高等數(shù)學(xué)（下冊）全冊配套完整課件

高等數(shù)學(xué)（下冊）全冊配套完整課件習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)

二、實(shí)例分析機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量代數(shù)與空間解析幾何

第八章向量代數(shù)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、內(nèi)容小結(jié)

混合積:2.向量關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間平面一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式1.空間直線與平面的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間解析幾何為直線的方向向量.空間直線一般式對(duì)稱式參數(shù)式為直線上一點(diǎn);機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束面與面的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束直線線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關(guān)系直線:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.相關(guān)的幾個(gè)問題(1)過直線的平面束方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)點(diǎn)的距離為到平面

：Ax+By+Cz+D=0

d機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束到直線的距離為(3)

點(diǎn)d機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、實(shí)例分析例1.

求與兩平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交線提示:

所求直線的方向向量可取為利用點(diǎn)向式可得方程平行,且過點(diǎn)(–3,2,5)的直線方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求直線與平面的交點(diǎn).提示:

化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求過點(diǎn)(2,1,3)且與直線垂直相交的直線方程.提示:先求二直線交點(diǎn)P.化已知直線方程為參數(shù)方程,代入①式,可得交點(diǎn)最后利用兩點(diǎn)式得所求直線方程的平面的法向量為故其方程為①過已知點(diǎn)且垂直于已知直線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求直線在平面上的投影直線方程.提示：過已知直線的平面束方程從中選擇得這是投影平面即使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

設(shè)一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所求為例6.求過直線L:且與平面夾成角的平面方程.提示:過直線L

的平面束方程其法向量為已知平面的法向量為選擇使從而得所求平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思路:先求交點(diǎn)例7.求過點(diǎn)且與兩直線都相交的直線L.提示:的方程化為參數(shù)方程設(shè)L與它們的交點(diǎn)分別為

再寫直線方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三點(diǎn)共線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.直線繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周,求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程.提示:在L

上任取一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點(diǎn),則有得旋轉(zhuǎn)曲面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)畫出下列各曲面所圍圖形:(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解答:(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—

點(diǎn),

線,

面基本方法

—

坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量及其線性運(yùn)算

第八章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,記作e

或e.或a.規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面

.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.向量與數(shù)的乘法

是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見

與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.

設(shè)

a

為非零向量,則(

為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)

的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b

與

a

同向,設(shè)又有b＝

a,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束“”則例1.

設(shè)M

為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)二、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算三、向量的模、方向角、投影一、空間直角坐標(biāo)系ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束Ⅰ向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)

M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量

r

的坐標(biāo)分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:

設(shè)M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

在z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方向余弦的性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點(diǎn)A

的坐標(biāo).則因點(diǎn)A

在第一卦限,故于是故點(diǎn)A

的坐標(biāo)為向徑OA

與x

軸y軸的夾第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.向量在軸上的投影則

a

在軸u

上的投影為例如,在坐標(biāo)軸上的投影分別為設(shè)a

與u

軸正向的夾角為

,,即投影的性質(zhì)2)(

為實(shí)數(shù))1)例9.設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM,一條棱為OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:

如圖所示,記∠MOA=

,備用題解:

因1.

設(shè)求向量在x

軸上的投影及在y軸上的分向量.在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)求以向量行四邊形的對(duì)角線的長度.該平行四邊形的對(duì)角線的長度各為

對(duì)角線的長為解：為邊的平機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

三、向量的混合積第三節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量的乘法運(yùn)算

第八章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為

,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

已知三點(diǎn)

AMB.解:則求故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積的夾角為且為單位向量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,

稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量積的行列式計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.已知三點(diǎn)角形

ABC

的面積解:

如圖所示,求三機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一點(diǎn)M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度

繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:

在軸l

上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

證明四點(diǎn)共面.解:

因故A,B,C,D

四點(diǎn)共面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束混合積:2.向量關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證:由三角形面積公式所以因機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.已知向量的夾角且解：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在頂點(diǎn)為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為

2.而故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束平面

第八章①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求過三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面

的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過三點(diǎn)的平面方程為說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特殊情形?當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求通過x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡,得所求平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此有例4.一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束外一點(diǎn),求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題求過點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)一、空間直線方程二、線面間的位置關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間直線

第八章一、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.對(duì)稱式方程故有說明:

某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為則此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如,當(dāng)和它的方向向量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別有:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為從而的方向向量為的方向向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別有:解:

取已知平面的法向量則直線的對(duì)稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.過直線的平面束過直線的平面束方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求直線在平面上的投影直線方程.提示：過已知直線的平面束方程從中選擇得這是投影平面即使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.空間直線方程一般式對(duì)稱式參數(shù)式

內(nèi)容小結(jié)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束直線2.線與線的關(guān)系直線夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束平面

:L⊥

L//

夾角公式：3.線與面間的關(guān)系直線L:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解：相交,求此直線方程

.的方向向量為過A

點(diǎn)及面的法向量為則所求直線的方向向量方法1

利用叉積.所以一直線過點(diǎn)且垂直于直線又和直線備用題機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為待求直線的方向向量方法2

利用所求直線與L2的交點(diǎn).即故所求直線方程為則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束代入上式,得由點(diǎn)法式得所求直線方程而機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四、二次曲面第六節(jié)一、曲面方程的概念三、旋轉(zhuǎn)曲面

二、柱面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間曲面

第八章定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、曲面方程的概念故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2.母線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結(jié)束4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

第八章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第七節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求空間曲線

:繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點(diǎn)M1繞z軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過角度

后到點(diǎn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例如,

直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t

和

,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(即球面)方程為又如,

xoz

面上的半圓周說明:

一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù),形如機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,在xoy面上的投影曲線方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束舉例(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:交線情況如何?交線情況如何?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面的交線在

xOy平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xOy

面的投影柱面方程為此曲線在xOy面上的投影曲線方程為,它與所給平面的與平面

第九章習(xí)題課機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法一、基本概念連續(xù)性

偏導(dǎo)數(shù)存在

方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個(gè)基本概念的關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.

討論二重極限解法1解法2

令解法3

令時(shí),下列算法是否正確?分析:解法1解法2令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況,此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況.此時(shí)極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,解法3

令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見,三種解法都不對(duì),因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn).特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.同時(shí)還可看到,本題極限實(shí)際上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.2.證明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束而所以f

在點(diǎn)(0,0)不可微!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

已知求出的表達(dá)式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求(99考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)求解答提示:第1題機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束題2設(shè)求提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①②利用行列式解出du,dv

：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束代入①即得代入②即得有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),及分別由下兩式確定求又函數(shù)答案:(2001考研）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.設(shè)三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用

最小二乘法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點(diǎn).解:

設(shè)切點(diǎn)為則切平面的法向量為即切平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束問題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問題.設(shè)拉格朗日函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為令由實(shí)際意義可知為所求切點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束唯一駐點(diǎn)例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束到平面令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上求一點(diǎn),使該點(diǎn)處的法線垂直于練習(xí)題：1.

在曲面并寫出該法線方程.提示:

設(shè)所求點(diǎn)為則法線方程為利用得平面法線垂直于平面點(diǎn)在曲面上機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面使與三坐標(biāo)面圍成的四面體體積最小,并求此體積.提示:

設(shè)切點(diǎn)為用拉格朗日乘數(shù)法可求出則切平面為所指四面體圍體積V最小等價(jià)于

f(x,y,z)=xyz

最大,故取拉格朗日函數(shù)例4目錄上頁下頁返回結(jié)束(見例4)3.

設(shè)均可微,且在約束條件

(x,y)0下的一個(gè)極值點(diǎn),已知(x0,y0)是f(x,y)下列選項(xiàng)正確的是()提示:

設(shè)(

)代入(

)得D(2006考研)推廣第九章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第九章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.P(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則點(diǎn)P

屬于E

，但不是E的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于EE

的邊界點(diǎn))(3)

孤立點(diǎn)稱P

是E

的聚點(diǎn).(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；

若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束。

。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作

E;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

整個(gè)平面

點(diǎn)集是開集，

是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)P

D與某定點(diǎn)A的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束規(guī)定為與零元O

的距離為二、多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)

三角形面積的海倫公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球

第九章第二節(jié)一、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的極限及連續(xù)性一、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n

元函數(shù)點(diǎn),則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切例1.

設(shè)求證：證:故總有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束要證例2.

設(shè)求證：證：故總有要證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.例3目錄上頁下頁返回結(jié)束二、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù).連續(xù),極限值＝函數(shù)值例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.設(shè)求解法1令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.設(shè)求解法2令即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.是否存在？解：所以極限不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)

第九章定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)有則稱此極限為函數(shù)定義，如果極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)的斜率.在點(diǎn)

處的切線是曲線對(duì)

軸的斜率.是曲線對(duì)

軸在點(diǎn)

處的切線二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁下頁返回結(jié)束在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!由偏導(dǎo)數(shù)得定義容易看出，要求多元函數(shù)關(guān)于某一變量得偏導(dǎo)數(shù)，只需將其余變量看作常數(shù)，對(duì)該變量用一元函數(shù)求偏導(dǎo)得方法即可！機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束先求后代先代后求例2.

設(shè)證:求證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!說明：此例表明機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束整體記號(hào),內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題

設(shè)方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

第九章

二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)(2)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以函數(shù)在點(diǎn)可微.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意到,故有

三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束可知當(dāng)*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(可用于近似計(jì)算;誤差分析)(可用于近似計(jì)算)半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求此圓柱體例4.計(jì)算的近似值.

解:設(shè),則取則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.微分應(yīng)用?近似計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無窮小量;時(shí)是無窮小量.1.選擇題機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:x,y,z

具有輪換對(duì)稱性

答案:

3.

已知第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(diǎn)(0,0)可微.備用題在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

證明函數(shù)所以同理極限不存在,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù);同理,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).2)3)題目目錄上頁下頁返回結(jié)束4)下面證明可微:說明:

此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

第九章一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束有增量△u,△v,(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若定理中說明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則定理結(jié)論不一定成立.推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y

對(duì)x

求導(dǎo),表示固定v

對(duì)x

求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).例4.設(shè)

f

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則(當(dāng)在二、三象限時(shí),)例5.設(shè)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在解:

已知極坐標(biāo)系下的形式,則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.例6.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.已知求解:由兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄