2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-圓（學(xué)生版）

專題06圓

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)有直線/和圓心為。且半徑為廠的圓，怎樣判斷直線/和圓o的位置關(guān)系？

觀察圖1,不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離d>廠時，直線和圓相離，如圓。與

直線《；當(dāng)圓心到直線的距離d=r時，直線和圓相切，如圓O與直線4；當(dāng)圓心到直線的距離d<r時，直

線和圓相交，如圓O與直線小

在直線與圓相交時，設(shè)兩個交點(diǎn)分別為A、A若直線經(jīng)過圓心，則AB為直徑；若直線不經(jīng)過圓心，如

圖2,連結(jié)圓心。和弦AB的中點(diǎn)”的線段垂直于這條弦AB.且在應(yīng)0M4中，Q4為圓的半徑r,OM

為圓心到直線的距離d,%1為弦長AB的一半，根據(jù)勾股定理，有=（*）2.

當(dāng)直線與圓相切時，如圖3,上45PB為圓。的切線，可得尸A=PB,OA±PA,且在中,

PO2=PA2+OA2.

B

A

圖4

如圖4,PT為圓。的切線，B鉆為圓。的割線，我們可以證得.R4TPTB,因而.尸瓦

知識點(diǎn)2：點(diǎn)的軌跡

在幾何中，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)按照某個條件運(yùn)動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點(diǎn)組成的.例如，

把長度為r的線段的一個端點(diǎn)固定，另一個端點(diǎn)繞這個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點(diǎn)到

定點(diǎn)的距離都等于r;同時，到定點(diǎn)的距離等于r的所有點(diǎn)都在這個圓上.這個圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于

定長r的點(diǎn)的軌跡.

我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖

形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有

的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.

下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡.

從上面對圓的討論，可以得出：

到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓.

我們學(xué)過，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個端點(diǎn)的距離相等；反過來，和線段兩個端點(diǎn)的距

離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：

和已知線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：

到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個角的平分線.

【題型歸納目錄】

題型一：直線與圓的位置關(guān)系

題型二：點(diǎn)的軌跡

【典例例題】

題型一：直線與圓的位置關(guān)系

例1.（2023?安徽宿州??？家荒＃┤鐖D，在RtZXABC中，ZACB=90°,以AB為直徑作O,在O上取一

點(diǎn)。，使CO=BC，過點(diǎn)C作EFSAD,交AO的延長線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)

A

(1)求證：直線所是.。的切線；

⑵若AB=10,AD=6,求AC的長.

例2.(2023?浙江湖州?模擬預(yù)測)如圖，A3是。的直徑，C,。都是。上的點(diǎn)，AD平分/CAB,過點(diǎn)。

作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E,交的延長線于點(diǎn)足

(1)求證：E尸是；，。的切線；

⑵若AB=10,AC=6,求tan/TMB的值.

例3.(2023?新疆喀什?統(tǒng)考三模)如圖，42是：。的直徑,C是:.。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作二O的切線CD,BDYCD

于點(diǎn)。，延長OB交，。于點(diǎn)E,連接CE.

⑴求證：ZABE=2ZA；

(2)若tan/BEC=；,AC=6,求。的半徑長.

變式1.（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，ABC內(nèi)接于（。，AC是。的直徑，過Q4上

的點(diǎn)尸作PDLAC,交CB的延長線于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作，。的切線交。P于點(diǎn)尸.

⑴求證：ZA=NFBD；

（2）若二。的半徑為百，cos/FBD=竽，BD=4,求。尸的長.

變式2.（2023?河南商丘?統(tǒng)考三模汝口圖，Rt^ABC中，NC=90。，點(diǎn)。為A3上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，以。4

為半徑的。切3C于點(diǎn)P,連接AP.

(1)求證：ZCAP=ZBAP；

(2)若OA=4,AP=6,求CP的長.

變式3.（2023?廣東珠海?珠海市紫荊中學(xué)校考三模）如圖，在Rt^ABC中，/B4C=90。，點(diǎn)。為8C邊的中

點(diǎn)，以AD為直徑作二。，分別與A3、AC交于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)￡作EG,3c于G.

A

(1)求證：EG是:。的切線;

3

(2)若sinB=m，。的半徑為5,求EG的長.

變式4.(2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)如圖，要把殘缺的圓片復(fù)原，可通過找到圓心的方法進(jìn)行復(fù)原，已知弧上

的三點(diǎn)A,B,C.

(1)用尺規(guī)作圖法，找出弧所在圓的圓心。；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在ABC中，連接49交BC于點(diǎn)E,連接03,當(dāng)A3=AC=10cm,3c=16cm時，求圖片的半徑R；

⑶若直線/到圓心的距離等于方，則直線/與圓_______(填“相交”“相切”或“相離”)

變式5.(2023?遼寧營口?統(tǒng)考二模)如圖，ABC內(nèi)接于IO,A3是。的直徑，弦AD交BC于點(diǎn)E,連接

CD.過點(diǎn)8作的切線MN,交AD延長線于點(diǎn)N.過點(diǎn)。作少G,A3于點(diǎn)G,交CB于點(diǎn)F.

(1)^ZACD=ZCED,求證：AC=2OG；

(2)在⑴的條件下，若tanZDCB=：,DN=處,求。的半徑.

25

變式6.(2023?浙江舟山?統(tǒng)考三模)如圖1,在。中，直徑ABLCD于點(diǎn)尸，點(diǎn)E為X?上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧

AE的中點(diǎn)，連接AE,交CD于點(diǎn)G.

⑴求證：AE=CD；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作；。的切線交8A的延長線于點(diǎn)0,若AF=2,AE=8,求。。的長度；

PF

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)尸為。上任一點(diǎn)，連接尸尸、PQ,花的比值是否發(fā)生改變？若不變，求出比值;

若變化，說明變化規(guī)律.

題型二：點(diǎn)的軌跡

例4.(2023?河南鄭州?河南省實驗中學(xué)校考三模)綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展

數(shù)學(xué)活動.

(1)操作判斷

如圖1,正方形紙片ABCD,在邊BC上任意取一點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)B作反，AE于點(diǎn)G,與邊8交于

點(diǎn)F.

根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中8E與CF的數(shù)量關(guān)系：.

(2)遷移探究

小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

如圖2,在矩形紙片ABCD中，AB-.AD^m.n,在邊BC上任意取一點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)B作防，AE于

RF

點(diǎn)G,與邊8交于點(diǎn)尸，請求出筆的值，并說明理由；

CF

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,已知正方形紙片ABCD的邊長為2,動點(diǎn)E由點(diǎn)A向終點(diǎn)。做勻速運(yùn)動，動點(diǎn)歹由點(diǎn)。向終點(diǎn)C做

勻速運(yùn)動，動點(diǎn)E、尸同時開始運(yùn)動，且速度相同，連接AT、BE,交于點(diǎn)G,連接G。，則線段GD長度

的最小值為，點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡的長為.(直接寫出答案不必說明理由)

例5.(2023?河北邯鄲??？既?數(shù)學(xué)興趣小組探究平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)滿足特定關(guān)系的動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡問題：

(1)組長提出問題：動點(diǎn)G(，-1"+1)隨著才的變化形成的運(yùn)動軌跡是什么？

甲同學(xué)的思考：f取3個特殊值得到3個點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)在一條直線上，可以利用待定系數(shù)法求出該直線

的表達(dá)式；乙同學(xué)的思考：令x=Ll,y=t+l,通過消去f得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式.

(填甲或乙)同學(xué)的方法更嚴(yán)謹(jǐn)，點(diǎn)G(f-lJ+l)運(yùn)動軌跡的函數(shù)表達(dá)式為；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)48,0),B(0,-2),。為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)且80=1.5,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)

以每秒8個單位的速度沿x軸向左運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)以每秒6個單位的速度沿y軸向上運(yùn)動，點(diǎn)P

是的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t求點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡的函數(shù)表達(dá)式，并計算當(dāng)f=2時尸。的最小值；

(3)老師給出坐標(biāo)平面內(nèi)兩個動點(diǎn)：r(m-l,m2+1),K(n+l,n-3).

丙學(xué)說：點(diǎn)八K的運(yùn)動軌跡都是直線；丁同學(xué)說：點(diǎn)T、K在運(yùn)動過程中不可能重合；請你判斷兩人結(jié)論

是否正確并說明理由.

例6.(2023?河南?河南省實驗中學(xué)校考三模)綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)

活動.

(1)操作判斷

如圖1,正方形紙片A5cD,在邊上任意取一點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)B作3產(chǎn)，AE于點(diǎn)G,與邊8交于

點(diǎn)歹.根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中BE與CP的數(shù)量關(guān)系：.

圖1

(2)遷移探究

小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

如圖2,在矩形紙片A3CD中，AB:AD=m:n,在邊BC上任意取一點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)8作防，AE于

點(diǎn)G,與邊8交于點(diǎn)尸，請求出生的值，并說明理由.

圖2

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,已知正方形紙片ABCD的邊長為2,動點(diǎn)E由點(diǎn)A向終點(diǎn)。做勻速運(yùn)動，動點(diǎn)P由點(diǎn)。向終點(diǎn)C做

勻速運(yùn)動，動點(diǎn)E、歹同時開始運(yùn)動，且速度相同，連接AF、BE,交于點(diǎn)G,連接G。，則線段GD長度

的最小值為，點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡的長為.(直接寫出答案不必說明理由)

圖3

變式7.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考二模)“垃圾入桶，保護(hù)環(huán)境從我做起”，如圖所示的是某款垃圾桶側(cè)面展示圖,

AD=DC=40cm,GD=30cm,GF=20cm,ZA=ZGDC=ZDGF=90°,桶蓋GFEC可以繞點(diǎn)G逆時針方向

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為40。時，桶蓋GFEC落在GFEC'的位置.

(1)求在桶蓋旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動軌跡的長度.

⑵求點(diǎn)尸到地面A5的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin40?0.64,cos40?0.77,tan40?0.84）

變式8.(2023?廣東廣州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，拋物線丫=混+云+。的圖象與x軸交于點(diǎn)4(-1,0)、8(3,0)

與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D以為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點(diǎn)E,圓心為/,尸是半圓上一動點(diǎn),

連接。P,點(diǎn)。為PO的中點(diǎn).

(1)試用含a的代數(shù)式表示c；

(2)若/。，尸。恒成立，求出此時該拋物線解析式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)2運(yùn)動至點(diǎn)A時，點(diǎn)0的運(yùn)動軌跡是什么，試求出它的路徑長.

變式9.(2023?全國?九年級專題練習(xí))“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)

政全書》中用圖畫描繪了“筒車”的工作原理.如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心。為圓心的圓，已

知圓心。始終在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米(即水面下

方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離).

(1)求該圓的半徑；

(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦A3從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米?

變式10.(2023?廣東廣州?九年級廣州市第八十九中學(xué)校考期末)如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C都

在格點(diǎn)上

(1)畫出.ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的并寫出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)從、耳、q.

(2)畫出,ABC繞原點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到的△人&Q.并求點(diǎn)A運(yùn)動到人的軌跡的弧長.

變式11.(2023?重慶梁平?九年級校聯(lián)考期中)已知：40,2),點(diǎn)B為x軸上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)8作x軸的垂線

交的垂直平分線于點(diǎn)P.

圖1圖2

⑴請利用圖⑴進(jìn)行探討：若點(diǎn)8(2,0),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若點(diǎn)B(-2,0),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

;若點(diǎn)RO，。)時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為；

⑵設(shè)尸(x,y),請列出y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式，并在圖2中畫出點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡/.

（3）圖2中，點(diǎn)。（0,5）,有動點(diǎn)G,DG=1；按下列要求作圖，軌跡/與直線y=2相交于點(diǎn)A,8（4點(diǎn)在左）,

點(diǎn)Q為線段AG的中點(diǎn)，連接CQ,直接寫出線段CQ的長度范圍.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?江蘇無錫?九年級統(tǒng)考期中）已知線段A8的中點(diǎn)為動點(diǎn)尸滿足=則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.以48為直徑的圓B.A8的延長線C.A8的垂直平分線D.平行A3的直線

2.（2023?甘肅蘭州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABC。中，BC=2,將邊BC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)

一定角度，點(diǎn)8剛好落在邊的中點(diǎn)E上，則點(diǎn)8的運(yùn)動軌跡長為（）

A.yB?等C.兀D.無法確定

3.（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)A、8、C、。在（。上，ZD=120°,AB=AC=6,

則點(diǎn)。到BC的距離是（）

4.（2023.貴州黔東南.統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A,B,。在＜。上，若/C=110。，則/4OB等于（）

A.100°B.110°C.120°D.140°

5.（2023.新疆烏魯木齊??？级＃┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于（O.連接。8,OD,BD,若NC=110。，則

C.130°D.120°

6.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)。是△AEF的內(nèi)心，過點(diǎn)。作3C〃EF分別交AE,AF于點(diǎn)B,C,

已知的周長為8,EF=x,ABC的周長為丁，則表示,與％的函數(shù)圖象大致是（）

7.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖，AfiC的兩條角平分線相交于。點(diǎn)，ZC=56°,AC<BC,P,Q

分別為AC,8C上的點(diǎn)，且NPOQ=124。，甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：8=OQ；乙：四邊形OPCQ

的面積是定值；丙：當(dāng)OQLBC時，△尸。。的周長和面積均取得最小值.則下列說法正確的是（）

B.甲、乙正確，丙錯誤C.甲錯誤，乙、丙正確D.甲、

乙、丙都正確

8.（2023?重慶九龍坡?重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）在ABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的。與AB邊

交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8C上，且防=?！?若EC=4,BD=25,則。的半徑為（）

A

一

BEC

＞五

ABc.T

-T.手17

9.（2023?廣東深圳?深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在.ABC中,AB=AC,點(diǎn)。在AC邊上，過

的內(nèi)心/作于點(diǎn)E.若皮＞=10,CD=4,則BE的長為（）

A

A

B匕------、C

A.6B.7C.8D.9

10.（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）如圖所示，ABC內(nèi)接于。，點(diǎn)M為，ABC的內(nèi)心，若NC=80。，則/M4N

的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.（）0°D.80°

二、填空題

11.（2023?浙江溫州?校聯(lián)考二模）如圖，直線43與（。相切于點(diǎn)A,過圓上一點(diǎn)C作的垂線，垂足為3,

垂線段CB交0。于另一點(diǎn)。，已知半徑為3,AB=6,則弦8的長為

3：

12.（2023?寧夏固原??？级＃┤鐖D，直線A3是。的切線，C為切點(diǎn)，0?！?5交（：0于點(diǎn)。，點(diǎn)E在iO

13.（2023?貴州遵義統(tǒng)考二模）已知內(nèi)接于OO,它的內(nèi)心為點(diǎn)，連接AD交弦8C于點(diǎn)E,交《。于

點(diǎn)「已知2E=5,CE=4,EF=3,則線段￡>E的長為.

14.（2023?安徽蚌埠統(tǒng)考三模）如圖，/DCE是，。內(nèi)接四邊形ABCO的一個外角，若々8=144。，則

NDCE的大小為.

15.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模）如圖，在一A6C中，AB=15,AC=12,BC=9,以邊AB的中點(diǎn)。為圓心，

作半圓與AC相切，點(diǎn)P,。分別是邊BC（包括端點(diǎn)）和半圓上的動點(diǎn)，連接PQ,則P。長的最大值與最小值

的差是.

三、解答題

16.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）矩形ABCO中，AB=6,3C=8,點(diǎn)。是邊8C上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)8重合）,

連接。4,將沿49折疊，得到△AEO,再以。為圓心，08長為半徑作半圓，交射線于G,連

接BE并處長交射線CD于凡連接EC,設(shè)O3=x.

ADAD

圖1備用圖

(1)求證：AE是半圓。的切線；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在AC上時，求x的值；

(3)當(dāng)半圓。與ACD的邊有兩個交點(diǎn)時，求尤的取值范圍.

17.(2023?陜西西安?西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，。是ASC的外接圓，AB=AC,過點(diǎn)A作

ADJ.AB,交(O于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)E,過B作。的切線，與ZM的延長線相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：AF=AE

⑵若O的半徑為2,BE=3,求。E的長.

18.(2023?廣西梧州?統(tǒng)考二模)如圖，。是ABC的外接圓，A8是。的直徑，“ABC與△ABD關(guān)于A8對

稱，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)交。于點(diǎn)E,連接AE交BO于點(diǎn)立在C點(diǎn)作/ACG=/AED,交

的延長線于點(diǎn)G.

D

(1)求證：AF=BF；

(2)求證：CG是。的切線;

⑶若CG5,求黑的值.

19.(2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，已知ABC內(nèi)接于O,且A3是一。的直徑,

C

(1)實踐與操作：

請用尺規(guī)作圖法作出.ABC的內(nèi)心/；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)

(2)推理與計算：

連接C/并延長，與一。交于另一點(diǎn)D若AC=8,BC=4,求D/的長.

20.(2023?陜西西安??？寄M預(yù)測)(1)問題提出：如圖1,N為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AN,DN,點(diǎn)M

在DN延長線上，連接AM,BM,若/BMD=ZMAN=90。,則NA7VD=°；

(2)問題解決：

參觀研學(xué)觀光園是近年來興起的一種研學(xué)旅行模式.如圖2所示的五邊形AMBCD為某研學(xué)觀光園的規(guī)劃設(shè)

計圖.其中AD〃3C,AD=AB=3C=400m,點(diǎn)尸是兩條筆直的觀光小路AB與MD的交叉口，經(jīng)測