2024年高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列

3、數(shù)列2024年高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)數(shù)列的概念

1.數(shù)列的概念

___________________________叫做數(shù)列.

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列｛an｝的與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，

這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3.數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…，4)

的函數(shù)，當(dāng)自變量____________依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列的

通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是.

4.數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可分為、.

(2)按照數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況可分為：

①遞增數(shù)列；②遞減數(shù)列；③擺動(dòng)數(shù)列；④常數(shù)列.

5.遞推公式

如果已知數(shù)列仿口｝的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，任一項(xiàng)初與它的前一項(xiàng)an-1

(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以來表示，那么這個(gè)公式就

叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

題型一歸納通項(xiàng)公式

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)-1,7,一13,19,…

(2)0.8,0.88,0.888,…

(3)1,0,0,0,4，0,???

(碌1'看'招,…

探究1①此類問題常常將數(shù)列的各項(xiàng)結(jié)構(gòu)形式分解成若干個(gè)基本數(shù)列

對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”、“差”、“積”，再進(jìn)行分析歸納.

②有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段函數(shù)形式表示.

③應(yīng)熟記一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式.

題型二必與血的關(guān)系

例2已知數(shù)列｛加｝的前Z7項(xiàng)和為必，求｛加｝的通項(xiàng)公式.

①Sn=2n2—3z?

②

探究2%與&的關(guān)系式an=Sn—Sn-i的條件是“22,

求即時(shí)切勿漏掉〃=1即的=&的情況.一般地，

=

當(dāng)〃i=Si適合%=5〃一S〃-1時(shí)，anSn—S?-i；

Si(%=1)

=

當(dāng)?shù)?Si不適合a〃=S〃一&-1時(shí)，an*c_c/

Sn—Sn-i(〃力2).

思考題2數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”,的=1,即+i=；S"（〃=l,2,3,…），

求S”及an

題型三遞推數(shù)列的通項(xiàng)

例3⑴設(shè)數(shù)列｛%｝中，的=2,a?+i=a?+n+l,則通項(xiàng)時(shí)=.

⑵為=1,竽="+1,則通項(xiàng)時(shí)=.

（3）。1=1,G〃+I=3G〃+2,則通項(xiàng)時(shí)=.

（4）??>0,今工=’雙，則通項(xiàng)“=.

小結(jié)：

1.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，

主要從以下幾個(gè)方面來考慮：

①符號(hào)用（-1）〃或（一1）。+1來調(diào)節(jié)，這是因?yàn)锳和A+1奇偶交錯(cuò).

②分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母

的關(guān)系.

③對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他

方法來解決.

④此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察規(guī)律、

類比已知數(shù)列、轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差、等比）等方法.

2.曲與an之間兩種轉(zhuǎn)化途徑，注意27=1和〃N2兩種情況.

3.由的求an時(shí)，注意。=1和〃>1兩種情況，最后看二者是否統(tǒng)一.

等差數(shù)列

1.數(shù)列的概念

___________________________叫做數(shù)列.

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列｛an\的與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，

這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3.數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，/?｝）

的函數(shù)，當(dāng)自變量___________依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列的

通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是.

4.數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可分為、.

(2)按照數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況可分為：

①遞增數(shù)列；②遞減數(shù)列；③擺動(dòng)數(shù)列；④常數(shù)列.

5.遞推公式

如果已知數(shù)列仿力的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，任一項(xiàng)初與它的前一項(xiàng)an-1

(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以來表示，那么這個(gè)公式就

叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

題型一歸納通項(xiàng)公式

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)-1,7,一13,19,…

(2)0.8,0.88,0.888,…

(3)1,0,T，0,0,0,???

探究1①此類問題常常將數(shù)列的各項(xiàng)結(jié)構(gòu)形式分解成若干個(gè)基本數(shù)列

對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”、“差”、“積”，再進(jìn)行分析歸納.

②有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段函數(shù)形式表示.

③應(yīng)熟記一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式.

題型二Sn與an的關(guān)系

例2已知數(shù)列｛an｝的前A項(xiàng)和為切，求｛az?｝的通項(xiàng)公式.

①Sn=2n"2—3/?

②Sn=3~n+b

探究2%與Sn的關(guān)系式a.=S"—S『i的條件是"》2,

求即時(shí)切勿漏掉”=1即可=&的情況.一般地，

=

當(dāng)適合an—Sn—S”-i時(shí)，anSn-S”-i；

[Si(〃=1)

當(dāng)不適合a“=S"—S“-i時(shí)，,、八

[Sn—Sn-i(〃力2).

思考題2數(shù)列｛廝｝的前〃項(xiàng)和S.，ai=l,即+i=|S"(〃=l,2,3,…),

求S”及an

題型三遞推數(shù)列的通項(xiàng)

例3⑴設(shè)數(shù)列｛時(shí)｝中，?1=2,即+1=%+葉1,則通項(xiàng)“=.

⑵的=1,竽="+1,則通項(xiàng)時(shí)=________.

%

—，—i_cm心田幣—

小結(jié)：

2.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，

主要從以下幾個(gè)方面來考慮：

①符號(hào)用(一D"或(一1)。+1來調(diào)節(jié)，這是因?yàn)閆7和27+1奇偶交錯(cuò).

②分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母

的關(guān)系.

③對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他

方法來解決.

④此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察規(guī)律、

類比已知數(shù)列、轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差、等比)等方法.

2.2?與初之間兩種轉(zhuǎn)化途徑，注意27=1和兩種情況.

3.由的求即時(shí)，注意。=1和〃>1兩種情況，最后看二者是否統(tǒng)一.

等比數(shù)列

知識(shí)要點(diǎn)：

一、等比數(shù)列的判定及證明

證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的方法主要有兩種：一是利用等比數(shù)列的定義，

即證明a"an=q(qWO,nGN+)；二是利用等比中項(xiàng)法，即證明6m)“2=

anan+2W0(〃GN+).在解題中，要注意根據(jù)欲證明的問題，對(duì)給出的條件

式進(jìn)行合理地變形整理，構(gòu)造出符合等比數(shù)列定義式的形式，從而證明結(jié)

論.判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列只需舉出一個(gè)反例即可.

例1、設(shè)數(shù)列改數(shù)的前n項(xiàng)和為Sn,已知ai=l,S?+i=4a?+2.

⑴設(shè)b“=an+i—2a",證明：數(shù)列｛bj是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

二、等比數(shù)列中基本量的計(jì)算

等比數(shù)列基本量的計(jì)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決此類問題的關(guān)

鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善

于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過程.尤其要注意的是，在使用等比數(shù)列

的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比g的情況進(jìn)行分類討論.

例2、(1等比數(shù)列｛an｝中，|al|=1,a5=-8a2,a5>a2,則an=()

A.(-2)"-1B.—(—2)“T

C.(-2)°D.-(-2)n

(2)設(shè)S?為等比數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和，已知3&=a—2,3￡=a—2,則

公比Q=()

A.3B.4

C.5D.6

(3)(2010年高考遼寧卷)設(shè)｛斯｝是由正數(shù)組成的等

比數(shù)列9Sn為其前〃項(xiàng)和?已知°2。4=1，53=7>

則s5=()

變式訓(xùn)練1數(shù)列｛an｝中，ai=l,a2=2,數(shù)列｛為?劣+J是公比為q

(q>0)的等比數(shù)列.

(1)求使anan+i+an+ian+2>an+2an+3(nGN+)成立的q的取值范圍；

⑵若b?=a2n-i+a2n(nGN+),求｛bn｝的通項(xiàng)公式.

三、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和及其性質(zhì)

等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變

形，三是前〃項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變

化特征即可找出解決問題的突破口.

例3、在等比數(shù)列｛aj中，ai最小，且ai+a?=66,a2?a?-i=128,

前n項(xiàng)和Sn=126,

⑴求公比q；

⑵求n.

2.等比數(shù)列其他性質(zhì).

(1)若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,則｛叫｝(存0),｛m｝,｛片｝,

｛5｝也是等比數(shù)列，若也｝是等比數(shù)列，則｛6也｝也

是&比數(shù)列.

⑵數(shù)列"機(jī)，〃機(jī)+4，+249°帆+34，…仍成等比數(shù)列.

(3)若等比數(shù)列｛冊(cè)｝的項(xiàng)數(shù)為2〃,則||=q,其中S偶，

S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和.

(4)皆=廣(機(jī)，〃￡N+).

a帆

四、等比數(shù)列的綜合問題

在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時(shí)，重點(diǎn)在于讀懂題意，而正確利用等差、

等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式是解決問題的關(guān)鍵.

例題4

變式訓(xùn)練2(2009年高考山東卷)等比數(shù)列｛%｝的

前〃項(xiàng)和為S”，已知對(duì)任意的〃￡N+,點(diǎn)(〃，Sn)

均在函數(shù)尸"+『3>0且厚1,仇r均為常數(shù))的

圖像上.

⑴求r的值；

1

⑵當(dāng)。=2時(shí)，記瓦,="(〃WN+),求數(shù)列｛兒｝的

前n項(xiàng)和Tn.

方法感悟

1.等比數(shù)列的判定方法有以下幾種：

(1)定義：乎1=以4是不為零的常數(shù)，〃WN+)今｛明｝

是等比數(shù)列：

(2)通項(xiàng)公式:G.=C/(C、Q均是不為零的常數(shù),〃￡N

+)臺(tái)｛%｝是等比數(shù)列.

(3)等比中項(xiàng)公式：G”+la/jan+2(G，JGn+l/Gn+2/°，

〃￡N+)臺(tái)｛“”｝是等比數(shù)列.(如例1)

2.方程觀點(diǎn)以及基本量(首項(xiàng)和公比al,q)思想仍然是求解等比數(shù)列問題

的基本方法：在al,q,n,an,Sn五個(gè)量中，知三求二.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基

礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快

捷地解決許多等比數(shù)列問題.

4.解決等比數(shù)列的綜合問題時(shí)，首先要深刻理解等比數(shù)列的定義，能夠

用定義法或等比中項(xiàng)法判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列；其次要熟練掌握

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能夠用基本量方法和等比數(shù)列的性

質(zhì)解決有關(guān)問題.

數(shù)列的求和問題

知識(shí)要點(diǎn)：

(1)等差、等比數(shù)列求和

(2)裂項(xiàng)相消法

(3)倒序相加法

(4)錯(cuò)位相減法

(5)常用的求和公式

典型例題

例1.已知列｛x“｝的首巧=3,Xn=2"?p+n.q

(nGN*,p,q是常)，且,巧事成等差列。

(1)求p,q的值；

(2)求列｛xj的前n和S.

例2.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S"，S=n2.

⑴求證：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)求和:——++」—(九22).

%Cl?。2"31"八

例3.求S=1+2%+3x2+4%3++(3+1)?

的值.

例4.已知數(shù)列｛4