2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

9.4-列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

1.想要檢驗(yàn)是否喜歡參加體育活動(dòng)與性別有關(guān)，應(yīng)該檢驗(yàn)（）

A.零假設(shè)M：男性喜歡參加體育活動(dòng)

B.零假設(shè)為：女性不喜歡參加體育活動(dòng)

C.零假設(shè)喜歡參加體育活動(dòng)與性別有關(guān)

D.零假設(shè)喜歡參加體育活動(dòng)與性別無(wú)關(guān)

2.為了研究高中學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂(lè)的態(tài)度（喜歡和不喜歡兩種態(tài)度）與性別的關(guān)系，運(yùn)用

2X2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得%2=7.oi,則認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系”

的把握約為（）

A.0.1%B.1%

C.99%D.99.9%

3.兩個(gè)分類(lèi)變量X和匕值域分別為｛xi,&｝和｛Ji,為｝,其樣本頻數(shù)分別是a10,b

=21,c+4=35.若X與/有關(guān)系的可信程度不小于97.5%,則c等于（）

A.3B.4

C.5D.6

附:

a0.050.025

Xa3.8415.024

4.針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性卻和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一

次調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)畤男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)%女生追星的

人數(shù)占女生人數(shù)%若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則

調(diào)查樣本中男生至少有（）

n(ad-bc)2

參考數(shù)據(jù)及公式如下：Z2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.12人B.11人

C.10人D.18人

5.（多選）有兩個(gè)分類(lèi)變量X,Y,其列聯(lián)表如下所示,

KiY2

Xa201a

X215~a30+a

其中a,15—a均為大于5的整數(shù)，根據(jù)小概率值a=0.05的犬獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為X,Y

有關(guān)，則。的值可能為()

A.8B.9

C.7D.6

6.(多選)下列關(guān)于/2的說(shuō)法正確的是()

A.根據(jù)2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出爐=6.735>6.635=xo.oi,則有99%的把握認(rèn)

為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系

B.,2越大，認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的把握性就越大

C.,2是用來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可信程度的隨機(jī)變量

D./2=---------------------,其中〃=a+6+c+d為樣本容量

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

7.世界杯期間，某一電視臺(tái)對(duì)年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊(duì)進(jìn)

行調(diào)查，對(duì)高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)

表：

單位：人

是否喜歡西班牙隊(duì)

年齡合計(jì)

不喜歡西班牙隊(duì)喜歡西班牙隊(duì)

高于40歲Pq50

不高于40歲153550

合計(jì)ab100

若工作人員從所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè)，取到喜歡西班牙隊(duì)的人的概率為:，則在犯錯(cuò)

誤的概率不超過(guò)下認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān).

。n(ad-bc)2

附：/-----------------------.

(a+b)(c+</)(a+c)(Z>+d)

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

Xa

8.研究人員選取170名青年男女大學(xué)生的樣本，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有60

名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最后一個(gè)題目的反應(yīng)是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生

110名在相同的項(xiàng)目上作肯定的有22名，否定的有88名.問(wèn)：性別與態(tài)度之間是否存在某

種關(guān)系？分別用下面兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)：(1)用等高堆積條形圖；

(2)根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn).

9.某校對(duì)學(xué)生進(jìn)行心理障礙測(cè)試，得到的數(shù)據(jù)如下表:

焦慮說(shuō)謊懶惰總計(jì)

女生5101530

男生20105080

總計(jì)252065110

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可判斷在這三種心理障礙中，與性別關(guān)系最大的是（）

A.焦慮B.說(shuō)謊

C.懶惰D.以上都不對(duì)

10.某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)抽取了55名市

民，得到數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡不喜歡合計(jì)

大于40歲20525

20歲至40歲102030

合計(jì)302555

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷出在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005

的情況下認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)（填“能”或“不能”）.

11.為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究這一社區(qū)居民在20：00~22：00時(shí)間段

的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：

單位：人

休閑方式

性別合計(jì)

看電視看書(shū)

男105060

女101020

合計(jì)206080

⑴根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“在20：00~22：00時(shí)間段居民的

休閑方式與性別有關(guān)系”？

（2）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，在該社區(qū)的所有男性中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)調(diào)查

的3人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

12.國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)是反映一個(gè)國(guó)家科學(xué)技術(shù)和創(chuàng)新競(jìng)爭(zhēng)力的綜合指數(shù).對(duì)國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)

得分排名前40的國(guó)家的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析.下面給出了部分信息：

①?lài)?guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分的頻率分布直方圖（數(shù)據(jù)分成7組：

30Wx<40,404<50,50660,60Wx<70,70Wx<80,80Wx<90,90WxW100).

61.7,62.4,63.6,65.9,66.4,68.5,69.1,69.3,69.5.

③40個(gè)國(guó)家的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(萬(wàn)美元)和國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖:

國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分

100

90

80

陽(yáng)

60

50

40

④中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分為69.5,人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值9960美元.

(以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)報(bào)告(2018)》)

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分排名世界第幾？

⑵是否有99.9%的把握認(rèn)為“人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值影響國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分”？

(3)用(1)(2)得到的結(jié)論，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，合理解釋④中客觀存在的數(shù)據(jù).

rn(ad-bc)2

n附/t：z2=—；----,------,-----—.

(q+b)(c++c)(b+d)

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

9.4-列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

1.想要檢驗(yàn)是否喜歡參加體育活動(dòng)與性別有關(guān)，應(yīng)該檢驗(yàn)（）

A.零假設(shè)M：男性喜歡參加體育活動(dòng)

B.零假設(shè)為：女性不喜歡參加體育活動(dòng)

C.零假設(shè)喜歡參加體育活動(dòng)與性別有關(guān)

D.零假設(shè)喜歡參加體育活動(dòng)與性別無(wú)關(guān)

解析：D獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)有反證法的意味，應(yīng)假設(shè)兩類(lèi)變量（而非變量的屬性）無(wú)關(guān),

這時(shí)的/應(yīng)該很小，如果*很大，則可以否定假設(shè)，如果%2很小，則不能夠肯定或者否定假

設(shè).

2.為了研究高中學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂(lè)的態(tài)度（喜歡和不喜歡兩種態(tài)度）與性別的關(guān)系，運(yùn)用

2X2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得%2=7.Qi,則認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)系”

的把握約為（）

A.0.1%B.1%

C.99%D.99.9%

解析：C易知,2=7.01>6.635=xo,oi,對(duì)照臨界值表知，有99%的把握認(rèn)為喜歡鄉(xiāng)

村音樂(lè)與性別有關(guān)系.

3.兩個(gè)分類(lèi)變量X和匕值域分別為｛xi,&｝和（yi，理｝,其樣本頻數(shù)分別是。10,b

=21,c+d=35.若X與/有關(guān)系的可信程度不小于97.5%,則c等于（）

A.3B.4

C.5D.6

附:

a0.050.025

Xa3.8415.024

解析：A歹1]2X2列聯(lián)表如下:

Y

X合計(jì)

yi

102131

X2cd35

合計(jì)10+c21+d66

故2=66X[10(35—c)—21cl2*0241把選項(xiàng)A、B、C、D代入驗(yàn)證可知選A.

31X35X(10+c)(56-c)

4.針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一

次調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的L男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的1,女生追星的

26

人數(shù)占女生人數(shù)可，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則

調(diào)查樣本中男生至少有（）

n(ad-bc)2

參考數(shù)據(jù)及公式如下：『=一

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

A.12人B.11人

C.10人D.18人

解析：A設(shè)男生人數(shù)為x,依題意可得列聯(lián)表如下:

單位：人

追星

性別合計(jì)

喜歡追星不喜歡追星

X5x

男生X

66

XXX

女生

362

X3x

合計(jì)X

22

若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則爐>3.841,由

=-x>3.841,解得x>10.24,因?yàn)楣ぃ檎麛?shù)，所以若在犯錯(cuò)誤的概率不

826

-X'X-

22

超過(guò)5%的前提下認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則男生至少有12人.故選A.

5.（多選）有兩個(gè)分類(lèi)變量X,Y,其列聯(lián)表如下所示，

Y2

a20~a

X?15—。30+。

其中415—。均為大于5的整數(shù)，根據(jù)小概率值a=0.05的好獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為X,Y

有關(guān)，則。的值可能為（）

A.8B.9

C.7D.6

65X皿30+a)-(15—頌20—a)?13X(13a—60)2>3

解析：AB根據(jù)公式，得%2=841

20X45X15X5020X45X3X2'

=X0.05,根據(jù)。>5且15—a>5,?ez,求得當(dāng)。=8或9時(shí)滿(mǎn)足題意.

6.（多選）下列關(guān)于力2的說(shuō)法正確的是（）

A.根據(jù)2義2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出才2=6.735>6.635=x0,01-則有99%的把握認(rèn)

為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系

B.,2越大，認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的把握性就越大

C.才2是用來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可信程度的隨機(jī)變量

D./=----------"(ad—be)------,其中〃=a+b+c+d為樣本容量

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

解析：ABCD選項(xiàng)的公式中分子應(yīng)該是〃(qd—be)?.故選A、B、C.

7.世界杯期間，某一電視臺(tái)對(duì)年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊(duì)進(jìn)

行調(diào)查，對(duì)高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)

表：

單位：人

是否喜歡西班牙隊(duì)

年齡合計(jì)

不喜歡西班牙隊(duì)喜歡西班牙隊(duì)

高于40歲Pq50

不高于40歲153550

合計(jì)ab100

若工作人員從所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè)，取到喜歡西班牙隊(duì)的人的概率為3,則在犯錯(cuò)

5

誤的概率不超過(guò)^下認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān).

2_______n(ad—bc￥______

X(6z+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.072

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析：設(shè)“從所有人中任意抽取一個(gè)，取到喜歡西班牙隊(duì)的人”為事件4,由已知得

尸(/尸￡±至=3,所以『25,^=25..=40,6=60.爐=叱…―25X—

100540X60X50X50

—^4.167>3.841=xo.05.根據(jù)小概率值。=0.05的*獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)

6

5%下認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān).

答案：5%

8.研究人員選取170名青年男女大學(xué)生的樣本，對(duì)他們進(jìn)行一種心理測(cè)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有60

名女生對(duì)該心理測(cè)驗(yàn)中的最后一個(gè)題目的反應(yīng)是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生

110名在相同的項(xiàng)目上作肯定的有22名，否定的有88名.問(wèn)：性別與態(tài)度之間是否存在某

種關(guān)系？分別用下面兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)：(1)用等高堆積條形圖；

(2)根據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn).

解：建立性別與態(tài)度的2義2列聯(lián)表如下：

單位：人

態(tài)度

性別合計(jì)

jJ=-ej7

目7Z否定

男生2288110

女生223860

合計(jì)44126170

根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，可求出男生中作肯定態(tài)度的頻率為絲=0.2,女生中作肯

110

定態(tài)度的頻率為2-0.37.作等高條形圖如圖，其中兩個(gè)深色條形的高分別表示男生和女

60

生中作肯定態(tài)度的頻率，比較圖中深色條形的高可以發(fā)現(xiàn)，女生中作肯定態(tài)度的頻率明顯高

于男生中作肯定態(tài)度的頻率，因此可以認(rèn)為性別與態(tài)度有關(guān)系.

O

O

O

O匚二否定態(tài)度

OI

O匚二I肯定態(tài)度

O

O

O

0

男生女生

零假設(shè)為M：性別和態(tài)度沒(méi)有關(guān)系.

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到*=170X(22X38—22X88)2^5.>5.024=x

6220025-

110X60X44X126

根據(jù)小概率值a=0.025的,2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立，即認(rèn)為性別和態(tài)度有

關(guān)系，此推斷認(rèn)為犯錯(cuò)誤的概率不大于0.025.

9.某校對(duì)學(xué)生進(jìn)行心理障礙測(cè)試，得到的數(shù)據(jù)如下表：

焦慮說(shuō)謊懶惰總計(jì)

女生5101530

男生20105080

總計(jì)252065110

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可判斷在這三種心理障礙中，與性別關(guān)系最大的是()

A.焦慮B.說(shuō)謊

C.懶惰D.以上都不對(duì)

解析：B對(duì)于焦慮，說(shuō)謊，懶惰三種心理障礙，設(shè)它們觀測(cè)值分別為必，三,必，由表

中數(shù)據(jù)可得:

110X(5X60—25X20)2

必=863,

30X80X25X85

110X(10X70—20X10)2^6

730X80X20X90,366,

必=4］?！?yàn)橄碌闹底畲蟆哉f(shuō)謊與性別關(guān)系最大.故

選B.

10.某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)抽取了55名市

民，得到數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡不喜歡合計(jì)

大于40歲20525

20歲至40歲102030

合計(jì)302555

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷出在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005

的情況下認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)(填“能”或“不能”).

解析：零假設(shè)為乩：喜歡''人文景觀”景點(diǎn)與年齡無(wú)關(guān).由公式爐=

n(ad-bc)2

得，978>7.879=xo.oo5,根據(jù)小概率值a=0.005的三獨(dú)

(。+b)(c+d)(a+c)(6+的

立性檢驗(yàn)，我們推斷,不成立，即認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)，此推斷認(rèn)為犯

錯(cuò)誤的概率不大于0.005.

答案：能

11.為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，研究這一社區(qū)居民在20：00~22：00時(shí)間段

的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：

單位：人

休閑方式

性別合計(jì)

看電視看書(shū)

男105060

女101020

合計(jì)206080

(1)根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“在20：00-22：00時(shí)間段居民的

休閑方式與性別有關(guān)系”？

(2)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，在該社區(qū)的所有男性中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)調(diào)查

的3人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

解：(1)零假設(shè)為M：在20：00?22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別無(wú)關(guān)系，

根據(jù)2X2歹慨表得，^80X(10X10-10X50y=80^8.889>6,635=Xo0]

60X20X20X609

根據(jù)小概率值a=0.01的%?獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷見(jiàn)不成立，即認(rèn)為“在20：00?22：

00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”，此推斷認(rèn)為犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01.

(2)由題意得，X?j,

且尸(X=后)=C4日日3r,左=0,1,2,3,

故E(㈤="0=3xf=f,D(X)=np^-p)=3X-X-=—.

626612

12.國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)是反映一個(gè)國(guó)家科學(xué)技術(shù)和創(chuàng)新競(jìng)爭(zhēng)力的綜合指數(shù).對(duì)國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)

得分排名前40的國(guó)家的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析.下面給出了部分信息：

①?lài)?guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分的頻率分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組：

30Wx<40,40?50,50Wx<60,600<70,70Wx<80,80Wx<90,904W100).

61.7,62.4,63.6,65.9,66.4,68.5,69.1,69.3,69.5.

③40個(gè)國(guó)家的人均國(guó)