2024?陜西二模）已知〃x）20,且x>0時，/（2x）=cos2x-/lx）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.小）>嗚）

B.當(dāng)xxg+E（巾wZ）時,/（x）＜2tanxf（2x）

c?若冏今g（x）=M?為常函數(shù)，則/U）=l在區(qū)間（0」）內(nèi)僅有1個根

2

D.若力1）=1,則/（8}＜方

7.（2024?河北衡水?二模）記橢圓。：=+￡=1（.＞b＞0）與圓G：f+丁=/的公共點(diǎn)為M,

ab

N,其中"在N的左側(cè)，A是圓G上異于M,N的點(diǎn)，連接4眩交C于3,若

2tanZANM=5tanABNM,則C的離心率為（）

A.-B.-C.叵D.史

5555

8.（2024河南信陽二模）若函數(shù)/（x）=eX+Q-2-e在定義域R上存在最小值b,則當(dāng)。一6取得

最小值時，。=（）

1313

A.—B.—C.——eD.——e

2e2e2e2e

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共1S分.在每小而出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項(xiàng)，每選

對1個得3分；若只有3個正確選項(xiàng)，每選對1個得2分.

9.（2024?山西?二模）下列說法中正確的是（〉

A.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，則每個個體被

抽到的概率是0.2

1Q

B.已知一組數(shù)據(jù)2,2,汨，5,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是當(dāng)

C.數(shù)據(jù)76,69,87,65,62,96,92,81,76,82的第70百分位數(shù)是82

D.若樣本數(shù)據(jù)占多,…占，的標(biāo)準(zhǔn)差為5,則數(shù)據(jù)2%+3,2X2+3,L,2冊。+3的標(biāo)準(zhǔn)差為20

10.（2024?廣東深圳二模）已知函數(shù)/]x）=sin0x+a8S0x（xeR,。＞0）的最大值為2,其部

分圖象如圖所示，則（）

A.a—^3

B.函數(shù)小-,為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)。，存在且唯一

D.力x）是周期函數(shù)，目最小正周期為兀

11.（2024?湖南二模）如圖，點(diǎn)尸是棱長為2的正方體44瓦G。的表面上一個動點(diǎn)，尸是

線段.4及的中點(diǎn)，則（）

DiC.

A.若點(diǎn)尸滿足APL4C,則動點(diǎn)尸的軌跡長度為4式

B.三棱錐N-PBQ體積的最大值為g

C.當(dāng)直線4P與4B所成的角為45時，點(diǎn)尸的軌跡長度為兀+40

D.當(dāng)尸在底面."8上運(yùn)動，目滿足尸F(xiàn)〃平面4CR時，線段所長度最大值為2拉

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.（2024?上海普陀二模）若向量方在向量S上的投影為:鼠目131-5XG,則8S@by=.

13.（2024?浙江?二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特?梵高用夸張的手法，生

動地描繪了充滿運(yùn)動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓。的一段圓弧E,目弧E所對的圓

心角為?.設(shè)圓C的圓心。在點(diǎn)。與弧E中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓。滿足：弧E上存在四點(diǎn)

滿足過這四點(diǎn)作圓。的切線，這四條切線與圓。也相切，則弧E上的點(diǎn)與圓。上的點(diǎn)的最短距離的

”豢考數(shù)據(jù)：8S^=退口

取值范圍為

14.（2024廣東二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。，中放置著一個邊長為1的等邊三角形R4S,

目滿足尸3與x軸平行，點(diǎn)X在x軸上.現(xiàn)將三角形尸.仍沿x軸在平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)滾動，

設(shè)頂點(diǎn)尸（蒼田的軌跡方程是P=/（x）,則/（力的最小正周期為；j，=/（x）在其兩個

相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15一（2024湖南二模）（13分）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面BCC4,BC是圓柱底面的直徑,

。為底面圓心，叫為一條母線，E為CG的中點(diǎn)，目.45=47=必=4.

（1球證：OELAB、；

（2冰平面月4E與平面BOE夾角的余弦值.

16.(2024上海松江二模)(15分)某素質(zhì)訓(xùn)練營設(shè)計了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊參賽，每次

只派一個人，目每人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖

關(guān)成功即視作比騫勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)現(xiàn)有甲'乙、丙三人組隊參騫，他們各自闖關(guān)成功的概率分

別為R、B、假定R、2、R互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

(1)計劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若以=；,2=△=；,求該小組比騫勝利的概率；

Q港依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求*的期望E(X)；

(3)已知1>P>2>R,若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、

丙誰先派出.

17.(2024?山東聊城二模)(17分)已知橢圓C:二+二=l(a>b>0)的短軸長為2,離心率為理..

a-b-3

(1或C的方程；

(2)直線/：J=h+泄3>。即>0)與C交于MN兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)A,與X軸交于點(diǎn)3,目

京7亞石=4豌.

⑴當(dāng)必=：=2時，求k的值；

(ii)當(dāng)2+以=3時，求點(diǎn)(O,M)到/的距離的最大值.

18.（2024江蘇南通模擬預(yù)測）（17分）設(shè)函數(shù)與x）=（x-a）lnx-x+a,aeR.

（1港a=0,求函數(shù)ZU）的單調(diào)區(qū)間；

（2港-4＜。＜0,試判斷函數(shù)刀x）在區(qū)間（er,，）內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；

C

（3球證：對任意的正數(shù)。，都存在實(shí)數(shù)，，滿足：對任意的xe（f,f+a）,1/U）＜a-L

19.（2024?河南開封三模）（17分）點(diǎn)S是直線股外一點(diǎn)，點(diǎn)M,N在直線股上（點(diǎn)M,N與點(diǎn)

P,。任一點(diǎn)不重合）.若點(diǎn)M在線段世上，記（R0；」M）=?舞:鬻；若點(diǎn)M在線段做外，

記（P,Q;M）=-皤1ati無二.記（尸。山）卜翳黑.記△.MC的內(nèi)角.4,B,C的對邊分別

pQ|smNA?Q\P,QZN｝

為a,b,c.已知》=2,d=60。，點(diǎn)。是射線BC上一點(diǎn)，目（瓦仁。）=[

（1港4D=/+1,求4DC：

（2掰線sc上的點(diǎn)M,M,M,…滿足（3CMM）=-匕g,〃eN,

⑴當(dāng)”=0時，求I幽J+用典的最小值;

（ii）當(dāng)"0時，過點(diǎn)C作CR,也％于月，記見=等，求證：數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和S“<2+應(yīng).

2024屆新高考模擬試卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分150分）

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回寄E選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考雌束后，將本試卷和答題旨-并交回.

一、選擇題：本題共S小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2024?河南焦作二模）設(shè)集合X={L-a}：B={0,3-?3a-8},若AuB,則。=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【詳解】由集合Z={L_a}=={0,3_23a_8},

因?yàn)镵uB,所以—a=0或-a=3a-8,解得。=0或a=2,

當(dāng)。=0時，4={L0},3={0,3「8},不符合題意：

當(dāng)a=2時，Z={L-2},3={0,L-2},符合題意.

故選：C.

2.（2024?福建福州二模）若復(fù)數(shù)二滿足?=i,則目=（）

A.1B.0C.2D.45

【答案】B

【解析】

t詳解】因?yàn)?？甘，所以?F=il^=3=TT,

所以二=—l+i,所以上|="（—if+1?="

故選：B.

3.（2024?黑龍江哈爾濱二模）2024年3月19日，新加坡共和理工學(xué)院代表團(tuán)一行3位嘉宣蒞臨我

校，就拓寬大學(xué)與中學(xué)間的合作、深化國際人才培養(yǎng)等議題與我校進(jìn)行了深入的交流一交流時嘉賓席

位共有一排8個空座供3位嘉寶就坐，若要求每位嘉宜的兩旁都有空座，目袁宜甲必須坐在3位嘉

宜中間，則不同的坐法有（）

A.8種B.12種C.16種D.24種

【答案】A

［詳解】共有8個座位，3個人就坐，所以還剩下5個座位；

因?yàn)橐竺總€人左右都有空座，所以在5個座位的4個空隙中插入3個人，共有C：=4種，

又嘉意甲必須坐在3位嘉賓中間，所以共有4x2=8種，

故選：A.

4.（2024?吉林?模擬預(yù)測）已知4尸為銳角，且8s（a+￡）=生些，貝卜血戶的最大值為（）

sina

A.1B.走C.亞D.在

12462

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍,戶為銳角，且cos（a+￡）=Tl，=8sacos￡-sinasin￡,

sina

兩邊同時除以8s6得，8sa-sinatan￡=~tan6,

sina

/.cosasina=|sin2a+2）tan￡,

<^。為銳角>二忸0。>0>

八sinacosasinacosatana1,1&

二tnnp=--------；—=------；--------:—=----------=-------------&—=1=—

22

2+sina3sina+2cos-a3tan-a+23t3n儀十22>/612，

tana

當(dāng)且僅當(dāng)3tana=」一,即tana=*?時取等號，

tana3

二tan￡最大值為理.

12

故選：A.

5.（2024?河南開封三模）記S”為數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和,工為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)積，若4=1,4乜=$“，

則滿足7；>1000的〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【詳解】由可得力LS「S.nS_=2S.，S,=l#0,

故｛國｝為公比為2的等比數(shù)列，故S"=2”',

所以4T=邑=2一，故〃22間“=2-,

2F22,

因此q

L〃=l

一‘一一

故％=丹生4…q=1x2°x2'x2i=2~~，

要使2顏，則2〃>1000，

當(dāng)〃=6時，2'?>1000,〃=5時，2Y1000,且比也且在近5時，隨著正整數(shù)”的增大而增大,

2

故”的最小值為6,

故選：B

2

6.(2024陜西二模)已知〃x)20,且x>0時，/(2x)=coSx/1x),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f{x}>

B.當(dāng)x#、+版(比eZ)時，f\X)<2tanx/]2x)

C.若g(x)=￡f聞為常函數(shù)，則力X)=l在區(qū)間(0,1)內(nèi)僅有1個根

12/兀sin"

2

D.若力1)=1,則<8)<方

t答案】D

【詳解】對于A中，由函數(shù)力2x)=8s2V(x),可得刀x)=cos2，/^j,

因?yàn)?48s學(xué)1,所以力x)4噌、；，所以A錯誤；

對于B中，由力2x)=8/獷(X),可得<x)=』^L+E方eZ,

cos*x2

又由/U)=(l+tan：x)/(2x),且1+tan"N2tanx,

所以力x)22tanV(2x),所以B錯誤；

對于c中，由/(m)

4x2cos2V(x)

則g(2x)=g(x)，

4sin-xcos2x2)~4

貝i」g(/)=g(：)==g(M)=l,可得g(x)=l,則力0=等，

令力(x)=x-sinx(xN0))則力'(x)=1-8sxNO恒成立,可得力(x)2力(0)=0,

所以x2sinx(x“)，所以雪￡<1,即力x)=l在區(qū)間(0.1)內(nèi)無實(shí)根，所以C錯誤;

JT

對于D中,/(8)=cos24/%(4)=cos24cos22-cos21/(1)=(cos4cos2-cosl)2<(cos2cosIf)

令8S，l=f,可得/?(8)<“2/-1廣；再令3(/)="2/-1)2,舊53：,

則/⑺=(2/-1)2+4*?-1)=(2/-1)(6"1),令0”)=0,可得/或

02

因?yàn)?<‘<:>所以函數(shù)3(，)=，(2/-1『在([$單調(diào)遞；咸,

白1<苒2所以力8）《2看成立，所以D正確.

102/2/

故選:D.

7.（2024澗北衡水二模）記橢圓C：1+二=1（。>5>0）與圓。2：/+/=『的公共點(diǎn)為”,

ab

N,其中M在N的左側(cè)，A是圓G上異于N的點(diǎn)，連接-必/交C于3,若

2tan^ANM=5tanABNM,則C的離心率為（）

回

rL.----------

【答案】D

由題意可知點(diǎn)」w,N分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，所以“（一《0）,N（qO）,

設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)B（X?）,所以

tan〃卬/甌/鴕必=廠^.1—=；2=T_T^=F

W+x|x|a—xra—xa

tanZANM

tanABNMtanABNMtanZJBNM-tan4BMN2

所吟=”=>5？=緝

故選：D.

8.（2024河南信陽二模）若函數(shù)/（刈=/+皿2-€在定義域氏上存在最小值6,則當(dāng)。一方取得

最小值時，。=()

1313

A.—B.—C.——eD.——e

2e2e2e2e

【答案】A

t解析】

【詳解】因?yàn)?(力=亡+修一e,所以八力=/+2G,

當(dāng)。=0時，/(外>0恒成立，則〃x)在定義域上單調(diào)遞增，不存在最小值，故舍去；

當(dāng)。<：0時，若x<0,KlJ/(x)=e1+ox2-e<ax2-e+1,

又］，=——e+l(a<0)在(f,0)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)所以/(x)無最小值，故舍去；

所以。>0,又/(力=』+火，易知/(x)=ex+2m-在定義域上單調(diào)遞增，

且/(0)=1,所以存在唯一零點(diǎn)%,即/+2詼=0,且(<0,

當(dāng)》<七時/'(x)<0,當(dāng)》>天時/"(x)>0,

所以/(X)在(YO,f)上單調(diào)遞減，在(均+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)在x=Z)處取得最小值，即/(力背=/(』)=e*+W-e=b,

巳。Y"

=---,^)\O-b=-----=---l)+e,

2毛2毛22%

☆gC0=e'《-(-l),(x<0),

所以g'(x)=—ex(x——Hy—1)=—^-eI(x—l)2(x+l),

2xx2x

所以當(dāng)x<-1時g'(x)<0,當(dāng)-l<x<0時g'G)>0,

所以g(x)在(y，T)上單調(diào)遞減，在(-L0)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)戶-1時g(x)取得極小值，即最小值，

所以升=-1,所以

2e

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共1S分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項(xiàng)，每選

對1個得3分；若只有3個正確選項(xiàng)，每選對1個得2分.

9.（2024?山西?二模）下列說法中正確的是（）

A.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，則每個個體被

抽到的概率是0.2

B.已知一組數(shù)據(jù)2,2,加，5,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是與

5

C.數(shù)據(jù)76,69,87,65,62,96,92,81,76,82的第70百分位數(shù)是82

D.若樣本數(shù)據(jù)X3?,…再，的標(biāo)準(zhǔn)差為5,則數(shù)據(jù)2x,+3,24+3,L,2%+3的標(biāo)準(zhǔn)差為20

【答案】AB

【詳解】A選項(xiàng)，每個個體被抽到的概率為才0.2,故A正確；

B選項(xiàng)，已知一組數(shù)據(jù)2,2,叫5,7的平均數(shù)為%則2-2-3-5-7=4,解得加=4,

（2—4廣+（2-4）2+（4-4f+（5-4）2+口-4）［”,則這組數(shù)據(jù)的方差是當(dāng)，故B正確；

555

C選項(xiàng)，這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為62⑥,69,76,76用,眨以92,%,

由于10x0.7=7,故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，

即更了=84.5,所以第70百分位數(shù)是84.5,故C錯誤；

D選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)4臺…百。的標(biāo)準(zhǔn)差為5,則不與,…百。的方差為25,

設(shè)4%,…百。的平均數(shù)為工，則x,+z+…+/=10”，

：

木［（%儀）*+舊-x）+--+（xIO-x）-］=25,

T-J2Xj+3+2x>+3H-----1-2x+32（Xj+x4i-x）+30

-----------------1-0--=------2-------10----=ZX+J，

1010

故（2%+3-2不-3『+--+（2%+3-2"3）'=讓一”+…+（%Y）［=］預(yù)，

10-10一

則以+3,24+3,…,2%+3的標(biāo)準(zhǔn)差為師=10,故D錯誤.

故選：AB

10.（2024?廣東深圳?二模）已知函額/fx）=sinox+48SOX（xeR,。>0）的最大值為2,其部

分圖象如圖所示，則（）

c.滿足條件的正實(shí)數(shù)0,存在且唯一

D.力”是周期函數(shù)，目最小正周期為兀

【答案】ACD

1詳解】因?yàn)?Ix）=sinox+a8sox=Ja?+1sin（0x+p）（其中疝。"訪看、8s?=就尸,

又力x）z==2,解得a=±6,

又力0）=。>0,所以。=妻，故A正確;

結(jié)合圖象可知尊+?==+2加內(nèi)eZ,所以。=2+8總無eZ,

436

_2兀兀

TJr___>—

又可>力所以。2,解得0<?<4>所以0=2,故C正確；

24U>0

所以?。?2sin；2x+[,則小-"；=2sin2K再=2sin2x為奇函數(shù)，故B錯誤,

/（X）是周期函數(shù)，目最小正周期74f故D正確.

故選：ACD

11.（2024?湖南二模）如圖，點(diǎn)P是校長為2的正方體KBCD-451G9的表面上一個動點(diǎn)，尸是

線段乂4的中點(diǎn)，則（）

aG

A.若點(diǎn)/滿足則動點(diǎn)尸的軌跡長度為4尤

B.三棱錐月-P3Q體積的最大值為g

C.當(dāng)直線"與K3所成的角為45時，點(diǎn)尸的軌跡長度為兀+40

D.當(dāng)P在底面WB8上運(yùn)動，目滿足尸F(xiàn)〃平面4cA時，線段所長度最大值為2播

t答案】CD

【詳解】對于A,易知4C_L平面.4BCa,Ae平面.4BCQ,故動點(diǎn)尸的軌跡為矩形NBCQ,

動點(diǎn)尸的軌跡長度為矩形月明Q的周長，即為4a+4,所以A錯誤；

對于B,因?yàn)樨坝梅N=I",而等邊JABR的面積為定值24,

要使三棱錐P-AB。的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸到平面AB}D}的距離最大，

易知點(diǎn)C是正方體到平面ABQ、距離最大的點(diǎn)，

所以（匕…L=*他，此時三棱錐C-期。即為校長是2a的正四面體，

其高為h=小20）-j=士^＞所以匕=；x；x2&x2-42x坐=g，B錯誤;

對于C:連接AC,以耳，以B為圓心，8耳為半徑畫邨覺，如圖1所示，

當(dāng)點(diǎn)尸在線段NC,期和弧衣上時，直線.4尸與.43所成的角為45,,

又NC=J.0+5C：=7?77=2"皿=JW+西=V?7i=20,

弧前長度%兀、2工=兀，故點(diǎn)尸的軌跡長度為兀+4灰,故C正確；

對于D,取AD、,DQ,DC,CB,BB、,AB的中點(diǎn)分別為O,R,N,M,T,H,

連接OR,QF,FT,以,NRFH,HN,HM,如圖2所示，

圖2

因?yàn)镕T〃ACFT<t平面A4（7,qcu平面owe,故?！ㄆ矫鍰、&C,

TMHBg,TM<z平面D、BGB、Cu平面D、&C,故TMII平面D4C：

又FTcTM=T,FT,nfu平面FTM,故平面FTM〃平面D、&C；

又QFHNM,QRIITM,RNHFT,

故平面也憶\五。與平面也M是同一個平面.

則點(diǎn)尸的軌跡為線段MV：

在三角形制城中，

FN=4FH工+郎工=^474=20;FM=QFH、HM，=^472=^;NM=立

貝|」*+必口=8=網(wǎng)工，

故三角形EMM是以血V為直角的直角三角形；

故存L=￡V=2近，故即長度的最大值為2a,故D正確.

故選：CD

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.（2024?上海普陀?二模）若向量方在向量B上的投影為g5,且13G-5H3+51,則8s①萬〉

【答案】專

1一

【詳解】???萬在，上的投影為？好

:衛(wèi)匚”,則2」，即同=7^

又|31-5H3+51,平方得8萬’=8己萬，則同=而萬

-abab招

即8、”.=麗=后防rr

故答案為：4.

3

13.（2024浙江二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特?梵高用夸張的手法，生

動地描繪了充滿運(yùn)動和變化的星空假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓。的一段圓弧E,且弧E所對的圓

47r

心角為丁.設(shè)圓c的圓心C在點(diǎn)。與弧上中點(diǎn)的連線所在直線上若存在圓c滿足：弧E上存在四點(diǎn)

滿足過這四點(diǎn)作圓。的切線，這四條切線與圓C也相切，則弧E上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離的

取值范圍為.（參考數(shù)據(jù)：8s名=氈二1）

54

r答案】伍邛）

【詳解】如圖，

設(shè)弧E的中點(diǎn)為時，菰E所對的圓心角為—,

47r

圓。的半徑PM=1,在弧E上取兩點(diǎn)4B,則乙

分別過點(diǎn)43作圓。的切線，并交直線。."于點(diǎn)。，

當(dāng)過點(diǎn)43的切線剛好是圓。與圓C的外公切線時，劣弧.43上一定還存在點(diǎn)S,T,使過點(diǎn)5,7的

切線為兩圓的內(nèi)公切線，

則圓C的圓心C只能在線段上，且不包括端點(diǎn)，

過點(diǎn)C,分別向■"＞，助作垂線，垂足為凡尸，則以即為圓C的半徑，

設(shè)線段OC交圓C于點(diǎn)N,則弧E上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離即為線段MV的長度.

一e31=儂=網(wǎng)＜出=4=/+1

在RtdlQZ）中，11cosZJOD乙LOB-2nJ5-I，

cos——-——cos—-____

254

則|MV|=|OC|-pM|-卬I=|0C|-1_|CR|＜|OD|dO=有+17=有,

即弧E上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)、的最短距離的取值范圍為（0.4）.

故答案為：（0.有）.

14.（2024?廣東二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQr中放置著一個邊長為1的等邊三角形R",

且滿足尸3與x軸平行，點(diǎn)X在x軸上.現(xiàn)將三角形P仍沿x軸在平面直角坐標(biāo)系xQV內(nèi)滾動，

設(shè)頂點(diǎn)尸（蒼田的軌跡方程是y=〃x）,則/（"的最小正周期為；J=〃x）在其兩個

相鄰零點(diǎn)間的圖象與X軸所圍區(qū)域的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（2024湖南二模）（13分）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面BCC4,5c是圓柱底面的直徑,

。為底面圓心，必為一條母線，E為C。的中點(diǎn)，目43=47=必=4.

BOC

（1球證：0EASy）

（2冰平面K4E與平面30E夾角的余弦值.

【答案】（1通明見解析⑵《

【詳解】3）由3c是直徑可知.45/.4C,則disc是等腰直角三角形，故.4O15C,

由圓柱的特征可知班,_L平面W5C,又.4Ou平面ABC,所以_LN。，

因?yàn)榘郃BC=B,即,BCu平面BCC、B、,則AO±平面5CC,B,,

而OEu平面5CC4,則NO_LOE,

因?yàn)?4B=NC=M=4,貝”氏=0.43=啦，所以4。'=4加+3。：=24

2::22

OE=OC+CE=12,B,E-=EC;+B]C=36=B]O'+OE.

所以4OJ_OE,

因?yàn)?0_L0E,AOLOE,AOC\BXO=O,/。，4。＜=平面.他。,

所以。E_L平面.44。，又aqu平面.44。，故。EJ_期.

(2)由題意及(D易知明,月34。兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(4,0,4),￡(0,4.2),0(220),所以福=(4。4),近=(0,4,2),^0=(2,2,0),

由(D知.4OJ■平面4。石，故平面4?！甑囊粋€法向量是割=(22。)，

設(shè))=(x,乂二)是平面月B、E的一個法向量,

n-AB,=0(4A+4C=0

貝惰n-AE=0=田，+2二=0取二=一2,可得行=(2,1,-2)

設(shè)平面NgE與平面B0E夾角為0,

所以8s8=18S(抗==—[—=—,

I「/I年畫20x32

則平面.44E與平面B0E夾角的余弦值為立

2

16.(2024?上海松江二模)(15分)某素質(zhì)訓(xùn)練營設(shè)計了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊參賽，每次

只派一個人，目每人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖

關(guān)成功即視作比騫勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參騫，他們各自闖關(guān)成功的概率分

別為R、B、B,假定2、2、R互不相等，目每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

(1計劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若PL'，2gP、=g求該小組比騫勝利的概率；

(2港依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求i的期望E(X)；

(3)已知1>4>2>R,若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、

丙誰先派出.

【答案】⑴言23

(2)P,^-2^-p,+3

(3洗派出甲

【詳解】(1)設(shè)事件A表示“亥小組比賽勝利，

…，八31211123

貝UPJ|=-+-X—H?—X-X—=一■

‘’44343224

(2)由題意可知，X的所有可能取值為b2,3,

則P(X=1)=〃，P(X=2)=(1—PJB，P(X=3)=Q—BX1-2),

所以X的分布為:

X123

PP1Qf)〃。-4刀-2)

所以E(X)=p、+2(1—4)2+3(1—4)(1-2)=~2一22一2+3；

(3)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為4,

由⑵可知，El=plp,-2p,-p,+3,

若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為當(dāng)，

則g=P4-2p「〃+3,

則&一旦=-2PL2+3)-(pj?2-2p,-2+3)=p,p2-Ip.-pj>,+2p；

,

=/.(P1-A)-2Q?1-A)=(P>-AX>?-2),

因?yàn)?>R>R>R,所以PLP,>0,P「2<。,

所以4-4<0,即4<4,

所以要使派出人員數(shù)目的期望校小，先派出甲.

17.(2024?山東聊城二模)(17分)已知橢圓C：三+2=@>b>0)的蛆軸長為2,離心率為理.

a-b-3

(1或C的方程3

(2)直線/：3=米+泄3>0網(wǎng)>0)與C交于MN兩點(diǎn)，與J軸交于點(diǎn)A,與X軸交于點(diǎn)3,且

石7=尤兩，京=4孰

(0當(dāng)”;=2時，求上的值；

Xr

(ii)當(dāng)右〃=3時，求點(diǎn)(0.-⑸到/的距離的最大值.

【答案】(l)y+r=l

⑵⑴理;(ii)2

2d=2

i=1

【詳解】（D由題意得,c_la'-b'_&)解得:

a-V-o3r

所以C的方程為9+）產(chǎn)=1

（2）（i）由題意得4（0,刑）1-冽,

由6=；函7,得血=235-而，即Mm

k

2m\

由石=2而，得而=2而一怎＞即M1fA

將」％N的坐標(biāo)分別代入C的方程，得與+4獷=1和1+/=1,

3k23工

解得公=；,又上＞0,所以方=g.

『=Av+肛

（ii）由，x?，消去得（32+1）犬+6初n+3疝-3=0,

--y=i

其中A=36^^一12(32+1)(1-1)=12(3^-m2+1)＞0,

-6kin3洲一

設(shè),J，J,N（X2，%），則占3H=34+1

由6=2而，石=〃函0,??）,5；-p0；,

m

u白、王兒,m11

I,-----1------

川必產(chǎn)mmkmm

xi+vx2+TX+Tx2+T

:

由2+〃=3,得k1占+2mk(X'+x2)+3m=0,

"inflc-3k1-12?ft2,

BnP----；----+——：---+37n*2=0n,

3月+13月+1

所以3而不-3^-llnfk2+9m2lr+3"=0,

因此A2=標(biāo)，又上＞0,而＞0,所以t=也

所以/的方程為J，=凝x+1）,即/過定點(diǎn)（-1.0）,

所以點(diǎn)他一⑸到I的最大距離為點(diǎn)（0,一⑸與點(diǎn)（-110）的距離d=J1+㈣=2

即點(diǎn)(0,―⑶到/的距離的最大值為2.

18.(2024?江蘇南通模擬預(yù)測)(17分)設(shè)函數(shù)/U)=(x-a)lnx-x+a,fleR.

(1擊。=0,求函數(shù)不到的單調(diào)區(qū)間;

9

(2港-4＜。＜0，試判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(e-W)內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由;

e

(3冰證：對任意的正數(shù)。，都存在實(shí)數(shù)3滿足：對任意的xe(f,f+a),

t答案】(1漏區(qū)間Ml),增區(qū)間&例)

(2)/8在(ete?)內(nèi)有一個極值點(diǎn)

(3)1正明見解析

【詳解】(D當(dāng)"0時，八x)=xlnx-x,/(x)=lm,

令加)=0,x=l,列表分析

X(0,1)1(1,+8)

/(X)—0一

/(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

故/⑶的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為母)；

(2)/(x)=(A--a)lm--x+a,/(x)=lnx，「二,其中x>0,

XX

令g(x)=xlnx-q,g'(x)=lnx+l,令g(x)=0,x=-,

列表分析:

1d,田)

X(0.-)

eee

g(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

，、1

而左)=W—-/①)-'72+/)，/(屋)=24=白26?),

?111

若一；<a<0,則/(±)=ln二猶<0,/(e-2)=-(2+ae2)<0,/(1)=：(2e?-a)>0,

e~eee*

因此/(X)在(e+e，)上有一個零點(diǎn)，所以/(力在(ete］)內(nèi)有一個極值點(diǎn)；

⑶猜想：xe(M+a),/(x)<a-l恒成立.

證明如下：

由(2)得g(x)在d,y)上單調(diào)遞熠，且g(l)=Y<0,g(l+o)=(l+a)1n(l+a)-a.

e

因?yàn)楫?dāng)X>1時，lnx>l」(*),

X

所以gQ+a)>(l+aXl-」7)-。=0.

a+1

故g(x)在Q1+a)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為％.由

X(U)X。8，1+。)

/(X)—0+

/(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

知，xe(IJ+a),/(x)<max{/(l),/(l+a)},

又/U+4)=ln(l+4)_l,而x>l時，lnx<x-l(**),

豳?⑴.

即xe(l,l+a),f(x)<a-l.

所以對任意的正數(shù)%都存在實(shí)數(shù)f=l,使對任意的xw(G+。)，使/(x)<a-l.

補(bǔ)充證明(*)：

令尸(x)=lnx+1-l,X>1.F'(x)=--X=^>0,

xxjrr

所以尸(X)在［L”)上單調(diào)遞增.

所以x>l時，尸(x)>尸(1)