空間的直線方程

1空間直線的對稱式或點向式問題：設(shè)直線L經(jīng)過定點P0(x0,y0,z0),并以為方向向量，則直線L的位置完全確定，試建立直線L的方程。

設(shè)P(x,y,z)是空間中異于P0的任一點，則點P在直線L上的充要條件為：由兩向量平行的充要條件可得：（1）稱（1）為直線L的對稱式方程。在(1)式中，令則t為參數(shù)（2）稱（2）式為直線L的參數(shù)方程約定：例1求過點A(1,1,1)，B(1,2,3)的直線l的對稱式

方程、參數(shù)方程.解：l的方向則得l的對稱式方程參數(shù)方程2空間直線一般方程稱（3）式為空間直線L的一般方程

當(dāng)把直線看作兩個相交平面的交線時，直線L的就可以寫成聯(lián)立方程組的形式：點P0(x0,y0,z0)在L上的充要條件是：

x0,y0,z0同時滿足（3）式的兩個平面方程.

化一般方程為點向式方程或參數(shù)方程。例2

用對稱方程及參數(shù)方程表示直線l：解：由兩種形式直線方程表達(dá)式知，只需求得l上一定點和l的方向即可.現(xiàn)求一定點.將聯(lián)立方程組相加:令z=1得x=3,y=1,得一定點(3,1,1).故得對稱式即而得參數(shù)方程：

x=3+4t,

y=1

t,

z=13t.

t為參數(shù).練習(xí)用對稱方程表示直線l：解：由兩種形式直線方程表達(dá)式知，只需求得l上一定點和l的方向即可.現(xiàn)求一定點.將聯(lián)立方程組令x=1得y=1,z=2,得一定點(1,－1,2).故得對稱式定理二兩直線的位置關(guān)系三點到直線的距離四、兩直線的夾角、直線與平面的夾角兩直線l1,l2的方向s1,s2之間夾角稱為該兩直線的夾角(通常指銳角).易知令s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).1、兩直線的夾角特例：

l1//l2

l1

l2

s1

s2=0

s1,

s2線性相關(guān).

s1

s2=0例4

求直線l1：

直線l2：

的夾角。解：

兩直線的方向向量分別為：2、直線與平面的夾角我們稱直線l與它所在平面

上的投影直線的夾角為該直線與平面的夾角(通常要求).l

n設(shè)直線l：平面

：

ln

則n與s的夾角為【注】（2）一般情形平面

的法向量n,l的方向向量v，則有：（1）當(dāng)直線l垂直與平面

時，其夾角為由此可知：（I）（II）例5

求直線l：且有平面π：則直線l（）解：

直線l的方向向量（A）平行平面π

（C）在平面π上（B）垂直平面π

（D）與平面π斜交定義定理五平面束這樣，方程定理

定義六兩直線之間的距離

若兩直線相交則距離為0，若平行則兩直線之間的距離等于任意一點到另一條直線之間的距離.定理證明由上圖的幾何意義容易得到【1】求過點M0(3,3,0)且與直線

l1:垂直相交的直線l的方程.解：

M0M1

l1

設(shè)所求直線l與l2與交點為M1(x1,y1,z1).則M0M1

s1

=(1,1,2).本節(jié)綜合習(xí)題令

t+t+22t6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直線方程為直線方向s=M0M1=(13,13,20)=(2,2,2).【2】

設(shè)平面π過直線l1:且平行于直線l2：解：兩直線的方向向量分別為求平面π的方程。則平面π的法向量故可假設(shè)平面的方程為：代入(1,2,3)，得D=2所以平面π的方程為：【3】

過點P0(1,2,1)和直線l1:的平面方程。解：由于P0不在平面上，故平面不為所求平面；通過直線l的全體平面可表示為：由于點在所求平面上，故代入上式可得從而所求平面的方程為：【練習(xí)】求直線l1:

x+y1=0,

y+z+1=0,在平面

:2x+y+2z=0上的投影直線的方程.解：直線l1的方向=(1,1,1).再求l1與

的交點M0(x0,y0,z0).即聯(lián)立求解

x+y

1=0,

y+z+1=0,

2x+y+2z=0.消元

x+y1=0,

y+z+1=0,

y+2z+2=0.

x+y1=0,

y+z+1=0,3z+3=0.

M0l1nM1得(x0,y0,z0)=(1,0,1).任取l1上(不在

上)一點M1(x,y,z)=(0,1,2).作過M1且垂直于

的直線l2:

M0l1nM1設(shè)l2與

交點為M2(x2,y2,z2)，則相應(yīng)參數(shù)t滿足22t+1+t+2(2+2t)=0得交點M2(x2,y2,z2)所求直線方程為即思想：

求直線與

交點M0；

求直線上平面

外一點M1

；

求過M1垂直于

的直線l2;

求l2與

的交點M2

；

求過M0，M2的投影直線方程.

M0l1nM1解：由題意，只需求過l的平面束中的一個垂直于

的平面

1，即由直線的一般形式(也稱交面式)求得投影直線.過l的平面束為

l下面我們用平面束來解題得

1：

投影直線為

x

z2=0,過

1,2x+y+2z=0,過

.令

1=1,即小結(jié)空間平面空間直線一般形式法點式截距式(三元一次方程)Ax+By+Cz+D=0.交面式對稱式:參數(shù)形式:兩點式:(一般形式)：三元一次方程組.

x=x0+mt,

y=y0+nt,

z=z0+pt;關(guān)系直線間夾角：平面間夾角：直線與平面間夾角：直線在平面上的投影：過直線的平面束中的一條垂