華師2024屆高三數學獨立作業(yè)(一)帶答案

華師2024屆高三數學獨立作業(yè)（1）

一、單選題

1,已知集合/==2w,〃ez}B=x=3/7+l,nez},則=)

A.x=6n+2,neZ)B.x=6〃+4,〃ez}

C.x=3??+l,neZ)D.x=3"+2,〃wzl

2.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成兩排拍合照，每排3人，要求甲不站在前排，且乙、

丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.96種

2

3.設口B是兩個單位向量，若3+3在5上的投影向量為國5,則cos住曰=()

A.-1B.1C,一任D.出

3333

4,已知(3x-l)5=a+ax+axi+--?+axs,則網+因+…+網=()

A.1024B.1023C,1025D,512

5,函數了=x(sinx-sin2x)的部分圖象大致為()

6.某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調研考試.經過數據分析，數學成績X近似服

從正態(tài)分布N（72,82）,則數學成績位于［80,88］的人數約為（）

參考數據：P(P-o<X<p+o)=0.6827,P(|J-2o<^<p+2o)^0.9545,

P(|J-3o<^<p+3o)=0.9973.

A.455B.2718C.6346D.9545

7.已知公差不為零的等差數列3}滿足“+?=?+1,且。,a,a成等比數列，則。=()

n2782482023

第1頁共5頁

A.2023B.-2023C.0D,

8.已知定義域為R的函數/(x),其導函數為尸(x),且滿足/(x)-2y(x)<0,/(0)=1,

則()

A.e2/(-l)<lB./(I)>e2

二、多選題

9.已知復數Z的共軻復數為N,則下列說法正確的是()

A.Z2=|z|2B.z+z?一定是實數

C.若復數Z,z滿足|z+z|=|z-zI則2.z=0

12112lI12l12

D.若復數z的平方是純虛數，則復數z的實部和虛部相等或者互為相反數

10,已知正三棱柱的各棱長都為1,￡為的中點，則()

A.咐//平面/產B.二面角斗一g-N的正弦值為坐

C.點A到平面//J的距離為卓

D.若棱柱的各頂點都在同一球面上，則該球的半徑為包

6

11.如圖，已知雙曲線：m-匕=1的左右焦點分別為尸，F(xiàn),以尸尸為直徑的圓與雙曲線

41212

在第一象限交于點5連接8勺，BF,與雙曲線左支交于點尸，與漸近線分別交于點

,4

C.過廠的雙曲線的弦的長度的最小值為8D.點3到兩條漸近線的距離的積為上

25

12.如圖，曲線C：X2=2y的焦點為尸，直線/與曲線C相切于點尸(異于點。)，且與x軸,

第2頁共5頁

y軸分別相交于點￡,T,過點尸且與/垂直的直線交＞軸于點G,過點P作準線及y軸的

則下列說法正確的是（）

切線/的方程為2》一2y一3=0

B.無論點p（異于點O）在什么位置,,都平分〃尸7

C.無論點~異于點。）在什么位置,都滿足嚇=4/［叩

D.無論點P（異于點。）在什么位置,都有|尸勺［G叫＜|PG|.產叫+\GF\-\PM\成立

三、填空題

13.人群中患肺癌的概率約為0.1%,在人群中有15%是吸煙者,他們患肺癌的概率約為0.5%,

則不吸煙者中患肺癌的概率是.（用分數表示）

一注普2sin20°-cosl0°

14.計算：-------------=

sin10°

15.已知三棱錐尸-/8C的三條側棱兩兩垂直，且其外接球半徑為2,則S+S+S

△PAB.PACAPBC

的最大值為.

16.如圖，已知拋物線Cy2=2x,圓E：+產=4,直線04,分別交拋物線于

A,8兩點，且直線。/與直線。8的斜率之積等于-2,則直線N8被圓￡所截的弦長最小

四、解答題

第3頁共5頁

17.已知數列J｝(“eN)滿足。=1,a=空±。，且方=土.

?+1n+177nnn

(1)求數列0｝是通項公式；(2)求數列L｝的前〃項和S.

a史-sinA

18.已知△4BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且用=n=(cosC,c),

，3

b=m-n(1)求角/的大??；(2)若a=3,求的周長￡的取值范圍.

19.統(tǒng)計與概率主要研究現(xiàn)實生活中的數據和客觀世界中的隨機現(xiàn)象，通過對數據的收集、

整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.

⑴現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中/種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用E

表示其中/種魚的條數，請寫出E的分布列，并求E的數學期望E(E)

(2)另有池塘乙，為估計池塘乙中的魚數，某同學先從中捉了50條魚，做好記號后放回池塘,

再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.

(1)請從分層抽樣的角度估計池塘乙中的魚數.

(ii)統(tǒng)計學中有一種重要而普遍的求估計量的方法一最大似然估計，其原理是使用概率模

型尋找能夠以較高概率產生觀察數據的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事

件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數.

20.如圖，在直角梯形48。中，ADUBC,ADLCD,四邊形C￡>E尸為平行四邊形，對

角線CE和。尸相交于點H平面C/歷尸J_平面/BCD,BC=2AD,NDCF=60。,G是線

段BE上一動點(不含端點).

(1)當點G為線段BE的中點時，證明：/G〃平面COM；

(2)若4D=1,8=DE=2,且直線DG與平面CO斯成45。角，求二面

角E-DG-尸的正弦值.

第4頁共5頁

21.已知函數/■（尤）=a，+sinx的圖象在點（0J（0））處的切線與y軸垂直

⑴求實數。的值.

⑵討論/Q）在區(qū)間（-兀，無）上的零點個數.

22.已知。為坐標原點，F(xiàn)（-1,O）,＜（1,0）是橢圓￡的兩個焦點，斜率為1的直線（與E交

于A,B兩點，線段A8的中點坐標為&，-g）,直線：過原點且與E交于C,D兩點，橢

圓E過C的切線為%的中點為G.

⑴求橢圓E的方程.

⑵過G作直線彳的平行線：與橢圓石交于/，N兩點，在直線/,上取一點。使西=用,

求證：四邊形MQNC是平行四邊形.

⑶判斷四邊形MQNC的面積是否為定值，若是定值請求出面積，若不是，請說明理由.

第5頁共5頁

參考答案:

1.B

【分析】根據題意，化簡集合48,然后由交集的運算即可得到結果.

【詳解】由題意可得，集合Z={x|x=2〃,〃ez},即集合A中的元素是2的倍數，

集合8={x|x=3〃+1,〃ez},即集合B中的元素是3的倍數余1,

故/C5既是2的倍數，又是3的倍數余1,

所以AcB={x\x=6n+4,nez}

故選:B

2.D

【分析】根據給定條件，利用兩個計數原理結合位置關系及相鄰問題列式計算作答.

【詳解】求不同排除方法數有兩類辦法：

乙丙站前排，有C；種方法，甲站后排有C；種方法，排余下3人有A;,乙丙的排列有A；種,

不同排法數為Cf;A攔種,

乙丙站后排，有Ci種方法，甲站后排有1種方法，排余下3人有A3,乙丙的排列有A2種,

232

不同排法數為C；A汽種,

所以不同的排隊方法有:C.CIA3A2+CIA3A2=96（種）.

故選:D

3.A

【分析】根據投影向量公式以及向量夾角的余弦公式求得結果.

【詳解】〔.4+6在萬上的投影向量為

。+5）石52r

____=,___?_^_=_b,

⑸網3

1rr

，5=飛,又點3是兩個單位向量，即同=「卜1,

故選：A.

4.B

答案第1頁，共16頁

［分析］利用賦值法得到。。=7,+?-a=(-3-1>=-1024,結合二項式展

開式的系數正負得到因+|*|+…+巴|的值，進而求出答案.

5

［詳解］(3x-1)=a+ax+a%2+…+ax5中，令x=0得a=-1

…*0125o

(3x-l1的通項公式T=C,(3x)5—(-l)"故a,a,a<0,a,a>0,

5

'=a+QX+4X2+…+4X5中,

x=—1,彳導a--u+?！猘—(—3-11=11024,

所以網+因+…+1(7I——(〃—a+Q—Q+Q-Q)=1024

5)012345

又因=1,所以囪+因+…+網=1023.

故選：B.

5.C

【分析】判斷函數的奇偶性，再用賦值法，排除ABD,即可.

【詳解】由了=/(無)=x(sinx-sin2x),

得/(-x)=-x［sin(-x)-sin(-2x)］=-x(-sinx+sin2x)=/(尤)，

所以/(x)為偶函數，故排除BD.

當x=g時，了=/=(sin-Sin7t)=>0,排除A.

故選：C.

6.B

【分析】根據題設條件結合對稱性得出數學成績位于［80,88］的人數.

【詳解】由題意可知，P=72,0=8,P(80<X<88)=P(M+O<X<M+2O)

=；［尸(p-2。vXsM+2O)-P(p-a<X<|J+O6.9545-0.6827i0.1359

則數學成績位于［80,88］的人數約為0.1359x20000=2718.

故選：B

7.A

【分析】根據條件列出關于等差數列基本量的方程組，即可求解.

【詳解】設等差數列｛1｝的首項為?-公差為d,

答案第2頁，共16頁

貝"a+a=a+1<=>2tz+7d=a+7d+l,a—1,

278111

因為《成等比數列，所以“廠好，即（1+3辦=（1+據+7力

因為dwO,所以d=1,

所以。=a+（2023-1）x</=2023.

“I八20231

故選：A

8.C

【分析】構造函數g（x）=￡@,由/'（x）-2/（x）＜0得g，Q）＜0,進而判斷函數g（x）的單調

C2x

性，判斷各選項不等式.

,

f（r）（\/（x）-e2x-2/G）e2x/1G:）-2/（t）

【詳解】g（%）=?，貝1Jg（、）=————=一一，

因為/'（x）-2/（x）＜0在R上恒成立，

所以g'（x）＜0在我上恒成立，

故gQ）在R上單調遞減，

所以g（-l）＞g（O）,、'（I=e2/（-l）＞/。）=1,故A不正確；

''e-2eo

所以g（l）＜g（0）,即gp/（l）＜e2/（0）=e2,故B不正確；

C2eo

g@）＜g（。），即￡^）＜也=1，即e,故C正確；

'eieo

g@）＞g（i）,即/Q）j（i）,即/（i）〈爐Q）,故D不正確；

eie2

故選：c.

9.BD

【分析】根據復數與共軻復數的概念、復數的運算逐項判斷即可.

【詳解】當復數z=i時，Z2=-1,|邛=1,故A錯;

設z=〃+Z?i（a,beR）,則亍=〃—6i,所以2+亍=2QER,故B對；

設2=〃+Z?i（a,bGR）Fz=a+/?i（a,beR）,

1111122222

由|z+z|=|z-zI可得|z+z|2=（Q+a）2+（b+b）2=\z-z|2=Q-a＞+（6-b）2,

田I12I112II12I1212I12I1212

答案第3頁，共16頁

所以學「叱=。，

而zz=(a+6i)(a+bi}=aa—bb+{ab+ba)i=2aa+{ab+ba)i,不一■定為0,故C

J12112212121212121212一-，、

錯;

設z=a+Z?i(Q,GR),貝[]Z2=。2—/?2+0bi為純虛數.

ai-bi=0網=14

所以2abw0,則LLo'故。對?

故選：BD.

10.ACD

【分析】A選項，連接《C，/，，使相交于R連接ER通過證明跖〃8,即可判斷選項

正誤；B選項，通過證明CE,平面/防4,可得二面角/「sc-/的平面角為a=/區(qū)4;

C選項，利用等體積法結合「可得答案；D選項，利用正弦定理，可得“3C外接圓半

11

徑，后可得球的半徑.

【詳解】A選項，連接《C,/，，使相交于R連接ER因尸，￡分別為中點，

則￡尸〃3,，因EFu平面?C￡，平面4CE，則8卬1平面/產C故A正確；

B選項，由題可得，平面N5C,又CEu平面/2C,則C￡1又CE_L4B,

11

AAC\AB=A力/u平面AABB,ABu平面4ABB,則CE±平面AABB,

i'iiiiiii

又/fu平面44R8,則C￡14E,結合CE1皿可知二面角4_￡C—的平面角為

_AA_1_2事

a=N/E/,則sin01=於=丁丁=-故B錯誤；

11/I+-

V4

C選項，設點/到平面N/C/的距離為4取ZC中點為G,連接3G.

則憶=ls-BG=Lsd=V

B-AAC3^AAC3.ABCA-ABC'

i11i1i1i

又S=LAAAC=1BG=￡BA=BC=^2,AC=1,由余弦定理可得

共21112121111

答案第4頁，共16頁

史

4回

1/7S-BG--

得S=-BA-BC?sinN/8C=L很111=-----￡7故c正確.

.ABC211114S

11^ABC4

c1

2r=___=>r

D選項,設“BC外接圓半徑為r,由正弦定理,木

~T

又設三棱錐外接球半徑為火，則三棱錐外接球與以人必c匕外接圓為底面的圓柱外接

=叵.故D正確

球相同，則火=BB

6

11.AD

【分析】由1叱IT"1=2,若|=加>°結合已知可得加=2,設3（尤J）且X,y>°,應

用點在雙曲線上、兩點距離公式求B坐標，寫出直線3,求出尸，W，N坐標，進而判斷各項

的正誤即可.

【詳解】由題設I叱勺=2,若［瓦1二冽>0,貝［J|BF|=m+2,

1

BF\i+|BF\i=4。=20,即加2+2m-8=0,可得加=2,

2

工=芷

4）故父

若5(%/)且兀>>0,貝IJ產f可得

y=4

所以，直線8勺為了=3（尤+W），即x-2y+W=0,而漸近線為了=±2》,

2

所以“（一,則|5N產丁

x-30x-7p

4x2=4

-yi5丁’故千

,

又x-2y+y/5=0可得_4￡(舍)或

y=—!—

,一丁15

答案第5頁，共16頁

所以|尸叫=2雅即|PM|=|BN|,A正確；而S=1勺=4,B錯誤；

令x=c=屈,則4x5-產=4,可得〉=±4,故過苒垂直于X軸所得弦長為8,

而過1和兩頂點的直線，所得弦長為2,所以過苒的雙曲線的最短弦為2,C錯誤；

3434

|2X_L-_L|C|-2X_L-_L|

由8到y(tǒng)=2x的距離為忑不=2,B到y(tǒng)=_2尤的距離為忑忑=2，

忑5事

4

所以B到兩條漸近線的距離的積為5，D正確.

故選：AD

12.BCD

【分析】由題意，求導即可判斷A,證明四邊形尸尸7M為菱形即可判斷B,由可尸丹?|。M=

41PMi.|ON|即可判斷C,證明四邊形G跟中為平行四邊形，再結合基本不等式即可判斷D.

【詳解】因為曲線C：X2=2.y,即y=：X2,所以y=x,

設點%”），貝叱J"，』。，

1

所以切線/的方程為＞

當x=l時，切線方程為2x-2y-l=0,故A錯誤：

0

由題意尸U加屋小小-'1）

所以I尸叫=|叮|=/:+;,

因為PMUFT,所以四邊形屏7加為平行四邊形，

又歸耳=|尸所以四邊形尸尸7M為菱形，可得尸M平分角NP4,故B正確:

因為N（0,%）,7（0,-｛）,

6fr|）lIPT\2=X2+4j2=2y+4”，

“'八0000

1

4產|憎|=4產叫0叫=4y4--\y=2y+4y2

02I000

所以|尸T|2=4產故C正確:

直線G尸方程：k-黃+'+1,可得G（O』+y0）,所以|G牛9人,

0-

又「叫二4十；,所以G尸〃且尸勺=慳？|,

答案第6頁，共16頁

所以四邊形G門呼為平行四邊形，故忸G|=W"|.

田2+

|PG卜產叫+產葉,灼=爛邛+pFp=

2

,,,,\PF|2+GM|2

因為PG與G尸不垂直，所以歸同w|GM|,所以!_LJ----'_>\PF\-\GM\,

gp\PF\\GM\<|PG|-\FM\+|GF||故D正確;

故選：BCD.

1

13-3W

【分析】設患肺癌為事件a吸煙為事件5由題有尸(/)=尸(5)p?p)+尸切AQ,),

即可得答案.

【詳解】設患肺癌為事件4吸煙為事件8,則PQ)=0.1%,尸W=15%,

尸Q件)=0.5%尸G)=85%,不吸煙者中患肺癌的概率為PQ件)

又由全概率公式有尸(/)=p(2)p?p)+尸份》Q『)，

則0.15x0.5%+0.85/(/,)=0.1%,解得pQ戶)=3I0.

故答案為：3400

14.-73

【分析】把20。轉化為30。-10。，利用差角的正弦公式化簡即得解.

/\2|J-coslO0-2^，sinlO°I-cosl0°

【詳解】原式_2sin(30O-l(F)-cosl0?！?22)一^sinlO。

―smi0°―smi0="sinlO°

=->/3

故答案為：一出

15.8

【分析】由長方體模型得出。2+62+C2=16,再由基本不等式得出最值?

【詳解】設P4=a,PB=b,PC=c,因為三棱錐尸-/3C的三條側棱兩兩垂直，

所以由長方體模型可知，JB+；+C2=2,即B+62+C2=16.

S+S+S=L(ab+ac+bc)<\-[^a2+bi\G2+02IL+a)=1x32=8,當且僅

△PAB^PACAPBC24L-I4

答案第7頁，共16頁

當“=Z）=c=￥時，取等號.

即的最大值為8.

故答案為：8

16.2^/3

【分析】先由兩直線斜率之積構造齊次化方程，得出直線N8過定點（1,0）,再利用直線與圓

的位置關系計算弦長確定最值即可.

【詳解］設/（U），BG,/，，設,：7"X+7沙=1,又產=2x,=_P=2x（s+町）,

(yY

/.yi-2nxy-2mx2=0,/.I_I|—,——2m=0

?—i-?—a.=k-k=—2m=—2m=1,

,,xxOAOB

12

直線45恒過點

當圓心E到動直線AB的距離最大時，即

當直線時，弦長最短，此時弦，最小為254_（2—1）2=2/.

故答案為：2/

17.(1)6=3”T

n

(2?-l)3?1

⑵——+4

【分析】⑴將。換為，仍代入。=^la中化簡，根據定義即可判斷以｝為等比數列,

■.、/〃nn+1rinn

由首項公比寫出通項公式即可;

答案第8頁，共16頁

(2)由(1)中的通項公式求得。，再利用乘公比錯位相減得出前〃項和即可.

n

3〃+34c。

【詳解】⑴解：因為a+1=r—a，所以;

〃+innn+1n

又b=，,所以%=j,所以.=3,又b=a=1,

nnn+\n+\Dii

n

所以數列3｝是以1為首項，3為公比的等比數列，所以6=3?-1；

nn

(2)由⑴知，b='=3〃-i,所以〃二〃Bi,

nn?

以S—1,3o+2*3i+3*32+4,3s+,?,+—1)3〃-2+n?3?-i,

n

3s=1-3i+2?32+3-3s+4-34H----F(〃—1)?3〃-I+n-3n,

n

兩式相減可得:—2S=3o+3i+32+33+34+…+3—i

n

3〃-1??(2〃-1)3〃1

所以-2S=.........-n,3n,故S=-------------+_.

〃2〃44

,TI

18.(1)A=_

(2)LG(6,9]

【分析】⑴由條件6=質?日可得6=acosC+4cs//,再結合正弦定理及三個角之間的關

系可得=進而求出/；

(2)利用余弦定理再結合基本不等式，求得3<6+cW6,即可得到周長工的范圍.

【詳解】⑴由題意慶=,?=(cosC,c\b=m-n.

所以6=acosC+2^csinA,

/3

由正弦定理，可得sinB=sinAcosC+J-sinCsinA,

因為5=TI-(4+C),所以sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

又由?！?0,n),貝lJsinC>0,

整理得又因為/￡(0,n),所以/二9.

(2)由(1)和余弦定理Q2=/?2+c2-2&ccos/,BP32=Z72+C2-2bccosh=b2+C2-bc,

即62+02-60=9,整理得(b+c)2-36c=9,

答案第9頁，共16頁

h+c

又由be<(―^―)2(當且僅當b=c=3時等號成立)

從而9工3+。)2-3(、S)2=；(6+c)2,可得b+c<6,

又6+c>a=3,；.3<6+cW6,從而周長￡€(6,9].

【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和的應用，以及基本不等式求最值的應用，其

中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和

余弦定理，結合基本不等式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

19.⑴分布列見解析，￡怎)=(

(2)(i)200；(ii)199或200

【分析】(1)根據超幾何概率公式即可求解概率，進而得分布列和期望，

(2)根據抽樣比即可求解總數，根據最大似然思想結合概率的單調性即可求解最大值.

【詳解】(1)E=0,1,2,

答=言尸(E=2)=3

尸(E=o)=

宴…=k

5050

故分布列為:

012

129433

P175175175

「缶、八129143c37

=Ox---+lx---+2x---=一.

(2)(i)設池塘乙中魚數為加，則彳=言,解得機=200,故池塘乙中的魚數為200.

(ii)設池塘乙中魚數為〃，令事件8="再捉20條魚,5條有記號”，事件0="池塘乙中魚數為

n“

C5C15

則p,,=P(B\C)=，由最大似然估計法，即求最大時"的值，其中n65,

n

.p,_(7/-49)(Z7-19)

p(n-64)(〃+1)

n

當〃=65,198時^^>1,

n

當“=199時分=1,

n

答案第10頁，共16頁

當〃=200,201,…時v1

n

所以池塘乙中的魚數為199或200.

20.⑴證明見解析

【分析】（1）連接G〃,4G,由三角形中位線和邊長關系可知四邊形/DHG是平行四邊形，

即可證明AGH平面CDEF-,

（2）根據題意可知，以C為原點建立空間直角坐標系，可設居=入苑利用空間向量即可

表示出雙，進而確定G點位置，再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角E-DG-b的

正弦值為半?

【詳解】⑴證明：

連接G",/G,如下圖（1）中所示：

因為四邊形CD跖為平行四邊形，所以77是CE中點，

又G點為線段3E的中點，則GH7/BC,且G〃=：8C，

又ADUBCaAD=；BC,所以G〃///Z）,GH=/D,

所以四邊形NDHG是平行四邊形，所以4G//DH,

（2）以。為原點，C2,C。為X/軸，過C且在平面CDE廠內與。垂直的直線為，軸，建立

空間直角坐標系，如圖（2）所示：

由平面CDEA_L平面48cZ）,4）CF=60。，CO=DE=2可知，

YCDFNDEF均為邊長為2的正三角形，

則有。（0,2,0）,3（2,0,0）,E（0,3,g）尸6,1,/）,

答案第11頁，共16頁

設第=入苑=1-2入,3人,出人ZO<X<1

（一2人,3人,抬入）一（一2,2,0）=（2-2入,3入-2,4入）,

貝IJ9=肘-彷=

9=（1,0,0）為平面CDEF的法向量,

解得入=:（其中入=0舍去）斯以G1,2,2^

設平面EQG的法向量為』=(1，々］),則有

fft-DE=(x,y,z)-Y),195A^=y+&=0

111*1,1

m-DG=(x,y,z=x-Ly+=0

iiii2i2i

令彳=1,貝IJ\==一3,故可取加=1r,-0,14

設平面FDG的法向量為「=(3匕/)，則有

n-DF=(x,y,z)-C,-l,JT1-y+&=0

222V2Y2

H-DG=(x,y,z)-11,-J_,史=x-Ly+也彳=0

222(22J22222

令z=1,則x=0,y=73,故可取

222

所以cos（薜瑪

所以二面角E-DG-F的正弦值為

/42

即二面角E-DG-F的正弦值為".

21.(l)a=-l

⑵/（x）在區(qū)間（-私兀）上的零點個數為2

【分析】⑴求出函數的導函數，依題意可得;"（0）=。，解得即可;

答案第12頁，共16頁

⑵由⑴知/(町=+sinx,求出函數的導函數，令機(x)=/(x),利用導數說明加(尤)

Qx

的單調性，即可得到/(無)在(-兀,0)上的零點情況，當xe(0㈤時，將/Q)變形得

/(x)=_L(e*sinx-x),令"x)=e,sinx-x,利用導數說明尸(無)的單調性，即可判斷其零

e%

點個數，從而得解.

X］—X

［詳解］(D因為/(x)=a—+sinx,貝=——+cosx,

CxCx

由題意得，函數/■(?的圖象在點(oj(o))處的切線斜率為0,

即/'(0)=〃+1=0,解得。=一1.

xx—1

(2)由(1)矢口/(%)=_4+sinX,/(0)=0,f\x)=__+cosx

令加(x)=/F(x)=^__J-4-cosx,貝=_--sinx.

exe》

當xe(-兀,0)時，—>0,sinx<0,此時利(x)>0,/'(x)單調遞增，

Qx

/'(x)</'(0)=-1+1=0,故函數/(x)單調遞減，

所以〃x)>"0)=0,故函數/(Q在(-兀,0)上無零點.

當Xe(0㈤時，將/(X)變形得/(X)=——+Sinx=一(exsin尤-尤)，

QxCx

設方(%)=e、sin)-)，貝!I/'(%)=ex(sinx+cos%)—1,

設左(x)=e?sinx+cosx)—l,貝1左'(％)=2excosx,

易知當xe(0,3時，^(%)>0,當xeg,兀|時，k'(x)<0,

故人(x)在(0,3上單調遞增，在0,兀)上單調遞減，又發(fā)(0)=0,^)=e：-l>0,

左(兀)=-en-1<0,

故存在X。使左(,)=0,當xeQx。)時，k{x}>0,b(x)單調遞增；

當xe(x,7t)時，左(x)<0,尸Q)單調遞減，又尸(0)=0,故尸(x)>0,又F(兀)=-兀<0,

故函數/(X)在(0,x°)上沒有零點，在(二嚴)上有1個零點?

綜上所述，/G)在區(qū)間(-兀，兀)上的零點個數為2.

【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單

答案第13頁，共16頁

調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、

不等式證明常轉化為函數的單調性、極（最）值問題處理.

22.⑴胃+”=1

（2）證明見解析

⑶定值，半

X2V2y

一+-=1

,1Q2bl[Lai+b^xi+Laimx+a2m2

【分析】⑴設/y=-x+m聯(lián)立＜-aibi=0

1U6J2

V=_X+"2

4

利用韋達定理結合。c關系，即可求出6=2,62=1,得出橢圓的標準方程.

（2）設。（"，匕），“（”，乙），?（？,乙）/（與乙）,由已知得”—為

GW]

根據過橢圓上任一點的切線斜率公式得出過C點的切線方程斜率為

一旦=-1，得出/，聯(lián)立橢圓方程利用韋達定理和化簡得出x==2上,夕=匕口_,

aiy2y4G2G2

cc

判斷出G是九W的中點，又結合而=而，即可得證.

（3）設點C到直線4的距離為〃,結合（2）表示出兒W和〃，即可判斷結果.

【詳解】（1）由題知，設橢圓方程為一X2+1V2=1,

ai02

設/「k，憶屈X"），則c=l,

X2V2y

—+_=1

Q2blLai+hi1

聯(lián)立＜得X2+_a21