高考數(shù)學(xué)（題型預(yù)測+范例選講）綜合能力題選講 第27講 建構(gòu)不等關(guān)系的應(yīng)用性問題（含詳解）

建構(gòu)不等關(guān)系的應(yīng)用性問題題型預(yù)測不等式應(yīng)用題，多以函數(shù)面目出現(xiàn)，以最優(yōu)化的形式展現(xiàn)，解答這一類問題，不僅需要不等式的相關(guān)知識（不等式的性質(zhì)、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函數(shù)、數(shù)列、幾何等多方面知識，綜合性強(qiáng)，難度可大可小，是高考和各地模擬題的命題熱點(diǎn)．范例選講 例1.某商場經(jīng)過市場調(diào)查分析后得知，年從年初開始的前n個(gè)月內(nèi)，對某種商品需求的累計(jì)數(shù)（萬件）近似地滿足下列關(guān)系：（Ⅰ）問這一年內(nèi)，哪幾個(gè)月需求量超過1.3萬件？（Ⅱ）若在全年銷售中，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件） 講解：（Ⅰ）首先，第n個(gè)月的月需求量＝∵，∴．當(dāng)時(shí)，∴令，即，解得：，∵n∈N，∴n=5，6即這一年的5、6兩個(gè)月的需求量超過1.3萬件．（Ⅱ）設(shè)每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n個(gè)月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個(gè)月未銷售完的商品．所以，需且只需：，∴又∵∴即每月初至少要投放11112件商品，才能保證全年不脫銷． 點(diǎn)評：實(shí)際問題的解答要注意其實(shí)際意義．本題中的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否則，不符合題意． 例2．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.甲乙丙維生素A（單位/千克）600700400維生素B（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；（Ⅱ）確定x，y，z的值，使成本最低． 講解：（Ⅰ）由題，，又，所以，．（Ⅱ）由得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以，當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時(shí)，混合物成本最低，為850元． 點(diǎn)評：本題為線性規(guī)劃問題，用解析幾何的觀點(diǎn)看，問題的解實(shí)際上是由四條直線所圍成的區(qū)域上使得最大的點(diǎn)．不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)在點(diǎn)M（50，20）處取得． 例3．一根水平放置的長方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．a(chǎn)dl（Ⅰ）將此枕木翻轉(zhuǎn)90adl（Ⅱ）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，木材長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負(fù)荷最大？ 講解：（Ⅰ）由題可設(shè)安全負(fù)荷為正常數(shù)），則翻轉(zhuǎn)90o后，安全負(fù)荷．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，．安全負(fù)荷變大；當(dāng)時(shí)，，安全負(fù)荷變?。?）如圖，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，則，即．∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時(shí)，安全負(fù)荷最大 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)，即取，時(shí)，u最大，即安全負(fù)荷最大． 例4．現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2．假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個(gè)觀測點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個(gè)觀測點(diǎn)的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合．問：從第幾個(gè)觀測點(diǎn)開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？ 講解：本題的不等關(guān)系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難．為表達(dá)方便，我們分別用來表示河水在流經(jīng)第n個(gè)觀測點(diǎn)時(shí)，A水流和B水流的含沙量．則＝2，＝0.2，且 ．（＊） 由于題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列． 由（＊）可得： 所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列． 所以，． 由題，令