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文檔簡介
華師2024屆高三數學獨立作業(yè)(1)
一、單選題
1,已知集合/==2w,〃ez}B=x=3/7+l,nez},則=)
A.x=6n+2,neZ)B.x=6〃+4,〃ez}
C.x=3??+l,neZ)D.x=3"+2,〃wzl
2.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成兩排拍合照,每排3人,要求甲不站在前排,且乙、
丙2人相鄰,則不同的排隊方法共有()
A.24種B.48種C.72種D.96種
2
3.設口B是兩個單位向量,若3+3在5上的投影向量為國5,則cos住曰=()
A.-1B.1C,一任D.出
3333
4,已知(3x-l)5=a+ax+axi+--?+axs,則網+因+…+網=()
A.1024B.1023C,1025D,512
5,函數了=x(sinx-sin2x)的部分圖象大致為()
6.某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調研考試.經過數據分析,數學成績X近似服
從正態(tài)分布N(72,82),則數學成績位于[80,88]的人數約為()
參考數據:P(P-o<X<p+o)=0.6827,P(|J-2o<^<p+2o)^0.9545,
P(|J-3o<^<p+3o)=0.9973.
A.455B.2718C.6346D.9545
7.已知公差不為零的等差數列3}滿足“+?=?+1,且。,a,a成等比數列,則。=()
n2782482023
第1頁共5頁
A.2023B.-2023C.0D,
8.已知定義域為R的函數/(x),其導函數為尸(x),且滿足/(x)-2y(x)<0,/(0)=1,
則()
A.e2/(-l)<lB./(I)>e2
二、多選題
9.已知復數Z的共軻復數為N,則下列說法正確的是()
A.Z2=|z|2B.z+z?一定是實數
C.若復數Z,z滿足|z+z|=|z-zI則2.z=0
12112lI12l12
D.若復數z的平方是純虛數,則復數z的實部和虛部相等或者互為相反數
10,已知正三棱柱的各棱長都為1,£為的中點,則()
A.咐//平面/產B.二面角斗一g-N的正弦值為坐
C.點A到平面//J的距離為卓
D.若棱柱的各頂點都在同一球面上,則該球的半徑為包
6
11.如圖,已知雙曲線:m-匕=1的左右焦點分別為尸,F(xiàn),以尸尸為直徑的圓與雙曲線
41212
在第一象限交于點5連接8勺,BF,與雙曲線左支交于點尸,與漸近線分別交于點
,4
C.過廠的雙曲線的弦的長度的最小值為8D.點3到兩條漸近線的距離的積為上
25
12.如圖,曲線C:X2=2y的焦點為尸,直線/與曲線C相切于點尸(異于點。),且與x軸,
第2頁共5頁
y軸分別相交于點£,T,過點尸且與/垂直的直線交>軸于點G,過點P作準線及y軸的
則下列說法正確的是()
切線/的方程為2》一2y一3=0
B.無論點p(異于點O)在什么位置,,都平分〃尸7
C.無論點~異于點。)在什么位置,都滿足嚇=4/[叩
D.無論點P(異于點。)在什么位置,都有|尸勺[G叫<|PG|.產叫+\GF\-\PM\成立
三、填空題
13.人群中患肺癌的概率約為0.1%,在人群中有15%是吸煙者,他們患肺癌的概率約為0.5%,
則不吸煙者中患肺癌的概率是.(用分數表示)
一注普2sin20°-cosl0°
14.計算:-------------=
sin10°
15.已知三棱錐尸-/8C的三條側棱兩兩垂直,且其外接球半徑為2,則S+S+S
△PAB.PACAPBC
的最大值為.
16.如圖,已知拋物線Cy2=2x,圓E:+產=4,直線04,分別交拋物線于
A,8兩點,且直線。/與直線。8的斜率之積等于-2,則直線N8被圓£所截的弦長最小
四、解答題
第3頁共5頁
17.已知數列J}(“eN)滿足。=1,a=空±。,且方=土.
?+1n+177nnn
(1)求數列0}是通項公式;(2)求數列L}的前〃項和S.
a史-sinA
18.已知△4BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且用=n=(cosC,c),
,3
b=m-n(1)求角/的大??;(2)若a=3,求的周長£的取值范圍.
19.統(tǒng)計與概率主要研究現(xiàn)實生活中的數據和客觀世界中的隨機現(xiàn)象,通過對數據的收集、
整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫,來幫助人們作出合理的決策.
⑴現(xiàn)有池塘甲,已知池塘甲里有50條魚,其中/種魚7條,若從池塘甲中捉了2條魚.用E
表示其中/種魚的條數,請寫出E的分布列,并求E的數學期望E(E)
(2)另有池塘乙,為估計池塘乙中的魚數,某同學先從中捉了50條魚,做好記號后放回池塘,
再從中捉了20條魚,發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.
(1)請從分層抽樣的角度估計池塘乙中的魚數.
(ii)統(tǒng)計學中有一種重要而普遍的求估計量的方法一最大似然估計,其原理是使用概率模
型尋找能夠以較高概率產生觀察數據的系統(tǒng)發(fā)生樹,即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事
件.請從條件概率的角度,采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數.
20.如圖,在直角梯形48。中,ADUBC,ADLCD,四邊形C£>E尸為平行四邊形,對
角線CE和。尸相交于點H平面C/歷尸J_平面/BCD,BC=2AD,NDCF=60。,G是線
段BE上一動點(不含端點).
(1)當點G為線段BE的中點時,證明:/G〃平面COM;
(2)若4D=1,8=DE=2,且直線DG與平面CO斯成45。角,求二面
角E-DG-尸的正弦值.
第4頁共5頁
21.已知函數/■(尤)=a,+sinx的圖象在點(0J(0))處的切線與y軸垂直
⑴求實數。的值.
⑵討論/Q)在區(qū)間(-兀,無)上的零點個數.
22.已知。為坐標原點,F(xiàn)(-1,O),<(1,0)是橢圓£的兩個焦點,斜率為1的直線(與E交
于A,B兩點,線段A8的中點坐標為&,-g),直線:過原點且與E交于C,D兩點,橢
圓E過C的切線為%的中點為G.
⑴求橢圓E的方程.
⑵過G作直線彳的平行線:與橢圓石交于/,N兩點,在直線/,上取一點。使西=用,
求證:四邊形MQNC是平行四邊形.
⑶判斷四邊形MQNC的面積是否為定值,若是定值請求出面積,若不是,請說明理由.
第5頁共5頁
參考答案:
1.B
【分析】根據題意,化簡集合48,然后由交集的運算即可得到結果.
【詳解】由題意可得,集合Z={x|x=2〃,〃ez},即集合A中的元素是2的倍數,
集合8={x|x=3〃+1,〃ez},即集合B中的元素是3的倍數余1,
故/C5既是2的倍數,又是3的倍數余1,
所以AcB={x\x=6n+4,nez}
故選:B
2.D
【分析】根據給定條件,利用兩個計數原理結合位置關系及相鄰問題列式計算作答.
【詳解】求不同排除方法數有兩類辦法:
乙丙站前排,有C;種方法,甲站后排有C;種方法,排余下3人有A;,乙丙的排列有A;種,
不同排法數為Cf;A攔種,
乙丙站后排,有Ci種方法,甲站后排有1種方法,排余下3人有A3,乙丙的排列有A2種,
232
不同排法數為C;A汽種,
所以不同的排隊方法有:C.CIA3A2+CIA3A2=96(種).
故選:D
3.A
【分析】根據投影向量公式以及向量夾角的余弦公式求得結果.
【詳解】〔.4+6在萬上的投影向量為
。+5)石52r
____=,___?_^_=_b,
⑸網3
1rr
,5=飛,又點3是兩個單位向量,即同=「卜1,
故選:A.
4.B
答案第1頁,共16頁
[分析]利用賦值法得到。。=7,+?-a=(-3-1>=-1024,結合二項式展
開式的系數正負得到因+|*|+…+巴|的值,進而求出答案.
5
[詳解](3x-1)=a+ax+a%2+…+ax5中,令x=0得a=-1
…*0125o
(3x-l1的通項公式T=C,(3x)5—(-l)"故a,a,a<0,a,a>0,
5
'=a+QX+4X2+…+4X5中,
x=—1,彳導a--u+?!猘—(—3-11=11024,
所以網+因+…+1(7I——(〃—a+Q—Q+Q-Q)=1024
5)012345
又因=1,所以囪+因+…+網=1023.
故選:B.
5.C
【分析】判斷函數的奇偶性,再用賦值法,排除ABD,即可.
【詳解】由了=/(無)=x(sinx-sin2x),
得/(-x)=-x[sin(-x)-sin(-2x)]=-x(-sinx+sin2x)=/(尤),
所以/(x)為偶函數,故排除BD.
當x=g時,了=/=(sin-Sin7t)=>0,排除A.
故選:C.
6.B
【分析】根據題設條件結合對稱性得出數學成績位于[80,88]的人數.
【詳解】由題意可知,P=72,0=8,P(80<X<88)=P(M+O<X<M+2O)
=;[尸(p-2。vXsM+2O)-P(p-a<X<|J+O6.9545-0.6827i0.1359
則數學成績位于[80,88]的人數約為0.1359x20000=2718.
故選:B
7.A
【分析】根據條件列出關于等差數列基本量的方程組,即可求解.
【詳解】設等差數列{1}的首項為?-公差為d,
答案第2頁,共16頁
貝"a+a=a+1<=>2tz+7d=a+7d+l,a—1,
278111
因為《成等比數列,所以“廠好,即(1+3辦=(1+據+7力
因為dwO,所以d=1,
所以。=a+(2023-1)x</=2023.
“I八20231
故選:A
8.C
【分析】構造函數g(x)=£@,由/'(x)-2/(x)<0得g,Q)<0,進而判斷函數g(x)的單調
C2x
性,判斷各選項不等式.
,
f(r)(\/(x)-e2x-2/G)e2x/1G:)-2/(t)
【詳解】g(%)=?,貝1Jg(、)=————=一一,
因為/'(x)-2/(x)<0在R上恒成立,
所以g'(x)<0在我上恒成立,
故gQ)在R上單調遞減,
所以g(-l)>g(O),、'(I=e2/(-l)>/。)=1,故A不正確;
''e-2eo
所以g(l)<g(0),即gp/(l)<e2/(0)=e2,故B不正確;
C2eo
g@)<g(。),即£^)<也=1,即e,故C正確;
'eieo
g@)>g(i),即/Q)j(i),即/(i)〈爐Q),故D不正確;
eie2
故選:c.
9.BD
【分析】根據復數與共軻復數的概念、復數的運算逐項判斷即可.
【詳解】當復數z=i時,Z2=-1,|邛=1,故A錯;
設z=〃+Z?i(a,beR),則亍=〃—6i,所以2+亍=2QER,故B對;
設2=〃+Z?i(a,bGR)Fz=a+/?i(a,beR),
1111122222
由|z+z|=|z-zI可得|z+z|2=(Q+a)2+(b+b)2=\z-z|2=Q-a>+(6-b)2,
田I12I112II12I1212I12I1212
答案第3頁,共16頁
所以學「叱=。,
而zz=(a+6i)(a+bi}=aa—bb+{ab+ba)i=2aa+{ab+ba)i,不一■定為0,故C
J12112212121212121212一-,、
錯;
設z=a+Z?i(Q,GR),貝[]Z2=。2—/?2+0bi為純虛數.
ai-bi=0網=14
所以2abw0,則LLo'故。對?
故選:BD.
10.ACD
【分析】A選項,連接《C,/,,使相交于R連接ER通過證明跖〃8,即可判斷選項
正誤;B選項,通過證明CE,平面/防4,可得二面角/「sc-/的平面角為a=/區(qū)4;
C選項,利用等體積法結合「可得答案;D選項,利用正弦定理,可得“3C外接圓半
11
徑,后可得球的半徑.
【詳解】A選項,連接《C,/,,使相交于R連接ER因尸,£分別為中點,
則£尸〃3,,因EFu平面?C£,平面4CE,則8卬1平面/產C故A正確;
B選項,由題可得,平面N5C,又CEu平面/2C,則C£1又CE_L4B,
11
AAC\AB=A力/u平面AABB,ABu平面4ABB,則CE±平面AABB,
i'iiiiiii
又/fu平面44R8,則C£14E,結合CE1皿可知二面角4_£C—的平面角為
_AA_1_2事
a=N/E/,則sin01=於=丁丁=-故B錯誤;
11/I+-
V4
C選項,設點/到平面N/C/的距離為4取ZC中點為G,連接3G.
則憶=ls-BG=Lsd=V
B-AAC3^AAC3.ABCA-ABC'
i11i1i1i
又S=LAAAC=1BG=£BA=BC=^2,AC=1,由余弦定理可得
共21112121111
答案第4頁,共16頁
史
4回
1/7S-BG--
得S=-BA-BC?sinN/8C=L很111=-----£7故c正確.
.ABC211114S
11^ABC4
c1
2r=___=>r
D選項,設“BC外接圓半徑為r,由正弦定理,木
~T
又設三棱錐外接球半徑為火,則三棱錐外接球與以人必c匕外接圓為底面的圓柱外接
=叵.故D正確
球相同,則火=BB
6
11.AD
【分析】由1叱IT"1=2,若|=加>°結合已知可得加=2,設3(尤J)且X,y>°,應
用點在雙曲線上、兩點距離公式求B坐標,寫出直線3,求出尸,W,N坐標,進而判斷各項
的正誤即可.
【詳解】由題設I叱勺=2,若[瓦1二冽>0,貝[J|BF|=m+2,
1
BF\i+|BF\i=4。=20,即加2+2m-8=0,可得加=2,
2
工=芷
4)故父
若5(%/)且兀>>0,貝IJ產f可得
y=4
所以,直線8勺為了=3(尤+W),即x-2y+W=0,而漸近線為了=±2》,
2
所以“(一,則|5N產丁
x-30x-7p
4x2=4
-yi5丁’故千
,
又x-2y+y/5=0可得_4£(舍)或
y=—!—
,一丁15
答案第5頁,共16頁
所以|尸叫=2雅即|PM|=|BN|,A正確;而S=1勺=4,B錯誤;
令x=c=屈,則4x5-產=4,可得〉=±4,故過苒垂直于X軸所得弦長為8,
而過1和兩頂點的直線,所得弦長為2,所以過苒的雙曲線的最短弦為2,C錯誤;
3434
|2X_L-_L|C|-2X_L-_L|
由8到y(tǒng)=2x的距離為忑不=2,B到y(tǒng)=_2尤的距離為忑忑=2,
忑5事
4
所以B到兩條漸近線的距離的積為5,D正確.
故選:AD
12.BCD
【分析】由題意,求導即可判斷A,證明四邊形尸尸7M為菱形即可判斷B,由可尸丹?|。M=
41PMi.|ON|即可判斷C,證明四邊形G跟中為平行四邊形,再結合基本不等式即可判斷D.
【詳解】因為曲線C:X2=2.y,即y=:X2,所以y=x,
設點%”),貝叱J",』。,
1
所以切線/的方程為>
當x=l時,切線方程為2x-2y-l=0,故A錯誤:
0
由題意尸U加屋小小-'1)
所以I尸叫=|叮|=/:+;,
因為PMUFT,所以四邊形屏7加為平行四邊形,
又歸耳=|尸所以四邊形尸尸7M為菱形,可得尸M平分角NP4,故B正確:
因為N(0,%),7(0,-{),
6fr|)lIPT\2=X2+4j2=2y+4”,
“'八0000
1
4產|憎|=4產叫0叫=4y4--\y=2y+4y2
02I000
所以|尸T|2=4產故C正確:
直線G尸方程:k-黃+'+1,可得G(O』+y0),所以|G牛9人,
0-
又「叫二4十;,所以G尸〃且尸勺=慳?|,
答案第6頁,共16頁
所以四邊形G門呼為平行四邊形,故忸G|=W"|.
田2+
|PG卜產叫+產葉,灼=爛邛+pFp=
2
,,,,\PF|2+GM|2
因為PG與G尸不垂直,所以歸同w|GM|,所以!_LJ----'_>\PF\-\GM\,
gp\PF\\GM\<|PG|-\FM\+|GF||故D正確;
故選:BCD.
1
13-3W
【分析】設患肺癌為事件a吸煙為事件5由題有尸(/)=尸(5)p?p)+尸切AQ,),
即可得答案.
【詳解】設患肺癌為事件4吸煙為事件8,則PQ)=0.1%,尸W=15%,
尸Q件)=0.5%尸G)=85%,不吸煙者中患肺癌的概率為PQ件)
又由全概率公式有尸(/)=p(2)p?p)+尸份》Q『),
則0.15x0.5%+0.85/(/,)=0.1%,解得pQ戶)=3I0.
故答案為:3400
14.-73
【分析】把20。轉化為30。-10。,利用差角的正弦公式化簡即得解.
/\2|J-coslO0-2^,sinlO°I-cosl0°
【詳解】原式_2sin(30O-l(F)-cosl0?!?22)一^sinlO。
―smi0°―smi0="sinlO°
=->/3
故答案為:一出
15.8
【分析】由長方體模型得出。2+62+C2=16,再由基本不等式得出最值?
【詳解】設P4=a,PB=b,PC=c,因為三棱錐尸-/3C的三條側棱兩兩垂直,
所以由長方體模型可知,JB+;+C2=2,即B+62+C2=16.
S+S+S=L(ab+ac+bc)<\-[^a2+bi\G2+02IL+a)=1x32=8,當且僅
△PAB^PACAPBC24L-I4
答案第7頁,共16頁
當“=Z)=c=¥時,取等號.
即的最大值為8.
故答案為:8
16.2^/3
【分析】先由兩直線斜率之積構造齊次化方程,得出直線N8過定點(1,0),再利用直線與圓
的位置關系計算弦長確定最值即可.
【詳解]設/(U),BG,/,,設,:7"X+7沙=1,又產=2x,=_P=2x(s+町),
(yY
/.yi-2nxy-2mx2=0,/.I_I|—,——2m=0
?—i-?—a.=k-k=—2m=—2m=1,
,,xxOAOB
12
直線45恒過點
當圓心E到動直線AB的距離最大時,即
當直線時,弦長最短,此時弦,最小為254_(2—1)2=2/.
故答案為:2/
17.(1)6=3”T
n
(2?-l)3?1
⑵——+4
【分析】⑴將。換為,仍代入。=^la中化簡,根據定義即可判斷以}為等比數列,
■.、/〃nn+1rinn
由首項公比寫出通項公式即可;
答案第8頁,共16頁
(2)由(1)中的通項公式求得。,再利用乘公比錯位相減得出前〃項和即可.
n
3〃+34c。
【詳解】⑴解:因為a+1=r—a,所以;
〃+innn+1n
又b=,,所以%=j,所以.=3,又b=a=1,
nnn+\n+\Dii
n
所以數列3}是以1為首項,3為公比的等比數列,所以6=3?-1;
nn
(2)由⑴知,b='=3〃-i,所以〃二〃Bi,
nn?
以S—1,3o+2*3i+3*32+4,3s+,?,+—1)3〃-2+n?3?-i,
n
3s=1-3i+2?32+3-3s+4-34H----F(〃—1)?3〃-I+n-3n,
n
兩式相減可得:—2S=3o+3i+32+33+34+…+3—i
n
3〃-1??(2〃-1)3〃1
所以-2S=.........-n,3n,故S=-------------+_.
〃2〃44
,TI
18.(1)A=_
(2)LG(6,9]
【分析】⑴由條件6=質?日可得6=acosC+4cs//,再結合正弦定理及三個角之間的關
系可得=進而求出/;
(2)利用余弦定理再結合基本不等式,求得3<6+cW6,即可得到周長工的范圍.
【詳解】⑴由題意慶=,?=(cosC,c\b=m-n.
所以6=acosC+2^csinA,
/3
由正弦定理,可得sinB=sinAcosC+J-sinCsinA,
因為5=TI-(4+C),所以sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,
又由?!?0,n),貝lJsinC>0,
整理得又因為/£(0,n),所以/二9.
(2)由(1)和余弦定理Q2=/?2+c2-2&ccos/,BP32=Z72+C2-2bccosh=b2+C2-bc,
即62+02-60=9,整理得(b+c)2-36c=9,
答案第9頁,共16頁
h+c
又由be<(―^―)2(當且僅當b=c=3時等號成立)
從而9工3+。)2-3(、S)2=;(6+c)2,可得b+c<6,
又6+c>a=3,;.3<6+cW6,從而周長£€(6,9].
【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和的應用,以及基本不等式求最值的應用,其
中在解有關三角形的題目時,要抓住題設條件和利用某個定理的信息,合理應用正弦定理和
余弦定理,結合基本不等式求解是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.
19.⑴分布列見解析,£怎)=(
(2)(i)200;(ii)199或200
【分析】(1)根據超幾何概率公式即可求解概率,進而得分布列和期望,
(2)根據抽樣比即可求解總數,根據最大似然思想結合概率的單調性即可求解最大值.
【詳解】(1)E=0,1,2,
答=言尸(E=2)=3
尸(E=o)=
宴…=k
5050
故分布列為:
012
129433
P175175175
「缶、八129143c37
=Ox---+lx---+2x---=一.
(2)(i)設池塘乙中魚數為加,則彳=言,解得機=200,故池塘乙中的魚數為200.
(ii)設池塘乙中魚數為〃,令事件8="再捉20條魚,5條有記號”,事件0="池塘乙中魚數為
n“
C5C15
則p,,=P(B\C)=,由最大似然估計法,即求最大時"的值,其中n65,
n
.p,_(7/-49)(Z7-19)
p(n-64)(〃+1)
n
當〃=65,198時^^>1,
n
當“=199時分=1,
n
答案第10頁,共16頁
當〃=200,201,…時v1
n
所以池塘乙中的魚數為199或200.
20.⑴證明見解析
【分析】(1)連接G〃,4G,由三角形中位線和邊長關系可知四邊形/DHG是平行四邊形,
即可證明AGH平面CDEF-,
(2)根據題意可知,以C為原點建立空間直角坐標系,可設居=入苑利用空間向量即可
表示出雙,進而確定G點位置,再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角E-DG-b的
正弦值為半?
【詳解】⑴證明:
連接G",/G,如下圖(1)中所示:
因為四邊形CD跖為平行四邊形,所以77是CE中點,
又G點為線段3E的中點,則GH7/BC,且G〃=:8C,
又ADUBCaAD=;BC,所以G〃///Z),GH=/D,
所以四邊形NDHG是平行四邊形,所以4G//DH,
(2)以。為原點,C2,C。為X/軸,過C且在平面CDE廠內與。垂直的直線為,軸,建立
空間直角坐標系,如圖(2)所示:
由平面CDEA_L平面48cZ),4)CF=60。,CO=DE=2可知,
YCDFNDEF均為邊長為2的正三角形,
則有。(0,2,0),3(2,0,0),E(0,3,g)尸6,1,/),
答案第11頁,共16頁
設第=入苑=1-2入,3人,出人ZO<X<1
(一2人,3人,抬入)一(一2,2,0)=(2-2入,3入-2,4入),
貝IJ9=肘-彷=
9=(1,0,0)為平面CDEF的法向量,
解得入=:(其中入=0舍去)斯以G1,2,2^
設平面EQG的法向量為』=(1,々]),則有
fft-DE=(x,y,z)-Y),195A^=y+&=0
111*1,1
m-DG=(x,y,z=x-Ly+=0
iiii2i2i
令彳=1,貝IJ\==一3,故可取加=1r,-0,14
設平面FDG的法向量為「=(3匕/),則有
n-DF=(x,y,z)-C,-l,JT1-y+&=0
222V2Y2
H-DG=(x,y,z)-11,-J_,史=x-Ly+也彳=0
222(22J22222
令z=1,則x=0,y=73,故可取
222
所以cos(薜瑪
所以二面角E-DG-F的正弦值為
/42
即二面角E-DG-F的正弦值為".
21.(l)a=-l
⑵/(x)在區(qū)間(-私兀)上的零點個數為2
【分析】⑴求出函數的導函數,依題意可得;"(0)=。,解得即可;
答案第12頁,共16頁
⑵由⑴知/(町=+sinx,求出函數的導函數,令機(x)=/(x),利用導數說明加(尤)
Qx
的單調性,即可得到/(無)在(-兀,0)上的零點情況,當xe(0㈤時,將/Q)變形得
/(x)=_L(e*sinx-x),令"x)=e,sinx-x,利用導數說明尸(無)的單調性,即可判斷其零
e%
點個數,從而得解.
X]—X
[詳解](D因為/(x)=a—+sinx,貝=——+cosx,
CxCx
由題意得,函數/■(?的圖象在點(oj(o))處的切線斜率為0,
即/'(0)=〃+1=0,解得。=一1.
xx—1
(2)由(1)矢口/(%)=_4+sinX,/(0)=0,f\x)=__+cosx
令加(x)=/F(x)=^__J-4-cosx,貝=_--sinx.
exe》
當xe(-兀,0)時,—>0,sinx<0,此時利(x)>0,/'(x)單調遞增,
Qx
/'(x)</'(0)=-1+1=0,故函數/(x)單調遞減,
所以〃x)>"0)=0,故函數/(Q在(-兀,0)上無零點.
當Xe(0㈤時,將/(X)變形得/(X)=——+Sinx=一(exsin尤-尤),
QxCx
設方(%)=e、sin)-),貝!I/'(%)=ex(sinx+cos%)—1,
設左(x)=e?sinx+cosx)—l,貝1左'(%)=2excosx,
易知當xe(0,3時,^(%)>0,當xeg,兀|時,k'(x)<0,
故人(x)在(0,3上單調遞增,在0,兀)上單調遞減,又發(fā)(0)=0,^)=e:-l>0,
左(兀)=-en-1<0,
故存在X。使左(,)=0,當xeQx。)時,k{x}>0,b(x)單調遞增;
當xe(x,7t)時,左(x)<0,尸Q)單調遞減,又尸(0)=0,故尸(x)>0,又F(兀)=-兀<0,
故函數/(X)在(0,x°)上沒有零點,在(二嚴)上有1個零點?
綜上所述,/G)在區(qū)間(-兀,兀)上的零點個數為2.
【點睛】方法點睛:導函數中常用的兩種常用的轉化方法:一是利用導數研究含參函數的單
答案第13頁,共16頁
調性,?;癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數形結合思想的應用;二是函數的零點、
不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理.
22.⑴胃+”=1
(2)證明見解析
⑶定值,半
X2V2y
一+-=1
,1Q2bl[Lai+b^xi+Laimx+a2m2
【分析】⑴設/y=-x+m聯(lián)立<-aibi=0
1U6J2
V=_X+"2
4
利用韋達定理結合。c關系,即可求出6=2,62=1,得出橢圓的標準方程.
(2)設。(",匕),“(”,乙),?(?,乙)/(與乙),由已知得”—為
GW]
根據過橢圓上任一點的切線斜率公式得出過C點的切線方程斜率為
一旦=-1,得出/,聯(lián)立橢圓方程利用韋達定理和化簡得出x==2上,夕=匕口_,
aiy2y4G2G2
cc
判斷出G是九W的中點,又結合而=而,即可得證.
(3)設點C到直線4的距離為〃,結合(2)表示出兒W和〃,即可判斷結果.
【詳解】(1)由題知,設橢圓方程為一X2+1V2=1,
ai02
設/「k,憶屈X"),則c=l,
X2V2y
—+_=1
Q2blLai+hi1
聯(lián)立<得X2+_a21
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