工程電磁場（第2版）課件 第一章 數(shù)學基礎(chǔ)

CHAPTER數(shù)學基礎(chǔ)第一章2第一章

數(shù)學基礎(chǔ)本章內(nèi)容1.1矢量函數(shù)1.2標量場的方向?qū)?shù)與梯度1.3矢量場的通量與散度1.4矢量場的環(huán)量與旋度1.5哈密頓算子與矢量恒等式1.6亥姆霍茲定理1.7知識點拓展31.1

矢量函數(shù)標量:只有大小，在取定其單位后可以用一個數(shù)來表示，例如長度、質(zhì)量、時間、能量等矢量:不僅有大小之分，而且有方向之別，例如位移、力、速度、電場強度、磁場強度等1.1.1標量與矢量41.1

矢量函數(shù)直角坐標系

圓柱坐標系

球坐標系

1.1.2矢量的表示51.1

矢量函數(shù)直角坐標系中圓柱坐標系中球坐標系中

61.1

矢量函數(shù)矢徑單位矢徑距離矢量

線元矢量

71.1

矢量函數(shù)1.矢量的加減運算平行四邊形法則三角形法則矢量求差1.1.3矢量的基本代數(shù)運算81.1

矢量函數(shù)2.矢量的乘法運算標乘點乘叉乘混合積91.1

矢量函數(shù)3.混合積與三重矢積混合積滿足輪換性質(zhì)若混合積為0，則三矢量共面！三重矢積101.1

矢量函數(shù)1.矢量函數(shù)的定義對于定義域中每一個自變量都有相應的矢量函數(shù)A的某個確定量（大小和方向都確定的一個矢量）和它對應，則矢量A稱為該自變量的矢量函數(shù)。例如靜電場中，對于自由空間中位于坐標原點的點電荷，在其周圍空間產(chǎn)生的電場可以表示為：1.1.4矢量函數(shù)的微分與積分111.1

矢量函數(shù)2.矢量函數(shù)的微分定義圓柱坐標系和球坐標系中???121.1

矢量函數(shù)3.矢量函數(shù)的積分積分和微分互為逆運算。一般標量函數(shù)積分的運算法則對矢量函數(shù)同樣適用。圓柱坐標系和球坐標系中???131.1

矢量函數(shù)【例題1-1】求

在0→2π區(qū)間對

f的定積分。其中a為常數(shù)。解：【例題1-2】求在球面上的面積分。將

代入上式，即有：解：141.1

矢量函數(shù)1.1.5場論1.場的概念在一個空間區(qū)域中，某物理量的分布可以用一個空間位置和時間的函數(shù)來描述。若某個物理量在某區(qū)域中每一點處、在每一時刻都有確定值，則在該區(qū)域中就存在該物理量的場，該物理量稱為場量。概括來講，場是表征空間區(qū)域中各點物理量的時空分布函數(shù)。物理量可能是一個標量或矢量，因而，場也可能是一個標量場或矢量場。根據(jù)場所表示的物理量隨時間變化的情況，可分為靜態(tài)場和時變場。注意！場的性質(zhì)是它自己的屬性，和坐標系的引進無關(guān)151.1

矢量函數(shù)2.標量場如果所研究的量是標量，則物理量的空間分布對應于標量場，即每一時刻、每一位置都對應一個標量值，如溫度場、密度場、氣壓場和電位場。若自變量是坐標(x,y,z)和時間t，則靜態(tài)標量場記為u=u(x,y,z)，時變標量場記為u=u(x,y,z,t)。3.矢量場如果所研究的量是矢量，則物理量的空間分布對應于矢量場，即每一時刻、每一位置都對應一個矢量值，如速度場、加速度場、重力場、電場和磁場。若自變量是坐標(x,y,z)和時間t，則靜態(tài)矢量場記為A=A(x,y,z)，時變矢量場記為A=A(x,y,z,t)161.2

標量場的梯度如等溫面、等電位面等

對空間任意點：1.2.1標量場的等值面和等值線1.2.2方向?qū)?shù)171.2

標量場的梯度181.2

標量場的梯度方向?qū)?shù)方向單位矢量定義1.2.3梯度1.梯度(gradient)的定義191.2

標量場的梯度Hamilton算子圖1.2.3梯度的定義201.2

標量場的梯度2.梯度的性質(zhì)211.2

標量場的梯度3.梯度的基本運算公式（C為常數(shù)）（C為常數(shù)）221.2

標量場的梯度4.梯度在圓柱坐標系和球坐標系中的計算式圓柱坐標系中的梯度計算式：球坐標系中的梯度計算式：231.2

標量場的梯度得證241.2

標量場的梯度251.2

標量場的梯度261.3

矢量場的通量與散度1.3.1矢量場的矢量線（力線）矢量場中的一些曲線，曲線上每一點的切線方向代表該點矢量場的方向，該點矢量場的強度由附近矢量線的密度來確定。F的矢量線微分方程271.3

矢量場的通量與散度1.3.2矢量場的通量281.3

矢量場的通量與散度291.3

矢量場的通量與散度1.3.3散度若在某一區(qū)域內(nèi)的所有點上，矢量場的散度都等于0，則稱該區(qū)域內(nèi)的矢量場為無源場。1.散度(divergence)定義301.3

矢量場的通量與散度2.散度的表達式直角坐標系中圓柱坐標系中球坐標系中311.3

矢量場的通量與散度3.散度的基本公式321.3

矢量場的通量與散度1.3.4高斯散度定理331.3

矢量場的通量與散度341.3

矢量場的通量與散度351.4

矢量場的環(huán)量與旋度1.4.1矢量的環(huán)量1.4.2矢量的旋度1.旋度的定義361.4

矢量場的環(huán)量與旋度2.旋度的表示式直角坐標系圓柱坐標系球坐標系371.4

矢量場的環(huán)量與旋度3.旋度與散度的區(qū)別381.4

矢量場的環(huán)量與旋度四、旋度的基本運算公式391.4

矢量場的環(huán)量與旋度1.4.3斯托克斯定理將一矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分4041421.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.1哈密頓算子及其一階微分恒等式431.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.2哈密頓算子及其二階微分恒等式證明：441.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.2哈密頓算子及其二階微分恒等式證明：451.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.3無旋場、無散場和調(diào)和場無旋場無散場調(diào)和場沿任一閉合回路的線積分（環(huán)量）為0。一個無旋場的線積分與積分路徑無關(guān)，而僅由積分的起點和終點坐標確定。

如果是無源場，則在場中對任一閉合曲面的面積分（通量）為0

461.6

亥姆霍茲定理474849501.7

知識點拓展1.7.1格林定理令而格林第一定理511.7

知識點拓展兩式相減得格林第二定理521.7

知識點拓展1.7.2柱貝塞爾函數(shù)稱為柱貝塞爾方程，簡稱貝塞爾方程。因為上述方程為二階微分方程，存在兩個線性無關(guān)解。貝塞爾方程的兩個解可以用兩個無窮級數(shù)表示為53知識點總結(jié)54知識點總結(jié)(1)矢量的基本代數(shù)運算55知識點總結(jié)

梯度：在標量場中，將最大變化率矢量G定義為標量場u=u(x,y,z)在P點處的梯度。在直角坐標系中，有56知識點總結(jié)(3)矢量場的通量與散度通量：矢量場

F

在某一閉合曲面

S上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量，即散度：表示從空間某點的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量場F的通量，也反映了矢量場

F

在該點通量源的強度，即高斯散度定理：任何一個矢量

F

穿出任意閉合曲面S的通量，總可以表示為

F

的散度在該曲面所圍體積V的積分，即57知識點總結(jié)(4)矢量場的環(huán)量與旋度環(huán)量：矢量場

F

沿某一閉合曲線(閉合路徑)的線積分，稱為該矢量場沿此閉合曲線的環(huán)量，即

旋度：矢量場的旋度是一個矢量，其大小等于各個方向上環(huán)量面密度的最大值，其方向為當面積的取向使得環(huán)量面密度呈最大時該面積的法線方向。它描述了矢量場

F

在該點的渦旋源強度。58知識點總結(jié)斯托克斯定理：矢量場F的旋度

在任意曲面S上的通量，等于F沿該曲面周界

l

的環(huán)量，即(5)3種特殊的場無旋場：在某區(qū)域中，旋度恒為零的矢量場A，即

，稱為無旋場，又稱保守場或位場。無散場：在某區(qū)域中，散度恒為零的矢量場B，即

，稱為無散場，又稱管形場或無源場