解決證明含有兩個變量的不等式策略

解決證明含有兩個變量的不等式策略近幾年在高考試題的函數(shù)壓軸題中，經(jīng)常出現(xiàn)含有兩個變量的不等式證明問題，面對兩個變量學(xué)生會感覺無從下手，造成找不到解題的突破點；下邊通過幾道例題，讓大家感受化歸和構(gòu)造的策略。策略一：當(dāng)兩個變量可以分離時，根據(jù)其兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式。例1（2010年遼寧文科21）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，證明：對任意，。解：(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+)，.當(dāng)a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時，＜0,故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0,)時,＞0；x∈(，+)時，＜0,故f(x)在（0,）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4＝. 于是≤＝≤0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故對任意x1,x2∈(0,+)，.當(dāng)e<x<e2時，1－lnx<0，例2（2009年遼寧理科21）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。解：(1)的定義域為。2分（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當(dāng)時，;當(dāng)及時，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在（I）根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點，則f′（2）=0可求出a的值，然后求出切線的斜率和切點，從而可求出切線方程；（II）根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，通分后根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，得到分子大于0恒成立，解出2a﹣2小于等于一個函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個函數(shù)的最小值，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍；（III）把所證的式子利用對數(shù)的運(yùn)算法則及不等式的基本性質(zhì)變形，即要證ln﹣＞0，根據(jù)（II）得到h（x）在x大于等于1時單調(diào)遞增，且大于1，利用函數(shù)的單調(diào)性可得證．解：（I）f′（x）=﹣=，由題意知f′（2）=0，解得a=，經(jīng)檢驗符合題意．從而切線的斜率為k=f′（1）=﹣，切點為（1，0）切線方程為x+8y﹣1=0（II）f′（x）=，因為f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，當(dāng)x∈（0，+∞）時，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，得：2a﹣2≤x+，設(shè)g（x）=x+，x∈（0，+∞），則g（x）=x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=1時，g（x）有最小值2，所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范圍是（﹣∞，2]；（III）要證，只需證＜，即ln＞，即ln﹣＞0，設(shè)h（x）=lnx﹣，由（II）知h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又＞1，所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，得到．點評：本題主要考查了學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．例4（2013年陜西）已知函數(shù).(Ⅰ)求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)證明:曲線y=f(x)與曲線有唯一公共點.(Ⅲ)設(shè)a<b,比較與的大小,并說明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數(shù),則y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=..過點(1,0)的切線方程為:y=x+1(Ⅱ)證明曲線y=f(x)與曲線有唯一公共點,過程如下.因此，所以,曲線y=f(x)與曲線只有唯一公共點(0,1).(證畢)(Ⅲ)設(shè)令.,且.所以練習(xí)2（2006年四川理科22）已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)是。對任意兩個不等的正數(shù)、，證明：（Ⅰ）當(dāng)時，；（Ⅱ）當(dāng)時，。本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力。滿分14分。證明：（Ⅰ）由，得。而，①又，∴。②∵，∴?！撸?。③由①、②、③，得，即。（Ⅱ）證法一：由，得，∴。下面證明