2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合（解析版）

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

【教師備選資源】

新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握

1.?？键c：集合.

常與一元二次不等式交匯命題，主要考查一元

二次不等式的解法及集合的交、并、補運算.

2.輪考點：常用邏輯用語、不等式的性質(zhì)、

考點

基本不等式.

基本不等式1112

不等式的性質(zhì)與解法11(1)充分、必要條件的判斷常與數(shù)列、平面向量

全稱量詞、存在量詞

等知識交匯命題，注重對基本概念、基本性質(zhì)

充要條件17

集合I1D2I1D1I1D2的考查；

202120222023年格

⑵全稱量詞與存在量詞命題?？疾槠浞穸ㄐ?/p>

式的識別；

(3)不等式的性質(zhì)主要是數(shù)(式)的大小比較；

(4)基本不等式主要體現(xiàn)在求代數(shù)式的最值.

第1課時集合

［考試要求］1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的

屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會求兩個集合的并集、交集與補

集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn

圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算.

［鏈接教材?夯基固本］落實主干?激活技能

C梳理?必備知識

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于和不屬于，分別用符號至和生表示.

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法和圖示法.

(4)五個特定的數(shù)集的表示

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

記法NN*(或N+)ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對于兩個集合4B,如果集合Z中任意一個元素都是集合5

中的元素，就稱集合N為集合5的子集，記作ZU8或(824).

(2)真子集：如果集合但存在元素且x生4就稱集合Z是集合8的

真子集，記作/8或(5胡).

(3)相等：若ZG8,且匹W，則Z=A

提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

(2)若集合Z有〃(〃21)個元素，則集合Z有2"個子集，有2"—1個真子集，有

2”—2個非空真子集.

3.集合的基本運算

并集交集補集

圖形

u0

表示AUBCAQOBCM

集合A^B=,或AC\B=,且CuA=^x\x^U,ILx

表示生出

［常用結(jié)論］

1.4CB=4=4￡B,AUB=A<^BQA.

2.card(ZU8)=card(/4)+card(/，)一card(/4QB).

3.(C必)n(c毋)約；(C必)u(c蘇)=仁乩10㈤.

C激活?基本技能

一、易錯易混辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)集合{%?1^,3=X},用列舉法表示為{—1,0,1}.()

(2){x［y=x2}={y\y=x2］={(x,j)［y=x2).()

⑶若1G{/,x},則x=—1或x=l.()

(4)直線y=x+3與了=—2x+6的交點組成的集合是{1,4}.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二、教材經(jīng)典衍生

1.(人教A版必修第一冊P8例1改編)集合/={2,3,4}的子集有()

A.4個B.6個C.8個D.9個

C[A=[2,3,4}的子集個數(shù)為23=8,故選C.]

2.(多選)(人教A版必修第一冊P5習(xí)題改編)若集合/={x.2—1=0},則

下列結(jié)論正確的是()

A.1EAB.{—1曰

C.0QAD.{-1,1}第Z

[答案]ABC

3.(人教A版必修第一冊P35T9改編)(2023?新高考H卷)設(shè)集合/={0,-?),B

={1,a-2,2a—2},若ZG8,則a=()

A.2B.1

2

C.-D.-1

3

B[依題意，有a—2=0或2a—2=0,當a—2=0時，解得。=2,此時Z={0,

-2},B={1,0,2},不滿足ZG8;當2a—2=0時，解得a=l,此時Z={0,

-1},B={-1,0,1},滿足NCR所以a=l,故選B.]

4.(人教A版必修第一冊Pi4T4改編)設(shè)全集為R,集合Z={x|3WxV9},B={x|(x

-2)(x-10)<0},則CR(NU5)=,(Cm)08=.

{x|xW2或x210}{x|2Vx<3或9Wx<10}[由題意，集合Z={x|3Wx<9},8

={x|2<x<10},

可得ZU8={x|2VxV10},所以CR(ZU8)={X|XW2或xN10},

又由CRN={x|x<3或xN9},所以(CR/)D5={x[2Vx<3或9WxV10}.]

[典例精研?核心考點]重難解惑?直擊高考

考點一集合的概念

[典例1](1)已知集合2={1,2,3},則3={(x,y)\x^A,,一川?2}中

所含元素的個數(shù)為()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知集合2={機+2,2m2+m],若3?Z,則機的值為.

(1)C(2)-1[(1)因為幺={1,2,3},

所以8={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},即8中含6個元素.故

選C.

(2)由題意得m+2=3或2m2+m=3,

則m=\或m=--.

當m=l時，加+2=3且2加2+加=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；

21a

當掰=—5時，掰+2=于而2掰2+加=3,符合題意，故機=--.]

【教師備選資源】

非空有限數(shù)集S滿足：若a,b《S,則必有°2,〃，ab^S,則滿足條件且含有

兩個元素的數(shù)集5=.(寫出一個即可)

{0,1}(或{-1,1})[由題意，不妨設(shè)S={a,b},根據(jù)題意有序,ab,b2^S,

所以小，ab,按中必有兩個是相等的，

若a2=b2于ab,則a=-b,故ab=一層，又把=a,或屋=/?=一4，

所以a=0(舍去)或a=1或a=—1,此時S={-1,1};

若。2=仍?62,則口=0,此時人2=6,故6=1或6=0(舍去)，此時S={0,1},

若b2=ab*a2,則b=0,此時序=4,故口=1或口=0(舍去)，此時S={0,1},

綜上，S={0,1},或5={-1,1}.]

名師點評解決集合含義問題的注意點

一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿

足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.

[跟進訓(xùn)練]

1.(1)(2023?上海高考)已知集合尸={1,2},Q={2,3},若兇={小￡尸且x莊

Q},則/=()

A.{1}B.{2}

C.{1,2}D.{1,2,3}

(2)已知集合幺={久ez},則集合幺中的元素個數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

(1)A(2)C[(1)VP={1,2},Q={2,3},M={x\x^Px^Q},：.M={1}.故

選A.

(2):?工?Z,.'.x—2的取值有-4,-2,-1,1,2,4,的值分別為一2,0,

x—2

1,3,4,6,

又xGN,故x的值為0,1,3,4,6.

故集合Z中有5個元素.]

考點二集合間的基本關(guān)系

[典例2]⑴(2023?江蘇南京'鹽城一模)設(shè)〃={巾=：,/CGZ),N=

{尤k=k+；,kcz},則()

A.M^NB.NiM

C.M=ND.MCN=0

(2)已知集合/={x|—3WxW4},8={x|27〃一IWXW機+1},且8GN,則實數(shù)機

的取值范圍是.

(1)B(2)[-1,+8)[(1)因為》=k+[=等，因為左GZ,所以2左+1為奇數(shù)，

故2M

故選B.

(2)①當8=0時，2機一1＞機+1,解得機＞2;

2m—iWm+1,

2m一12—3,解得一1WMW2.

{m+1W4,

綜上，實數(shù)加的取值范圍是[—1,+8).]

【教師備選資源】

在本例(2)中，若把改為歷/,則實數(shù)加的取值范圍是.

[―1,+°°)[①當5=0時，2加一1＞加+1,所以加＞2;

2m—IWTM+1,

2m-1^-3,

{771+1＜4,

2m—IWzn+1,

2m—1＞—3,解得一1W加W2.

{m+1W4,

綜上，實數(shù)加的取值范圍是[—1,+8).]

名師點評已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端

點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等直觀表示解

決這類問題的過程，特別注意端點值的取舍，“=”加不加.

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，

否則易造成漏解.

［跟進訓(xùn)練］

2.⑴（2024?廣東肇慶期中）設(shè)集合/={小2—"+15=0},集合5=3"一1=

0）,若則實數(shù)。取值集合的真子集的個數(shù)為（）

A.2B.3

C.7D.8

(2)(2024?福建廈門模擬)設(shè)集合N={x|lWxW3},集合8==1T},若

&CB,寫出一個符合條件的集合C,則。=.(寫出一個即可)

(1)C(2){x|lWxW4}(答案不唯一)[(1)由X2—8X+15=0,得(》一3)(》-5)=0,

解得x=3或x=5,所以/={3,5}.

當a=0時，B=0,滿足8G4

當時，,因為所以或得口=；或.

aWOBkajaB￡aA,-=33-=55,

綜上，實數(shù)a的取值集合為{0,I，1),所以實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為

23—1=7.故選?.

(2)2={x|lWxW3},B={x\x^l},

若4GB,則可有C={x|lWxW4}.]

考點三集合的基本運算

考向1集合的運算

[典例3](1)(2023?新高考3卷)已知集合”={—2,-1,0,1,2},N={x|x2

—x—6N0},則/AN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

⑵全集。={?。?0,xGN*},A￡U,BQU,(C毋)n/={l,9},A^B={3},(C

M)n(CuB)={4,6,7},貝IMU8=.

(1)C(2){1,2,3,5,8,9}[(l)Vx2-x-6^0,：.(x-3)(x+2)^0,..xC3

或xW—2,

N={x|xW—2,或x23},則MAN={—2}.

故選C.

(2)由已知條件可得。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},畫出Venn圖如圖所示.

由圖可得ZU8={1,2,3,5,8,9}.]

考向2利用集合的運算求參數(shù)

[典例4]已知集合/=任片—4W0},8={x|2x+aW0},若ZU5=5,則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.(—8,—2]

C.(-4,+8)D.(—8,-4]

D[集合N={x|-2WxW2},8=—胃，由ZU8=8可得作出數(shù)軸

圖

如

可知一彳三2,即aW—4.]

名師點評解決集合運算問題的注意點

(1)看元素構(gòu)成，集合中元素是數(shù)還是有序數(shù)對，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值.

(2)對集合進行化簡，即解不等式，解方程，求定義域、值域等，通過化簡可以

使問題變得簡單明了.

(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，集合運算常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸和Venn圖.

(4)端點值驗證.

[跟進訓(xùn)練]

3.(1)(2023?全國乙卷)設(shè)集合U=R,集合〃={x|x<l},N={x[—l<x<2},則

{x|xN2}=()

A.C"MUN)B.NUCuM

C.C&MCN)D.MUCuN

(2)(2024年1月九省聯(lián)考卷)已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3|W機},

若/nB=z,則加的最小值為.

(1)A(2)5[(1)由題意，MUN={x\x<2},又。=R,所以Cu(MUN)={x\x^2],

故選A.

(2)由4n5=4,則4旦,

由,_3|W加，得一加+3WxW加+3,

+3,77121,

故有即即加25,

—22—m+3,.77125,

即加的最小值為5.]

口考點四Venn圖的應(yīng)用及創(chuàng)新性問題

[典例5](1)如圖所示，A,5是非空集合，定義集合Z十5為陰影部分表示的集

合.若x,y?R，N={x|0WxW2},B={y\y=3x,x>0},則2必8=.

(2)某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩

個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時參加

數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)

和化學(xué)小組的有人.

(1)[0,1]U(2,+°0)(2)8[(1)由題可知8=(1,+8),所以205=(1,2].

由題意得幺十8=C4(Zn8)UCB(NC8)=[0,1]U(2,+?=).

(2)設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人構(gòu)成的集合分別為2,B,C,同時參加數(shù)

學(xué)和化學(xué)小組的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖.

由全班共36名同學(xué)可得(26—6—/+6+(15—4—6)+4+(13—4一%)+》=36,解

得x=8,即同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.]

名師點評Venn圖具有形象直觀的特征，應(yīng)用Venn圖可以解決兩大類問題：一

是處理部分有限集合的元素個數(shù)的計數(shù)問題；二是解決抽象集合的運算問題或判

斷集合間的關(guān)系問題.

[跟進訓(xùn)練]

4.(1)已知集合P,0均為R的子集，且(CRQ)UP=R,則()

A.尸n0=RB.PQQ

C.QQPD.尸UQ=R

(2)某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀《西游記》和《紅樓夢》的情況，隨機調(diào)查了100

位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓

夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60

位，則閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為()

(1)C(2)B[(1)如圖所示，集合尸，。均為R的子集，且滿足(CR0)UP=R,

所以QQP.

所以閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為10+60=70.

故選B.]

課時分層作業(yè)(一)集合

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項選擇題

1.(2023?北京高考)已知集合M={x|x+220},N={x|x—l<0}MJ/nN=()

A.{x|—2Wx<l}B.{x[—2<xWl}

C.{x\x^-2}D.{x|x<l}

A[由題意，M={x\x^-2},N={x|x<l},

所以MnN={x|—2Wx<l}.故選A.]

2.已知全集。=2集合幺={xG52WxW10},8={x|x為素數(shù)},則ZACuB

=（）

A.{4,6,8,10}B.{4,5,6,8,9}

C.{2,4,6,8,10}D.{4,6,8,9,10}

D[由zncuB,即為2WxW10,XGN中不是素數(shù)的數(shù)組成的集合，

則zncuB={4,6,8,9,10}.故選D.]

3.（2024?廣州模擬）設(shè)集合川={小2—2x—3<0,x@Z},則集合M的真子集個

數(shù)為（）

A.8B.7

C.4D.3

B[集合Af={x|N-2x—3<0,xGZ}={x|（x—3）（x+1）<0,xGZ}={0,1,2},

則集合〃中元素個數(shù)為3,

故集合"的真子集個數(shù)為23—1=7.

故選B.]

4.（2024?山東濱州模擬）已知集合/={1,2},5={x|mx-2=0},若BQA,則

實數(shù)機=（）

A.2B.1

C.1或2D.0或1或2

D[因為幺={1,2},B={x\mx-2=0},

若B=,則8=0或8={1}或8={2},

當B=0時，m=0,

當8={1}時，m=2,

當8={2}時，機=1.故選D.]

5.（2023?山東威海二模）已知全集t/={x|0<x<5},集合/滿足C必={x|l<x<3},

則（）

A.1生ZB.2Gz

C.3^AD.4GZ

D[因為U={x[0<x<5},且CuA={x\i<x<3},

所以N={x|O<xWl或3Wx<5},所以1GZ,2^A,3G44G4故選D.]

6.(2023?山東濟寧三模)若集合/={(x,y)|x+y=4,x?N,jEN},B={(x,

y)\y>x},則集合ZAB中的元素個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

C[因為因={(羽y)\x+y=4,CN,yWN}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),

(4,0)},又8={(x,y)\y>x],所以208={(0,4),(1,3)},即集合ZAB中含

有2個元素.故選C.]

7.(2024?湖北十堰模擬)若集合幺={刈；=返}，B={y\y=2x,x^A},則()

A.A^B=0B.ZU8=R

C.B^AD.AQB

C[因為2={%b=a}=[0,+°°),B={y\y=2x,x^A}=[l,+°°),所以8c4

故選C.]

8.(2023?湖北華中師大附中一模)滿足等式{0,1}UX={久Gq好=行的集合x

共有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

D[因為{%eR|%3=燈={0,1,-1),所以{0,1}UX={O,1,-1),所以符

合該等式的集合萬為萬={-1},x={-1,1},X={0,-1},X={Q,1,-1),

故這樣的集合X共有4個.故選D.]

二、多項選擇題

9.已知非空集合/滿足：①旌{—2,-1,1,2,3,4},②若則

則集合〃可能是()

A.{-1,1}B.{—1,1,2,4}

C.{1}D.{1,-2,2}

AC[由題意可知3生/且40/,而一2或2與4同時出現(xiàn)，所以一2生河且2千

M,

所以滿足條件的非空集合/有{-1,1},{1}.]

10.(2023?山東濰坊一模)若非空集合N,尸滿足：MCN=N,MUP=P,

貝U()

A.PQMB.MCP=M

C.NUP=PD.MACPN=0

BC[由/AN=N可得NGM,由MUP=P,可得MNP,則推不出尸GM,故選

項A錯誤；

由MEP可得MCP=M,故選項B正確；

因為NJM且MNP,所以NJP,則NUP=P,故選項C正確；

由NGM可得/ACPN不一定為空集，故選項D錯誤.故選BC.]

三、填空題

11.已知集合幺={1,3,m2},B={Lm}.若/U5=N,則實數(shù)機=.

0或3[因為ZU8=N,所以5G4

因為N={1,3,m2},B={1,m},所以加2=m或加=3,解得掰=0或機=1或

掰=3.

當機=0時，A=[1,3,0},B={1,0},符合題意；

當機=1時，集合2,集合8均不滿足集合元素的互異性，不符合題意；

當加=3時，A={1,3,9},B={1,3},符合題意.

綜上，m=0或3.]

12.某小學(xué)對小學(xué)生的課外活動進行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動

的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種

課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任

何一種課外活動的有15人.則接受調(diào)查的小學(xué)生共有人.

120[如圖所示，用Venn圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、

體育課外活動的小學(xué)生分別用集合Z,B,C表示，貝Icard(Z)=63,card(8)=89,

card(C)=47,card(ZCBPlC)=24,

不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為〃，Venn圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為x,y,z,即card(ZC8)=

24+x,card(NCC)=y+24,card(8CC)=z+24,x+v+z=46,由Venn圖可知,

〃—15=card(4)+card(5)+card(C)—card(4Pl5)—card(4PlQ—card(5ClC)+

card(^n5n0=63+89+47-(24+x)-(24+y)-(24+z)+24,解得〃=120.]