高三數(shù)學(xué)步步高（理）第三編 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第三編導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§3.1變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算基礎(chǔ)自測1.在曲線y=x2+1的圖像上取一點（1，2）及附近一點（1+Δx，2+Δy），則為（）A. B.C. D.答案C2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，則等于（）A.cos2x-cosx B.cos2x-sinxC.cos2x+cosxD.cos2x+cosx答案C3.若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式x＞-f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足a＞b,則下列不等式一定成立的是 （）A.af(b)＞bf(a)B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b)D.af(b)＜bf(a)答案B4.（·遼寧理，6）設(shè)P為曲線C：y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍是，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為 （）A.B.［-1，0］C.［0，1］D.答案A5.(·全國Ⅱ理，14)設(shè)曲線y=eax在點（0，1）處的切線與直線x+2y+1=0垂直，則a=.答案2例1求函數(shù)y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率.解∵Δy=例2求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）（4）解(1)∵∴（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴=3x2+12x+11.方法二=(x+3)+（x+1）（x+2）=+（x+1）］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解（1）設(shè)u=1-3x,y=u-4.則x=u·x=-4u-5·（-3）=.(2)設(shè)y=u2,u=sinv,v=2x+,則x=u·v·x=2u·cosv·2=4sin（2x+）·cos（2x+）=2sin（4x+）.(3)=(x)′=·+x·（)′=+.例4（12分）已知曲線y=（1）求曲線在x=2處的切線方程；（2）求曲線過點（2，4）的切線方程.解（1）∵=x2,∴在點P（2，4）處的切線的斜率k=|x=2=4.2分∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4分（2）設(shè)曲線y=與過點P（2，4）的切線相切于點，則切線的斜率k=|=.6分∴切線方程為即8分∵點P（2，4）在切線上，∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.12分1.求y=在x=x0處的導(dǎo)數(shù).解2.求y=tanx的導(dǎo)數(shù).解3.設(shè)函數(shù)f(x)=cos()(0＜＜).若f(x)+是奇函數(shù)，則=.答案4．若直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2x相切，則k=.答案2或一、選擇題1.若則等于 ()A.-1B.-2C.1D. 答案A2.（·全國Ⅰ理，7）設(shè)曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a等于（）A.2B.C.D.-2答案D3.若點P在曲線y=x3-3x2+(3-)x+上移動，經(jīng)過點P的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A.B.C.D.答案B4.函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間［a，b］上滿足·g(x)＞f(x)·且g(x)＞0，則對任意x∈（a,b)都有 （）A.f(x）·g(x)＞f(a)·g(b)B.f(x)·g(x)＞f(b)·g(b)C.f(x)·g(a)＞f(a)·g(x)D.f(x)·g(b)＞f(b)·g(x)答案C5.在下列四個函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對于區(qū)間（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的只有 （）A.B.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x2答案A6.已知曲線S:y=3x-x3及點P（2，2），則過點P可向S引切線，其切線條數(shù)為()A.0B.1C.2答案D二、填空題7.曲線y=和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是.答案8.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為=-x(x+1),則函數(shù)g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的單調(diào)遞減區(qū)間是.答案三、解答題9.求下列函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).（1）f(x)=cosx·sin2x+cos3x,x0=;（2）f(x)=（3）解（1）∴.（2）∵∴=0.（3）∵∴10.求曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離.解設(shè)曲線上過點P（x0,y0）的切線平行于直線2x-y+3=0，即斜率是2，則解得x0=1,所以y0=0,即點P（1，0），點P到直線2x-y+3=0的距離為，∴曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是.11.（·海南、寧夏，21）設(shè)函數(shù)(a,b∈Z)，曲線在點處的切線方程為y=3.（1）求的解析式；（2）證明：曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因為a,bZ，故．（2）證明在曲線上任取一點．由知，過此點的切線方程為．令x=1得，切線與直線x=1的交點為．令y=x得，切線與直線y=x的交點為．直線x=1與直線y=x的交點為(1,1)．從而所圍三角形的面積為．所以，所圍三角形的面積為定值2.12.偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖像過點P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x-2，求y=f（x）的解析式.解∵f（x）的圖像過點P（0，1），∴e=1.①又∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.②∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x-2，∴可得切點為（1，-1）.∴a+c+1=-1.③∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.由③④得a=，c=.∴函數(shù)y=f（x）的解析式為§3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)自測1.函數(shù)y=f(x)的圖像過原點且它的導(dǎo)函數(shù)g=的圖像是如圖所示的一條直線，則y=f(x)圖像的頂點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案A2.已知對任意實數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0時，＞0,＞0，則x＜0時（）A.＞0,＞0B.＞0,＜0C.＜0,＞0D.＜0,＜0答案B3.（·廣東理，7）設(shè)R，若函數(shù)y=eax+3x，R有大于零的極值點，則（）A．a(chǎn)＞-3 B．a(chǎn)＜-3 C．a(chǎn)＞- D．a(chǎn)＜-答案B4.函數(shù)y=3x2-2lnx的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.答案5.（·江蘇，14）f(x)=ax3-3x+1對于x∈［-1,1］總有f(x)≥0成立，則a=.答案4例1已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上單調(diào)遞減，在［0，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解=ex-a.（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+∞).（2）∵f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，∴≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.（3）方法一由題意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上為增函數(shù).∴x=0時，ex最大為1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由題意知，x=0為f(x)的極小值點.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0①當(dāng)x=時，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標(biāo)為x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當(dāng)x變化時，y,y′的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21y′+0-0+y8單調(diào)遞增↗13單調(diào)遞減↘單調(diào)遞增↗4∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值為13，最小值為例3（12分）已知函數(shù)f(x)=x2e-ax(a＞0),求函數(shù)在［1，2］上的最大值.解∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).1分令＞0,即e-ax(-ax2+2x)＞0,得0＜x＜.∴f(x)在（-∞,0),上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).①當(dāng)0＜＜1,即a＞2時,f(x）在（1，2）上是減函數(shù),∴f（x）max=f（1）=e-a.6分②當(dāng)1≤≤2,即1≤a≤2時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴f(x)max=f=4a-2e-2.9分③當(dāng)＞2時，即0＜a＜1時，f(x)在（1，2）上是增函數(shù)，∴f（x）max=f（2）=4e-2a.綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時，f(x)的最大值為4e-2a,當(dāng)1≤a≤2時，f(x)的最大值為4a-2e-2,當(dāng)a＞2時，f(x)的最大值為e-a.12分例4某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為(12-x)2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）.解（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.(2)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）.∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.在x=6+a兩側(cè)L′的值由正變負(fù).所以①當(dāng)8≤6+a＜9即3≤a＜時，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②當(dāng)9≤6+a≤，即≤a≤5時，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.所以答若3≤a＜，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若≤a≤5，則當(dāng)每件售價為(6+a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=(萬元).1．已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）證明：f(x)=x3-ax-1的圖像不可能總在直線y=a的上方.（1）解由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0時，=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函數(shù)，則a≤0.（2）解由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.當(dāng)a=3時，=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上為減函數(shù)，∴a≥3.故存在實數(shù)a≥3,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減.（3）證明∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的圖像不可能總在直線y=a的上方.2.求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值.解先求導(dǎo)數(shù),得=4x3-4x,令=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13從上表知,當(dāng)x=±2時,函數(shù)有最大值13,當(dāng)x=±1時,函數(shù)有最小值4.3.（·山東理，21）已知函數(shù)f(x)=+aln(x-1),其中n∈N+*a為常數(shù).(1)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.(1)解由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>1},當(dāng)n=2時,f(x)=+aln(x-1),所以=.①當(dāng)a>0時,由=0,得x1=1+>1,x2=1-<1,此時=.當(dāng)x∈(1,x1)時,<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x1,+∞)時,>0,f(x)單調(diào)遞增.②當(dāng)a≤0時,<0恒成立,所以f(x)無極值.綜上所述,n=2時,當(dāng)a>0時,f(x)在x=1+處取得極小值,極小值為f（1+）=（1+ln）.當(dāng)a≤0時,f(x)無極值.(2)證明方法一因為a=1,所以f(x)=+ln(x-1).當(dāng)n為偶數(shù)時,令g(x)=x-1--ln(x-1),則=1+=(x≥2).所以,當(dāng)x∈［2,+∞)時,g(x)單調(diào)遞增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時,要證f(x)≤x-1,由于<0,所以只需證ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),則=1-≥0(x≥2),所以,當(dāng)x∈［2,+∞)時,h(x)=x-1-ln(x-1)單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,所以當(dāng)x≥2時,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命題成立.綜上所述,結(jié)論成立.方法二當(dāng)a=1時,f(x)=+ln(x-1).當(dāng)x≥2時,對任意的正整數(shù)n,恒有≤1,故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.令h(x)=x-1-（1+ln(x-1)）=x-2-ln(x-1),x∈［2,+∞).則=1-=當(dāng)x≥2時,≥0,故h(x)在［2,+∞)上單調(diào)遞增,因此,當(dāng)x≥2時,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.故當(dāng)x≥2時,有+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x2-10x3（單位：萬元），成本函數(shù)為C(x)=460x+5000（單位：萬元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；（提示：利潤=產(chǎn)值-成本）（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？（3）求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？解（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N+，且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).（2）=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),∵x>0,∴=0時,x=12，∴當(dāng)0<x<12時，>0,當(dāng)x>12時，<0,∴x=12時，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大.（3）MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.所以，當(dāng)x≥1時，MP(x)單調(diào)遞減，所以單調(diào)減區(qū)間為［1，19］，且x∈N+.MP(x)是減函數(shù)的實際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少.一、選擇題1.(·崇文模擬)已知f（x）的定義域為R，f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.f(x)在x=1處取得極小值B.f(x)在x=1處取得極大值C.f(x)是R上的增函數(shù)D.f(x)是（-∞，1）上的減函數(shù)，（1，+∞）上的增函數(shù)答案C2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點（）A.1個B.2個C.3個D.4個答案A3.函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間（-∞，1）上有最小值，則函數(shù)g(x)=在區(qū)間（1，+∞）上一定（）A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數(shù) D.是增函數(shù)答案D4.用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊接成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()A.6B.8C.10D.12答案B5.已知f(x)=2x3-6x2+a(a是常數(shù)）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f(x）的最小值是（）A.-5B.-11C.-29D答案D6.已知函數(shù)f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是（）A.m≥ B.m＞ C.m≤ D.m＜答案A二、填空題7.已知函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間［-3，3］上的最大值與最小值分別為M，m，則M-m=.答案328.（·淮北模擬）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a處取到極大值，則a的取值范圍是.答案（-1，0）三、解答題9.設(shè)a＞0,函數(shù)f(x)=,b為常數(shù).（1）證明：函數(shù)f(x)的極大值點和極小值點各有一個；（2）若函數(shù)f(x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值.（1）證明=,令=0,得ax2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b2+4a2>0,∴方程（*)有兩個不相等的實根，記為x1,x2(x1<x2),則=,當(dāng)x變化時，與f(x）的變化情況如下表：x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2（x2,+∞）-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘可見，f(x)的極大值點和極小值點各有一個.（2）解由（1）得兩式相加，得a(x1+x2)+2b=.∵x1+x2=-,∴=0,即(x2+x1)(x2-x1)=0,又x1<x2,∴x1+x2=0,從而b=0,∴a（x2-1）=0，得x1=-1,x2=1,由②得a=2.10.設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3bx的圖像與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）.（1）求a，b的值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.解（1）求導(dǎo)得=3x2-6ax+3b.由于f（x）的圖像與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），所以f（1）=-11，=-12，即解得a=1，b=-3.（2）由a=1，b=-3得=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).由>0,解得x<-1或x>3;又令<0,解得-1<x<3.所以當(dāng)x∈(-∞,-1)和(3,+∞）時,f(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈(-1,3)時,f(x)是減函數(shù).11.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.（1）若f(x)在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若x=-是f(x)的極值點，求f（x）在［1，a］上的最大值；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖像與函數(shù)f（x）的圖像恰有3個交點，若存在，請求出實數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由.解（1）=3x2-2ax-3，∵f(x)在［1，+∞）上是增函數(shù),∴在［1，+∞）上恒有≥0，即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.則必有≤1且=-2a≥0,∴a≤0.(2）依題意，=0，即+a-3=0，∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x，令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.則當(dāng)x變化時，,f(x)的變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4-0+f(x)-6↘-18↗-12∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6.（3）函數(shù)g(x)=bx的圖像與函數(shù)f(x)的圖像恰有3個交點，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3個不等實根∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一個根，∴方程x2-4x-3-b=0有兩個非零不等實根，∴∴存在符合條件的實數(shù)b，b的范圍為b>-7且b≠-3.12.(·安徽理，20)設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0且x≠1）.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）已知2＞xa對任意x∈（0，1）成立，求實數(shù)a的取值范圍.解（1）=-，若=0,則x=.列表如下：x(0，)（，1）(1,+∞)+0--f(x)單調(diào)增極大值f()單調(diào)減單調(diào)減所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（0,），單調(diào)減區(qū)間為（,1）和（1，+∞）.（2）在2＞xa兩邊取對數(shù)，得ln2＞alnx.由于x∈(0,1)，所以. ①由（1）的結(jié)果知，當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)≤f（）=-e.為使①式對所有x∈(0,1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)＞-e,即a＞-eln2.§3.3定積分的概念與微積分基本定理基礎(chǔ)自測1.寫成定積分的形式，可記為（）A.B.C.D.答案C2.（·濟(jì)寧模擬）下列值等于1的積分是（）A.B.C.D.答案D3.由曲線y=ex,x=0,y=2所圍成的曲邊梯形的面積為（）A.B.C.D.答案A4.已知f(x)為偶函數(shù)且則等于（）A.0B.4C.8D.16答案D5.已知-1≤a≤1，f(a)=，求f（a）的值域.解f(a)=∵-1≤a≤1，∴-,故f(a)的值域為.例1計算下列定積分（1）x(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.解（1）∵x（x+1）=x2+x且(x3)′=x2,(x2)′=x,∴x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3|+x2|=(×23-0)+(×22-0)=.(2)∵(lnx)′=,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x,得e2x=(e2x)′所以（e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x|+lnx|=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得cos2x=（sin2x）′,所以sin2xdx=（-cos2x）dx=dx-cos2xdx=x|-（sin2x）|=（-0）-（sin2-sin0）=.例2(·順德模擬)計算下列定積分（1）|sinx|dx;(2)|x2-1|dx.解（1）∵（-cosx）′=sinx，∴|sinx|dx=|sinx|dx+|sinx|dx=sinxdx-sinxdx=-cosx|+cosx|=-（cos-cos0）+（cos2-cos）=4.（2）∵0≤x≤2，于是|x2-1|=∴|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|+（x3-x）|=（1-）+（×23-2）-（-1）=2.例3求函數(shù)f(x)=在區(qū)間［0，3］上的積分.解由積分性質(zhì)知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx=x3dx+x2dx+2xdx=|+x3|+|=+-+-=+.例4（12分）求定積分dx.解設(shè)y=,即(x-3)2+y2=25(y≥0). 4分∵dx表示以5為半徑的圓的四分之一面積， ∴dx=. 12分1.求(cosx+ex)dx.解(cosx+ex)dx=cosxdx+exdx=sinx|+ex|=1-.2.求（|x-1|+|x-3|）dx.解設(shè)y=|x-1|+|x-3|=∴(|x-1|+|x-3|)dx=(-2x+4)dx+2dx+(2x-4)dx=(-x2+4x)|+2x|+(x2-4x)|=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函數(shù):f(x)=求f(x)dx.解f(x)dx=2(x+1)-1dx+dx+()x-1dx=2ln(x+1)|+|+=2ln2+(2-1)+.4.（-x）dx=.答案一、選擇題1.與定積分dx相等的是（）A.B.C.|D.以上結(jié)論都不對答案B2.若y=f(x)與y=g(x)是［a,b］上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍成的平面區(qū)域的面積為（）A.B.C.D.|答案C3.定積分等于（）A. B.C.-D.-答案B4.設(shè)函數(shù)f（x）=則等于（）A.B.C.6D.17答案B5.下列定積分值為0的是（）A.B.C.D.答案D6.根據(jù)推斷，直線x=0，x=2，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形的面積時，正確結(jié)論為（）A.面積為0B.曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積C.曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積D.曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積答案D二、填空題7.若f(x)dx=1,f(x)dx=-1,則f(x)dx=.答案-28.定積分dx的值是.答案ln2三、解答題9.求下列定積分的值(1)dx;(2)已知f(x)=，求f(x)dx的值.解（1）dx表示以y=與x=0,x=3所圍成圖形的面積，而y=與x=0,x=3圍成的圖形為圓x2+y2=9在第一象限內(nèi)的部分，因此所求的面積為.（2）∵f（x）=∴f(x)dx=x2dx+1dx=x3|+x|=+1=.10.已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-1）=2，=0，f（x）dx=-2，求a、b、c的值.解由f（-1）=2，得a-b+c=2， ①又=2ax+b,由=0得b=0, ②f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=(ax3+x2+cx)|=a+b+c.即a+b+c=-2， ③由①②③得：a=6,b=0,c=-4.11.已知f(a)=(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.解(2ax2-a2x)dx=(ax3-a2x2)|=a-a2即f(a)=a-a2=-（a2-a+）+=-（a-）2+.所以當(dāng)a=時，f(a)有最大值.12.(·青島模擬)對于函數(shù)f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3處取得極值，且f(x)的圖像上每一點的切線的斜率均不超過2sintcost-2cos2t+,試求實數(shù)t的取值范圍；（2）若f(x）為實數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，且b≥-1,設(shè)點P的坐標(biāo)為（a,b)，試求出點P的軌跡所圍成的圖形的面積S.解（1）由f(x)=bx3+ax2-3x,則=3bx2+2ax-3,∵f（x）在x=1和x=3處取得極值，∴x=1和x=3是=0的兩個根且b≠0..∴=-x2+4x-3.∵f(x)的圖像上每一點的切線的斜率不超過2sintcost-2cos2t+,∴≤2sintcost-2cos2t+對x∈R恒成立，而=-(x-2)2+1,其最大值為1.故2sintcost-2cos2t+≥12sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+,k∈Zk+≤t≤k+,k∈Z.（2）當(dāng)b=0時，由f(x)在R上單調(diào)，知a=0.當(dāng)b≠0時，由f(x)在R上單調(diào)≥0恒成立，或者≤0恒成立.∵=3bx2+2ax-3,∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-a2.從而知滿足條件的點P（a,b)在直角坐標(biāo)平面aOb上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲線b=-a2與直線b=-1所圍成的封閉圖形，其面積為S=(1-a2)da=4.§3.4定積分的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)自測1.將由y=cosx,x=0,x=,y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為（）A.B.C. D.答案B2.一物體沿直線以v=3t+2(t單位：s,v單位：m/s）的速度運動，則該物體在3s～6s間的運動路程為（）A.46mB.46.5mC.87mD.473.用力把彈簧從平衡位置拉長10cm,此時用的力是200N，變力F做的功W為（A.5JB.10JC.20JD.40J答案B4.曲線y=cosx（0≤x≤）與坐標(biāo)軸所圍成的面積是（）A.2B.3C.D.4答案B5.有一質(zhì)量非均勻分布的細(xì)棒，已知其線密度為(x)=x3（取細(xì)棒的一端為原點，所在直線為x軸），棒長為1，則棒的質(zhì)量M為（）A.1B.C. D.答案D例1求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.解由方程組解出拋物線和直線的交點為（2，2）及(8,-4).方法一選x作為積分變量，由圖可看出S=A1+A2在A1部分：由于拋物線的上半支方程為y=,下半支方程為y=-，所以S=［-(-)］dx=2xdx=2·x|=，S=［4-x-(-)］dx=(4x-x2+x)|=,于是：S=+=18.方法二選y作積分變量，將曲線方程寫為x=及x=4-y.S=[（4-y）-]dy=(4y--)|=30-12=18.例2（14分）如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值. 解拋物線y=x-x2與x軸兩交點的橫坐標(biāo)x1=0,x2=1,所以拋物線與x軸所圍圖形的面積S=（x-x2）dx=()|=-=. 4分拋物線y=x-x2與y=kx兩交點的橫坐標(biāo)為x1′=0,x2′=1-k, 6分所以=（x-x2-kx）dx=|=(1-k)， 10分又知S=，所以(1-k)=，于是k=1-=1-. 12分例3一輛汽車的速度—時間曲線如圖所示，求此汽車在這1min內(nèi)所行駛的路程.解由速度—時間曲線易知，v（t）=由變速直線運動的路程公式可得s=3tdt+30dt+(-1.5t+90)dt=t2|+30t|+（-t2+90t）|=1350(m).答此汽車在這1min內(nèi)所行駛的路程是1350m.1.求拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍成的平面圖形的面積S.解方法一由得拋物線與直線的交點為P（1，-1），Q（9，3）（如圖）.∴S=［-(-)］dx+(-)dx=2dx+(-+)dx=|+（x-+）|=+=.方法二若選取積分變量為y，則兩個函數(shù)分別為x=y2,x=2y+3.由方法一知上限為3，下限為-1.∴S=(2y+3-y2）dy=（y2+3y-y3)|=(9+9-9)-(1-3+)=.2.如圖所示,陰影部分的面積是 （）A. B.9- C. D.答案C3.一物體按規(guī)律x=bt3做直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，試求物體由x=0運動到x=a時，阻力做的功.解物體的速度v==(bt3)′=3bt2,媒質(zhì)阻力f阻=kv2=k·(3bt2)2=9kb2t4.(其中k為比例常數(shù)，k＞0)當(dāng)x=0時，t=0，當(dāng)x=a時，t=t1=,∴阻力做的功是：W阻=f阻dx=·vdt=v3dt=（3bt2）3dt=kb3=k=ka2.一、選擇題1.如圖，陰影部分面積為()A.B.C.+D.答案B2.（·廣州模擬）設(shè)f（x）=則f（x）dx等于()A.B.C.D.不存在答案C3.設(shè)f(x)=sintdt,則f（f（））等于（）A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1答案D4.一物體在力F（x）=(單位：N）的作用下沿與力F相同的方向，從x=0處運動到x=4（單位：m)處，則力F（x）作的功為（）A.44B.46C.48D.50答案B5.一物體在變力F(x)=5-x2(力單位:N,位移單位:m)作用下,沿與F(x)成30°方向作直線運動,則由x=1運動到x=2時F(x)作的功為（）A.JB.JC.JD.2J答案C6.函數(shù)F(x)=t(t-4)dt在［-1,5］上（）A.有最大值0,無最小值B.有最大值0和最小值-C.有最小值-,無最大值D.既無最大值也無最小值答案B二、填空題7.汽車以v=3t+2(單位：m/s）作變速直線運動時，在第1s至第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過的路程是m.答案6.58.若f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx=5,xf(x)dx=,那么函數(shù)f(x)的解析式是.答案f(x)=4x+3三、解答題9.證明：把質(zhì)量為m（單位：kg）的物體從地球的表面升高h(yuǎn)(單位：m)處所做的功W=G·其中G是地球引力常數(shù)，M是地球的質(zhì)量，k是地球的半徑.證明根據(jù)萬有引力定律：知道對于兩個距離為r,質(zhì)量分別為m1、m2的質(zhì)點，它們之間的引力為f（r）=G·，其中G為引力常數(shù).則當(dāng)質(zhì)量為m的物體距地面高度為x(0≤x≤h)時，地心對它的引力f（x）=G·故該物體從地面升到h高處所做的功為W=f（x）dx=G··dx=GMmd（k+x）=GMm|=10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx在點x=1處有極值-2.（1）求常數(shù)a,b的值；（2）求曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積.解（1）由題意知=3x2+2ax+b,f(1)=-2且=0,即解得a=0,b=-3,即f(x)=x3-3x.(2)作出曲線y=x3-3x的草圖，所求面積為陰影部分的面積，由x3-3x=0得曲線y=x3-3x與x軸的交點坐標(biāo)是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x3-3x是R上的奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于原點中心對稱.所以(-,0)的陰影面積與(0,)的陰影面積相等.所以所求圖形的面積為S=2［0-(x3-3x)］dx=-2（x4-x2）|=.11.如圖所示，拋物線y=4-x2與直線y=3x的兩交點為A、B，點P在拋物線上從A向B運動.（1）求使△PAB的面積最大的P點的坐標(biāo)(a,b);（2）證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分.（1）解解方程組，得x1=1,x2=-4.∴拋物線y=4-x2與直線y=3x的交點為A（1，3），B（-4，-12），∴P點的橫坐標(biāo)a∈(-4,1).點P（a,b)到直線y=3x的距離為d=,∵P點在拋物線上，∴b=4-a2，=·(4-3a-a2)′=(-2a-3)=0,∴a=-，即當(dāng)a=-時，d最大，這時b=4-=,∴P點的坐標(biāo)為（-,）時，△PAB的面積最大.（2）證明設(shè)上述拋物線與直線所圍成圖形的面積為S,位于x=-右側(cè)的面積為S1.S=（4-x2-3x)dx=,S1=（4-x2-3x)dx=,∴S=2S1,即直線x=-平分拋物線與線段AB圍成的圖形的面積.12.在區(qū)間［0，1］上給定曲線y=x2，試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中陰影部分的面積S1與S2之和最小.解S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y=x2與x軸、直線x=t所圍成的面積，即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面積等于曲線y=x2與x軸、x=t,x=1圍成的面積減去矩形面積，矩形邊長分別為t2，（1-t），即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以陰影部分的面積S為S=S1+S2=t3-t2+（0≤t≤1）.∵=4t2-2t=4t(t-)=0時，得t=0，t=.當(dāng)t=時，S最小，∴最小值為S()=.單元檢測三一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1.（·海南、寧夏文，10）曲線y=ex在點（2，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A.e2B.2e2C.e2D.答案D2.（·福建文，11）如果函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)y=的圖像可能是()答案A3.設(shè)f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（）A.(0,B.()C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(,+∞）答案A4.(·廣東文，9）設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點，則()A.a＜-1B.a＞-1 C.a＜-D.a＞-答案A5.已知函數(shù)y=f(x)=x3+px2+qx的圖像與x軸切于非原點的一點，且y極小值=-4，那么p、q的值分別為（）A.6,9B.9,6C.4,2 D答案A6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,則x2y的最大值為（）A.36 B.18C.25D.答案A7.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是（）①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2};②f(-)是極小值，f()是極大值；③f(x)沒有最小值，也沒有最大值.A.①③B.①②③C.②D.①②答案D8.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()A.0＜＜＜f(3)-f(2)B.0＜＜f(3)-f(2)＜C.0＜f(3)＜＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜＜答案B9.設(shè)f(x)=x3+x,則的值等于 （）A.0 B.8C. D. 答案A10.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1時有極值10，則a、b的值為（）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正確答案B11.設(shè)f(x)=,g(x)=,對任意x1,x2∈(0,+∞),若有≤恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是（）A.（0，1）B.（0，+∞）C.［1，+∞） D.［，+∞）答案C12.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),已知y=e的圖像如圖所示，則y=f(x)的增區(qū)間是 （）A.(-∞,1) B.(-∞,2)C.(0,1) D.(1,2)答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)13.在彈性限度內(nèi)，彈簧所受的壓縮力F與縮短的距離l按胡克定律F=kl計算.今有一彈簧原長90cm，每壓縮1cm需0.049N的壓縮力，若把這根彈簧從80cm壓縮至60cm（在彈性限度內(nèi)），則外力克服彈簧的彈力做的功為.答案0.686J14.如圖所示，曲線y=x2-1及x軸圍成圖形的面積S為.答案15.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間（m,2m+1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.答案（-1，0］16.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足f(x)=3x2+2x,則=.答案6三、解答題(本大題共6小題,共74分)17.（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-