專題22橢圓及其標準方程6種常見考法歸類

專題22橢圓及其標準方程6種常見考法歸類1、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．注：（1）當距離之和等于|F1F2|時，動點的軌跡就是線段F1F2；當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在．(2)只有同時滿足兩個焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，線段F1F2的中點是坐標原點．這兩個條件時，所得到的方程才是標準方程．2、橢圓的標準方程焦點位置在x軸上在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標(±c,0)(0，±c)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2注：依據(jù)橢圓的標準方程判斷橢圓的焦點在哪條坐標軸上，只需看標準方程中的分母的大小，即橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大．3、在橢圓的定義中必須要注意以下兩個問題(1)定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓．4、橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.(2)涉及焦點三角形面積時，可把|PF1|·|PF2|看作一個整體，運用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨求解．(3)一般地，關(guān)于橢圓的一些問題我們經(jīng)?？紤]利用其定義，這時候就要關(guān)注它的兩個焦點，把問題轉(zhuǎn)化為研究橢圓上的點到兩個焦點的距離之和的問題.5、橢圓的標準方程的特征(1)幾何特征：橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸或y軸上．(2)代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于eq\f(x,a)與eq\f(y,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)與\f(x,b)))的平方和，并且分母為不相等的正值．6、確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．7、橢圓標準方程的兩種應(yīng)用由橢圓的標準方程可以確定焦點坐標，或求參數(shù)的值或取值范圍.（1）求橢圓的焦點坐標時，若方程不為標準方程，應(yīng)先將其化為標準方程，確定a2，b2的值和焦點所在的坐標軸，再利用關(guān)系式a2＝b2＋c2求出c，即可寫出焦點坐標.（2）已知方程求參數(shù)的值或取值范圍時，需注意：對于方程eq\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1，當m>n>0時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；當n>m>0時，方程表示焦點在y軸上的橢圓.特別地，當n＝m>0時，方程表示圓心在原點的圓.若已知方程不是標準方程，需先進行轉(zhuǎn)化.8、利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的思路采用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的步驟為：主要步驟可歸納為“先定位，再定量”．需要注意的是：若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．9、橢圓的焦點三角形橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△F1PF2稱為焦點三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．對于求焦點三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一個整體，利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運算量．焦點三角形的常用公式：(1)焦點三角形的周長L＝2a＋2c.(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(3)設(shè)P(xP，yP)，焦點三角形的面積S△F1PF2＝c|yP|＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).10、解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0.(2)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．(3)相關(guān)點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點法．考點一橢圓的定義及其應(yīng)用考點二橢圓標準方程的識別考點三求橢圓的標準方程考點四根據(jù)橢圓方程求相關(guān)量考點五橢圓中的焦點三角形問題（一）求焦點三角形的內(nèi)角或邊長（二）橢圓中焦點三角形的周長問題（三）橢圓中焦點三角形的面積問題（四）橢圓中焦點三角形的內(nèi)切圓問題（五）與橢圓焦點三角形有關(guān)的最值問題考點六與橢圓有關(guān)的軌跡問題考點一橢圓的定義及其應(yīng)用1．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．（1）已知點，，動點滿足，則點的軌跡是橢圓．()（2）已知點，，動點滿足，則點的軌跡是橢圓．()（3）已知點，，動點滿足，則點的軌跡是橢圓．()（4）橢圓的兩種標準形式中，雖然焦點位置不同，但都滿足.()【答案】正確錯誤錯誤正確【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可.【詳解】（1）正確．因為|，所以點的軌跡是橢圓．（2）錯誤．因為，所以點的軌跡是線段.（3）錯誤．因為，所以點的軌跡不存在．（4）正確．由橢圓的標準方程中對，，的規(guī)定可知，焦點位置的改變不影響這一關(guān)系．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓【答案】C【分析】根據(jù)的大小關(guān)系判斷動點軌跡即可.【詳解】由題設(shè)知：，此時動點P必在線段AB上，即動點軌跡為線段.故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，點P到，的距離之和為10，則點P的軌跡方程是【答案】【分析】根據(jù)橢圓的第一定義，得到，得到，進而計算求解，可得答案.【詳解】因為，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，其中，故點P的軌跡方程為.故答案為：4．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知動點滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動點的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】的幾何意義為點與點間的距離，同理的幾何意義為點與點間的距離，且又由為大于零的常數(shù)，可知，當且僅當，即時取等，故，即動點到點與到點的距離之和為定值，且大于，所以動點的軌跡為橢圓，故選：C.5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓上的一點到左焦點的距離為是的中點，則等于.【答案】3【分析】設(shè)橢圓的右焦點，則根據(jù)橢圓有定義可求出，再利用三角形的中位線定理可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點，連接，則由，知.又點為的中點，點為的中點，所以.故答案為：3考點二橢圓標準方程的識別6．（2023秋·高二課時練習(xí)）以下方程表示橢圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程的知識求得正確答案.【詳解】A選項，方程，即，表示圓，不是橢圓，A選項錯誤.B選項，方程，即，方程中間是減號，不是橢圓，B選項錯誤.C選項，方程，即，表示焦點在軸上的橢圓，C選項正確.D選項，方程右邊不是，不是橢圓，D選項錯誤.故選：C7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）方程表示橢圓的充要條件是．【答案】答案不唯一【分析】兩個分母為不相等的正值時，所給方程表示橢圓.【詳解】方程表示橢圓,則必有解之得或故答案為：,（答案不唯一，其他等價情況也對）9．【多選】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程特征得出關(guān)系式，解不等式即可.【詳解】焦點在x軸上，則標準方程中，解得或．又，，得，所以或．故選:BC．10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)已知曲線的方程和橢圓的方程特點，結(jié)合充分條件和必要條件的判定即可【詳解】若曲線是橢圓，則有：解得：，且故“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C11．（2023秋·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標準方程得到方程組，解得答案.【詳解】方程表示橢圓，則，解得.故選：B12．（2023秋·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出含有參數(shù)的不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的條件．【答案】必要不充分【分析】由充分、必要性的定義，結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)判斷題設(shè)條件的推出關(guān)系，即可確定答案.【詳解】當時表示圓，當且時表示橢圓，充分性不成立；當為橢圓，則，可得且，必要性成立；綜上，“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則【答案】C【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項分析、計算即可判斷作答.【詳解】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.故選：C15．【多選】（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程所表示的曲線為C，則下面四個說法中正確的是（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則【答案】AD【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A，排除B，根據(jù)橢圓標準方程的特征列不等式求解范圍即可判斷CD.【詳解】當即時，方程為，表示圓心為原點，半徑為1的圓，故選項A正確，選項B錯誤；若C為橢圓，且焦點在x軸上，則，解得，故選項C錯誤；若C為橢圓，且焦點在y軸上，則，解得，故選項D正確.故選：AD.考點三求橢圓的標準方程16．（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標準方程，結(jié)合題干列出方程，即可.【詳解】因為焦點在y軸上，故設(shè)橢圓方程為，則，且，解得：，所以橢圓的標準方程為.故選：D17．（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）求兩焦點分別為，，且經(jīng)過點的橢圓標準方程.【答案】【分析】設(shè)橢圓方程，利用已知條件，列出方程求解即可.【詳解】由焦點坐標可知，為軸橢圓，設(shè)所求橢圓的標準方程為兩焦點分別為，，又橢圓過點，，又，，所以橢圓的標準方程為.18．（2023秋·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是，，并且橢圓經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)橢圓焦點在y軸上且，設(shè)橢圓方程，根據(jù)參數(shù)關(guān)系及點在橢圓上列方程求參數(shù)，即得方程；（2）設(shè)橢圓方程，由點在橢圓上列方程組求參數(shù)，即得方程.【詳解】（1）由已知：橢圓焦點在y軸上且，則，且設(shè)橢圓方程為，又在橢圓上，所以，故橢圓方程為.（2）設(shè)橢圓方程為，且，在橢圓上，所以，則橢圓方程為.19．（2023秋·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)經(jīng)過點和點；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入兩點坐標計算即可；（2）分類討論焦點的位置，結(jié)合圖形幾何性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，將點和點代入可知，所以橢圓的標準方程為：；（2）設(shè)橢圓長軸長、短軸長、焦距分別為，由已知，有解得，，若焦點在軸上，則，若焦點在軸上，，∴所求橢圓方程為或.20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為和，且橢圓經(jīng)過點；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點和；(3)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點．(4)經(jīng)過點，兩點；(5)與橢圓＋＝1有相同的焦點且經(jīng)過點.(6)焦點坐標為，過點；(7)經(jīng)過兩點．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【分析】根據(jù)橢圓的標準方程選擇合適的方程形式設(shè)方程，由已知求參數(shù)即可得橢圓標準方程.【詳解】（1）由題意知，橢圓的焦點在x軸上，可設(shè)它的標準方程為，易知，所以，又，所以，故所求橢圓的標準方程為；（2）∵橢圓的焦點在y軸上，∴可設(shè)它的標準方程為，∵橢圓經(jīng)過點和，∴，解之得，故所求橢圓的標準方程為；（3）根據(jù)題意可知，又焦點在y軸上，故可設(shè)它的標準方程為，且焦點坐標為，∵橢圓經(jīng)過點，∴由橢圓的定義可得，即，∴，故橢圓的標準方程為.（4）由題意得P、Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在x軸上，所以，所以橢圓的標準方程為.（5）設(shè)橢圓的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，且焦點在x軸上因為，所以，，故設(shè)橢圓方程為由題意得，解得或(舍去)，所以橢圓的標準方程為.（6）設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，因為焦點的坐標為，所以另一個焦點為，且，又橢圓過點，所以，所以，故，所以橢圓的標準方程為；（7）設(shè)橢圓方程為，因為橢圓經(jīng)過兩點，所以，解得，所以橢圓的標準方程為.考點四根據(jù)橢圓方程求相關(guān)量21．（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校E圓的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程求，并結(jié)合焦點所在位置分析判斷.【詳解】由橢圓方程可知：，且焦點在y軸上，可得，所以橢圓的焦點坐標為.故選：B.22．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，6(2)，8(3)，【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，確定焦點的位置，結(jié)合橢圓定義即可得答案.【詳解】（1）由橢圓方程可得長半軸長，短半軸長，橢圓焦點在x軸上，且，故橢圓的焦點坐標為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為；（2）由橢圓方程可得長半軸長，短半軸長，橢圓焦點在y軸上，且，故橢圓的焦點坐標為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為；（3）由橢圓方程，即，可得長半軸長，短半軸長，橢圓焦點在y軸上，且，故橢圓的焦點坐標為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為；23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的一個焦點的坐標為，則（

）A．1 B．2 C．5 D．9【答案】A【分析】根據(jù)焦點坐標得，根焦點在軸，可以判斷，，根據(jù)可得.【詳解】由題意得，，因焦點在軸，所以，，由得，解得．故選：A24．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是橢圓的一個焦點，則實數(shù)（

）A．6 B．C．24 D．【答案】D【分析】把橢圓方程化成標準形式，再利用給定的焦點坐標列式計算作答.【詳解】橢圓化為：，顯然，有，而橢圓的一個焦點為，因此，所以.故選：D25．（2023·高二課時練習(xí)）若橢圓上點P到右焦點的距離為4，則點P的橫坐標為．【答案】【分析】由橢圓方程求得右焦點坐標，設(shè)，由橢圓方程和距離列方程組求解．【詳解】由已知，，右焦點為，設(shè)，，則，消去得，，，（舍去），所以點橫坐標為．故答案為：．考點五橢圓中的焦點三角形問題求焦點三角形的內(nèi)角或邊長26．（2023秋·陜西延安·高二?？计谀┮阎獧E圓上的一點到橢圓一個焦點的距離為6，則點到另一個焦點的距離為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，所以，所以橢圓的焦點分別為，則，因為點到橢圓一個焦點的距離為，設(shè)，可得，即點到另一個焦點的距離為.故答案為：.27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因為,所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C28．（2023秋·江蘇無錫·高二無錫市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因為，所以，當且僅當時，取到最大值.故選：D.29．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點，P在橢圓上，已知是一個直角三角形的三個頂點，且，則的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或2【答案】D【分析】由題設(shè)可知軸或，由此進行分類討論，利用已知條件結(jié)合橢圓的定義求出，即可求出的值．【詳解】因為為橢圓兩個焦點，所以，，則，，因為，則P點位于x軸右側(cè)，則軸或故當軸時，P的橫坐標為，其縱坐標為，則，，故；當時，設(shè)，，則，由勾股定理可得，即，解得或（舍去），故，綜上，的值為或，故選：D30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，|PF1|－|PF2|＝.【答案】【分析】因為線段的中點在y軸上得的長，進而求得.【詳解】因為線段的中點在y軸上，可得軸，所以軸，所以，，所以.故答案為：.31．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點分別為，點在橢圓上，若，則的大小為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義和標準方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，則，因為，可得，，在中，由余弦定理得，因為，所以.故答案為：32．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓上的動點到右焦點距離的最大值為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點到右焦點距離最大值為，即可求出，再根據(jù)，即可得解；【詳解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點到右焦點距離最大值為，即，又，所以，由，所以；故選：A33．【多選】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若是橢圓上一點，，為其左右焦點，且不可能為鈍角，則實數(shù)的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷為橢圓的短軸端點時，此時最大，即可列不等式求解.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可得當點為橢圓的短軸端點時，此時最大，若不可能為鈍角，當點為橢圓的短軸斷點時，則，則，即，又焦點在軸上，解得，所以實數(shù)的值可以是4，5，故選：CD橢圓中焦點三角形的周長問題34．（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）已知點分別是橢圓的左、右焦點，點在此橢圓上，則的周長等于（

）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】由橢圓的定義求解．【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故選：C35．（2023秋·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓的兩個焦點分別為，，點在橢圓上運動，則的周長為（

）A．6 B． C．8 D．10【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義直接求解即可【詳解】由，得，則，所以，因為點在橢圓上運動，所以，所以的周長為，故選：D36．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點三角形的周長即可求解.【詳解】由，即，可得，根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：B.37．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（

）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的另外一個焦點為，如圖，則的周長為，故選：C.橢圓中焦點三角形的面積問題38．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用橢圓定義求得的值，判斷為等腰三角形，即可求得答案.【詳解】由橢圓可知，故，結(jié)合，可得，而，故為等腰三角形，其面積為，故選：B39．【多選】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)），是橢圓的兩個焦點，A是橢圓上一點，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】對的直角進行分類討論，結(jié)合橢圓的定義以及標準方程求得正確答案.【詳解】由得，不妨，，則，當時，則①平方減去②得，∴，當(或者)時，，令，則，解得，則，.故選：AB.40．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為．【答案】/【分析】由向量的夾角公式可得，利用余弦定理、橢圓定義可得，再由三角形面積公式可得答案.【詳解】因為，，所以，若，因為，則可得，由余弦定理可得，所以，則.故答案為：.42．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)和為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且滿足，則的面積是.【答案】/【分析】將橢圓方程化為標準式，即可求出、、，由，可得點為短軸頂點，最后由面積公式計算可得.【詳解】橢圓，即，所以，，，因為，所以點為短軸頂點，所以.故答案為：43．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知橢圓的兩焦點為，，P為橢圓上一點，且，，求的面積.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出焦距，進而求出長短半軸長，在中由余弦定理求出，再由三角形面積公式計算作答.【詳解】依題意，，橢圓長軸長，即長半軸長，短半軸長b，有，所以橢圓的標準方程為.在中由余弦定理得：，有，解得，，所以的面積是.44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左?右焦點分別是，，為橢圓C上一點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．的周長為6 B．的面積為C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的直徑為【答案】D【分析】根據(jù)焦點三角形的性質(zhì)即可求解AB，根據(jù)等面積法即可求解C，根據(jù)面積公式以及正弦定理及可求解D.【詳解】由題意知，，，，由橢圓的定義知，，，∴的周長為，即A正確；將代入橢圓方程得，解得，∴的面積為，即B正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，即，∴，即C正確；不妨取，則，，∴的面積為，即，∴，由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯誤，故選:D.45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦點在軸上，且過點，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點，、是該橢圓的兩個焦點，若，求：(1)橢圓的標準方程(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】設(shè)出橢圓的標準方程，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；利用橢圓定義以及余弦定理、面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標準方程為，由已知得解得，，，故橢圓的標準方程為．（2）如圖，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．橢圓中焦點三角形的內(nèi)切圓問題46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】由面積最大得的位置，從而可求出三角形的三條邊，求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】因為橢圓為，所以a=5，b=3，，當?shù)拿娣e最大時，點M在橢圓C的短軸頂點，不妨設(shè)點M為橢圓C的上頂點，點O為坐標原點，內(nèi)切圓半徑為r，則，，，因為，所以.故選：D.47．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)橢圓的左右焦點分別為和，離心率為，過左焦點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，且線段，則的內(nèi)切圓半徑等于.【答案】【分析】由已知條件表示出直線AB的方程，得到的面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓半徑乘以三角形周長的一半等于三角形面積，結(jié)合離心率的值可得內(nèi)切圓半徑.【詳解】的周長為，∵，∴到直線的距離，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，∵，，∴，故答案為：48．（2017·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓的右焦點作一條直線，交橢圓于A，B兩點，則的內(nèi)切圓面積可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用等積法可求的內(nèi)切圓面積的范圍，從而可得正確的選項.【詳解】設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義可得：，，而，所以.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，因為，所以，設(shè)直線的方程為，由，消去并整理得：..設(shè)，則，單調(diào)遞增，當時，.設(shè)的內(nèi)切圓面積為，則，于是選項A符合題意．故選：A.與橢圓焦點三角形有關(guān)的最值問題49．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知為橢圓的焦點，P為橢圓上一動點，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先由焦點坐標求出橢圓方程，再根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合可得，得解.【詳解】

由為橢圓的焦點，，，，，，設(shè)橢圓的左焦點為，由橢圓的定義得，，所以的最小值為.故選：A.50．（2023秋·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知定點，點為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合線段和差的三角不等式列式求解即可.【詳解】令橢圓的左焦點為，有，由橢圓定義知，顯然點在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，而，即，當且僅當點共線時取等號，當點與重合時，，則，當點與重合時，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C51．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點，為上一點，為圓：上一點，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義、點和圓的位置關(guān)系等知識確定正確答案.【詳解】依題意，設(shè)橢圓的左焦點為，圓的圓心為，半徑為，，當三點共線，且在之間時等號成立.而，所以，當四點共線，且在之間，是的延長線與圓的交點時等號成立.故選：D52．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，是左、右焦點，點，點為橢圓上一動點，則的最大值為，最小值為．【答案】//【分析】根據(jù)橢圓的定義進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象求得的取值范圍，進而確定正確答案.【詳解】橢圓，∴，∴.如圖所示，點在橢圓內(nèi)部，∵點為橢圓上的點，則，∴，∵，又，∴，即.故答案為：；53．（2023秋·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?是橢圓內(nèi)的點，是橢圓上的動點，則的最大值為；最小值為.【答案】//【分析】由題意可得為橢圓右焦點，設(shè)左焦點為，在橢圓內(nèi)，根據(jù)橢圓的定義得，由圖可知當在直線與橢圓交點上時，取得最值.【詳解】由題意可得為橢圓右焦點，設(shè)左焦點為，在橢圓內(nèi)，則由橢圓定義，于是.當不在直線與橢圓交點上時，??三點構(gòu)成三角形，于是，而當在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有，在第三象限交點時有.顯然當在直線與橢圓第一象限交點時，有最小值，其最小值為；當在直線與橢圓第三象限交點時，有最大值，其最大值為.故答案為：，.54．【多選】（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知點為橢圓C：的左焦點，點P為C上的任意一點，點的坐標為，則下列正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為7C．的最小值為D．的最大值為1【答案】ABD【分析】根據(jù)三點共線、橢圓的定義等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，所以，的最小值，即是的長，當點在位置時取到，所以的最小值為，故A正確；設(shè)橢圓的右焦點為，所以，則當點在位置時取到最大值，所以的最大值為，故B正確；的最小值當在位置時取到，即的最小值為，故C錯誤；由，則當點在位置時取到最大值，所以的最大值為，故D正確.故選:ABD55．（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為動點到兩定點之間距離和，再利用焦點三角形的性質(zhì)可求最小值.【詳解】，點是橢圓上的點，設(shè)，如圖．記題中代數(shù)式為M，則，等號當點E，A，P依次共線時取得．因此所求最小值為．故選：C.56．（2023秋·高二課時練習(xí)）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上任意一點，則·的取值范圍為.【答案】【分析】可設(shè)，可求得與的坐標，利用向量的數(shù)量積的坐標公式結(jié)合橢圓的方程即可求得其答案．【詳解】點為橢圓上的任意一點，設(shè)，依題意得左焦點，，，，，，，．則．故答案為：．考點六與橢圓有關(guān)的軌跡問題57．（2023秋·高二課時練習(xí)）古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了