2024年威海市高三二模數(shù)學試卷（含答案）

2024年威海市高考模擬考試

數(shù)學

注意事.qd

1.答卷歷，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用椽皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)11,12,13,16,2Q,22,25,2736的60%分位數(shù)為

A.20B.21C.22D.23.5

2.在研究集合時，用can!(⑷來表示有限集合4中元素的個數(shù).集合〃={1,2,3,4},

N={x|x>聞，若5rd(”nN)=2,則實數(shù)m的取值范圍為

A.[2,3>B,[2,3]C.(2,3)D.(2,+oo)

3.已知雙曲線W-4=lQ>0,6>0)的離心率為上，則該雙曲線的漸近線方程為

ab4

143

A..y=±2xB.y=±-xC.y=±-xD.y=i-x

4.B知正項等比數(shù)列{(}中，q=1,且-%,%,4成等差數(shù)列，則%=

A.1B.3C.4D.6

5.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為尸，斜率為石的直線過點尸，且與C在第

一象限的交點為Z,若|斯|=8,則0=

A.2B/*C.8D.12

6.在正方體4GA中，E,尸分別為棱BC,的中點，若平面。3片與平

面曲的交線為/,貝卜與直線陽所成角的大小為

c兀

A.-BgC，4D.-

62

7.已知向量Q,b滿足|4|=1,|5|=2,且對V4wR，|b+M|2|b-a|，則a.b=

A?—2B.-lC.1D.2

8.設。=工，Z>=lnl.21,c=10sinJ-,則

10100

K.a>b>cB,b>a>cC.Oflxb

高三數(shù)學第1頁(共4頁)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.下列命題為貢?命題的嵬

A<l+i)2是純虛數(shù)

B.對任意的復數(shù)z,?Hz|2

C.M任意的復數(shù)z,(z-D(E-l)為實數(shù)

八cosa+isina,.0、....小

D.麗+isiM=c°s(a")+】sm(a")

10.已知函數(shù)/(x)=sin(4+5),則

AJ(x)在(0,1)上單調速減

B.將y=/(x)圖象上的所有點向左平移上個單位長度后得到的曲線關于y軸對稱

C.在(-1,2)上有兩個零點

29241

D.Z/(0=*

/?0，

11.數(shù)學家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓4+4=1(<7>/>>0)任意兩條互

ab

相垂直的切線的交點都在以原點。為圓心，庇萬為半徑的圓匕這個圓被稱為該

工2v2

橢圓的象日圓.已知橢圓。:*+與=1(0<8<3)可以與邊長為2訪的t正方形的四條

9b

邊均相切，它的左、右頂點分別為4,B,則

A.b=\f3

B.若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形面積的最大值為12

C.橢圓。的蒙日圓上存在兩個點〃滿足|協(xié)|=石|地|

D.若橢圓C的切線與C的蒙日圓交于E,尸兩點，且直線OE,。尸的斜率都存在，

記為占，七,則尢必為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(F-x)7的展開式中產的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.在△N8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=4,

cosC=-g.則sin/=______.

6

14.已知圓錐的.頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側面積最大時，.它的

體積為.

高三數(shù)學第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(13分)

市場供應的某種商品中，甲廠產品占60%,乙廠產品占40%,甲廠產品達到優(yōu)秀等

級的概率為90%,乙廠產品達到優(yōu)秀等級的概率為65%.現(xiàn)有某質檢部門對該商品進行質

量檢測.

(1)若質檢部門在該市場中隨機抽取1件該商品進行檢測，求抽到的產品達到優(yōu)秀

等級的概率：

(2)若質檢部41在該市場中隨機抽取4件該商品進行檢測，設抽到的產品中能達到

優(yōu)秀等級的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.

16.(15分)

如圖,在四棱錐P-慫CD中，平面尸4D1平面抽CD,ZWD為等邊E角形,

RDLAB,AD//BC,4D=4,AB=BC=2,M為總的中點.

(1)證明：0M_L平面癡：

(2)求直線PR與平面MCD所成角的正弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=lnxror+l.

(1)求/(*)的極值；

(2)證明：Inx+x+lWxet

高三數(shù)學第3頁(共4頁)

18.(17分)

在近角坐標系xOy中，已知曲線C:y=ax1+c過點(0,-J),且與x軸的兩個交點*/,

B,|^|=4.

(1)求C的方程：

(2)已知直線/與C'相切.

(i)若/與直線y=-l的交點為證明：/?1加1

3)若/與過原點。的直線相交于點P,且/與直線0P所成角的大小為45。，求點尸

的軌跡方程.

19.(17分)

設xeR,y是不超過”的凝大整數(shù)，且記y=[x],當*21時，[幻的位數(shù)記為/夕)

例如：/(1.6)=1，/(爭=2,/(996.2)=3.

(1)當10iWx<10"0?eN+)時，記由函數(shù)>=/(*)的圖象，直線>=102，"=10"以

及x軸圍成的平面圖形的面積為勺，求可，%及4+%+…+勺；

(2)是否存在正數(shù)"，對VxeW，*o),f(3x)>f(2x),若存在，請確定一個M的

值，若不存在，請說明理由；

I2H

(3)當xNl,"GN+時,證明:/(x)+/(10^)+/(10"x)+-+/(10"x)=fO.QHx")-l.

高三數(shù)學第4頁(共4頁)

2024年威海市高考模擬考試

數(shù)學參考答案

P(4)=60%,P(42)=40%，尸(用4)=90%，P(用4)=65%.

4

從而有P(B)=P(At)P(B|4)+P(A2)P(B\A2)=60%x90%+40%x65%=y.---------------4分

(2)由(1)知，質檢部門在該市場中隨機抽取1件該商品達到優(yōu)秀等級的概率為名,

可得X~8(4,40.則X的取值范圍是{0,1,2,3,4},----------------------------------5分

414416

P(%=0)=C：x(l--)4=—,P(y=l)=C>-x(l--)3=—,

30233JbZj

尸(X=2)=C：x(32x(l-32=黑,P(%=3)=C：X4)3X(1-1)=|||,

5562555625

P(X=4)=C：x($4=|||，

3OZJ

從而X的分布列為

X01234

11696256256

r

625625625625625

-----------------------------------------------------------------------------11分

416

E(Jf)=4x-=y.------------------------------------------------------------13分

高三數(shù)學答案第1頁（共6頁）

16.(15分)

(1)證明：取/。的中點。，連接產。，

因為△"￡>為等邊三角形，所以PO_L4。，-------------------------------------1分

因為平面PAD±平面ABCD,

平面平面488=/。，POu平面產為D,

所以PO1平面Z8CD,所以----------------------------------------2分

因為PDC\PO=P,

所以48J■平面PN。，---------------------------------------------------------3分

因為OMu平面尸”。，所以力-----------------------------------------4分

Z▲

因為△F4D為等邊三角形，〃為力的中點，!

所以DMLP4,5分

因為/8|"|尸彳="，

所以OA/_L平面PX8.7分

(2)解：連接C。，

因為4￡>〃8C,AD=2BC,

所以4?！?c且/。=8。，

所以四邊形48C。為平行四邊形，所以48〃OC,

所以OC_L平面尸4D,8分

以。為坐標原點，OC,OD,而的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，-----------------------------------------------9分

則C(2,0,0),。(0,2,0),P(0,0,2君)，5(2,-2,0),A/(0,一。我,------10分

所以方=(2,-2,-2萬)，麗=(-2,-1，5,麗=(-2,2,0),------------11分

設平面MCD的一個法向量為〃=(x,y,z),

m」CA/,〃=0\-2x-y+yfiz=Q

CD?〃=0[-2x+2y=0

令X=l,則”=(1,1,6),-----------------------------------------------13分

設直線PB與平面MCD所成角為。，

n~DDPB-n|

則milsi,n0=dcos<PB,n>I=-I=：----=\,-27—=2~—尸6二.—3,

|P5|.|?|師65

所以直線PB與平面A/C。所成角的正弦值為士.-----------------------------------15分

5

高三數(shù)學答案第2頁(共6頁)

17.（15分）

解：(1)由題意知/(x)的定義域為(0,+8),r(x)=；_a=l^,------------------2分

當aWO時,/(x)>0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上單調遞增，無極值;------------4分

當a>0時，令/1'a)>0,解得0<x<L令，(x)<0,解得x>,，

aa

所以/(X)在(0」)上單調遞增，在(L+8)上單調遞減，

aa

所以/(x)的極大值為/(1)=ln1,無極小值.--------------------------------------6分

綜上，當a這。時，/(x)無極值；當a>0時，“X)的極大值為In,，無極小值.-------7分

a

(2)［法1］證明：4fcg(x)=j;ev-lnx-x-l(x>0),

1丫+］

則g，(x)=(x+l)e、——1=-(xer-l),-------------------------------------------8分

令〃(x)=xe*—l(x>0),則l(x)=(x+1)/>0,

所以力(X)在(0,+8)上單調遞增,

又因為〃(0)=-1<0,/j(l)=e-l>o,---------------------------------------------9分

所以％(x)存在唯一的零點x°e(0,l),使得。(xo)=x°eW-1=0,----------------------10分

當xe(O,Xo)時，h(x)<Q?則g'(x)<0：當xw(Xo，+8)時,A(x)>0)則g，(x)>0,

所以g(x)在(O,Xo)上單調遞減，在(丸,+8)上單調遞增，-------------------------12分

所以g(x)Ng(Xo)=XoeM-lnxo-々-1,------------------------------------------13分

由=兩邊取對數(shù)得lnxo+x°=O,--------------------------------------14分

故g(x())=O,所以xe*-Inx-x-120，即lnx+x+1Wxe」成立.----------------------15分

【法2】證明：要證明lnx+x+1Wxe*,

只需證明lnxe*Wxe、-l,

1=xex(t>0),即證明InfWt-l,---------------------------------------------10分

即證明ln/T+lW0,即當a=l時,，/(/)<0.-------------------------------------12分

由第(1)問知，當a=l時，/(。//。)=0,

所以lnx+x+1Wxe,成立.------------------------------------------------------15分

高三數(shù)學答案第3頁(共6頁)

18.(17分)

解：(1)因為曲線C:y=ax2+c過點(0,-1),所以c=-l,----------------------------1分

由or?—1=0,可得x=±-]=,因為|/8|=4,

21所以C的方程為尸;》2_1

所以—^=4,解得。=了，---------------------------------4分

84

(2)(i)設直線/與曲線c相切的切點為,因為y=Jx,所以片=%，

422

2

則/的方程為y-g+l=?(x-〃7),

2

Bnmmt，八

BPy="~2x——i，------------------------------------------------------------------6分

所以〃(3,一1),---------------------------------------------------------------------7分

..2一

由題息知加。0,所以々0“=一百，可得k°M?仁=-1,所以-------------------9分

(ii)設尸的坐標為(xj),則而=(x,y),因為/與直線。尸所成角的大小為45。,

且/的一個方向向量為v=(l,g),所以cos45°=粵出，

2\OP\\v\

x+?五

可得|--------2==1=^,-------------------------------------------------------10分

歷7代

整理得(4一陽2)X2+8〃7號+(〃/一4)'2=。,----------------------------------------11分

BP[(2-ni)x+(m+2)y][(2+ni)x+(w-2)y]=0,

所以(2一加)x+(〃？+2)y=0或(2+m)x+(〃i-2)y=0,-----------------------------------12分

當(2-加)x+(m+2)y=0時，加="+2',

x-y

因為y=gx_；〃?2,所以y=』+)-乂工―(」+與2-1,

24x-yx-y

323222

x+xy-y-xy=2(x+y)9

BPx(x2+y2)-y(y2+x2)=2(x2+y2),因為，+/6。，所以x-y=2,-----------------]4分

當(2+m)x+(加一2)y=0時，m=2；+j,因為y=,

同理可得x+y=-2,---------------------------------------------------------------16分

所以點尸的軌跡方程為x-y=2或x+y=-2(|x|=|y+2|).---------------------------17分

高三數(shù)學答案第4頁(共6頁)

19.(17分)

解：(1)若〃=1,則lWx<10,可得/(x)=l,所以6=007)x1=9,-----------------------1分

若睚=2,則10Wx<l()2,可得/。)=2,所以的=(100-10)x2=180...............................2分

當lO'TExvlO"時，可得/"(x)=〃，所以勺=(10"-10"-“”=9〃/(/1,-----------------------3分

設方=4]+%++%，

則7；=9+18x10+27x102……+9(〃-1).10"-2+9〃,1()心，

上式xlO得107；=9x10+18x102+27x1()3……+9(/?-1)10^+9?10",

兩式相減得一97；=9+9x10+9x1()2+9x103??…-+9-10^-9n-10",

整理得看=〃40”-(1+10+102+1()3……+io"T),

所以北一罌--------------------------------------------5分

(2)由題意知，若x滿足3"210x2"則/(3、)>/(2，)一定成立，------------------6分

所以lg3*21g(10x2,),即xlg321+xlg2,

解得所以〃取["FF，+8)中任何值皆可.-------------------------9分

lg3Tg2Ig3-lg2

(3)設㈤的位數(shù)為m,則10M-Yx<10"',可得,

所以=即m=[lgx]+l,所以/(x)=[lgx]+l,----------------------------------------11分

|2生

所以左邊=/(x)+/(10"x)+/(10^)+……+/(10~x),

￡2n4_

=([lgx]+l)+([lglO?x]+l)+([lglO?x]+l)+---+([lglO-x]+l),

[o1

=([lgx]+l)+([-+lgx]+1)+([—+lgx]+l)+???+([―—Flgx]+l)9

設lgx=[lgx]+a,且一定存在正整數(shù)％,

使a€[H±)([O,-)U[-,-)U-U[—,l)=[0,1))>------------