小學六年級數(shù)學小升初復習：比和比例 知識點

第九節(jié)：數(shù)量關系（三）比和比例

知識全景圖?

比的意義、各部分名稱

比、分數(shù)與除法之間的關系

比的基本性質—化簡比

/歸一法

e比的應用-e按一定的比分配問翔二分數(shù)法

列比例反法

比例的意義、各部分名稱

t--------1

q比例恰L比例的基本性質一解比例

用比例知識解決問飄

意義

?正比例-（

?關系SC表達一y：x=k（一定）

q或一忖例U-

Q正比例和反比例的辨識找變量、看定量、作判斷

梭心考向集?

比的意義和基本性質

【例a

（1）把1克糖放入10克水中，糖與糖水的比為（）=

（2）把2：3的前項擴大到原來的4倍，要使比值不變，后項應（）；把2：3的前項加上4,要使比

值不變，后項應加上（）0

思路引導一

此題考查的是比的意義和基本性質的知識。

（1）題中把1克糖放入10克水中，糖水是1+10=11（克），所以糖與糖水的比為1：11。

（2）根據(jù)比的基本性質可知，比的前項擴大到原來的n倍，要使比值不變，后項也應擴大到原來的n倍。

把2：3的前項擴大到原來的4倍，要使比值不變，后項也應擴大到原來的4倍，即后項應乘4或加上9；

把2：3的前項加上4,即前項擴大到原來的3倍，要使比值不變，后項也應擴大到原來的3倍，3X3=

9,9-3=6,所以后項應加上6。

正確解答：

（1）1：11（2）乘4或加上9；6

符技法提煉

比的前項加上前項的n倍，要使比值不變，比的后項也要加上后項的n倍。

【變式1】

1.如果大圓的直徑是3厘米，小圓的直徑是1厘米，那么小圓與大圓的半徑之比是();直徑之

比是()；周長之比是()；面積之比是()o

2.把a：b的的前項加上2a,要使比值不變，后項應()。

0)求比值和化簡比

【例2】

化簡比，并求比值。

84

⑴5：9(2)5,4:0.27

思路引導一

84

(1)化簡比時，先要把M和9同時乘5和9的最小公倍數(shù)45,化成整數(shù)比72：20,再將72和20同時除

84

以最大公因數(shù)4,化成最簡整數(shù)比18：5；求比值時，可以直接用化簡比的結果計算，也可以用M除以§

18

求出商是5。

(2)化簡比時，先要把5.4和0.27同時乘100化成540：27,再將540和27同時除以最大公因數(shù)27,化

成20：1；求比值時，可以直接用化簡比的結果計算，也可以用5.4除以0.27,求出商是20。

正確解答：

8.484

(1)化簡比：59=(5X45)：(9乂45)=72：20=(72+4)：(204-4)=18：5

8.4848918

求比值：59=5+9=5義4=5

(2)化簡比：5.4：0.27=(5.4X100):(0.27X100)=540：27=(540+27):(27+27)=20：1

求比值：5.4:0.27=5.4+0.27=20

小國?技法提燥

化簡比是應用比的基本性質把一個復雜的比化成最簡單的整數(shù)比，在不改變比值的前提下，把比的前項和

后項同時乘或除以一個不為0的數(shù)，結果還是一個比；求比值是依據(jù)比的意義，用比的前項除以比的后

項，求出的商，結果是一個數(shù)。

【變式2】

（2022六下?河南鄭州）

3.保護視力是大家最關注的問題，同學們對目前市場上熱銷的LED燈進行了調查，獲得如下信息：LED

燈是目前最節(jié)能的燈，8W（瓦）的LED燈的亮度就相當于75W（瓦）的普通白熾燈；也就是說同等亮度

40

的LED燈使用125小時耗電1千瓦時，而普通的白熾燈使用3小時就耗電1千瓦時。

選一選。①8：75②75：8③5：3@3：5

（1）在同等亮度的情況下，LED燈與普通白熾燈的瓦數(shù)比是（）。

（2）在消耗相同電量下，同等亮度的LED燈與普通白熾燈使用時間的最簡單的整數(shù)比是（）。

【例3】

（2022六下?河北滄州）

1■小時：40分化成最簡整數(shù)比是（），比值是（）o

思路引導一

小時與分都是時間單位，把g小時：40分化簡，需要先統(tǒng)一單位，一般要把小時改寫為分再化簡。即g小

3

時：40分=30分：40分=3：4。求比值可以直接用化簡比的結果計算，即3+4=0.75或一。

4

3

正確解答：3：40.75或一

4

小囹?技法提煉

同類量的比，要統(tǒng)一單位才可以化成最簡整數(shù)比。比值可以是整數(shù)、小數(shù)，也可以是分數(shù)。

【變式3】

（2022AT?河北滄州）

4.8cm：0.5m=（）3時20分：50分=（）

IE宿I溫比、分數(shù)和除法的關系

【例4】

34-8=15：（）=（）%=（）折-----o

24

思路引導一

解題時，從己知的3+8入手分析，根據(jù)比的基本性質，比的前、后項都乘5就是15：40；根據(jù)分數(shù)與除

3Q

法的關系3+8=5，再根據(jù)分數(shù)的基本性質分子、分母都乘3就是三；3+8=0.375,把0.375的小數(shù)點

824

向右移動兩位，添上百分號就是37.5%；根據(jù)折扣的意義，可知37.5%就是三七五折。

正確解答：40；37.5；三七五；9

小國?技法提燥

此題主要考查除法、分數(shù)、百分數(shù)、比、折扣之間關系及轉化，利用它們之間的關系和性質進行轉化即

可。

【變式4】

(2022六下?山東濟南)

8

5.()4-15=0.4=14：()=------=()%=()折。

號向04比例的意義、基本性質和解比例

【例5】

(1)已知3a=56(a,b均不為0),那么a：b=()：()。

(2)比例的兩個內(nèi)項互為倒數(shù)，其中一個外項是0.8,另一個外項是()o

思路引導一

(1)利用比例的基本性質把3a=5b改寫成比例時，a作外項，與a相乘的3也同時作外項；b作外項，與

b相乘的5也同時作內(nèi)項。

(2)兩個內(nèi)項互為倒數(shù)，則兩個內(nèi)項的積是1,兩個外項的積也為1,而其中一個外項是0.8,所以另一

個外項是1+0.8的商。

正確解答：(1)5；3；(2)』或1.25

4

小技法提煉

把積相等的兩個乘法式子改寫成比例式，就是把相乘的兩個數(shù)看作是比例中相同的項。

【變式5】

(2022六上?山東荷澤)

2

6.在一個比例里，兩個內(nèi)項的積是最小的合數(shù)，其中一個外項是不，則另一個外項是()；若一

個內(nèi)項是工，這個比例是()。

3

【例6】

114

一的分子、分母減去同一個數(shù)后，就是一，這個數(shù)是多少？

177

思路引導一

11-V4

設這個數(shù)是X,根據(jù)題干描述-----=一,依據(jù)比例的基本性質，把比例式化成(11—x)X7=(17-

17—x7

X)X4,再進行化簡，再利用等式的性質求出x的值。

正確解答：

解：設這個數(shù)是X。

11-x_4

17-x—7

(11-x)X7=(17-x)X4

77—7x=68—4x

3x=9

x=3

答：這個數(shù)是3。

E0圖技法提燎

解比例時，先找準兩個外項和兩個內(nèi)項，再根據(jù)比例的基本性質，把比例式改寫成等積式，然后利用等式

的性質解方程求出未知數(shù)的值。

【變式6】

7.二57的分子和分母各減去同一個數(shù)后，分數(shù)值是2一，求這個數(shù)。

783

:正比例和反比例意義的辨識

【例7】

判斷下面各題中的兩個量是否成正比例或反比例。

(1)全班人數(shù)一定，出勤人數(shù)與缺勤人數(shù)。

(2)已知y=3x,y與x。

(3)三角形的面積一定，它的底與高。

思路引導一

(1)雖然出勤人數(shù)+缺勤人數(shù)=全班人數(shù)(一定)，但只是出勤人數(shù)與缺勤人數(shù)的和一定，所以這兩個量

不成比例。

（2）由y=3x,可知上=3,y和x的比值一定，所以x和y成正比例。

x

（3）三角形的底X高+2=面積（一定），也可轉化成底乂高=面積X2（一定），所以當三角形的面積一

定時，它的底與高成反比例。

正確解答：

（1）不成比例；（2）成正比例；（3）成反比例

CQ圖技法提燎

先找變量，再看定量，通過認定定量是變量的商還是積，來判斷這兩個變量是成正比例關系還是成反比例

關系。

【變式7】

8.下面關于正比例和反比例的四個說法，正確的是（）。

①正比例的圖像是一條直線。

②《我們愛科學》的單價一定，訂閱的費用和訂閱的數(shù)量成正比例。

③圓柱的底面積一定，體積和高成反比例關系。

④路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。

A①②③B.①②④C.②③④D.①③④

□E：用比和比例的知識解決實際問題

【例8】

一個長方形的周長是84厘米，它的長與寬的比是5：2,這個長方形的面積是多少平方厘米？

思路引導一

可以運用按比例分配的知識求出長和寬，再進而求出長方形的面積。

正確解答：

84+2=42（厘米）

長：42><色一=30（厘米）

5+2

2

寬：42X-------=12（厘米）

5+2

面積：30X12=360（平方厘米）

答：這個長方形的面積是360平方厘米。

ED團技法提煉

己知長方形的周長及長與寬的比，可以按比例分配求出長與寬，這里被分配的量是長方形周長的一半。

【變式8】

（2021六下?河北邢臺）

9.一個等腰三角形中兩個角的度數(shù)比是5：2,這個三角形的頂角是多少度？

【例9】

學校新建一個辦公室要鋪地磚，經(jīng)測算，如果選用面積是36平方分米的正方形地成，至少要200塊?，F(xiàn)

改用邊長是4分米的正方形地磚，至少需要多少塊？

思路引導一

不管選用哪一種地磚鋪地，辦公室需要鋪地磚的面積是一定的，即每塊地磚的面積與所需地磚塊數(shù)的乘積

是一定的，這兩種量成反比例關系。

正確解答：

解：設改用邊長是4分米的正方形地磚，需要x塊。

4X4Xx=36X200

16x=7200

x=72004-16

x=450

答：改用邊長是4分米的正方形地磚，至少需要450塊。

GD因?技法提燎

本題中的反比例關系比較明顯：辦公室需要鋪地磚的面積（一定）=每塊地質的面積X地磚塊數(shù)，題目

中只給出了改用的地磚的邊長，所以必須求出這種地磚的面積才能正確構建反比例關系。同學們在審題時

一定要注意，避免掉進“陷阱”。

【變式9】

（2021六下?浙江臺州）

10.李老師家的客廳要鋪地磚。如果用邊長是0.8米的方磚鋪地，正好需要54塊，如果改用邊長是0.6米的

方磚鋪地，需要多少塊？（用比例解答）

【例10】

如圖圖象表示長頸鹿的奔跑情況，請回答下面問題：

（1）完成表：

時間/分51015202530

路程/千米

（2）不計算，根據(jù)圖象估計一下，長頸鹿跑10km,大約要（）分鐘。

路程，千米

思路引導一

結合正比例圖像可以判斷，長頸鹿奔跑的路程和時間是成正比例關系的，奔跑的路程和時間的比值（奔跑

的速度）是一定的，根據(jù)正比例的意義，可以解決問題。

（1）根據(jù)圖象的數(shù)據(jù)填出表中的數(shù)據(jù)；

（2）長頸鹿跑10km,大約需要12.5分鐘；

正確解答：

（1）表格如下：

時間/分51015202530

路程/千米4812162024

（2）12.5分鐘

血囪技法提燎

實際問題往往會有多樣化的背景出現(xiàn)，因此我們要學會在不同的呈現(xiàn)方式中讀懂題意，找到需要的數(shù)學信

，息、O

【變式10]

（2020六下?內(nèi)蒙古呼和浩特）

11.下面是同一時間、同一地點，測量的桿高和影長的記錄表。根據(jù)表中的記錄，桿高和影長是否成正比

例？如果成正比例的話，在如圖的圖象中表示出來。

桿高（米）1.534.56

影長（米）1234

桿高球

一、填空。

（2022六下?安徽蚌埠）

12.a的2;等于b的4一，求a與b的最簡比。在寫出等式a7X；=b4X—后，小華和小明使用了兩種不同的

3535

方法。

（1）小華假設了一個具體的數(shù)值。例如，假設等號兩邊的積都等于1,那么，a=,b=,a與

b的最簡比是。

（2）小明運用比例的基本性質，根據(jù)上面的等式直接寫出比例a：b=,再化簡成最簡比就可以。

（2022六上?山東荷澤）

13.已知0.8x6=1.2x4,根據(jù)比例的基本性質寫出2個比例：（）；（）。

（2022六下?貴州銅仁）

14.一年中，白晝時間最長的一天是“夏至”，黑夜時間最長的一天是“冬至”。2022年的夏至時間是6

月21日（星期二），保定這一天的白晝與黑夜時間比大約是7：5,這一天保定的白晝時間是小

時。

（2021六下?內(nèi)蒙古呼和浩特）

15.甲、乙兩車運貨共100噸，其中甲車的工與乙車的工相等，甲車運貨（）噸，乙車運貨

46

（）噸。

（2022六下?江蘇蘇州）

16.一個三角形，三個角的度數(shù)比是3：4：2,那么最大的一個角是（）,這是一個

(）三角形。

（2022六下?山東濟南）

17.判斷下面各題中兩種相關聯(lián)的量所成的比例關系。

（1）比例尺一定，圖上距離與實際距離。成（）比例關系。

（2）購買物品的總價一定，購買的數(shù)量和單價。成（）比例關系。

二、選擇。

（2022六下?山東濟南）

18.如果M：N=，-,那么（M+8）:（N4-8）=（）。

12

A.—B.1C.1：1D.無法確定

12

（2022六下?湖北武漢）

19.一個比的前項是8,如果前項除以增加到16,要使比值不變，后項應該（）0

A.增加16B.除以JC.增加8

（2022六下?山東濱州）

20.因為工：2=工，—:80%=-,所以?。?和工：80%可以組成比例，這是根據(jù)（）o

48108410

A.比的意義B.比例的意義C.比的基本性質D.比例的基本性質

（2022六下?江蘇蘇州）

21.對于兩個比“3.6：1.8和0.5:0.25”，因為1.8X0.5=093.6X0.25=0.9,所以這兩個比可以組成比

例。這是根據(jù)（）來判斷的。

A.比的意義B.比例的意義

C.比的基本性質D.比例的基本性質

（2022六下?北京海淀）

22.隨著人們生活水平日益提高，大家對于產(chǎn)品的科學性、美觀性等方面要求也越來越高。比如：高清電

視屏幕的長與寬之比由原來的4：3發(fā)展為16：9,因為16：9更符合人的視覺體驗，也利于視頻畫面的呈

現(xiàn)。下面四位同學說了自己對16:9的理解，其中理解錯誤的是（）。

英寸是使用于英國（英聯(lián)邦）及其前殖民地的長度單位，電視是英國人發(fā)明的，最開始

就用英寸了，英文簡寫in,1in=2.54cmo

A.如果電視屏幕長8英寸，那么寬應該是4.5英寸

B.電視屏幕長不一定是16英寸，寬不一定是9英寸

C.電視屏幕長大約是寬2倍少一點

D.電視屏幕長減少7英寸，就和寬一樣長了

（2022六下,陜西榆林）

23.樂樂把自己壓歲錢的g給妹妹，這時兩人的壓歲錢同樣多。原來樂樂和妹妹的壓歲錢的比是（）。

A.4：3B.6：5C.5：4D.5：3

（2022六下?北京海淀）

24.勞動課上同學們要學習做扎染，欣欣正打算用紫色顏料和水配制染料液。要使配成的染料液紫色最

深，她應選下面（）種方法配制。

A.15克顏料和6千克水B.10克顏料和5千克水

C.20克顏料和10千克水D.25克顏料和15千克水

（2022六下?江蘇蘇州）

25.下面各圖中都表示了x,y兩種變量，（）中的兩種量成正比例。

AB

（2022AT?北京海淀）

26.下圖是古希騰雅典古城巴臺農(nóng)神廟的斜面圖，在其周圍描出一個長方形，我們發(fā)現(xiàn)它的寬與長的比值

大約是0.618,這個比被稱為“黃金分割比”，按照黃金分割比設計的圖案會比較美觀。下面（）最

接近黃金分割比。

A.一張照片，長6厘米，寬4.5厘米，寬與長的比

B.敦宣懸掛的國旗，長96厘米，寬64厘米，寬與長的比

C.女士一般穿上高跟鞋，顯得身材修長，媽媽身高162厘米，下半身長85厘米，穿上5厘米的高跟鞋,

這時下半身和整個身高的比

D.人的體溫一般是36攝氏度左右，氣溫在人體正常體溫的黃金分割點的時統(tǒng)。恰是人身心最舒適的溫

度。今天氣溫22攝氏度，氣溫和人體溫的比

三、計算。

（2021六下?浙江杭州）

27.我會算。求下面各比的比值，并找出下面可以組成比例的比并寫出來。

11

6:9—2.8:4=—：—=3：5=

410

51

一：一=1,4：2=0.9：1.2=9：15=

84

28.用3、5、24和40你可以寫出幾個比例來？

（2022六下?陜西榆林）

29.解比例。

04=￡3

-