2024高考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編：立體幾何（文科）答案版

文科立體幾何（答案分析版）

［2024.安徽卷］一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.48B.32+8V17C.48+8匹D.80

C【解析】由三視圖可知本題所給的是一個(gè)底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱（如圖所示）,

所以該直四棱柱的表面積為

［2024?北京卷］某四棱錐的三視圖如圖1—1所示，該四棱錐的表面積是（）

A.32B.16+16^/2C.48D.16+32吸

B【解析】由題意可知，該四棱錐是一個(gè)底面邊長為4,高為2的正四棱錐，所以其表面

積為4義4+4義3乂4*2吸=16+16也，故選B.

［2024?廣東卷］如圖，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角

形，等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為（）

C【解析】由三視圖知該幾何體為四棱錐，棱錐高仁］（2小產(chǎn)-（小）2=3,底面為菱形,

對角線長分別為2小，2,所以底面積為3X2小X2=2小，

所以V—^Sh—^X2^3X3=2A/3.

[2024.湖南卷]設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

99

A.9K+42B.36K+18C.2TI+12D.]7i+18

D【解析】由三視圖可得這個(gè)幾何體是由上面是一個(gè)直徑為3的球，下面是一個(gè)長、寬

3

都為3高為2的長方體所構(gòu)成的幾何體，則其體積為：V=Vi+V2=1x7tX（J）+3X3X2

9

=2兀+18,故選D.

[2024.遼寧卷]一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2小，它的三視圖中的俯視

圖如圖1—3所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是（）

A.4B.25C.2D.V3

B【解析】由俯視圖知該正三棱柱的直觀圖為下圖，其中N是中點(diǎn)，矩形MNGC為

左視圖.

由于體積為2小，所以設(shè)棱長為m貝6Xa2xsin6（TXa=2小，解得a=2.所以CM=小，

故矩形MNGC面積為2小，故選B.

[2024?課標(biāo)全國卷]在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖

可以為（）

D【解析】由正視圖和俯視圖知幾何體的直觀圖是由一個(gè)半圓錐和一個(gè)三棱錐組合而成

的，如圖，故側(cè)視圖選D.

［2024?陜西卷］某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（）

俯視圖

AQ2兀-2兀

A?8-不B.8C.8-2兀D,亍

A【解析】主視圖及左視圖一樣是邊長為2的正方形，里面有兩條虛線，俯視圖是邊長

為2的正方形及直徑為2的圓相切，其直觀圖為棱長為2的正方體中挖掉一個(gè)底面直徑為2

的圓錐，故其體積為正方體的體積及圓錐的體積之差，丫正=23=8,1錐=1?戶仁2郛7r?=：!,

/?=2）,故體積V=8一丁，故答案為A.

［2024?天津卷］一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m3.

4【解析】依據(jù)三視圖還原成直觀圖，可以看出，其是由兩個(gè)形態(tài)一樣的，底面長和寬都

為1,高為2的長方體疊加而成，故其體積V=2X1X1+1X1X2=4.

22024?浙江卷］若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（）

［2024?福建卷］如圖1—3,正方體ABC。一A/iCiQi中，AB=2,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F

在CD上，若EF〃平面ABC，則線段EF的長度等于.

正【解析】所〃平面ABC,平面ABC。，平面ABCDCI平面43iC=AC,

J.EF//AC,

又是的中點(diǎn)，

尸是C￡）的中點(diǎn)，即所是△ACD的中位線，

.\EF—^AC—^X'2yl2—y[2..

[2024?浙江卷]若直線/不平行于平面a,且ma,則（）

A.a內(nèi)的全部直線及/異面

B.a內(nèi)不存在及/平行的直線

C.a內(nèi)存在唯一的直線及/平行

D.a內(nèi)的直線及/都相交

B【解析】在a內(nèi)存在直線及/相交，所以A不正確；若a內(nèi)存在直線及/平行，又Y/

4a,則有/〃a,及題設(shè)相沖突，；.B正確，C不正確；在a內(nèi)不過/及a交點(diǎn)的直線及/異

面，D不正確.

[2024?廣東卷]正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對

角線，那么一個(gè)正五棱柱對角線的條數(shù)共有（）

A.20B.15C.12D.10

D【解析】一個(gè)下底面5個(gè)點(diǎn)，每個(gè)下底面的點(diǎn)對于5個(gè)上底面的點(diǎn)，滿意條件的對角

線有2條，所以共有5X2=10條.

[2024?四川卷]6，心,，3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A.ZiJ_/2，h工13nh〃b

B./2〃/3=，l-L，3

C./[//=c共面

D.Zl,ll,，3共點(diǎn)=/l,h,，3共面

B【解析】對于A,直線/1及上可能異面；對于C,直線/1、/2、/3可能構(gòu)成三棱柱三條

側(cè)棱所在直線而不共面；對于D,直線/1、，2、/3相交于同一個(gè)點(diǎn)時(shí)不肯定共面.所以選B.

[2024?湖北卷]設(shè)球的體積為％,它的內(nèi)接正方體的體積為V2,下列說法中最合適的是

（）

A.%比%大約多一半

B.%比匕大約多兩倍半

C.W比七大約多一倍

D.%比巳大約多一倍半

4r-

D【解析】設(shè)球的半徑為R,則匕茂設(shè)正方體的邊長為°,則&=/.又因?yàn)?R=小

a,所以％=%(^，3=坐33,%一%=￡^兀一］113PL7a3.

［2024?遼寧卷］已知球的直徑SC=4,A、B是該球球面上的兩點(diǎn)，A8=2,ZASC^ZBSC

=45。，則棱錐S—A3C的體積為（）

A近R”「嶇口氈

3_D.3.3LJ.3

C【解析】如圖1-6,由于SC是球的直徑，所以NSAC=NSBC=90。，又/ASC=/BSC

=45°,所以△SAC、ZXBSC為等腰直角三角形，取SC中點(diǎn)。，連接AD、8D由此得SC_L

AD,SCLBD,即SC,平面ABD所以VSTBC=VSTB0+VC-AB?=WSAABZTSC.

由于在等腰直角三角形△SAC中NASC=45。，SC=4,所以AZ）=2.同理80=2.

又AB=2,所以△A8。為正三角形，

1114s_

所以VS-ABC=^SAABD-SC=^X-X22-sin60°x4=^-,所以選C.

［2024.課標(biāo)全國卷］已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球

面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的荒，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高及體積較大

者的高的比值為.

1【解析】如圖，設(shè)球的半徑為R,圓錐底面半徑為r,則球面面積為4兀F，圓錐底面

面積為兀r2,

由題意兀/=年出2,所以r=坐凡所以001=7OA?-0次2=個(gè)R2—,R2=3R,

1311

所以SOi=R+/R=1R,S\O\—R—^R=^R,

R

EG、］S。__2__1

所以而?一藐一

3-

2

［2024?四川卷］如圖1—3,半徑為4的球。中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球

的表面積及該圓柱的側(cè)面積之差是.

圖1—3

大綱文數(shù)15.G8

3271【解析】本題主要考查球的性質(zhì)、球及圓柱的組合體、均值不等式的應(yīng)用.如圖1—

4為軸截面，令圓柱的高為人，底面半徑為廣，側(cè)面積為S,球半徑R=4,則⑨2+，=R2,

即〃一戶.因?yàn)镾=2nrh=4nr\JR2一a=戶?(R2—r2)R——^2=27tT?2,取

等號時(shí)，內(nèi)接圓柱底面半徑為陰，高為6R,球一5圓柱=4兀爐一2兀F=2兀肥=32兀

[2024?全國卷]已知正方體ABC。一AliGDi中，E為GA的中點(diǎn)，則異面直線AE及8C

所成角的余弦值為.

2

3【解析】取43的中點(diǎn)R連ER則跖〃3C,NAEF是異面直線AE及所成的

角，設(shè)正方體的棱長為。，可得AE=,a,4尸=坐°,在△AEF中，運(yùn)用余弦定理得cosNAE產(chǎn)

22

=昌即異面直線AE及BC所成角的余弦值為京

[2024?安徽卷]如圖1—4,A8EDPC為多面體，平面ABED及平面ACFD垂直，點(diǎn)。在線

段A。上，OA=\,OD=2,△OAB,△OAC,AODE,△OZ)尸都是正三角形.

⑴證明直線8C〃EF；

(2)求棱錐F-OBED的體積.

圖1一4

【解答】(1)證明：設(shè)G是線段ZM及助延長線的交點(diǎn)，由于△04B及△。?！甓际钦?/p>

形，OA=1,OD=2,所以O(shè)B觸夕)E,OG=OD=2.

同理，設(shè)G'是線段ZM及PC延長線的交點(diǎn)，OC^DF,OG'=0D=2,又由于G和

G,都在線段ZM的延長線上，所以G及G,重合.

在AGED和△Gf'D中，由08%DE和OC可知8和C分別是GE和GF的中點(diǎn).所

以BC是AGE尸的中位線，故BC〃EF.

(2)由08=1,OE=2,ZEOB=60°,矢口SAEOB=￥.

而△0即是邊長為2的正三角形，故SAOED=小.

所以SOBED—SAEOB^~S/\OED—^-2^-

過點(diǎn)F作FQ±DG,交DG于點(diǎn)Q,由平面ABE。，平面ACFD知，尸Q就是四棱錐F-0BED

[3

的IWJ,且尸。=小，所以VF-08匹=§尸。,S四邊形OBED=]?

[2024?北京卷]

圖1一4

如圖1—4,在四面體B48c中，PC±AB,B4_LBC,點(diǎn)。，E,F,G分別是棱AP,AC,BC,

尸2的中點(diǎn).

(1)求證：OE〃平面8cP；

(2)求證：四邊形。EFG為矩形；

(3)是否存在點(diǎn)。，到四面體%BC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.

課標(biāo)文數(shù)17.G4[2024.北京卷]【解答】(1)證明：因?yàn)?。，￡分別為AP,AC的中點(diǎn)，

圖1-5

所以DE〃PC.

又因?yàn)?。磯平?cP,PCU平面8CP,

所以DE〃平面BCP.

(2)因?yàn)椤?、E、F、G分別為AP、AC、BC、P8的中點(diǎn)，

所以DE〃PC〃FG,

DG//AB//EF,

所以四邊形DEFG為平行四邊形.

又因?yàn)镻CLAB,

所以。E_LOG,

所以平行四邊形DEFG為矩形.

(3)存.在點(diǎn)。滿意條件，理由如下：

連接。EEG,設(shè)。為EG的中點(diǎn).

由(2)知，DFDEG=Q,MQD=QE=QF=QG=^EG.

分別取PC、AB的中點(diǎn)M,N,連接ME、EN、NG、MG、MN.

及(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)。,

且QM=QN=；EG.

所以。為滿意條件的點(diǎn).

[2024?江蘇卷]如圖1—2,在四棱錐P—A3。中，平面平面A8CD,AB=AD,Z

540=60。，E、尸分別是AP、A。的中點(diǎn).

圖1一2

求證：⑴直線EP〃平面PCD；

⑵平面平面PAD.

課標(biāo)數(shù)學(xué)16.G4,G5[2024?江蘇卷]本題主要考查直線及平面、平面及平面的位置關(guān)系，考

查空間想象實(shí)力和推理論證實(shí)力.

【解答】證明：⑴在△出。中，因?yàn)镋,尸分別為AP,的中點(diǎn)，所以EF〃PD又因?yàn)?/p>

PCD,POU平面PC￡),

圖1—3

所以直線EF〃平面PCD.

⑵連結(jié)8。，因?yàn)锳B=A。，ZBAD=60°,所以△A3。為正三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，

所以BFLAD.

因?yàn)槠矫鎋L平面ABCD,BEU平面ABCD,

平面E4OCI平面ABCD^AD,所以BF_L平面PAD.

又因?yàn)?EU平面BEF,所以平面B￡FJ_平面PAD.

圖1—6

圖1—8

1[2024?課標(biāo)全國卷]如圖1—8,四棱錐P—A8CD中，底面ABC。為平行四邊形，ZDAB

=60。，AB=2AD,PD_L底面ABCD

⑴證明：PALBD-,

(2)設(shè)尸￡>=&￡>=1,求棱錐。一PBC的高.

課標(biāo)文數(shù)18.G5,GU[2024?課標(biāo)全國卷]【解答】(1)證明：因?yàn)镹ZMB=60。，AB=2AD,

由余弦定理得BD=y[3AD,

從而8。2+4￡>2=4序，故BO_LAD

又POJ_底面ABC。，可得8O_LP。，

所以平面P4D故B4_LBD

(2汝口圖，作。E_LPB,垂足為E

已知PZ)_L底面ABCD,則PDYBC.

由(1)知8O_L4。，XBC//AD,所以BC_LBD

圖1一9

故BCJ_平面PBD,BCYDE.

則OE_L平面PBC.

由題設(shè)知尸。=1,則8。=/，PB=2.

依據(jù)DEPB=PDBD得DE=%.

即棱錐D-PBC的高為坐.

[2024?陜西卷]如圖1一8,在△ABC中，ZABC=45°,NA4C=90。，AD是BC上的高，

沿AD把折起，使NBDC=90。.

(1)證明：平面AD2_L平面2￡>C；

(2)若2。=1,求三棱錐。一ABC的表面積.

課標(biāo)文數(shù)16.G5[2024?陜西卷]【解答】⑴：折起前是8C邊上的高,

.,.當(dāng)折起后，AD±DC,AD1DB.

又DBCDC=D.

.*.4。_1平面8。仁

,：AD平面ABD,

平面A8O_L平面8DC

(2)由(1)知，DALDB,DB±DC,DCIDA,

DB=DA^DC^1.

：.AB=BC=CA=y/2,

從而S^DAB=S^DBC=S^DCA=^X1X1=1.

i、八

S^ABC=2X正義啦Xsin600=為二

，表面積S=3><3+坐=支要.

2024?江蘇卷］如圖1一2,在四棱錐尸一ABC。中，平面物。_L平面ABC。，AB^AD,ZBAD

=60。，E、尸分別是AP、的中點(diǎn).

圖1一2

求證：(1)直線EF〃平面PCD；

⑵平面平面PAD.

課標(biāo)數(shù)學(xué)16.G4,G5［2024?江蘇卷］本題主要考查直線及平面、平面及平面的位置關(guān)系，考

查空間想象實(shí)力和推理論證實(shí)力.

【解答】證明：⑴在△E4。中，因?yàn)椤?尸分別為AP,的中點(diǎn)，所以EP〃尸D又因?yàn)?/p>

EFC平面PCD,POU平面PC。，

圖1一3

所以直線EP〃平面PCD.

(2)連結(jié)8。，因?yàn)锳B=A。，ZBAD=60°,所以△A3。為正三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，

所以BFYAD.

因?yàn)槠矫鍮4￡)_L平面ABCD,BFU平面ABCD,

平面平面A8CO=A。，所以8/」平面B4D

又因?yàn)锽EU平面8E凡所以平面平面MD

［2024?遼寧卷］如圖1一8,四邊形ABC。為正方形，

圖1一8

QA_L平面A3CD,PD//QA,QA=AB^PD.

(1)證明：尸。,平面。CQ；

⑵求棱錐Q-ABCD的體積及棱錐P-DCQ的體積的比值.

課標(biāo)文數(shù)18.G7［2024.遼寧卷］【解答】(1)由條件知PD4Q為直角梯形.

因?yàn)椤_L平面ABCD,所以平面PD4QJ_平面ABCD,交線為AD

又四邊形ABC。為正方形，DC1AD,

所以。C_L平面PZX4Q,可得尸Q_LOC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=,PD,則PQLQD.

所以尸平面DCQ.

⑵設(shè)AB=a.

由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABC。的高，所以棱錐Q-ABCD的體積Vi=1cz3.

、歷

由(1)知P。為棱錐產(chǎn)一OCQ的高，而PQ=Wa,△OCQ的面積為爭落

所以棱錐P—DCQ的體積V2=p.

故棱錐Q—ABC。的體積及棱錐P-DCQ的體積的比值為1.

圖1一6

1[2024?湖南卷]如圖1-5,在圓錐P。中，已知「。=讓，。。的直徑A8=2,點(diǎn)C在,

上，且/CAB=30。，。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：AC_L平面產(chǎn)。。；

(2)求直線OC和平面R1C所成角的正弦值.

圖1—5

課標(biāo)文數(shù)19.G5,GU[2024?湖南卷]【解答】

(1)因?yàn)椤?=OC,。是AC的中點(diǎn)，所以AC_LOD

又PO_L底面。0,ACU底面。0,所以AC_LP。

而0D,P0是平面P0D內(nèi)的兩條相交直線，

所以AC_L平面P0D.

⑵由⑴知，AC±￥ffiPOD,又ACU平面朋C,

所以平面POZ)J_平面PAC.

在平面尸。。中，過。作OH_LP￡)于“，則OH_L平面B4c.

圖1-6

連結(jié)CH,則CH是0C在平面PAC上的射影，

所以NOCW是直線OC和平面PAC所成的角.

在RtZXODA中，OZ)=O4sin30°=)

在RtZXPOO中,

POOD內(nèi)5S

后而一二—3?

在RtZkOHC中，sin/OC”=^=乎.

故直線0C和平面PAC所成角的正弦值為弓.

圖1—7

[2024?浙江卷]如圖1一7,在三棱錐P—ABC中，AB^AC,。為BC的中點(diǎn)，尸。,平面

ABC,垂足。落在線段AD上.

(1)證明：APLBC-,

(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角8—4P—C的大小.

課標(biāo)文數(shù)2O.G11[2O24?浙江卷]【解答】(1)證明：由AB=AC,。是8C中點(diǎn)，得AOLBC,

又PO_L平面A8C,得尸。_LBC,

因?yàn)槭?。n4。=0,所以BC_L平面B4￡),故BCL4P.

(2)如圖，在平面APB內(nèi)作BM1陰于連CM.

因?yàn)锽C_LB4,得E4_L平面BMC,所以AP_LCM.

故N8MC為二面角8—AP—C的平面角.

在中，AB2=AD2+BD2=4l,得AB=#i.

在RtAPO。中，PD2=PO2+OD2,

在Rt/XPOB中，PB2=PA+BM

所以尸82=尸02+0。2+&)2=36,得PB=6.

在RtZVYM中，出2=402+。產(chǎn)=25,得%=5.

又cos^.BPA—2PA，PB—3,

從而sinN8B4=2'.

故BM=PBsinZBPA=4^2.

同理CM=44i因?yàn)锽M2+MC2=BC2,

所以/BMC=90。，

即二面角B-AP-C的大小為90°.

圖1一5

[2024?福建卷]如圖1—5,四棱錐P—ABC。中，B4_L底面A8C￡),ABLAD,點(diǎn)E在線段

AD上，且CE〃AA

⑴求證：CE_L平面E4D；

(2)若B4=A2=1,AD=3,CD=@ZCDA^45°,求四棱錐尸一ABC。的體積.

課標(biāo)文數(shù)2O.G12[2O24?福建卷]【解答】⑴證明：因?yàn)閷O，平面ABC。，CEU平面ABC。,

圖1-6

所以必_LCE.

因?yàn)锳B_L4。，CE//AB,

所以CE_LAD

又P4nA。=4,

所以CE_L平面PAD.

(2)由(1)可知CE1AD.

在Rt/XECf)中，￡)￡=CD-cos45°=l,C￡=CZ)-sin45°=1.

又因?yàn)锳8=CE=1,AB//CE,

所以四邊形ABCE為矩形.

所以S四邊形ABCD=S矩形ABCE+SAECD=A8-AE+]CEOE=1X2+]X1X1=3.

又鞏_L平面ABC。，PA=1,

所以V四棱鏈P-4BCD=WS四邊形400朋=]*Z><1=g.

IT

2[2024?江西卷]如圖1—7,在△ABC中，NB=3,AB=BC=2,尸為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD

//BC交AC于點(diǎn)、D,現(xiàn)將△「立!沿尸。翻折至△PZM',使平面PZM'_L平面P2CD

⑴當(dāng)棱錐A'—P8C￡)的體積最大時(shí)，求抬的長；

⑵若點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，E為A'C的中點(diǎn)，求證：A'B±DE.

圖1—7

課標(biāo)文數(shù)18.G12[2024?江西卷]【解答】(1)令B4=x(0<x<2),則A'P=PD=x,BP=2~

x.因?yàn)锳'P±PD,且平面A'P￡)_L平面尸BCD,故A'P_L平面PBCD

所以VA--PBCD^SII=1(2—x)(2+x)x=1(4.r—x3).

圖1—8

令五尤)=：(4x—x3),由/(x)=/(4—3/)=0,得x=1V5.

當(dāng)xe(0,|\萬)時(shí)，f'(x)>0,人尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)2)時(shí)，/(x)<0,兀0單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)時(shí)，於)取得最大值，

即：當(dāng)以，-PBC0最大時(shí)，朋=2乎.

(2)證明：設(shè)尸為A'B的中點(diǎn)，連接PFFE則有E尸PD*BC,所以

四邊形。EEP為平行四邊形，

所以DE〃PF,又A'P=PB,

所以尸F(xiàn)_LA'B,

故?！阓L4'B.

[2024?山東卷]如圖1一5,在四棱臺ABCD—AiBiGDi中，Oi￡>_L平面ABC。，底面ABC。

是平行四邊形，AB=2AD,AD=AiBi,ZBAD^6Q0.

⑴證明：AAi±BD；

(2)證明：CG〃平面A/D

圖1一5

課標(biāo)文數(shù)19.G12Q024?山東卷］【解答】證明：⑴證法一:

因?yàn)椤?gt;iD_L平面ABC。，且BOU平面ABC。，

圖1—6

所以。iD_LBD

又因?yàn)閆BAD=60°,

在△A3。中，由余弦定理得

BD2=AD2+AB2-2AzM8cos60。=3AD2.

所以的>2+8￡)』4序，

所以AO_LBD

又ADCDiD=D,

所以BD_L平面AOAAi.

又AAiU平面ADDiAi，

所以

證法二：

因?yàn)椤?gt;iD_L平面ABC。，且3DU平面ABC￡),

圖1—7

所以BO_LZ)iD

取4B的中點(diǎn)G,連接。G.

在△A3。中，由AB=2A。得AG=A。，

又NB4D=60。，所以△AOG為等邊三角形.

因此GD=GB.

故/DBG=NGDB,

又NAGD=60。，

所以/GDB=30。，

故ZADB=ZADG+ZGDB=60°+30°=90°,

所以BDLAD.

又ADCWiD=D,

所以BZ5_L平面AOO14，

又A41U平面ADDtAi，

所以

⑵連接AC,A1G.

圖1一8

設(shè)ACn3O=E,連接EAi.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為平行四邊形,

所以EC=$C,

由棱臺定義及AB=2AD=2AiBi知，

AiG〃EC且4G=EC,

所以四邊形Ai￡CG為平行四邊形.

因此CCi〃EAi，

又因?yàn)镾AC平面A/D,CGC平面42。，

所以CG〃平面48。

[2024.四川卷]如圖1—5,在直三棱柱ABC—481G中,ZBAC=90°,AB=AC=AA1=1,

延長4G至點(diǎn)P,使CiP=4G，連結(jié)AP交棱CG于點(diǎn)D

(1)求證：尸5〃平面BD4i；

⑵求二面角A-AiD-B的平面角的余弦值.

圖1一5

[2024?四川卷]【解答】解法一：

⑴連結(jié)ABi及BA交于點(diǎn)。，連結(jié)OD

VCrD//AAi，AiCi=CiP,

：.AD=PD,

y,AO=BiO,：.OD//PBi.

圖1-6

又ODU平面BDAx,Pg/平面BDAi,

.”以〃平面BDAi.

⑵過A作AELDAx于點(diǎn)E,連結(jié)BE.

VBAXCA,BALAAi，且AAiCAC=A,

.?.8A_L平面AAiCiC.

由三垂線定理可知BELDAi.

/.NBEA為二面角A-AtD-B的平面角.

在RtAAiCiO中，4八=4舒+12=坐,

又SAA4i￡)=^X1X1=3義坐XAE,

.?.4￡=唔

3線

在RtZXBAE中，BE=

W+（平｝5，

AE_2

cosNBEA=~BE=y

2

故二面角4一4。一8的平面角的余弦值為

[2024.天津卷]如圖1-7,在四棱錐尸一ABC。中，底面43CD為平行四邊形，ZADC=45°,

AD=AC=1,。為AC的中點(diǎn)，尸。_L平面ABC。，PO=2,/為的中點(diǎn).

⑴證明PB〃平面ACM；

(2)證明A。_L平面PAC；

⑶求直線AM及平面ABCD所成角的正切值.

圖1一7

課標(biāo)文數(shù)17.G12[2024?天津卷]

圖1一8

【解答】(1)證明：連接B。，MO.在平行四邊形ABC。中，因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以。

為2。的中點(diǎn).又M為尸。的中點(diǎn)，所以尸B〃M0.因?yàn)镻2C平面ACM,M0U平面ACM,

所以PB〃平面ACM.

(2)證明：因?yàn)镹AOC=45。，且AZ)=AC=1,所以/D4c=90。，即AO_LAC.又尸O_L平面

ABCD,ADU平面A8CD,所以PO_LAD而ACA尸0=0,所以AO_L平面B4c.

⑶取。。中點(diǎn)N,連接MN,AN.因?yàn)镸為尸。的中點(diǎn)，所以MN〃尸。，且MN=/PO=L

由PO_L平面A8CZ),得MN_L平面ABC。,所以/MAN是直線AM及平面ABC。所成的角.在

RtADAO中，AD=1,AO=1,所以。。=坐.從而AN=；QO=乎.在Rt^ANM中，tan/

MN14由4、后

MAN=AN^^5,即直線AM及平面ABCD所成角的正切值為拶.

4

20.(本小題滿分13分)

《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱及底面垂