2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《圓?？继羁疹}》訓(xùn)練

2024年春九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《圓?？继羁疹}》專題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，A8是。。的弦，點C在窟上，點。是A8的中點.將會沿AC折疊后恰好經(jīng)過

點。，若O。的半徑為2遙，AB=8.則AC的長是.

2.如圖，在RtzXABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點。是半徑為2的OA上一動

點，點M是CD的中點，則的最大值是.

3.如圖，在平面直角坐標系中，P(0,4)、Q(8,0),以P為圓心2遍為半徑作。尸交x

軸于A、B,C為OP上一動點，連接C。，取C。中點。，連接A。、BD,則人^+與爐

的最大值為.

4.如圖，O。為等邊△ABC的外接圓，點。為位上一動點，連結(jié)AD,BD.AE為。0

上位于右邊的一條弦，且/D4E=30°,連結(jié)CE,則5D與CE所在直線的夾角度

數(shù)為°.當BD=、后,CE=4時，此時。。的半徑為.

5.正方形ABC。中，E是AO邊中點，連接CE,作N8CE的平分線交AB于點R則以下

結(jié)論：①/EC。=30°,②△BC尸的外接圓經(jīng)過點E；③四邊形AFCQ的面積是△BCF

面積的遍倍；④此正3.其中正確的結(jié)論有.（請?zhí)顚懰姓_結(jié)論的序號）

AB2

6.如圖，在等腰三角形ABC中，AB^AC,4。是中線，E是邊AC的中點，過B,D,E

三點的圓交AC于另一點凡交A。于點G,連接BE若BC=4,AD=4娟，則研=,

OO的直徑為.

7.設(shè)S為銳角△ABC的邊上的點，P、Q分別為AASC與△BSC的外接圓圓心，AC=5,

AB=8,BC=4娓,則△PQS面積的最小值為.

8.如圖，矩形ABCZ）中，AB=4,A￡>=8,點E,尸分別在邊A。，8C上，且點B,尸關(guān)于

過點E的直線對稱，如果EF與以CD為直徑的圓恰好相切，那么AE=

9.如圖，已知A8為。。的直徑，直線/與。。相切于點AC，/于C,AC交。。于點E,

_LA8于F.若AE=3,CD=2,則OO的直徑為.

D

10.一張半徑為R的半圓圖紙沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，。為半

圓圓心，如果切點分直徑之比為3：2,則折痕長為.

11.如圖，半圓。的直徑。E=12cm,在RtaABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC

=12cm.半圓。以2cm/s的速度從左向右運動，當圓心。運動到點8時停止，點。、E

始終在直線BC上.設(shè)運動時間為f(s),運動開始時，半圓。在△ABC的左側(cè)，OC=

8cm.當/=時，Rt^ABC的一邊所在直線與半圓。所在的圓相切.

12.如圖，A3是。。的直徑，。。交8c于。，DELAC,垂足為E,要使OE是。。的切

線，則圖中的線段應(yīng)滿足的條件是或.

13.如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=4,NCBA=30°,點。在線段AB上運動,

點E與點。關(guān)于AC對稱，。尸，OE于點。，并交EC的延長線于點?下列結(jié)論：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③線段EF的最小值為2近；

④當AD=1時，EF與半圓相切；

⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是8愿.

其中正確的結(jié)論的序號為.

F

c

E

AD0B

14.如圖，點B的坐標為（4,0）,以。點為圓心，以02為半徑的圓交y軸于點A,點C

為第一象限內(nèi)圓上一動點，CDLx軸于。點，點/為△0。的內(nèi)心，則AI的最小值

15.如圖，半徑為5的。。與y軸相交于A點，8為。。在無軸上方的一個動點（不與點A

重合），C為y軸上一點且NOCB=60°,/為△BC。的內(nèi)心，則△A/。的外接圓的半徑

的取值（或取值范圍）為.

16.點/為△A8C的內(nèi)心，連A/交△ABC的外接圓于點。，若A/=2CD,點E為弦AC的

中點，連接￡/,IC,若/C=6,"）=5,則/E的長為.

17.如圖，線段AC=7,半圓。的直徑48=4,點B在射線上運動.

（1）當半圓。恰好經(jīng)過AC邊的中點時，CB=；

（2）當AABC的內(nèi)心，外心與某一個頂點在同一條直線上時，tanC=

B

18.如圖，小圓。的半徑為1,AAiBiCi,△4B2c2,383c3,…,△4B〃Cn依次為同

心圓。的內(nèi)接正三角形和外切正三角形，由弦4cl和弧4G圍成的弓形面積記為Si,

由弦A2c2和弧A2c2圍成的弓形面積記為S2,…，以此下去，由弦和弧4G圍成

的弓形面積記為Sn,其中&020的面積為

19.如圖，已知。。的半徑為1,P。是。。的直徑，"個相同的正三角形沿排成一列,

所有正三角形都關(guān)于PQ對稱，其中第一個的頂點Ai與點P重合，第二個△

4282c2的頂點A2是B1C1與PQ的交點，…，最后一個△A/"Cn的頂點Bn.Cn在圓上.如

圖1,當72=1時，正三角形的邊長。1=；如圖2,當”=2時，正三角形的邊長

a2=；如圖3,正三角形的邊長如=（用含〃的代數(shù)式表示）.

圖1圖2圖3

20.對于平面圖形A,若存在一個或一個以上的圓，使圖形A上任意一點到其中某個圓的圓

心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋，圖1中的三角形被一個

圓所覆蓋，圖2中的四邊形被兩個圓所覆蓋，若長寬分別為2cm與\cm的矩形被兩個半

徑均為r的圓覆蓋，則r的最小值為cm.

①

參考答案

1.解：如圖，延長8。交OO于E,連接AE,OA,OD,OC,BC,作CH_LA8于H.

"：AD=DB,

：.OD±AB,

：.ZA￡)O=90°,

?：OA=2娓,AD=DB=4,

，°D=VOA2-AD2=2，

：BE是直徑，

：.ZBAE^9Q°,

\"AD^DB,EO=OB,

J.OD//AE,AE=2OD=4,

C.AE^AD,

???AD=AE-

???EC=CD)

：.ZCAE=ZCAH=45°,

：.ZBOC^2ZCAB=90°,

:.BC=MOC=24~^，

,：CH1AB,

：.ZCAH=ZACH=45°,

：.AH=CH,設(shè)A”=CH=x,則8H=8-x,

在RtZXBCH中，Ctf+BH2=BC2,

/.?+(8-x)2=(2A/1Q)2,

；.x=6或2(舍棄)，

在RtZXAC”中，：AC=〃H24cH2,

：.AC=642-

故答案為6&.

2.解：如圖，取AC的中點N,連接MN,BN.

VZABC=90°,AB=4,BC=3,

AC=正2+42=5,

'：AN=NC,

.?.BN=Lc=巨，

22

,:AN=NC,DM=MC,

：.MN=^AD=1,

2

：.BMWBN+NM,

2

2

.,.BM的最大值為工.

2

3.解：如圖，連接尸。，取尸Q的中點J,連接PC,JD,OJ,OD,PA,PB.

,：P(0,4)、Q(8,0),

???0尸=4,0。=8,

???-0=山2+82=4?,

"：PJ=JQ,

：.OJ=^PQ=2后,

,:PJ=JQ,CD=DQ,

:.JD=￥C=Q

,:PA=PB=2后,OP=4,OPLAB,

：.OA=OB=VPA2-OP2=V(2A/5)2-42=2，

AA(-2,0),B(2,0),

.?.點。的運動軌跡是以1/為圓心，遙為半徑的圓，

設(shè)Z)(m,〃)，貝!JAZ>2+B￡>2=(m+2)2+n2+(m-2)2+n2=2(m2+?2)+8,

VOZ)2=m2+n2,

.?.Of)最大時，加2+層的值最大，

,：ODW3娓

???根2+〃2的最大值為45,

.\AD2+B￡)2的最大值為2X45+8=98,

故答案為：98.

4.解：如圖，延長3。，CE交于點F,連接05,OC,CD,BE,

???△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=60°,

9

：ZDBC=ZDACf/ECB=/BAE,

：.ZBFC=180°-ZFBC-ZFCB

=180°-ZDAC-ZBAE

=180°-(ZDAC+ZBAD+ZDAE)

=180°-(/BAC+NDAE)

=180°-(60°+30°)

=90°,

???8。與CE所在直線的夾角度數(shù)為90°；

9：ZDAE=30°,

:?NDBE=NECD=30°,

在RtZXB跖中，設(shè)=徵，EF=n,

BF=BD+DF=y[^+m,

VZFBE=30°,

?V3_n

..丁而，

3

在RMkCD尸中，CE=4,

：.CF=CE+EF=4+n,

*：ZFCD=30°,

?V3_m

??--------------,

3i+n

?_V3,4如

33_

『近(i+—+巫

333

解得〃=2旦巨，

2

...n=一7,

2

BF=yf^+m=F+遂=跡，

22

CF=4+w=4+Z=至，

22_____

22

，BC=VBFCF=J^")2+(竽)2=V93，

如圖，過點。作0HL8C于點”，

°：OB=OC,

：.BH=LBC=^^~,

22

VZBOC=2ZBAC=120°,

:.NBOH=60°,

李=伍

：.OB=BH+

?..oo的半徑為百1

故答案為：90；V31.

5.解：：N￡)=90°,

.*.tan/ECD=-^_」

CD2

AZ￡CZ)#30°,

故①不正確；

延長CF交DA的延長線于G,

不妨正方形的邊長為2,

22

???CE=7DE4<D=a'

:四邊形ABC。是正方形，

J.AD//BC,

:.NG=NBCF,△AGFs^BCF,

?BF=BC

"AF而，

尸平分NBCE,

:./BCF=NECF,

：.ZG=ZECF,

:.GE=CE=正,

:.AG=GE-AE=a-1,

.BF二2

AF

.BF_2

"AF+BFV5-1+2'

.BF2_V5-1

,?AB-V5+12，

...④正確，

...8尸11AB=遍-],

：.AF=AF-BF=2-(返-1)=3-、西，

：.EF2^AF2+AE1=(3-后2+1=15-6代，

'：BF2=(V5-I)2=6-2遍，

；.EFWBF,

：.ZCEF^ZB=90°,

故②不正確，

???S*=|BC?BF=￡X2X(V5-1)=V5-1)

S正方形ABCZ)=4，

?,?5四邊形AFT。=4-(V5-1)=5-V5=V5(返-])，

四邊形AFCD的面積是△BCF面積的泥倍，

故③正確，

故答案為：③④.

6.解：如圖1,連接OE.

:在等腰△ABC中，AB=AC,A￡)是中線，

C.ADLBC,

為邊AC的中點,

：.DE=^AC=AE=CE,DE//AB,

2

:.NC=/EDC

與NEBC所對的弧均為貴,

：.ZDEC=ZFBC,

在△BCE與△EC。中，

ZDEC^ZFBC,/BCF=/ECD,

：./BFC=ZEDC,

'：ZC=ZEDC,

：.ZBFC=ZC,

如圖2,設(shè)A。交。。于點M,連接EW.

'：ZADB=9Q°,即為直徑，

ZBFM=90°,

：.ZAFM+ZBFC^90°,

VZDAC+ZC=90°,ZC=ZBFC,

：.ZAFM=ZDAC,

：.MA=MF,

設(shè)MA=MF=x,則DM=443-尤，

DM2+BCr=BF2+MF2=BM2,

DMp+BD1=BF2+MF2

即(4/3-x)2+22=42+X2,

解得尤=宜巨，

2

二卜展泠2二唔

故答案為：4,逗.

2

7.解：如圖，連接4P、CP、CQ.

；P、Q分別為△ASC與△8SC的外接圓圓心,

???QS=QC，PC=PS,

...尸。垂直平分cs,

?*-ZPQS=yZCQS-ZQPS=yZCPS，

ZCBA=yZCQS，ZCAB=yZCPS，

:.NPQS=/B,ZQPS=ZCAB,

JACABs^SPQ,

.SAPQS_rSP、2

??-------\"一）,

^ACAB‘A

過C作CH±AB于H,

設(shè)則28=8-x,

CH2^AC2-Atj2=Bd-BH1,

A52（4遙）2-（8-尤）2

當點S與X重合時，△ASC為直角三角形，此時點在AC中點，CP為最短，

吁加

即（絲）2的最小值為（工）2=」，

CA24

4PQS面積的最小值為』SZ\AC2=」X■1AB?CH=_1X8乂苗皿=遮19

____44281616

故答案為：返叵.

16

8.解：如圖，設(shè)。。與EF相切于連接E8,作EH_LBC于”.

由題意易知四邊形AEH8是矩形，AE=BH=x,

由切線長定理可知，ED=EM,FC=FM,

；B、廠關(guān)于即對稱，

：.HF=BH=x,ED=EM=8-x,FC=FM=8-2x,EF=16-3x,

在RtAEFH中，EF1=EH2+HF2,

.'.42+X2=(16-3x)2,

解得尤=6-娓或6+捉(舍棄)，

：.AE=6-遍，

故答案為：6-'底.

9.解：連接。E,BD.

C是圓的切線.

:./EDC=NDAC,OD_L直線/,

：AC_L直線I.

：.OD//AC,

：.ZADO^ADAC,

"：OA=OD,

J.ZOAD^ZADO,

J.ZOAD^ZDAC,

：.DF=CD=2,ZADF=AADC,

：.AF=AC,

'：ZDCE=ZACD,

.?心CDEsACAD,

:.CD：CA=CE：CD,

：.CD2^CE-CA,即4=CE(CE+3),

解得：CE=1,

'：DF±AB,AC_L/于C,

AZBFD^ZDCE^90°,

在△80尸和△￡￡>(7中，

，ZEDC=ZDAC

-NBFD=/DCE，

DF=DC

:ABDF會4EDC(AAS),

：.FB=CE=1,

：.AB=BF+AF=BF+AC=l+AE+CE=l+3+l=5.

方法二：連接BE交。。于H,解直角三角形△0E”即可解決問題;

故答案為：5.

10.解：如圖，作。點關(guān)于A8的對稱點O',則點。'為弧AZJ8所在圓的圓心,

連接O'D,貝l|O'D±EF,O'D=R,

:ED：DF=3：2,

：.DF^—'2R^—R,

55

：.OD=—R,

在RtZ\。'。。中，00

OC=^O'O=^^-R,

210_____________

在RtAAOC,AC=A/R2-)^=JzkR,

V〈ioJ10

?/OC±AB,

J.AC^BC,

：.AB=2AC=^^R.

5

即折痕長為叵R.

5

故答案為叵R

5

11.解：①當圓心。運動到點E與點C重合是時，

\'AC±OE,OC=OE=6cm,

此時AC與半圓O所在的圓相切，點O運動了2cm,

所求運動時間為/=2+2=1(s)；

②當圓心O運動到AC右側(cè)與AC相切時，

此時OC=6cM，點。運動的距離為8+6=14(cm),

所求運動時間為/=14+2=7(s)；

③如圖1,過。點作CF_LAB,交AB于尸點；

VZABC=30°,BC=12cm,

FO=6cm；

當半圓。與△ABC的邊A3相切時，

圓心O到AB的距離等于6cm,

且圓心。又在直線3。上，

???。與。重合，

即當。點運動到C點時，半圓。與△A3C的邊A3相切;

此時點。運動了8cm,所求運動時間為￡=8+2=4(s),

故答案為：Is,4s,7s.

DOE

圖1

12.解：（1）結(jié)合。只需OO〃AC,根據(jù)。是AB的中點，只需BZ）=C。即可；

（2）根據(jù)（1）中探求的條件，要使2。=以，則連接A。，只需AB=AC,根據(jù)等腰三

角形的三線合一即可.

13.解：①連接CD,如圖1所示.

:點E與點。關(guān)于AC對稱，

:.CE=CD.

：.ZE=ZCDE.

■:DFLDE,

：.ZEDF=90°.

：.ZE+ZF^90°,/CDE+/CDF=90°.

；./F=/CDF.

只有當CZ)_LAB時，/F=NCDF=NCBA=30°,故①錯誤;

②又,：ZF=/CDF,

:.CD=CF,

:.CE=CD=CF.故②正確；

③當a)_LAB時，如圖2所示.

c

E'

ADOB

圖2

TAB是半圓的直徑，

AZACB=90°,

,.,A8=4,ZCBA=30°,

：.ZCAB=60°,AC=2fBC=2如,

?；CD_LAB,ZCBA=30°,

??.CD=￡BC=?,

根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：

點。在線段A3上運動時，C。的最小值為

?；CE=CD=CF,

:.EF=2CD.

???線段?的最小值為2百.故③正確；

是等邊三角形.

\CA=CO,ZACO=60°.

：AO=2fAD=lf

\DO=1.

\AD=DO,

NACD=NOCD=30°,

點E與點。關(guān)于AC對稱,

J.ZECA^ZDCA,

：.ZECA=30°,

AZ￡CO=90°,

OC±EF,

,：EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OCLER

.?.跖與半圓相切.故④正確；

⑤：點D與點E關(guān)于AC對稱，

點。與點F關(guān)于8C對稱，

當點D從點A運動到點B時,

點E的運動路徑AM與關(guān)于AC對稱，

點F的運動路徑NB與AB關(guān)于BC對稱.

???EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分.

.^.S陰影=2S△ABC=2X^■^AC^BC=4?.故⑤錯誤.

圖S

故答案為②③④.

14.解：如圖，連接。/,/8,作△0/8的外接圓，圓心為P,連接P。，PB,IC,ON,BN,

:點/為△OC。的內(nèi)心，

：.ZIOC=Z1OB,

在△/OC和△/OB中，

’01=01

'ZIOC=ZIOB-

OC=OB

.,.△ZOC^A/OB(SAS),

：./OIC=NOIB,

'：CDLx,

：.ZODC=90°,

：.ZCOD+ZOCD=90°,

.,.AZCOD+—ZOCD=45°,

22

：.ZIOC+ZICO^45°,

.?.NO/C=135°,

：.ZOIC=ZOIB=135°,

：.ZONB=45°,

：.ZOPB^90°,

:點B的坐標為(4,0),

。8=4,

：.OP=BP=^-OB=2如,

：.P(2,-2),

當A,I,尸三點共線時，A/取得最小值,

此時AI^AP-PI

=V(0-2)2+(4+2)2-2加

=2行-2如.

故答案為：2JT5-2&.

15.解：如圖，

VZBC(?=60°,

：.ZCBO+ZCOB^120°,

?:/是內(nèi)心，

：.ZIOB=^ZCOB,ZIBO=^ZCBO,

22

：.ZIOB+ZIBO=^-(,/COB+CBO)=60°,

2

：.ZOIB=180°-ZIOB-ZIBO=12Q°,

"：OA=OB,ZAOI=ZBOI,01=01,

：.AAIO^ABOI(SAS),

/.ZAIO=ZBIO^120°,

作△A。/的外接圓OG,連接AG,OG,作GO_LOA于D

VZAZO=120°=定值，。4=5=定值，

.,.點/的運動軌跡是0A，

△AO/的外接圓的半徑是定值，

：G4=GO,GD±OA,/AGO=120°,

ZAGZ)=AZAGO=120°,AD=OD=^-,

22

5__

…_AD__2__573

??ACr-------.-/——----.

sin60V3_3

2

故答案為殳巨.

3

16.解：延長m到跖使得。連接aw.

,/是△ABC的內(nèi)心，

：.ZIAC^ZIAB,ZICA^ZICB,

'：ZDIC=ZIAC+ZICA,ZDCI=ZBCD+Z1CB,ZBCD=ZIAB,

：.ZDIC=ZDCI,

:.DI=DC=DM,

：.ZICM^9Q°,

ACM=VIM2-IC2=8>

：A/=2C￡）=10,

'：AE^EC,

：.IE=—CM^4,

2

故答案為4.

17.解：（1）如圖1,設(shè)AC的中點為E,連接8E,

圖1

:半圓。經(jīng)過AC的中點，A8為直徑,

ZAEB=90°,

/.BE±AC且BE平分AC,

二點8到點A,C的距離相等，

.\BC=AB=4,

(2)①當CB=AB時，內(nèi)心、外心與頂點2在同一條直線上,

作AH_LC8于點H,如圖2,

設(shè)BH=x,貝ij72-(4+x)2=42-/,

解得：尤=JZ,

8

：.CH=^-,AH=7A,

88

.".tanC=^5L,

7

②當CB=CA時，內(nèi)心、外心與頂點C在同一條直線上,

作AH_LCB于點X,如圖3,

圖3

設(shè)貝!17?-(7-x)2=42-%2,

解得：x=足，

7

：.CH=—,AH=12“_,

77

.，.tanC=12遙

41