2024-2025學(xué)年度遼寧省撫順一中高二年級(jí)上學(xué)期期初檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年度遼寧省撫順一中高二年級(jí)上學(xué)期期初檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共11小題，每小題5分，共55分。1.復(fù)數(shù)z=(1?i1+i)3(i為虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)A.?1 B.?i C.1 D.i2.兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等是這兩條直線平行的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知a→,b→為單位向量，且(2aA.1 B.3 C.2 D.4.已知兩條不同的直線m,?n，兩個(gè)不同的平面α?,?β，則(

)A.若α//β?,?m?α?,?n?β?,?則m//n

B.若α⊥β?,a?α?,b?β?,a⊥b?,則a⊥β

C.若m⊥α?,?n⊥m?,?則n//α

D.若α∩β=n?,?m?α?,?m//β?,?則m//n5.若函數(shù)f(x)=2sin(x+2θ)?cosx(0<θ<π2A.點(diǎn)π4,0是y=f(x)一個(gè)對(duì)稱中心 B.直線x=π4是y=f(x)一個(gè)對(duì)稱軸

C.函數(shù)y=f(x)的最小正周期是2π D.6.在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊.若b2=ac，且aA.π6 B.π3 C.2π37.如圖是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一個(gè)銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長(zhǎng)為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為(

)

A.0.25cm3 B.0.65cm3 C.8.在?ABC中，設(shè)AC2?AB2=2AM?A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心9.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A.已知a=(1,?3)，b=(2,?6)，則{a,b}可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底

B.已知a=(1,?3),b=(0,1)，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)是(0,?3)

C.若兩非零向量a，b滿足|a+b|=|10.如圖甲，在?ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，D為AC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且滿足DE?AB=0，將?ADE沿DE翻折得到直二面角A?DE?B，連接AC,F是AC的中點(diǎn)，連接BF,BD,DF(如圖乙所示)，則下列結(jié)論正確的是A.AD⊥BD B.BF//平面ADE

C.AD與平面ABE所成角的正切值是33 D.三棱錐B?DFC11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2A.PC1⊥B1C

B.二面角P?BC1?D的正切值為22

C.直線B1P與平面二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosα?π4=35，則13.已知z=?3+2i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一個(gè)根，則p+q=14.三棱錐A?BCD中，BC=CD=2，BC⊥CD，ΔABD是正三角形，AC=14，則三棱錐A?BCD的體積為

；此三棱錐外接球的表面積為

．三、解答題：本題共5小題，每小題12分，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.已知平面向量a，b，c，滿足a=(1,?3)，b(1)若a與b共線，求向量b的坐標(biāo)；(2)若2a+c⊥a?316.如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2，DC=22，四邊形DCFE為梯形，DE//CF，CD⊥DE，DE=3，CF=6，∠ADE=45°，平面ADE⊥平面DCFE．

(1)求證：AE//平面BCF；

(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)F到平面ABCD的距離．

17.如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，SA=SD=AB=2，側(cè)面SAB⊥側(cè)面SBC，M為AD的中點(diǎn)．

(1)求證：平面SMC⊥平面SBC．(2)若AB與平面SBC成30°角時(shí)，求二面角A?SC?D的大?。?8.如圖1，在ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，D是AC中點(diǎn)，作DE⊥AB于E，將△ADE沿直線DE折起到△PDE所處的位置，連接PB，PC，如圖2．

(1)若PB=342，求證：PE⊥BC；

(2)若二面角P?DE?A為銳角，且二面角P?BC?E的正切值為269，求19.在△ABC中，a，b，c，分別是角A，B，C的對(duì)邊，請(qǐng)?jiān)冖賡inA?sinCsinB=b?ca+c；②c·sinB+C2=asinC兩個(gè)條件中任選一個(gè)，解決以下問(wèn)題：

(1)求角A的大小；

(2)如圖，若△ABC為銳角三角形，且其面積為32，且AM=12AC，AN=2答案解析1.A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=(∴z=?i，虛部是故選A．2.B

【解析】解：由題意，當(dāng)直線與平面所成的角相等時(shí)，兩條直線可能平行、相交或異面，

則充分性不成立，

當(dāng)兩條直線平行時(shí)，此時(shí)與平面所成的角相等的，必要性成立，

所以兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等是這兩條直線平行的必要不充分條件．

故選：B．

根據(jù)直線所處不同位置可以分析充分性，再根據(jù)兩直線平行，可判斷與面所成角相等即可判斷必要性．

本題主要考查條件關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.B

【解析】解：a，b為單位向量，且(2a?b)⊥b，

可得(2a?b)?b=2a4.D

【解析】解：選項(xiàng)A中，m，n可能平行，可能垂直也可能異面，故A不正確;

選項(xiàng)B中，a與β還可能平行或相交，故B不正確;

選項(xiàng)C中，n可能在α內(nèi)，故C不正確

選項(xiàng)D中，即滿足線面平行的性質(zhì)，故D正確

故選D5.ABC

【解析】解：由函數(shù)f(x)=2sin(x+2θ)·cosx(0<θ<π2可得2sin2θ=2，即sin2θ=1，

又0<θ<π2，

∴0<2θ<π，故f(x)=2sin(x+2θ)?當(dāng)x=π4時(shí)，f(x)=1，故Af(x)的最小正周期為2π2=π顯然，f(x)=cos2x+1∈[0,2]，故D正確，故選：ABC．6.A

【解析】解：由已知得b2=ac，

因此a2+3bc=c2+ac，

可化為b2+c2?a27.D

【解析】解：∵銅鏃由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長(zhǎng)為1cm的正三棱錐，

∴正三棱錐的底面正三角形邊長(zhǎng)為1，設(shè)正三角形內(nèi)切圓半徑為r，

由等體積法得：12×1×1×sin60°=12×(1+1+1)r，

解得r=36，∴其內(nèi)切圓半徑為38.C

【解析】解：如圖所示：

設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則AB+AC=2AD，

∵AC2?AB2=2AM?BC，

∴(AC+AB)?(AC?AB)=2AM?BC，9.AD

【解析】解：對(duì)于A，∵a=(1,?3)，b=(2,?6)，∴1×(?6)?(?3)×2=0，∴a/?/b，

∴{a,b}不可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，∵a=(1,?3),b=(0,1)，

∴a在b上的投影向量的坐標(biāo)為a?b|b|·b|b|=?31·b1

=?3(0,1)=(0,?3)，故B正確；

對(duì)于C，由|a+b|=|a?b|兩邊同時(shí)平方得：a?b=0，

∵a10.CD

【解析】解：如圖甲，∵AB=BC=2,??∠ABC=120°，

在折疊前的

?ABC中，取DC的中點(diǎn)G，連接BD,??BG，

由余弦定理可得AC=23，∠DAE=30°．

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴

AD=DC=3,BD⊥AC,BD=1,

∵

DE→?AB→=0?DE⊥AB，

在

Rt△ADE中，DE=32,AE=32，故EB=12.

在

Rt△BDG中，

tan∠BGD=BDDG=132=233，

tan∠ADE=tan60°=3，

∴∠BGD≠∠ADE?BG與DE不平行．

∵DE⊥AB，將△ADE沿DE翻折，得到直二面角A?DE?B，如圖乙，

∴AE⊥DE,EB⊥DE，

AE∩EB=E，AE，EB?平面AEB，

∴DE⊥平面AEB，∠AEB=90°．

對(duì)于A選項(xiàng)，AB2=AE2+EB2=104，AD=3,BD=1，

∴BD2+AD2≠AB2，故AD與BD不垂直，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，∵G為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，

∴FG//AD，∵FG?平面ADE，AD?平面ADE，

故FG//平面ADE，

假設(shè)BF//平面ADE，

∵BF∩FG=F，BF，F(xiàn)G?平面BGF，

可得平面BGF//平面ADE，

∵平面BGF∩平面DEBC=BG，平面ADE∩平面DEBC=DE，

進(jìn)而可得BG//DE，11.ABD

【解析】

圖1

對(duì)于A，如圖1，連接A1D，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，由A1B1//AB//DC，A1B1=AB=DC，則A1D//B1C.

因D1C1⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1則D1C1⊥A1D，

又A1D⊥AD1且AD1∩D1C1=D1，AD1，D1C1?平面AC1D1，故A1D⊥平面AC1D1，

因PC1?平面AC1D1則得A1D⊥PC1，又A1D//B1C，故得B1C⊥PC1，即A正確;

圖2

對(duì)于B，如圖2，設(shè)B1C∩BC1=M，A1D∩AD1=N，連接DC1，BD，MN，因DC1=BD，BM=MC1，則DM⊥BC1，

因C1D1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，則C1D1⊥BC1，因C1D1//MN，故MN⊥BC1，

又因點(diǎn)P在線段AD1上，即在平面ABC1D1內(nèi)，故12.?7【解析】解：∵cos(α?π4)=35，13.19

【解析】解：∵?3+2i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，

∴?3?2i也是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(其中p，q∈R)的一個(gè)根．

則?3?2i+(?3+2i)=??p，(?3?2i)(?3+2i)=?q，

解得p=6，q=13，

∴p+q=19．14.6【解析】解：如圖，取BD中點(diǎn)E，取正三角形ABD的中心F，

根據(jù)題意可知BD⊥AE，BD⊥CE，從而可得BD⊥平面AEC，

易知BD=22，AE=6，CE=12BD=2，∴EF=13AE=63，又AC=14，

∴cos∠AEC=6+2?142×6×2=?32，∴∠AEC=150°，∴sin∠AEC=12，

∴三棱錐A?BCD的體積為13×15.解：(1)設(shè)b=(x,y)，則x2+y2=23x+y=0，

解得x=1y=?3或x=?1y=3，

所以b=(1,?3)或(?1,3).

(2)因?yàn)?2a【解析】本題主要考查了向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示與向量的垂直關(guān)系，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的夾角的應(yīng)用，

(1)根據(jù)已知及向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示的計(jì)算，得x2+y2=23x+y=0，求出向量16.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC//AD，又BC?平面BCF，AD?平面BCF，

所以AD//平面BCF，

∵DE//CF，CF?平面BCF，DE?平面BCF，

所以DE//平面BCF，

又AD∩DE=D，AD，DE?平面ADE，

∴平面BCF//平面ADE，

又AE?平面ADE，

∴AE//平面BCF；

(2)∵平面ADE⊥平面DCFE，平面ADE∩平面DCFE=DE，CD⊥DE，CD?平面DCFE，

∴CD⊥平面ADE，

∵AD?平面ADE，

∴CD⊥AD，

∴AC=AD2+CD2=22+(22)2=23，

作AO⊥DE于O，分別連接AC，AO，CO，

因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面DCFE，平面ADE∩平面DCFE=DE，AO?平面ADE，

所以AO⊥平面CDEF，

所以直線AC與平面CDEF所成角為∠ACO，

∵∠ADE=45°，∴AO=AD2=2，

所以sin∠ACO=AOAC=223=66，

即直線AC與平面CDEF所成角的正弦值為66；

(3)連接DF，設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD【解析】本題考查線面平行的判定，線面角的求法，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，屬中檔題．

(1)由線面平行的判定定理可得AD//平面BCF，DE//平面BCF，再由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；

(2)作AO⊥DE于O，由面面垂直的性質(zhì)定理可得CD⊥平面ADE，AO⊥平面CDEF，連結(jié)CO，直線AC與平面CDEF所成角為∠ACO，求出正弦值即可；

(3)由(2)得AO⊥平面CDEF，又VF?ACD17.(1)證明：因?yàn)镾D=SA，又M為AD的中點(diǎn)，所以SM⊥AD，

又BC//AD，所以SM⊥BC，

又M為AD的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，∠ABC=60?°，

所以CM⊥AD,AD//BC，所以CM⊥BC，

因?yàn)镃M⊥BC，又SM⊥BC，SM∩CM=M，SM?平面SCM，CM?平面SCM，

所以BC⊥平面SCM，因?yàn)锽C?平面SBC，

所以平面SBC⊥平面SCM；

(2)解：取BS的中點(diǎn)N，連接AN，又SA=AB，所以AN⊥BS，

又平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AN?平面SAB，

所以AN⊥平面SBC，

又AB與平面SBC所成的角為30?°，所以∠ABN=30°，

又AB=2,AN⊥BN，所以AN=1,BN=3,BS=23，

由(1)知BC⊥平面SCM，又SC?平面SBC，

所以BC⊥SC，

又BS=23,BC=2，所以CS=BS2?BC2=22，

取CS的中點(diǎn)E，連接AE,DE，因?yàn)镾A=AC=CD=SD，所以AE⊥CS,DE⊥CS，

所以∠AED是二面角A?SC?D的平面角，

又AC=CD=2,CE=【解析】本題考查面面垂直的判定以及二面角的計(jì)算，屬于較難題．

(1)推導(dǎo)出BC⊥平面SCM，由此可證明平面SMC⊥平面SBC；

(2)由線面角的定義得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，利用二面角的定義找出二面角的平面角，求解即可．18.解：(1)在圖1中，∠C=90°，AB=4，BC=2，D是AC中點(diǎn)，

所以A=30°，AC=23，

則AD=3，AE=32AD=32，BE=52，

則PE=AE=32，

又PB=342，

所以PE2+BE2=PB2，BE⊥PE，

因?yàn)镈E⊥AB，

則PE⊥DE，

又DE∩BE=E，DE，BE?平面BCDE，

所以PE⊥平面BCDE，

因?yàn)锽C?平面BCDE，

所以PE⊥BC．

(2)由題意知DE⊥BE，DE⊥PE，PE∩EB=E，PE?平面PEB，EB?平面PEB，

所以ED⊥平面PEB，

則∠PEA為二面角P?DE?A的平面角(或補(bǔ)角)，即∠PEA為銳角，

又ED?平面BCDE，

所以平面PBE⊥平面BCDE，

作PH⊥BE所在直線，交于點(diǎn)H，如圖，

又平面PBE∩平面BCDE=BE，PH?平面PBE，

所以PH⊥平面BCDE，

又BC?平面BCDE，

所以PH⊥BC，

作HG⊥BC于點(diǎn)G，連接PG，

又PH∩HG=H，PH，HG?面PHG，

故BC⊥面PHG，

因?yàn)镻G?面PHG，則BC⊥PG，

所以∠PGH為二面角P?BC?E的平面角(或補(bǔ)角)，

設(shè)∠PGH=θ，則tanθ=269，

在△ABC中，A=30°，

設(shè)CG=x(0<x<34)，則AH=2x，HE=32?2x，HB=4?2x，

所以PH=94?(【解析】本題考查空間中垂直