數(shù)學（全國卷文科2）-2024年高考押題預測卷

絕密★啟用前

2024年高考押題預測卷【全國卷02】

文科數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合/={x|/-x-220},3={x|>=山},貝l]（dN）cB=（）

A.Ix|0<x<l|B.{x[0<x<2}

C.{x|-l<x<2}D.{x|x>2}

2.已知復數(shù)z滿足z（2-i）-i=2（i為虛數(shù)單位），貝心的虛部為（）

444.4

A.—B.—C.—iD.—i

5555

x-y-2<0

3.若實數(shù)%,歹滿足約束條件3x+y-220,貝州=2%+3歹的最小值為（）

x-2y>0

--2B..-1D.1

sin（a+￡）1,、

4.已知畫屋西=2,3行”二，則如（&+￡）=（）

A

-1B-1

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）

6.某校為了解在校學生對中國傳統(tǒng)文化的傳承認知情況，隨機抽取了100名學生進行中國傳統(tǒng)文化知識考

試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖(分成［40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組),下列結(jié)論中不正確的是()

A.圖中的a=0.012

B.若從成績在［70,80),［80,90),［90.100］內(nèi)的學生中采用分層抽樣抽取10名學生，則成績在［80.90)

內(nèi)的有3人

C.這100名學生成績的中位數(shù)約為65

D.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則這100名學生的平均成績約為68.2

3

(

苜…黑ig］，人則

7.若a)

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

8.己知函數(shù)滿足/(x+3)=l-/(l-x),且函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，若/⑴=1,則

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2024)=()

A.0B.1012C.2024D.3036

9.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建

筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖1,它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐

P-ABCD,其中底面邊長和攢尖高的比值為:，若點E是棱尸D的中點，則異面直線PB與CE所成角的正

切值為()

10.已知點尸為直線4："成一2y-"i+6=0與直線"：2x+”?y-/w-6=0("?eR)的交點，點。為圓

C:(x+3)2+(y+3)2=8上的動點，貝力尸。|的取值范圍為()

A.[2近,8近]B.(2近,80]C.[0,60]D.(V2,65/2]

11.設(shè)等比數(shù)列｛%｝中，％，%使函數(shù)/(x)=x3+3%x2+%x+a；在x=—l時取得極值0,則對的值是()

A.±6或±3夜B.6或3ybC.±30D.3y/2

12.已知拋物線C：V=2"(0>0)的準線方程為X=-1,4-1,0),P,。為C上兩點，且

7P=A^(2>1),則下列選項錯誤的是()

A.OPOQ=5B.而.而>8

C.若;1=2,則戶@=孚D.若5Ape0=4在，貝|J|P0=166

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)/(x)=4e'-r(O)x+2(/'(x)是/(x)的導函數(shù))，則曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

為.

2

14.已知P是雙曲線Cd:二-v二=〃；1>0)上任意一點，若尸到C的兩條漸近線的距離之積為22，則。上的

843

點到焦點距離的最小值為________.

15.已知長方體488-4與G"中，側(cè)面BCG用的面積為2,若在棱3上存在一點“，使得AMBC為等

邊三角形，則四棱錐M-3CG用外接球表面積的最小值為_______.

ci^s

16.若"BC的內(nèi)角4B.C的對邊分別為a,6,c,tanB=—1.一,a=gc，點D在邊BC上,/。=6且

cosC+smC

)_/T

△405的面積為土山，貝1]8=.

2

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.陜西省從2022年秋季啟動新高考，新高考'3+1+2”模式中“3”為全國統(tǒng)一高考科目的語文、數(shù)學、外語,

"1”為首選科目.要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學、

生物學4門科目中確定2門，共計產(chǎn)生12種組合.某班有學生50名，在選科時，首選科目選歷史和物理

的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

歷史物理合計

男生12425

女生91625

合計104050

附：翳蒜西'其中〃=a+Hc+d

a0.1000.0500.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關(guān);

(2)從選擇物理類的40名學生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學成立學習小組，該小組設(shè)正、副組長各一

名，求正、副組長中至少有一名女同學的概率.

18.設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為“，記S”是數(shù)列｛%｝的前"項和，若昆=%+20,、5=。2。3。8.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式：

(2)若d>0,4=*」(〃eN)數(shù)列｛%｝的前〃項和為《，求證：？；<〃+:.

an-4+12

19.如圖，四棱錐S-/BCD中，底面488為菱形，ZZMB=g,側(cè)面ASCD是邊長為4的正三角形,

SA=2歷.

(1)證明：平面SC。_L平面48cD；

(2)求點A到平面SBC的距離.

2”2.

20.已知橢圓C的方程v］+方=l(a>6>0),右焦點為9(1,0),且離心率為去

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)48是橢圓C的左、右頂點，過尸的直線/交C于DE兩點(其中。點在x軸上方)，求ADB尸與

的面積之比的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(x)=lnx+x2_2otMeR,

。)當。>0時，討論〃x)的單調(diào)性：

(2)若函數(shù)/(%)有兩個極值點再用?<x2),求2〃芭)-〃X2)的最小值.

(-)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

22.已知在平面直角坐標系xQv中，以坐標原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線G

x=m+y/3cosa

(a為參

!y=>Jr3sina

數(shù))，點A的極坐標為且點A在曲線孰上.

(1)求曲線G的普通方程以及曲線G的極坐標方程;

(2)已知直線八%-弧，=0與曲線G，G分別交于尸，。兩點，其中尸，。異于原點。，求A4P。的面積.

選修4-5：不等式選講

23.己知函數(shù)〃燈=國+卜-2|+|x-a].

(1)當。=2時，求不等式/(x)414的解集;

⑵若/(x)4+8兇+16恒成立,求。的取值范圍.

2024年高考押題預測卷【全國卷02】

文科數(shù)學?全解全析

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合4={%1%2一%一22()},5=何y=lnx},則(a4)c5=()

A.{x|0<x<l}B.{x[0<x<2}

C.{x|-l<x<2|

【答案】B

【詳解】因為”/7_220}={#22或1},

則包/=1x|-l<x<21,又5={x|>=lux}=|x|x>0},

所以（自力）c5={x|0<x<2}.

故選：B

2.已知復數(shù)z滿足z（2-i）-i=2（i為虛數(shù)單位），貝！Jz的虛部為（）

444.

A.—B.—C.-1D.

555

【答案】A

4

故虛部為］，

故選：A

x-y-2<0

3.若實數(shù)%,歹滿足約束條件3x+y—220,貝"=2、+3〉的最小值為()

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

x-y-2<0

【詳解】由約束條件3%+歹-2>0作出可行域如圖,

x-2y>0

4x

2r

~3

3x+y-2=0

3x+y-2=0X—1/\

聯(lián)立，n，解得,=則

x-y-2=0

一21

化目標函數(shù)z=2x+3y為y=_§1+了.

21

由圖可知，當直線歹=-過A時，直線在歹軸上的截距最小,

則z有最小值為2X1+3X(-1)=-1.

故選：C.

sin(a+￡)

爾已知sin(a—,)2,cosasm/3=—,則sin(a+P)=()

6

_2

AD.

-IB.1c?~3

【答案】B

sin(a+B]

【詳解】由----------=2,可得sin(za+/?)=2sin(za—/7)n3cosasin0-sinacos0,

sin(6Z-/7)

因為cosasin/?=’,所以sinacos4=L,

62

[12

所以sin(a+/)=sinacos0+cossin/?=—+—=—

263

故選：B.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）

5=0,^=1

k=k^-2

100101

c.—D.

101102

【答案】c

222

【詳解】當S=o,左=1時,進入第一次循環(huán),得S=有，左=3；進入第二次循環(huán),得6=有+而，左=5；

222222

進入第三次循環(huán),得s=而+藪7,后=7；L，S-----+------+------+…+二99；

1x33x55x7

22222

S=--------1----------1-----------1------1---------------1--------------，左二101,此時因左=101>100,退出循環(huán)，輸出

1x33x55x797x9999x101

222

S=---+----+----+…+-------------1--------------

x33x55x97x9999x101

而s=2+2+^_+...+_?_+—?—=i-111111111_]__1_100

—?----------1------------F???4---------------1--------

1x33x55x797x9999x10133557979999101101101

故選：C.

6.某校為了解在校學生對中國傳統(tǒng)文化的傳承認知情況，隨機抽取了100名學生進行中國傳統(tǒng)文化知識考

試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖（分成[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組）,下列結(jié)論中不正確的是（）

頻率

A.圖中的。=0.012

B.若從成績在［70,80),［80,90),［90,100］內(nèi)的學生中采用分層抽樣抽取10名學生，則成績在［80,90)

內(nèi)的有3人

C.這100名學生成績的中位數(shù)約為65

D.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則這100名學生的平均成績約為68.2

【答案】C

【詳解】由(0.008x2+4+0.02x2+0.032)x10=1,得a=0.012,所以A正確；

這100名學生中成績在［70,80),［80,90),［90,100］內(nèi)的頻率分別為0.2,0.12,0.08,所以采用分層抽樣抽

012

取的10名學生中成績在［80,90)內(nèi)的有10x下了=3人，故B正確；

根據(jù)頻率分布直方圖，可知這100名學生成績的中位數(shù)在(60,70)之間，設(shè)中位數(shù)為X,則

(.r-60)x0.032=0.22,所以x=66.875,故C錯誤;

根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得

x=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2,D正確.

故選：C

7?若〃)=hl四2c=1047我，則()

2024

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【詳解】因為C=log27強==log32>=log36='>0,

336

因為*可知C>"0,

2023

又因為b=ln------<lnl=0,所以

2024

故選：D

8.已知函數(shù)/(x)滿足/(x+3)=l-—且函數(shù)〃x+l)為偶函數(shù)，若/(1)=1,則

/(1)+/(2)+/(3)+...+/(2024)=()

A.0B.1012C.2024D.3036

【答案】B

【詳解】由題意函數(shù)/(X+1)為偶函數(shù)，所以/(X+l)=/(-X+l),/(x)的圖象關(guān)于直線X=1對稱,

所以〃x+3)=l-/(l—x)=l-/(l+x)=l-[1—〃3r)]=/(3-x)=〃x-l),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,在/(x+3)=l-/(lr)中，分別令”0和1,

得/⑴+/(3)=1,/(0)+/(4)=1,即〃2)+/(4)=1,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=2,

所以/。)+/(2)+1,+7(2024)=506x2=1012.

故選：B.

9.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建

筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖1,它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐

P-ABCD,其中底面邊長和攢尖高的比值為:，若點E是棱尸D的中點，則異面直線PB與CE所成角的正

切值為()

【詳解】解：如圖，連接即，設(shè)O為期的中點,OE//BP,

???異面直線與CE所成角為NOEC或其補角.

連接OC,OP.

所以，在正四棱錐尸一4BCD中，。尸，OCBOLOC,OPcBD=O,

：.OC±平面PBD,

:.OC1OE,設(shè)AB=aQP=h,則由題意得@=[,。=0。=也。，

h22

故選：c.

10.已知點尸為直線仁"底一2y-"i+6=o與直線，2：2X+”?J，-加-6=0(〃?eR)的交點，點。為圓

C:(X+3)2+CV+3)2=8上的動點，貝小尸的取值范圍為()

A.[20.80]B.(20.80]C.[y/2,6y/2]D.(0,60]

【答案】A

【詳解】因為點尸為直線4：小-2y—冽+6=0與直線，2：2x+叼一加一6=0的交點,

所以由2加+(-2)m=0可得/]，/2,且4過定點(L3),4過定點(3/)，

所以點尸的軌跡是以點。，3)與點(3,1)為直徑端點的圓，圓心為(2,2),半徑〃="亙出二更=0.

2

而圓C:(x+3)2+(y+3)2=8的圓心為(-3,-3),半徑為尺=2五.

所以兩個圓心的距離d=J(2+3y+(2+3)2=5痣,且d>r+R,所以兩圓相離，

所以1尸。1的最大值為：d+r+R=8近,1尸。1的最小值為：d—r-R=2夜，

所以1尸。1的取值范圍是[2近,8立].

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，根據(jù)直線/】12垂直以及過定點得到點尸的軌跡是圓，從而得解.

11.設(shè)等比數(shù)列｛&｝中，/，%使函數(shù)/（》）=》3+3%-+%*+片在X=-l時取得極值0,則%的值是（）

A.±6或±3&B.6或班C.±30D.3c

【答案】D

2

【詳解】由題意知：f'(x)=3x+6a}x+a1,

?Mx)在一處取得極值一梳＜3.6；+二0'

解得：尸;或卜；

,7=3匕7=9

當。3=1,%=3時，/'(X)=3X2+6X+3=3(X+1)2N0,

\/k)在R上單調(diào)遞增，不合題意；

當。3=2,%=9時，/,(x)=3x2+12x+9=3(x+l)(.r+3),

.,.當xe（-oo,-3）U（-L+<?）時，/?>0：當xe（-3,-l）時，/'（x）<0：

\/卜）在（f,-3）,（-1,+<?）上單調(diào)遞增，在（-3,-1）上單調(diào)遞減，

??.x=-l是/（X）的極小值點，滿足題意；

*'"a；==18,乂%,J%，。7同號，。5=3.

故選：D.

12.己知拋物線。：/=2"5>0）的準線方程為--1,4（-1,0）,P,。為C上兩點，且

AP=AAQ（A>1）,則下列選項錯誤的是（）

A.麗衣=5B.APAQ>S

C.若;1=2,貝可尸0=半D.若%3=4A歷，則戶0=164

【答案】C

【詳解】由拋物線。：丁=2"（尸>0）的準線方程為*-1,可得《=-1,解得p=2,

所以拋物線C：V=4x,

設(shè)直線尸0：x=TT,且尸￥，”),。()2)，

x=tyf-l.

聯(lián)立方程組彳\,整理得/一的，+4=0,

y2=4x

則A=16?-16>0,解得產(chǎn)>1,且為+%=4f,耳?％=4,

由無.而=\^-+%馬=1+4=5，所以A正確；

由萬.而=L^￡+2il21+i+yi，6+^i>6+Lyj2=8,所以B正確:

16442

當4=2時，由萬=2而，可得％=2%,

則乂=2&,%=應或乂=一20,%=一收，所以|尸@=嚀，所以C錯誤；

甘IS.PQO=|S.POA-S@/=g,?i-%|=gJ(M+%)2-4M.y2=2“T=4近,

解得r=±3,所以帆_對=80，則|P5=J1+產(chǎn).回一%|=168,所以D正確.

故選：C

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)/(x)=4e，-/(O)x+2(/'(x)是/(x)的導函數(shù))，則曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

為.

【答案】2x-y+6=0.

【詳解】由題意設(shè)切點尸(OJ(O)),因為/'(x)=4e、-/，(O),

令X=0,得/'(0)=*°-7'(0),

由導數(shù)幾何意義知：左=/'(0)=2,

又/(0)=4e0-/'(0)x0+2=6,所以尸(0,6),

故曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為：y-6=2(x-0),

整理得：2x-y+6=0.

故答案為：2x-j+6=0.

14.己知產(chǎn)是雙曲線上任意一點，若尸到C的兩條漸近線的距離之積為:，則C上的

點到焦點距離的最小值為.

【答案】V3-V2

【詳解】所求的雙曲線方程為全-寧二以口＞。)，則漸近線方程為x±0j，=O,

設(shè)點尸(工，，0)，則近一豆=an￥-2$=82,

84

點,到c的兩條浙近線的距離之積為)；想;二言二代丑登

1丫2

解得：A=4,故雙曲線C方程為：—-/=1,

故。=6,c=e，故雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為

故答案為：V3-V2.

15.已知長方體/BCD-4用GA中，側(cè)面BCG81的面積為2,若在棱4D上存在一點M,使得AMBC為等

邊三角形，則四棱錐M-8CG用外接球表面積的最小值為.

【答案】晅兀

3

【詳解】如圖，由對稱性可知，點M是4)的中點，設(shè)3C=x,則25=且「CG=2,點N是5C的中

2x

點，

由底面矩形5CG4的對角線的交點H作底面3CG4的垂線,過等邊三角形MBC的中心G作平面MBC的垂

線，兩條垂線交于點O,點。是四棱錐M-BCG4外接球的球心,

尺2=OB2=OH2+BH2=—+-fx3+4-1=--v2+A->2.1-x2-^-=亞,

124（X2）3x2V3X23

當12=《，即丫=招時，等號成立，則尺2的最小值為殛，

3X23

所以四棱錐M-BCG為外接球表面積的最小值為述兀,

3

故答案為：巫a

3

16.若“BC的內(nèi)角43c的對邊分別為。也c,taiiB=——-~,a=Cc,點、D在邊BC上,XD=6且

cosC+sinC

A4DB的面積為立詆，貝IJCD=.

2

【答案】3-73

cosC-sinCsinBcosC-sinC

【詳解】因為taiB=

cosC+sinC'所以商二^7^

所以cosCcosB-sinCsiiiB=siiiScosC+cosBsinC,所以cos(3+0=sin(5+0,

即-cosZBAC=sinZBAC，所以tanZBAC=-1,

因為血。<0,兀），所以㈤C=包,

4

因為$金

csinABAC1

所以sinC=

2

又0<C<],所以c=3，

46

因為點。在邊BC上，AD=b,所以C=4DC='，

6

37r7T7Tjr

因為Z-ADC=/B+/BAD,Z-B=71————=yy9所以Z.BAD=,

所以AD=BD=b,

所以=-ADDBsinZADB=-b2xsin-=^~^-,得6=6-1,

△血2262

37rjr27r

在中，ZDAC=---=—

41239

由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2ADACcosZDAC=2b1-2b1xf-l)=3站,

得CD=?=3-5

故答案為：3—>/3.

【點睛】方法點睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中

若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應用正、余弦定理時，注

意公式變式的應用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.

三'解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.陜西省從2022年秋季啟動新高考，新高考3+1+2”模式中“3”為全國統(tǒng)一高考科目的語文、數(shù)學、外語,

"1”為首選科目.要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學、

生物學4門科目中確定2門，共計產(chǎn)生12種組合.某班有學生50名，在選科時，首選科目選歷史和物理

的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

歷史物理合計

男生12425

女生91625

合計104050

2

附:”(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃=a+6+c+d.

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關(guān)：

(2)從選擇物理類的40名學生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學成立學習小組，該小組設(shè)正、副組長各一

名，求正、副組長中至少有一名女同學的概率.

【詳解】(1)

將表中的數(shù)據(jù)帶入，得到

2

2n(ad-be)50x(216-16)^78793八

,(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)25x25x10x40”

所以有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關(guān)..........................................5分

(2)

由題意知，抽取的5名同學中，男生有3名，設(shè)為4B,C,女生2名，設(shè)為。，E,..................6分

從這5名同學中選取2名同學擔任正副組長，所有的可能情況有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共計10種基本情況，且每種情況的發(fā)生是等

可能的，...............................................................................8分

其中至少有一名女生的情況有4D，AE,BD,BE,CD,CE,DE,共計有7種情況，..……10分

7

所以尸(至少有一名女生)=—.........................................................12分

18.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,記S.是數(shù)列｛%｝的前"項和，若/=4+20,幾

(1)求數(shù)列｛對｝的通項公式；

(2)若1>。也=——(?eN,),數(shù)列也｝的前〃項和為7；,求證：Tn<n+~.

an'an+\2

【詳解】(1)由S5=%+20,1=5"%)=5%,得5%=%+20,解得%=5,............................1分

由S]5=o2a3%，S|5=15(a；%5)=15%,所以15g=5。2。8，所以。8=。或%=3,...........................3分

當g=0時~~—=-1,止匕時4=%+(〃-3"=8—〃；.................................4分

8—3

當4=3時d=%—2=2,止匕時%-3)2=2〃一1；......................................................................5分

綜上可得數(shù)列｛an｝的通項公式為%=8-〃或%=2〃-1；........................................................................6分

（2）因為d>0,所以則邑=（1+21）.二島................................7分

2

_4S”_4/_4--1+1

入〃an,an+\（2W-1）（2H+1）（2H-1）（2H+1）

1l?“II\、

=I+7-------y-------r=]H-----------------------,9分

（2〃一l）（2〃+l）2（2〃-12n+X）.................................................”

所以9=1+41+1+年111+■?■+1+i111

1++

323252\2n—12n+1

1111111

=n-\—-----1---------1---------h—+

21335572n—12n+1

1I1

=n+----------------<n+—12分

=*(1-+)22(2〃+1)2

19.如圖，四棱錐S-28中，底面4BCD為菱形，ADAB=~,側(cè)面ASCD是邊長為4的正三角形,

(1)證明：平面SC。_L平面45cD；

(2)求點A到平面SBC的距離.

【詳解】(1)證明：取8中點E,連接SE,AE,BE,1分

因為NB=BC=4,^DAB=^,

所以CE=2,N8CD=g,ZABE=^,故BE=SE=2百,3分

XAE2=AB2+BE2=2S,SA=lM,

所以S42=4￡2+582,故/ELSE,4分

因為4Eu平面488,CDu平面/BCD,AEr>CD=E,

所以SE_L平面疑。1),又因為SEu平面SCD,

所以平面SCD_L平面4BCD6分

(2)由(1)知SE_L平面48c￡),且SE=2>/I,

在“BC中，AB=BC=4,

所以S/usc=—215xBCxsillZy￡5C=—x4x4xsill—=

223

故%-ABC=§XS2RcxSE=—x4>/3x2>/3=88分

在叢SBC中，SC=BC=4,SB=y/SE2+BE2=2幾，

所以SB邊上的高h=杷-（網(wǎng)*=曬,

所以4.........................................................10分

設(shè)點A到平面SBC的距離為d,

則匕-SBC=%-ABC，即QXSzsnrXd=8,解得d=,

所以點Z到平面SBC的距離為位.....................................................12分

5

20.己知橢圓C的方程《+￡=1（。＞。＞0）,右焦點為尸（1,0）,且離心率為今

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)48是橢圓C的左、右頂點，過尸的直線/交C于。E兩點（其中。點在x軸上方），求ADBF與△皿

的面積之比的取值范圍.

【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為2c,

C1

由題意可得c=l，e=—=7,:.a=2.b=^a1-c1=5/3,.......................................3分

a2

22

故橢圓方程為二r+二V=1................................................................4分

43

（2）當/斜率不存在時，易知涔=黑=三=；；......................................5分

Sw\AF\a+c3

②當/斜率存在時，設(shè)/：“生+存￥0）,。（4,必）（必＞0）,后每,為）（必＜。），

X="+l

由八2V2,得（3/+4）爐+6年-9=0,顯然A=36*+36（3/+4）＞0,

--+--=1

143

所以必必=一3'.....................................................

因為=514F|?|當|=g?(-%)，=518尸|?|必|=孑?%,

所以■=m^_=一;鼻,

..........................................................9分

邑但3（-必）3刈

36產(chǎn)

因為(必+%)2?3/+4)2=-4產(chǎn)44

ym.93f2+4趙〉3

3r+4

所以

3%為

乂（M+必）2_4+2%%+共_MI%12,

y^23My2M’..............................................

設(shè)”=左，則才＜0,-^＜A-+1+2＜0,解得一3＜々＜一：且上/一1,

723A3

綜上可得C嚴的取值范圍為小1』)........................................................12分

°AJ￡F9

21.已知函數(shù)/卜)=111丫+*2-2水,。?1^,

。)當。>0時，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點七,々(藥<馬)，求2〃再)-/小)的最小值.

【詳解】(1)因為/(x)=lnx+x2-2ox,x>0,

b,、，、12x2-2ax+1,,,

所以/(x)=—?\-2x-2a=................................................................1分

XX

令g(x)=2x?-2ar+l,貝ij△=4/-8=4(a?-2),

因為。>0,

當0<a4收時，A<0,則g(x)20,即/'(x)20,

此時/(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增，..........................................................3分

當a>0時，△>()，由g(x)=。，得X3="而三-2,且工3<*4，

22

當0<X<X3或x>》4時，g(x)>0,即/'(x)>0；

當巧<x<x_時，g(x)<0,即/'(x)<0,

所以/(X)在(。，三乂%+^上單調(diào)遞增，在卜3多)上單調(diào)遞減；.............................5分

綜上，當0<04&時，/(X)在(0,+<?)上單調(diào)遞增，

當a＞0時，/（x）在（0戶3）.（.4+8）上單調(diào)遞增，在（巧小4）上單調(diào)遞減,

a—y1a2—2a+yja2-2

其中W.......................................................6分

（2）由（1）可知，與，工4為了（X）的兩個極值點，且工3＜》4,

所以X=七，0=L，且不，馬是方程2f-2ax+1=0的兩不等正根,

此時。＞0，演+與=4＞0，片以

2

貝ij2/(^)-/(x2)=2(111^+x；-2%)-(lux2+君-2%)

=2(l