2.4.4向量與距離課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

向量與距離第2章空間向量與立體幾何湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課標(biāo)要求能夠用向量方法求點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面之間的距離.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1點到直線的距離與兩平行直線之間的距離1.點到直線的距離:如圖,直線l的方向向量為v,點P為直線l外一點,過點P作直線l的垂線交l于點D,則||即為點P到直線l的距離.2.兩平行直線之間的距離:由于兩平行直線之間的距離處處相等,因此兩平行直線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)點到直線的距離就是點與直線上的點之間距離的最小值.(

)(2)點P到直線l的距離公式推導(dǎo)過程中,點A也可以是點P在直線上的射影,此時d=|AP|.(

)√√2.求空間中點到直線的距離除了利用直線的方向向量求解外,若是求出垂足的坐標(biāo),結(jié)合兩點間的距離公式應(yīng)怎樣求解?提示

空間中求點M到直線AB的距離的方法與步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo).在已知直線AB上取一點E,點E應(yīng)滿足兩個條件:①

,②ME⊥AB.(2)利用(1)中的兩個等量關(guān)系求出λ的值,進(jìn)而求出點E的坐標(biāo),求出向量||的模即為M點到直線AB的距離.知識點2點到平面的距離與兩平行平面之間的距離1.點到平面的距離:P為平面α外一點,在平面α內(nèi)任取一點A.設(shè)n是平面α的法向量,則

在法向量n上的

就是點P到平面α的距離d,即d=.

2.兩平行平面的距離:兩平行平面α與β之間的距離等于平面α上

A到平面β的距離,也等于兩平面之間的任一條線段AB在平面α的法向量n上的投影長,即n是平面α的一個法向量,A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點,則平面α和平面β之間的距離為d=.

兩平行平面間的距離處處相等

投影長

任一點

過關(guān)自診1.怎樣求線面距離、面面距離?2.[人教B版教材習(xí)題]已知平面α外一點A到平面α的距離為d,且點A到平面α內(nèi)一點B的距離為5,寫出d的取值范圍.提示

線面距離、面面距離都可以通過一定的方法轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解.解

如圖,設(shè)A在平面α內(nèi)的射影為A',則A'B2=52-d2≥0,∴0<d≤5,即d的取值范圍是(0,5].3.[北師大版教材習(xí)題]已知點M(-1,1,-2),平面α經(jīng)過原點O,且垂直于向量n=(1,-2,2),求點M到平面α的距離.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用向量求點到直線的距離【例1】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,求點A到EF的距離.解

如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由棱長為2可知A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),變式探究

本例題中條件不變,若BC的中點為G,求直線EG與AD1之間的距離.解

由于EG∥BC1,BC1∥AD1,因此EG∥AD1,所以直線EG與AD1之間的距離即為點E到直線AD1的距離.規(guī)律方法

用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的方向向量;(3)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長;(4)利用勾股定理求距離.另外,要注意平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.探究點二利用空間向量求點到平面的距離【例2】

[北師大版教材習(xí)題]在邊長為4的正方形ABCD中,點E,F分別是AB和AD的中點,CG⊥平面ABCD,且CG=2,求點B到平面EFG的距離.規(guī)律方法

用向量法求點面距的方法與步驟

變式訓(xùn)練正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則平面A1BD與平面B1CD1間的距離為

.

解析

以D為坐標(biāo)原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則令z=1,得y=1,x=-1,所以n=(-1,1,1)為平面A1BD的一個法向量.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)點到直線的距離與兩平行直線之間的距離;(2)點到平面的距離與兩平行平面之間的距離.2.方法歸納:利用直線的方向向量求點到直線的距離,轉(zhuǎn)化法求兩平行直線之間的距離;利用直線的方向向量與平面的法向量求點到平面的距離;轉(zhuǎn)化法求兩平行平面之間的距離.3.特別提示:求距離時首先要明確所求的距離公式,其次計算要準(zhǔn)確.求點到直線的距離需要先求直線的方向向量.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練123456789101112131415161.已知直線l經(jīng)過點A(2,3,1),且方向向量為n=(1,0,-1)的直線與l垂直,則點P(4,3,2)到l的距離為(

)B123456789101112131415162.已知空間直角坐標(biāo)系中的點P(1,1,1),A(1,0,1),B(0,1,0),則點P到直線AB的距離為(

)D123456789101112131415163.空間直角坐標(biāo)系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離為(

)A123456789101112131415164.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,則點A到直線B1E的距離為(

)B解析

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,連接B1A,B1E,由已知得A(0,0,0),

123456789101112131415165.已知點M(-1,1,-2),平面π過原點O,且垂直于向量n=(1,-2,2),則點M到平面π的距離是

.

123456789101112131415166.已知平面α的法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內(nèi).若點P(-2,1,4)到平面α的距離d為,則x=

.

-1或-11123456789101112131415167.[人教B版教材例題]如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一個邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=1.求點D到平面PBC的距離.12345678910111213141516解

依題意,AB,AD,AP是兩兩互相垂直的.12345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練123456789101112131415168.(多選題)已知平面α的法向量為n=(-1,-2,2),點A(x2,2x+1,2)為α內(nèi)一點.若點P(0,1,2)到平面α的距離為4,則x的值為(

)A.2 B.1

C.-3 D.-6AD123456789101112131415169.

鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=2,D,E分別是棱AB,PC的中點,點F是線段DE的中點,則點F到直線AC的距離是(

)B1234567891011121314151610.已知正四棱錐S-ABCD側(cè)面和底面的棱長都為2,P為棱BC上的一個動點,則點P到平面SAD的距離是(

)D1234567891011121314151621234567891011121314151612.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,已知點H,A,C1三點共線,且

=0,則點H到平面ABCD的距離為

.

解析

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B1(2,0,1),C1(2,2,1),

=(2,2,1),因為點H,A,C1三點共線,1234567891011121314151613.PA,PB,PC是從點P出發(fā)的三條線段,每兩條線段的夾角均為60°,PA=PB=PC=1,AB=1.若點M滿足,則點M到直線AB的距離為

.

1234567891011121314151614.

如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點.(1)求點D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.1234567891011121314151612345678910111213141516又EF?平面PEF,AC?平面PEF,所以AC∥平面PEF,12345678910111213141516C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練由點到平面距離的定義,當(dāng)且僅當(dāng)n⊥平面Oxy時,線段MY的長度最短.這時,123456789101112131415161234567891011121314151616.

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(1)求A1B與平面ABD所成角的余弦值;(2)求點A1到平面AED的距離.12345678910111213141516解