新定義與規(guī)律性探索選題壓軸（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)題型歸納與變式演練（全國(guó)卷）

考前特訓(xùn)01新定義與規(guī)律性探索選題壓軸

一、單選題

1.對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)a,b(a<b),將這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行如下操作：第一次操作：計(jì)算6與。的差

的算術(shù)平方根，記作看；第二次操作：計(jì)算6與玉的差的算術(shù)平方根，記作演；第三次操

作：計(jì)算6與了2的差的算術(shù)平方根，記作W；……依次類推，若%=X2=~=Z=a，則下

列說法

①當(dāng)a=3時(shí)，b=12；②當(dāng)b=306時(shí)，a=18；

③點(diǎn)一定在拋物線丁=/+x上；

3331

④當(dāng)。=1,2,3,…，”時(shí)，對(duì)應(yīng)。的值分別為4，b2,b3,bn,若百一萬一…一丁=西

則w的值為42：其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，首先找出a,6之間的關(guān)系式，然后逐個(gè)分析找出規(guī)律，即可得解.

【詳解】由題意得，%]=yjb—a,x2=^b—xl=\lb->Jb^-aJ3.

%1=%2=〃，+Q=人，

則當(dāng)a=3時(shí),b=12,

...①正確.

當(dāng)6=306時(shí),a=17或。=一18,

???②錯(cuò)誤.

將P的坐標(biāo)代入拋物線得b=a+a2,

???式子成立，③正確.

當(dāng)。=1時(shí),6=2.

當(dāng)。=2時(shí),6=6.

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當(dāng)〃=3時(shí),b=12.

當(dāng)〃=幾時(shí),6=〃2+〃

33333

Bn----------------=—

12612?(?+1)42

._J__1-1

''2~6~12~~n(n+l)~42

1_1__1

+n〃+l

1_1

n+142

n=41.

.?.④錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律性探索問題，解題時(shí)需要分析題意，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，靈活變形.

2.數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算

1+2+3+4++100時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到

1+2+3+4++100=-00^+100）.人們借助于這樣的方法，得到

1+2+3+4++〃=四士?（〃是正整數(shù)）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一

2

系列格點(diǎn)其中，=1,2,3,,n,,且4％是整數(shù).記a“=x“+%,如A（。,。），即

%=0,4（1,0）,即4=1,4（1,T）,即。3=。，，以此類推.則下列結(jié)論正確的是（）

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A.%。23=40B.出。24=43C.%“T)2=2〃-6D.V-D2=2,2-4

【答案】B

【分析】

利用圖形尋找規(guī)律為加爐(〃T，〃T),再利用規(guī)律解題即可.

【詳解】解：第I圈有I個(gè)點(diǎn)，即4(0,0),這時(shí)4=0；

第2圈有8個(gè)點(diǎn)，即4到4(1,1)；

第3圈有16個(gè)點(diǎn)，即繪到冬(2,2),；

依次類推，第w圈，A(2“f2(〃T,“T)；

由規(guī)律可知：4()23是在第23圈上，且&)25(22,22),則4()23(20,22)即徇)23=2。+22=42,

故A選項(xiàng)不正確；

4024是在第23圈上，且4。24(21,22),即％024=21+22=43,故B選項(xiàng)正確；

第〃圈，A(2,_I)2(H)，所以%”一以=2〃_2,故c、D選項(xiàng)不正確;

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.規(guī)定：/(x)=|x-2|,g(y)=|y+3|.例如〃T)=|T-2],g(f=|T+3].下列結(jié)論

中：①若〃x)+g(y)=0,則2x-3y=13；②若x<—3,則〃x)+g(x)=T—2x；③能使

〃x)=g(x)成立的x的值不存在；④式子/(x-l)+g(x+l)的最小值是7.其中正確的所有

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結(jié)論是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)題中的規(guī)定逐項(xiàng)判斷出各選項(xiàng)的結(jié)論正確與否即可.

【詳解】解：①若〃x)+g(y)=O,即|x-2|+|y+3|=o,

解得：x=2,y=-3,

貝”2x-3y=4+9=13,故①正確；

②若x<—3,貝ij+g(x)=｝一2|+,+3|=2_工_*_3=_l—2x,故②正確；

③若〃x)=g(x)，則|%-2|=|%+3|,即x-2=x+3(無解)或x-2=-x-3,

解得：x=-0.5,即能使已知等式成立的x的值存在，故③錯(cuò)誤；

④式子，(x-l)+g(x+l)=|x-3|+|x+4|,此式子表示數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)到3和T的距離之和，

當(dāng)這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)在T與3之間時(shí)，|尤-3|+|x+4|的最小值是7,故④正確.

綜上，正確的所有結(jié)論是：①②④.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題以新規(guī)定為載體，主要考查了絕對(duì)值的意義和化簡(jiǎn)、整式的加減以及一元一次

方程的求解等知識(shí)，正確理解新運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

4.已知兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a,8滿足2a+b=3,3a+b-c=0,則下列式子正確的是()

A.a—c=3B.b-2c=9C.0<a<2D.3<c<4.5

【答案】D

【分析】利用整式的加法法則以及不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：2〃+6=3①，3“+6-c=0②，

由②-①得：a-c=-3,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

由①得：a=，

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將〃=—二代入②得：3x---FZJ—c=0,

整理得：6+2c=9,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

a,匕為非負(fù)實(shí)數(shù)，

3

.-.0</7<3,O<6Z<-,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

1一。=一3,

/.c=a+3,

3

0<a<—,

2

/.3<c<4.5,故D選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減、不等式的性質(zhì)，熟練掌握整式的加減運(yùn)算法則以及不等式

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.對(duì)于每個(gè)正整數(shù)”，設(shè)/■(〃)表示〃x(〃+l)的末位數(shù)字，例如：/(1)=2(1x2的末位數(shù)

字)，"2)=6(2x3的末位數(shù)字)，f(3)=2(3x4的末位數(shù)字)貝|

〃1)+〃2)+/(3)+…+”2023)的值是()

A.4020B.4030C.4040D.4050

【答案】D

【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)題意，可以寫出前幾個(gè)式子的值，然后即可發(fā)現(xiàn)式子

的變化特點(diǎn)，從而可以求得所求式子的值.解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特

點(diǎn)，求出所求式子的值.

【詳解】解：由題意可得，

因?yàn)?(1)=2,"2)=6,

所以〃1)+〃2)=2+6=8,

以此類推，得

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/（1）+/（2）+/（3）=2+6+2=10,

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=2+6+2+0=10,

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）+/（5）=2+6+2+0+0=10,

/（1）+---+/（5）+/（6）=2+6+2+0+0+2=12,

〃1）+…+〃5）+/⑹+/⑺=2+6+2+0+0+2+6=18,

/（1）+---+/（7）+/（8）=2+6+2+0+0+2+6+2=20,

/（1）+-+/（7）+/（8）+/（9）=2+6+2+0+0+2+6+2+0=20,

/（1）+---+/（7）+/（8）+/（9）+/（10）=2+6+2+0+0+2+6+2+04-0=20

,/2023+5=404…3,

.-./（1）+/（2）+/（3）+...+/（2023）

=（2+6+4+0+0）+（2+6+4+0+0）+...+（2+6+4+0+0）+（2+6+4）

=10x404+10

=4040+10

=4050,

故選：D.

6.（a,b,c,d）表示由四個(gè)互不相等的正整數(shù)組成的一個(gè)數(shù)組，（a+b,b+c,c+d,d+a）表示由

它生成的第~■個(gè)數(shù)組，（^a+b+b+c,b+c+c+d,c+d+d+ct,d+a+a+b^表不由它生成的第

二個(gè)數(shù)組,按此方式可以生成很多數(shù)組,記=a+b+c+d，第〃個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)之和為

（〃為正整數(shù)）.

下列說法：

①可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)；

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②陷，的最小值是20；

③若1000〈等〈2000,貝=

其中正確的個(gè)數(shù)()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，根據(jù)新定義運(yùn)算分別進(jìn)行運(yùn)算即可判斷求解，理解新定義

運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意可矢口，M0=a+b+c+d,

A7]=2(a+Z?+c+d),

M2=4(〃+Z?+c+d),

Af2=8(a+Z?+c+d),

：.Mn=T(a+b+c+d),

???〃〃是偶數(shù)，故①錯(cuò)誤；

A/g=Q+Z?+(?+d,

M)的最小值是1+2+3+4=10,

加“的最小值是2"xl0,

又為正整數(shù)，

的最小值為20,故②正確;

V1000<Mn<2000,

/.1000<2Hx10<2000,

77=10,故③正確；

故選：C.

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7.已知非負(fù)實(shí)數(shù)。，"。滿足a+2Z?=4,a-b+cvO,則下列結(jié)論一定正確的是（）

44

A.b>a>—B.b>c>2C.b>—>aD.b1-4<2（?<0

33

【答案】C

【分析】本題考查了解不等式，完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特

征是解題的關(guān)鍵.根據(jù)〃+2）=4,〃-b+。<0,通過解不等式及完全平方公式的運(yùn)算進(jìn)行判

斷即可.

【詳解】由1+2》=4得3=4-2/7.

a—b+c<0,

:.b—a>c,

又6,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，

..c>0,

.\&-4+2&>0,

4

解得人>§,

又'a=4-2b>0,

Z?<2,

:.-<b<2,

3

4

易得。<。

C74

:.2>b>—>a,

3

A項(xiàng)、B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確.

當(dāng)〃=0時(shí)，Z?2—4QC>O；

當(dāng)時(shí)，由題可知。一人+。<0,

/.Z?>(7+C>0,

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b1>(a+c)2,

即b2>a2+c2+lac.

由(Q-20得a2+C1>2ac,

b2>4ac,

即b1-4ac>0，

D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

8.潼銅在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到一個(gè)定義：將三個(gè)已經(jīng)排好順序的數(shù)：玉,%2，%，稱為數(shù)列

再,馬,引計(jì)算㈤，三引,歸+;+村,將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列%,馬,馬的最佳值.例

如，對(duì)于數(shù)列2,-1,3,因?yàn)閨2|=2,1+(FL_LR+㈠)+3|J,所以數(shù)列2,-1,3的最佳值

112233

為潼銅進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計(jì)算

其相應(yīng)的最佳值.如數(shù)列-1,2,3的最佳值為g；數(shù)列3,-1,2的最佳值為1；…經(jīng)過研究，潼

銅發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“2,-1,3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，最佳值的最小值

為…根據(jù)以上材料，下列說法正確的個(gè)數(shù)有

①數(shù)列-4,-3,2的最佳值為1

②將“T,-3,2”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，這些數(shù)列取得最佳

值最小值的數(shù)列為-3,2,T；

③將2,-9,這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列.若這些數(shù)列的最

佳值為1,則滿足條件a的值有4個(gè).

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】C

【分析】

本題是一道數(shù)與式中的新定義問題，理解最佳值的定義以及正確的分類討論是解題的關(guān)

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鍵.根據(jù)題中對(duì)最佳值的定義，結(jié)合分類討論的思想可解決問題.

【詳解】

57

解：①M(fèi)l=4,|-4H-3)21|

+=3-2-

，這個(gè)數(shù)列的最佳值是g，故①正確；

②把“T,-3,2”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得以下數(shù)列：(1)-4,2,-3；(2)

-4,-3,2；(3)2,-3,-4；(4)2,-4,-3；(5)-3,-4,2；(6)-3,2,-4：

14+2+(3)1

(1)T=4,號(hào)?=1，-3~=|，此數(shù)列的最佳值為，

(2)Ml=4,|-4+(-3)+2|=|,此數(shù)列的最佳值為1

(3)|2|=2,以戶=1,12+(-3：+(-4)|=：...此數(shù)列的最佳值為g；

2.2.35乙

(4)|2|=2,12+,)|=1,|2+寸(-3)|=|,二此數(shù)列的最佳值為I；

(5)Q-3|=3,|-3+(-4)+2|=5這個(gè)數(shù)列的最佳值是《；

(6)01-3|=3,匕詈=(，1-3+2+1)1=|,這個(gè)數(shù)列的最佳值是:；

「Lid,

23

???取得最佳值最小值的數(shù)列為：(2)(6),故②不正確；

③分類討論的思想同②，

經(jīng)計(jì)算當(dāng)“=4或10或11時(shí)，若干數(shù)列中，有數(shù)列的最佳值為1.故③錯(cuò)誤.

故選：C

9.定義一個(gè)運(yùn)算》(4龍2,'尤/4%，%)=芯+/+乜(%+為++%w0),下列說法

%+%+“+笫

正確的有()個(gè)

第10頁共30頁

①"（1,2|3）=1；

②若H（44T）_H（l|x,-2）=-l,貝|尸_］或2；

③"（1|1,2）+H（1|22,4）+”（1|32,6）++H（l|102,20）=|||

④若H（a[6,Gd）=“似a,c,dj=H（c\a,b,dj=

【答案】B

【分析】根據(jù)所給新定義逐項(xiàng)列式計(jì)算即可，判斷②時(shí)注意分式的分母不能為0,判斷③時(shí)

注意裂項(xiàng)相消，判斷④時(shí)注意分a+b+c+dwO和a+b+c+d=O兩種情況，利用等式的性

質(zhì)求解.

117

【詳解】解：①"(1,2|3)=亍=1,故①正確；

②則一±=一1,化簡(jiǎn)得/一＞2=0,

解得x=T或x=2,根據(jù)/-dWO得XN也，

.-.x=-l,故②錯(cuò)誤；

③//(1|1,2)+//(1|22,4)+//(1|32,6)++H(l|102,20)

1111

=----1—o----1—z----F,H-----

1+222+432+6102+20

H----

120

1--+?+

1012

1~\-----------

21112

175

264

第11頁共30頁

故③正確;

④若c,d)==H^d\a,b,c^,

EQbcd

則-------=-------=--------=-------，

b+c+da+c+da+b+da+b+c

當(dāng)a+Z?+c+d=0時(shí)，=-1，

b+c+d

「.Q+Z?=—(c+d),

c+d

/.----=-l,

a+b

、t,_,crt_LQ+O+C+d1

當(dāng)Q+Z7+c+dw0時(shí)，----------------------------------=—

Z?+c+d+Q+c+d+Q+。+d+Q+Z?+c3

a_b_c_d_\

b+c+da+c+da+b+da+b+c3

c+d_

a+b'

故④錯(cuò)誤；

綜上可知，正確的是①③，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算，涉及解分式方程，等式的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運(yùn)算等，解題

的關(guān)鍵是理解新定義的運(yùn)算法則.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,A,4…都在X軸上，點(diǎn)用，B2,&…都在直線

y=x±,.OAiB{,△4A4,AB2B,4,△B2?12A3,△鳥與4…都是等腰直角三角形，且0A=1，

則點(diǎn)與。23的坐標(biāo)是（）

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A.(22022,22022)B,(22023,22?3)C,(22022,22023)D,(22023,22022)

【答案】A

【分析】由。4=1,得到點(diǎn)用的坐標(biāo)，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)人的坐標(biāo)，

進(jìn)而得到點(diǎn)紇的坐標(biāo)，然后再依次類推得到點(diǎn)B2023的坐標(biāo).

【詳解】解：0A=1,

..?點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,0),

0A片是等腰直角三角形，

44=1,

???丹(1,1),

?△4A4是等腰直角三角形，

A&=1,=JAB：+4可=+/=虛,

?.?△耳是等腰直角三角形，

劣與=2,

二坊(2,2),

22

同理可得：B3(2,2),々(23,23),…，

?A(72022,20221

一^2023\，乙)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)

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鍵是通過等腰直角三角形的性質(zhì)依次求出系列點(diǎn)8的坐標(biāo)找出規(guī)律.

11.如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)A處，按順時(shí)針方向移動(dòng)這枚跳棋2023

次.移動(dòng)規(guī)則是：第〃次移動(dòng)〃個(gè)頂點(diǎn)(如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在B處，第二次

移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在。處).按這樣的規(guī)則，在這2023次移動(dòng)中，跳棋不可能停留

的頂點(diǎn)是()

A.C、EB.E、FC.C、E、FD.C、E、G

【答案】C

【分析】設(shè)頂點(diǎn)AB,C,D,E,F,G分別是0,1,2,3,4,5,6格，因棋子移動(dòng)了〃次

后走過的總格數(shù)是1+2+3+…+〃=+然后根據(jù)題目中所給的第幾次移動(dòng)"個(gè)頂點(diǎn)

得規(guī)則，可得到不等式，即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)頂點(diǎn)AB,C,D,E,F,G分別是0,1,2,3,4,5,6格，

因棋子移動(dòng)了"次后走過的總格數(shù)是1+2+3+…+”=g-5+l),

所以應(yīng)停在:"("+1)-7機(jī)格，這時(shí)加為整數(shù)，且使0wg〃(w+l)-7機(jī)46,分別取

九=12,3,4,5,6,7時(shí)，；〃("+1)—7相=1,3,6,3,1,0,0,發(fā)現(xiàn)第2,4,5格沒有停棋，

若7<"W2023,

設(shè)〃=7+f(t=1,2,3)代入可得：

由此可知，停棋的情形與〃丸相同，

所以第2,4,5格沒有停棋，即頂點(diǎn)C、E、F棋子不可能停到,

第14頁共30頁

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減的探究規(guī)律，解題的關(guān)鍵是弄清題意，總結(jié)歸納出題目中

的規(guī)律.

12.定義：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“關(guān)

聯(lián)函數(shù)”，這對(duì)對(duì)稱的點(diǎn)稱為“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.例如：點(diǎn)尸(T9)在函數(shù)y=Y上，點(diǎn)。(3,-9)在函

數(shù)y=-2x-3上，點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，止匕時(shí)函數(shù)＞=/和、=一2尤-3互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，

點(diǎn)尸與點(diǎn)。則為一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)已知函數(shù)y=f+2x和＞=4尤+”-2022互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則

”不可能是()

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】D

【分析】設(shè)p(sj)在丁=無2+2x,則。(一在丫=4尤+〃一2022上，得出"=—r+4s+2022

=-(s-I)?+2023,求得最大值為2023,即可求解.

【詳解】解：設(shè)P(sj)在y=/+2x,則。(—s,T)在y=4x+〃-2022上，

.[s2+2s—t

[-4s+YI-2022=-1

n——t+4s+2022

=-s?+2s+2022

=-(5-l)2+2023

...當(dāng)s=l時(shí)，”的最大值為2023,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.已知一■列數(shù)的和X1+無2"1----^^2023=5X(1+2H---------1-2023),且

%一3%2+1=%2—3退+2=?…=%2022—3工2023+2022—々023—3玉+2023,貝lj玉一2尤2—3天的彳直;

()

A.2B.-2C.3D.-3

第15頁共30頁

【答案】D

[左=玉一3%+1=%—3%3+2=…?=%2。22—3工2023+2022—%2。23—3%+2023,

則可推出

2023左=(%—3X2+1)+—3$+2)+,,+(%2022—?^,^2023+2022)+(/023—3%+2023)=0,

至I」左=0,玉一3%2+1=%2-3工3+2=0,故(石一3%2+1)+(%2—3七+2)=0,從而得到

玉-2^2_3%3=_3.

【詳解】解:設(shè)左=%—3/+1=%—3曰+2=…=X2O22-3X2023+2022=々023-35+2023,

玉+%2+…+%2023=5乂(1+2+-?+2023),

***2023左=(石+%2+,,+”2022+*2023)—3+"3+,,+x2023+F)+(1+2+，,+2022+2023)

=(X]+兀2+…+九2022+元2023)—3(玉+九2+一+X2022+九2023)+(1+2~1---1-2022+2023)

=-2(玉+w+,,+%2022+“2023)+(1+2—F2022+2023)

=—2xgx(l+2+…+2023)+(1+2+..+2022+2023)

=0

：.k=0

Xy—3x?+1=%2—3%3+2=0

?，?(芯-3%2+1)+(4—3毛+2)=0

即玉—2^2—3退+3=0

玉-2w_3%=-3

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減法，推導(dǎo)

—

(石一3X2+1)+(尤2—3X3+2)H----1■(/022—3工2023+2022)+(^2023+2023)=0是解題的關(guān)鍵.

第16頁共30頁

14.我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成為=2部分，2條直線將平面最多分成

%=4部分,3條直線將平面最多分成%=7部分,4條直線將平面形多分成名=11部分……，

111

〃條直線將平面最多分成?！安糠?，則1—+--+-——=()

]-%I-以2]一〃io

A20”20小10「9

A.—D.C.—D.

1111115

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，〃條直線將平面最多分成

a“=l+l+2+3++〃=]+"”+：部分,進(jìn)而得至?(?+1)n+\],

21-1-

一丁

再進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：條直線將平面分成％=1+1=2部分，

2條直線將平面最多分成的=1+1+2=4部分，

3條直線將平面最多分成%=1+1+2+3=7部分，

4條直線將平面形多分成。4=1+1+2+3+4部分……，

."條直線將平面最多分成%=1+1+2+3++/=1+曲曰部分，

nn+\h

----------1-------------F

]-%]一%

1--

故選B.

第17頁共30頁

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵是得到=1+1+2+3++〃=1+四曰.

15.定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（n>0）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“"

階方點(diǎn)例如，點(diǎn)（1，3）與點(diǎn)g，2）都是函數(shù)y=2尤+1圖象的“3階方點(diǎn)”.若y關(guān)于x的二次

函數(shù)y=（x-nF+川一6的圖象存在“〃階方點(diǎn)”，則”的取值范圍是（）

A.l<n<-B.-<n<2C.2<n<3D.l<n<3

55

【答案】D

【分析】

本題主要考查了二函數(shù)與幾何綜合，由二次函數(shù)解析式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線％=〃上移動(dòng)，

當(dāng)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（-〃，-〃）和點(diǎn)伽，"）時(shí)為臨界情況，求出此時(shí)力的值，進(jìn)而可得W的取

值范圍.

【詳解】解：由題意得:二次函數(shù)y=（x-a）?+6的圖象上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（“，1-6）,

關(guān)于x的二次函數(shù)y=（x-“A+6的圖象存在“〃階方點(diǎn)”，

???二次函數(shù)y=（x-a）?+6的圖象與以坐標(biāo)為的正方形

有交點(diǎn)，

當(dāng)二次函數(shù)y=（x-nf+n2-6恰好經(jīng)過（一"，一〃）時(shí)，則5/+〃-6=0,

解得：〃=1或"=-g（舍去）；

如當(dāng)二次函數(shù)y=（x-砂+n2-6恰好經(jīng)過伽，”）時(shí)，則〃2_〃_6=0,

解得〃=3或"=-2（舍去）；

...當(dāng)1。<3時(shí)，二次函數(shù)y=（x-A）?+I-6的圖象存在“〃階方點(diǎn)”，

故選D.

二、填空題

16.已知。>。，<=一,邑=-S]-1,邑=不,$4=T-1,§5=F，….即當(dāng)〃為于1的奇數(shù)時(shí)，

第18頁共30頁

S“=——；當(dāng)W為大于1的偶數(shù)時(shí)，s“=-計(jì)算工+S2+S3++s?必的結(jié)果為一

?〃一1

【答案】-337

【分析】先找到規(guī)律3的值每6個(gè)一循環(huán)，再求出H+Sz+Ss+J+Ss+SfU-l,由

2022=337x6,可得S1+S2+S3++52022=—1x337=—337.

【詳解】解：S=~,

ta

S5=[=_(a+l),

S6=—S5_]=(a+l)_]=a,

c11

白7=------二一,

7s6

???s〃的值每6個(gè)一循環(huán),

*.*S]+邑+S++工+S6

1l+aa1/八

=---------------------

aaa+1a+1

—aa+1r

=--------------a+l+a

aa+1

=-1-1+1

=—1>

???2022=337x6,

第19頁共30頁

S]+S?+星++S2022=—lx337——337,

故答案為：-337.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出R,的值，每6個(gè)一循環(huán)

是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,以。4為直角邊作Rt^OAA,使

44,。4=6?！?再以。4為直角邊作Rt^OAA，使幺04=60。，再以為直角邊作

RtAOA,A4,使=60?！创艘?guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)AO23的坐標(biāo)是.

[答案]Q2M,0）

【分析】先通過解直角三角形依次求44,4,4,…各點(diǎn)的坐標(biāo)，再從其中找出規(guī)律，然

后運(yùn)用規(guī)律即可解答.

【詳解】解：如圖：過作軸，

的坐標(biāo)為（1,0）,

OR=1,

?：ZA]OA2=60°f

.04=-^^=:=2,44=04.sin600=2x?=g

2

???4的坐標(biāo)為（1,石），

ZA,OA,=60°,

第20頁共30頁

。&t=4

cos60°

2

ZA3OA4=60°,A3B1x,

BA；=OA,?sin60°=273,OB=OA,?cos60°=4x1=2,

???4的坐標(biāo)為卜2,2白卜

同理可得：4的坐標(biāo)為（-8,0）,A的坐標(biāo)為卜8,86）,4的坐標(biāo)為（16,-16后），4的坐

標(biāo)為（64,0）,

由上可知，A點(diǎn)的方位是每6個(gè)循環(huán)，

與第一點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x軸正半軸上，其橫坐標(biāo)為2E,其縱坐標(biāo)為0,

與第二點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2"一2,縱坐標(biāo)為2-26，

與第三點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為一2"、縱坐標(biāo)為2"一2月，

與第四點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，其橫坐標(biāo)為-2"一，縱坐標(biāo)為0,

與第五點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為-2々，縱坐標(biāo)為一2T石，

與第六點(diǎn)方位相同的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，其橫坐標(biāo)為2"一2,縱坐標(biāo)為一2"20，

：2023+6=3371,

???點(diǎn)4）23的方位與點(diǎn)A的方位相同，在X軸上，其橫坐標(biāo)為2"-2=22°3縱坐標(biāo)為0,

.?.點(diǎn)4儂的坐標(biāo)是（2皿1,0）.

故答案為：（2皿1,0）.

第21頁共30頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律探索、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，求出前面7個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

18.對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N,其千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,十位數(shù)字為c,個(gè)位數(shù)字

為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0.將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一

個(gè)兩位數(shù)需，記為4百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字bc，記為B,若A與8

的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”.例如：6345,4=65,834,

65+34=99,11(6+3)=99,所以6345是“坎數(shù)”.若N為“坎數(shù)”，且a>b,當(dāng)包工為9的

c-d

倍數(shù)時(shí)，則所有滿足條件的N的最大值為.

【答案】8154

【分析】根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10"c=U(a+〃)，可得出"+』+",根據(jù)當(dāng)"

c-a

為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，所以可知c=1d,則可知c=5,d=4,

故a+Z?=9,則最大的值為a=8,b=l,即可求解.

【詳解】解：根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+"10b+c=ll(a+6),

...a+b=c+d,

???當(dāng)為9的倍數(shù)，且a、b、c、1都是小于10的自然數(shù)，a>b,

c-d

?。=9

c-d'

;*=9

c-d'

c=-d

4

第22頁共30頁

??C=5,d=4,

a+b=c+d=9,

當(dāng)a=8,時(shí)，N有最大值，

Z?=9—8=1,

的最大值為8154,

故答案為：8154.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過給出的“坎數(shù)”的定義求出對(duì)應(yīng)的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字

的關(guān)系，通過給出的式子，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)字的結(jié)果，從而求出最后的解.

19.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師將一副撲克牌中的紅桃2~10共9張牌挑出，打亂順序隨

機(jī)發(fā)給了甲、乙、丙三名同學(xué)，每人三張牌.已知甲的三張牌數(shù)字之和是12,乙的三張牌

數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，且乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù).寫出甲的三張牌上

的數(shù)字是,丙的三張牌上的數(shù)字是.

【答案】2,4,63,8,10

【分析】根據(jù)題意先分析出甲的可能結(jié)果，然后結(jié)合乙的三個(gè)奇數(shù)，篩選出合適的，最后再

按照乙丙的三張牌數(shù)字和相同進(jìn)行分配即可.

【詳解】解：已知紅桃2~10有數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9,10共計(jì)9張牌

甲的三張牌數(shù)字之和為12的情況有2,4,6、2,3,7、3,4,5三種組合，

9張牌中共有4個(gè)奇數(shù)，乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)，

二甲最多只能有一個(gè)奇數(shù)，只有2,4,6符合，

「乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，

乙的三張牌數(shù)字為5,7,9,丙的三張牌數(shù)字為3,8,10,

故答案為：2,4,6；3,8,10

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類組合運(yùn)算，按照題目進(jìn)行逐步篩選和分析是解題關(guān)鍵.

20.已知兩個(gè)正數(shù)。，b,可按規(guī)則c=H+a+6擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù)c.在。，b,c三個(gè)數(shù)中取

兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，依此繼續(xù)擴(kuò)充下去，將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)

第23頁共30頁

新數(shù)稱為一次操作,

(1)若。=1,6=3,按上述規(guī)則操作三次，擴(kuò)充所得的數(shù)是；

(2)若a>6>0,按上述規(guī)則操作五次后擴(kuò)充所得的數(shù)為(a+l)"'(6+l)"-1(加，”為正

整數(shù))，貝!]〃?+"=.

【答案】25513

【分析】(1)根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)a>6>0,根據(jù)新定義重復(fù)進(jìn)行計(jì)算，找到規(guī)律即可求解.

【詳解】解：(1)依題意，第一次擴(kuò)充得到c=H+a+b=3+l+3=7,

第二次擴(kuò)充：。=3,6=7,c=21+3+7=31,

第三次擴(kuò)充：。=7,。=31,c=7x31++7+31=255,

故答案為：255.

(2)依題意,第一次擴(kuò)充得到：-=>6+a+6=(a+l)0+l)-1

a>b>0

.,.第二次擴(kuò)充得到：C?=[(。+1)(6+1)—1++1)—1=(。+1)伍+1)—1

232

第三次擴(kuò)充得至lj,c3=[(?+l)(fe+l)-l+l][(?+l)(&+l)-l+l]-l=(a+l)(^+l)-l,

32253

第四次擴(kuò)充得到，c4=[(?+l)(^+l)-l+l][(a+l)(Z7+l)-l+l]-l=(a+l)(Z?+l)-l

533285

第五次擴(kuò)充得到，c3=[(?+l)(&+l)-l+l][(a+l)(Z)+l)-l+l]-l=(a+l)(Z，+l)-l

m+n=13,

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，整式的規(guī)律問題，因式分解的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

ab-ab

21.若規(guī)定符號(hào)’的意義：,=ad-be.

cclca

第24頁共30頁

21

(1)計(jì)算:

34

a-b

a-b

(2)若的值為.

b+1bb——a+2b

b

【答案】58或15

【分析】(1)原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；

(2)由題意求得〃+b=3或，+b=-4,根據(jù)新定義化簡(jiǎn)所求式子后整體代入即可得解.

21

【詳解】解：(1)根據(jù)題中的新定義得：原式=2x4-1x3=8-3=5；

34

(2)???

-aa+bb+lb

.+=4①

\ab+b[b+i)=8(2)'

①+②得(a+3)(々+〃+4)=0,

??。+Z?=3或ia+b=-4,

a-b

當(dāng)a+b=3時(shí)，1=(a+bY-1=9-1=8,

b—a+2b

b

當(dāng)a+6=V■時(shí)=(0+6)2-1=16-1=15.

b——a+2b

b

故答案為：(1)5；(1)8或15.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

22.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表(圖

①)，即楊輝三角.現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖②，前8

行如圖③，求前32行“1”的個(gè)數(shù)為一.

第25頁共30頁

1

11

1

1111V11

12111\000/1

1331111l\o0/11

146411W1

1510105111M11iViiViiVi1

（圖①）（圖②）（圖③）

【答案】243

【分析】先根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“1”規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得解.

【詳解】觀察圖②和圖③可知，前8行中包含3個(gè)前4行的圖形，中間三角形中的數(shù)字均為0,

???前8行中“1”的個(gè)數(shù)是前4行中“1”的個(gè)數(shù)的3倍，

即前8行中“1”的個(gè)數(shù)為9x3=27（個(gè)），

同理可知前16行中“1”的個(gè)數(shù)是前8行中“1”的個(gè)數(shù)的3倍，即前16行中“1”的個(gè)數(shù)為

27x3=81（個(gè)）,

前32行中“1”的個(gè)數(shù)是前16行中“1”的個(gè)數(shù)的3倍，即前32行中“1”的個(gè)數(shù)為81x3=243（個(gè)）,

故答案為：243.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究計(jì)算，根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“1”規(guī)律是解題關(guān)

鍵.

23.設(shè)實(shí)數(shù)尤=0.1234567891011998999,這個(gè)小數(shù)從小數(shù)點(diǎn)后，以1開頭一直寫到999得

到的，那么小數(shù)點(diǎn)后第2018位的數(shù)字是.

【答案】0

【分析】首先確定一位數(shù)，以及二位數(shù)的個(gè)數(shù)，判斷排x的右邊第2018個(gè)數(shù)字是第幾個(gè)三

位數(shù)的數(shù)字，從而確定.

【詳解】解：從1到9都是一位數(shù)，共有9個(gè)；

從10到99共有90個(gè)數(shù)，都是二位數(shù)，則數(shù)字是由依次寫下正整數(shù)1?99是尤的前

9+180=189位數(shù)；

第26頁共30頁

則以后是三位數(shù)，2018-189=1829,1829+3=609…2,

則最后一位是從100開始的三位數(shù)的第610個(gè)數(shù)，即是709,709的第二個(gè)數(shù)是0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，正確確定第2018個(gè)數(shù)字是第幾個(gè)三位數(shù)的數(shù)字是關(guān)

鍵.

24.如果一個(gè)四位自然數(shù)礪的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足蘇-五=瓦，

那么稱這個(gè)四位數(shù)為“差中數(shù)例如：四位數(shù)4129,：41-29=12,；.4129是“差中數(shù)”；

又如：四位數(shù)5324,：53-24=29x32,5324不是“差中數(shù)”.若一個(gè)“差中數(shù)”為先應(yīng),

則這個(gè)數(shù)為;如果一個(gè)“差中數(shù)”能被11整除，則滿足條