福州市鼓樓區(qū)2024年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)月考試題與參考答案

福州市鼓樓區(qū)2024年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》月考試題與參考答案

一、單選題

每題4分，共10題。

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（4-2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（4,2）B.（T2）

C.（-4,-2）D,（-2,4）

答案：B

答案解析：點(diǎn)尸（4-2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（<2）；

故選B.

2.關(guān)于*的方程（左T）2/+（2后+i）x+i=o有實(shí)數(shù)根，貝必的取值范圍是（）

A,左2；且左w±lB,左且左Hl

,1,1

C.k>-D.k>-

44

答案：D

答案解析：①當(dāng)（左-1）2=。時(shí)左=1,此時(shí)方程為3x+l=o,有實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)（01）小。時(shí)左歸，此時(shí)方程為為一元二次方程，

...方程有實(shí)數(shù)根

「.A=（2后+1尸一4（后-I）?大。，解得：k>^

綜上所述左,故選：D

3.某種音樂(lè)播放器原來(lái)每只售價(jià)400元,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在每只售價(jià)為256元,

設(shè)平均每次降價(jià)的百分比為x,則可列方程為()

A.400(1-%)=256B.400(1-%)2=256

C.256(1-%)=400D.256(1-x)2=400

答案：B

答案解析：第一次降價(jià)后的售價(jià)為4000-x)元，第二次降價(jià)后的售價(jià)為400。-A?元，

因此可列方程為：400(1-X)2=256,

故選B.

4.關(guān)于二次函數(shù)y=^c2+l的圖象，下列說(shuō)法中，正確的是().

A.對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l

B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為

C.可以由二次函數(shù)>=與的圖象向左平移1個(gè)單位得到

D.在y軸的左側(cè)，圖象上升，在y軸的右側(cè)，圖象下降

答案：D

答案解析：A.二次函數(shù)y=^+l的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=0,故A選項(xiàng)不符合題意；

B.二次函數(shù)y=^2x+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)(R),故B選項(xiàng)不符合題意；

C.二次函數(shù)y=^+l的圖像可以由二次函數(shù)>=去的圖像向上平移1個(gè)單位得到，

故C選項(xiàng)不符合題意；

D.二次函數(shù)》=去+1的圖像開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，圖像上升，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，圖像下

2

降，故D選項(xiàng)符合題意。故答案為：D.

5.如圖所示是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)A為對(duì)稱(chēng)中心.若NC=90。，4=30。，BC=1,貝

的長(zhǎng)為（）

A.4B.—

3

c26n473

C?-------D.-------

33

答案：D

答案解析：根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的特點(diǎn)可知：AB'=AB,

-：ZC=90°,ZB=30°,

.,.在RtZkMC中，AC^^AB,

■.■在RtZXZSC中，AB2=AC2+BC2,BC=1,

.."2=0■回+/,

解得：AB=（負(fù)值舍去），

n

,AB'=AB=—y/3

一3

-BB'=AB'+AB=-y[3

-3

故選：D.

3

6.2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關(guān)注，在半決賽中，梅西的一腳射門(mén)將足球沿著拋物線(xiàn)飛

向球門(mén)，此時(shí)，足球距離地面的高度h與足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間t之間的關(guān)系式為

h=-t2+bt.已知足球被踢出9s時(shí)落地，那么足球到達(dá)距離地面最大高度時(shí)的時(shí)間t為（）

A.3sB,3.5s

C.4sD,4.5s

答案：D

答案解析：根據(jù)題意得：當(dāng)/=9時(shí)，h=0,

：.0=-92+9b,

解得：b=9,

二該函數(shù)解析式為〃=-產(chǎn)+9/，

力=—/+%=—（7—4.5『+20.25,

二足球到達(dá)距離地面最大高度時(shí)的時(shí)間t為4.5s.

故選：D

7.如圖，eO的半徑為5,M是圓外一點(diǎn)，71/0=6,/0/3=30。,〃5交eO于點(diǎn)48,則弦

AB的長(zhǎng)為（）

A.4B.6

C.673D.8

4

答案：D

答案解析：過(guò)。作。于。，連接。4,則/。。/=90。,

■：M0=6,Z.OMA=30°,

:.OC=-MO=3

2，

在RtV。。中，由勾股定理得：AC=^OA2-OC2=V52-32=4,

■：OCLAB,

:.BC=AC,

即45=2/C=2x4=8,故選：D.

8.如圖，。是弧血所在圓的圓心.已知點(diǎn)B、C將弧AD三等分，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中不

正確的是（）

A,才C=2^DB.AC=2CD

C.N4OC=2NCODD.S扇物0c=2S扇肱.

5

答案：B

答案解析：連接AB、BC,OB,

?.?點(diǎn)B、C將弧AD三等分，

^B=BC=6D,

：.M=2PD,故A選項(xiàng)正確；

M=Bc=eD,

AB=BC=CD,

-.-AB+BC>AC,

.■.AC<2CD,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

才C=2?D,

^AOC=2NC0D,故C選項(xiàng)正確；

NB=BC=PD,

ZAOB=ZBOC=ZCOD,

扇物。

二SB=S扇形B0c=S扇版70c,

---S扇畛0c=2s哪COD,故D選項(xiàng)正確;

故選：B.

6

9.一面墻上有一個(gè)矩形門(mén)洞，其中寬為L(zhǎng)5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門(mén)洞（如

圖），則改造后圓弧型門(mén)洞的最大高度是（）

A.2.25米B.2.2米

C.2.15米D.21米

答案：A

答案解析：如圖所示，連接矩形門(mén)洞的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)D,

EDB

二點(diǎn)。為線(xiàn)段45的中點(diǎn)，N4C8=90。,

力5為圓。的直徑，

■.■寬為L(zhǎng)5米,高為2米,

^5=V1.52+22=2.5（米），

???圓的半徑=；/8=1?25（米），

ODLBE,

???點(diǎn)D為8E的中點(diǎn),

7

又?.?點(diǎn)。為線(xiàn)段力5的中點(diǎn)，

0D是YBCE的中位線(xiàn)，

.??8=9。=1（米），

則改造后門(mén)洞的最大高度=1-25+1=2.25（米）；

故選：A.

10.已知拋物線(xiàn)、=?2+為+°（。，0）與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,與y軸的

交點(diǎn)B在（0,2）和（0,3）之間（包含這兩個(gè)點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，有如下四個(gè)結(jié)論：

①拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（3,0）;

②點(diǎn)C（石，M）,在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足毛<乙<1,則為〉為；

③常數(shù)項(xiàng)c的取值范圍是2<c<3；

2

④系數(shù)Q的取值范圍是-IV。V一§?

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.②③④

C.①③D.①③④

答案：D

答案解析拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=1,且與x軸交點(diǎn)為（-1,0）,故與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）,

故①正確；

拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為（0,c）,且與崢由交點(diǎn)B在（。,2）和（0,3）之間（包含這兩個(gè)點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，

故C的取值范圍是2WcW3,故③正確；

拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為X=1,得b=-2。，由x=-1時(shí)，可得。-b+c=0,貝［|c=-3。，又由③已知

8

cc，2

2<C<3,故有2W-3QW3,故故④正確；

由④得結(jié)論可知，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為X=l,得到當(dāng)X<1時(shí)，y隨X增大而增大，

故當(dāng)為<乙<1,有y[<y2,故②錯(cuò)誤；

綜上正確的有①③④，

故選D.

二、填空題

每題4分，共8題。

11.已知點(diǎn)月（。-"，-2）與點(diǎn)。（-6,2。+9關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則a+b=.

答案：0

a-2b=-（-6）[a-2

答案解析：由題意，,2Q+Z?=_（-2"解得）=一2；

/.〃+6=0.

故答案為：0.

12.已知點(diǎn)四孫力）在拋物線(xiàn)3上，且0"<z,貝1J%%.（填

“<”或“>”或“=”）

答案：<

答案解析：歹=￡一3的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，

-：a=l>Q,

,開(kāi)口向上，當(dāng)、>0時(shí)，y隨x的增大而增大,

9

■J0<Xj<x2

故答案為：＜.

13.新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過(guò)兩輪

傳染將會(huì)有225人感染，若設(shè)1人平均感染工人，貝上的值為.

答案：14

答案解析：由題意得：（x+iy=225,

解得：％=14,毛=—16（不合題意舍去），

故答案為140

14.如圖，BD=OD,25=38。，則的度數(shù)為.

答案：28度

答案解析：???8。=。。，45=38。

ZDOB=ZB=38°

：,ZADO=2ZB=76

由題意可得：OA=OD

：,ZADO=/DAO=76。

：.ZAOD=1SO0-2ZADO=28°,故答案為：28。

10

15.如圖，V4SC內(nèi)接于e0,48是e0的直徑，點(diǎn)。是e0上一點(diǎn)，/CDB=55。，則

ZABC=________°.

D

答案：35

答案解析：Q/4/CD3是所對(duì)的圓周角，

NA=ZCDB=55°,

??.班是e°的直徑，

\-ZACB=90°,

在RtZXZCB中，ZABC=90°-ZA=90°-55°=35°,

故答案為：35.

91

16,二次函數(shù)歹=。(％—〃)的圖象如圖所示，已知，。/=℃,則該二次函數(shù)的解析式為

w半11

1

答案：y=-(x-2)7

11

答案解析：由題意，得。僅，°）,

OA=OC,

：.4（0,力），

1

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，得力=］X（0—功2,

解得：〃=2或0（不合題意，舍去），

，該拋物線(xiàn)的解析式為y=5（*-2）~,

故答案為：y=；（x-2）2.

17.如圖，某拱橋橋洞的形狀是拋物線(xiàn)，若取水平方向?yàn)閄軸，拱橋的拱點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直

角坐標(biāo)系，它可以近似地用函數(shù)了=-；/表示（單位：rn）.已知目前橋下水面寬4m,若水

O

位下降1.5m,則水面寬為m.

答案：8

答案解析：目前橋下水面寬4m,

1I.1

即x=2時(shí)，了=_［廠(chǎng)2=_鼻乂2-=_不

ooZ

當(dāng)水位下降］.5m,即y=_；—L5=_2

12

x=±4

此時(shí)水面的寬為8m

故答案為：8.

18.喜歡數(shù)學(xué)的小西同學(xué)在學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候想到了一個(gè)新的定義對(duì)于線(xiàn)段MV,先將線(xiàn)段必

繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。，再繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。，旋轉(zhuǎn)后的兩條線(xiàn)段交于點(diǎn)P,我們稱(chēng)點(diǎn)P

為線(xiàn)段MV的“雙旋點(diǎn)”，如圖，已知直線(xiàn)＞=x+2與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,則線(xiàn)

段45的“雙旋點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)為.

13-A/^,3+A/5")

答案解析：；直線(xiàn)了=x+2與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,

二/(—2,0),8(0,2),

OA=OB=2,NOAB=NOBA=45°,AB=^OA1+OB2=2/,

根據(jù)題意，得/P/8=NPA4=75。，

NAPB=30°,ZPAO=120°,

過(guò)點(diǎn)P作尸G，4。于點(diǎn)G,

ZPAG=60°,ZGPA=30°,

過(guò)點(diǎn)B作3QP/0交。/于點(diǎn)Q,

?./PNG=408=60°

13

ZPBQ=ZAQB-ZAPB=30°=ZAPB

QP-QB,

過(guò)點(diǎn)A作,0,8。于點(diǎn)D,

二四邊形是正方形，

_-,AD=DB=B0=0A=2,/。20=30°,

,-.AQ=2QD,

222

AQ-QD=AD=4t二（2QD）2-R=4,

解得0￡>=W，/0=#

QP=QB=2+牛

.c,c2百4百ccA

..PA—2H-----------1---------=2+2、/3,

33

-GA=-PA=\+y[i

2'

PG=dPd-AG2=3+V3,

二G。=/G+0/=3+V1,

二點(diǎn)P（-3_63+6）,故答案為：卜3-百,3+S'）.

14

三、解答題

19.解方程：

(1)2(x-2)2=18；

(2)2x2-x-6=0.

3

答案：(1)巧=5和Z=-1(2)匹=-萬(wàn)和電=2

【小問(wèn)1詳解】

由原方程，得

(x-2)2=9,

開(kāi)方，得x-2=±3,

解得%=5,七=T；

【小問(wèn)2詳解】

由原方程，得

(2%+3)(%-2)=0；

解得看=一5，9=2.

20.已知關(guān)于x的一元二次方程廿+(機(jī)+3)x+〃,+i=。.

(1)求證：無(wú)論加取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

(2)若%，不是原方程的兩根，且卜一引=2石，求加的值.

答案：(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解

(2)冽的值3或-5

15

【小問(wèn)1詳解】

解：原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，/+(加+3)x+加+1=。中a=1,b=m+3,c=m+l,

j.A=b2-4ac=(m+3)2-4xlx(m+1)=m2+2m+5,

A=(/M+1)2+4>0,

,無(wú)論冽取何值，原方程的判別式恒大于零，

二無(wú)論加取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【小問(wèn)2詳解】

解：廠(chǎng)+(加+3)》+機(jī)+1=。中a=l,b=m+3,c=m+11且即電是原方程的兩根，

I%1-x2|=2V5,

b,c,

x+x=---=+3)$?I2=.=加+]

{2-a5a

：.(X]+%2)2=jq2+有毛+X{=(m+3)2,則xj+x,2=(m+3)2-2(m+l),

■.■|X1-X2|=2V5,即(x「馬)2=僅石『，

(zn+3)2-2(m+1)-2(?/+1)=20,

整理得,m2+2m-15=0,

解方程得，叫=3,機(jī)2=-5,

???加的值3或-5.

21.如圖，若將線(xiàn)段力5繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為9.

16

A

?O

B

（1）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并連接/9，BA1-

（2）四邊形"助力的形狀一定為.（填寫(xiě)序號(hào)即可）

①矩形；②菱形；③平行四邊形；④不能確定形狀的任意四邊形

答案：（1）見(jiàn)解析（2）③

【小問(wèn)1詳解】

【小問(wèn)2詳解】

解：結(jié)論：四邊形/助力是平行四邊形.

理由：-/0A=0A',0B=0B，,

二四邊形是平行四邊形.

故答案為：③.

22.如圖，eO的半徑為1,點(diǎn)A,B,C是e°上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在劣弧力5上,

ZAPB=120°,PC平分/APB.求證：

17

c

（1）V48C是等邊三角形；

（2）PA+PB=PC.

答案：（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【小問(wèn)1詳解】

證明：?.?/4PS=120。，PC平分NAPB,

ZAPC=ZCPB=60°,

ZCBA=ZCPA,ZCAB=ZCPB,

ZCAB=ZCBA=60°,

ZACB=60°,

」.V48c是等邊三角形；

【小問(wèn)2詳解】

證明：在尸C上截取

ZCPA=60°,

..?△加為等邊三角形，

:.AD=AP,ZDAP=60°,

由（1）知V48C為等邊三角形，

AC=AB,ZCAB=60°=/DAP,

18

ACAD=ZBAP,

：,MCAD^JPAB,

.-,CD=PB

：,PC=CD+PD=PB+PA

23.網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售已經(jīng)成為一種熱門(mén)的銷(xiāo)售方式，某果園在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上直播銷(xiāo)售荔枝.已知該荔枝

的成本為6元/kg,銷(xiāo)售價(jià)格不高于18元/kg,且每售賣(mài)1kg需向網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)支付2元的相關(guān)

費(fèi)用，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的直播銷(xiāo)售發(fā)現(xiàn)，每日銷(xiāo)售量y(kg)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/kg)之間滿(mǎn)足

如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

ly/kg

O814%/(元/kg)

(1)求7與X的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)每千克荔枝的銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元時(shí)，銷(xiāo)售這種荔枝日獲利最大，最大利潤(rùn)為多少元?

答案：(1)y=-100x+3000

(2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為18元時(shí)，銷(xiāo)售這種荔枝日獲利最大，最大利潤(rùn)為12000元

【小問(wèn)1詳解】

19

解：設(shè)，與X的函數(shù)解析式為廣.+b,

...改函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(&2200)和點(diǎn)(14,1600)

'8-+6=2200

,'1'14k+b=1600

%=—100

解得：］b=3000

.丁與X的函數(shù)解析式為y=70°x+3000；

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)銷(xiāo)售銷(xiāo)這種荔枝日獲利攻元，

根據(jù)題意，得，w=(x-6-2)(-100x+3000)

=-100x2+3800%-24000

=-100(x-19)2+12100

??-?=-100<0,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=19,

二在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，

,?.銷(xiāo)售價(jià)格不高于18元/kg,

.?.當(dāng)x=18時(shí)，攻有最大值為12000元，

??當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為18時(shí)，銷(xiāo)售這種荔枝日獲利最大，最大利潤(rùn)為12000元.

24.如圖，正方形。燈心繞著邊長(zhǎng)為Q的正方形/8C。的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，邊?！辍G

分別交邊于點(diǎn)M、N.

20

(1)求證：OM=ON-

(2)問(wèn)四邊形Q3N的面積是否隨著Q的變化而變化？若不變，請(qǐng)用Q的代數(shù)式表示出來(lái),

若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)試探究尸4PN、三條線(xiàn)段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程.

答案：(1)證明見(jiàn)解析

12

(2)不變，S四邊形加

(3)PN2=BN2+PA2

【小問(wèn)1詳解】

證明：連接4C、BD,

在正方形/8C。中,

21

NOAM=20AN=AOBN=45。,。/=OB,

ZAOM+ZAON=NEOG=90°,NBON+ZAON=NAOB=90°,

ZAOM=/BON,

在VZQI/和均加中，

NO4M=ZOBN

<OA=OB

ZAOM=NBON

：,MAOM^JBON(ASA),

OM=ON-

【小問(wèn)2詳解】

不變，S四邊形OM4N=1〃J

MAOM^JBON,

.Q-Q

..AOM—^\JBON,

S四邊形OM4N=，VOMA+S'OAN=^\JOBN+^MOAN=^MOAB=正方形神⑺=

【小問(wèn)3詳解】

PN2=BN2+PA2,

22

證明如下：如圖,

!

由（1）可知V40M義VBON,

AM=BN,OM=ON,

?.?四邊形OEFG是正方形，

ZMOP=ZNOP=45°,

在RtVAfOP和RtMNOP中，

0M=ON

<ZMOP=ZNOPJ

OP=OP

.-.\/MOP^/NOP（SAS）,

:.PM=PN,

在V^MAMP中，由勾股定理得PM2=MA2+PA2,

：.PN2=BN2+PA2.

25.如圖，拋物線(xiàn)y=a/+"+c與x軸交于/（一2,0）、8（6,0）兩點(diǎn)，與崢由交于點(diǎn)C.直線(xiàn)/與

拋物線(xiàn)交于A、。兩點(diǎn)，與》軸交于點(diǎn)￡，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,3）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式與直線(xiàn)/的解析式；

（2）若點(diǎn)。是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)且在直線(xiàn)/上方，連接。/、PD,求當(dāng)AR4。面積最大時(shí)點(diǎn)P

23

的坐標(biāo)及該面積的最大值;

(3)若點(diǎn)。是7軸上的點(diǎn)，且//°。=45。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

答案：

1,1

(1)拋物線(xiàn)的解析式為了=-^“一+'+3,直線(xiàn)/的解析式為了=5%+1；

2715

(2)AE4Z)的面積的最大值為了，點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(l,])

13

(3)。的坐標(biāo)為(0，§)或(0,-9).

答案解析：⑴拋物線(xiàn)y="/+"+，與X軸交于4-2