中考數(shù)學(xué)一輪大單元復(fù)習(xí) 分式及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)

專題1.4分式及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)演練

考點(diǎn)1：分式的定義和性質(zhì)

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專題1.4分式及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)演練二考點(diǎn)2:分式的運(yùn)算

考點(diǎn)3:分式的應(yīng)用

考點(diǎn)1：分式的定義和性質(zhì)

例1.(1)(2023?安徽合肥?七年級(jí)期末)已知分式處(m,ri為常數(shù))滿足表格中的信息，則下列結(jié)論

中臂接的是()

%的取值-22Pq

分式的值無意義012

A.n=2B.m=-2C.p=6D.q的值不存在

(2)(2023?上海?測(cè)試?編輯教研五七年級(jí)期中)請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的分式：

(1)分式的值不可能為零；

(2)分式有意義時(shí)，a的取值范圍是a片一3;

(3)當(dāng)a=0時(shí)，分式的值為一1.

你所寫的分式為

(3)(2023?新疆?烏市一中八年級(jí)期中)下列結(jié)論：①不論a為何值一―都有意義；②a=—1時(shí)，分式竽

a2+la2-l

的值為0；③若紅的值為負(fù)，則X的取值范圍是X<1；④若蟲+標(biāo)有意義則久的取值范圍是久力一2且

x-1x+2x

%。0.其中正確的是()

A.①②③④B.①②③C.①③D.①④

伊】2?(2023?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知y=3zjx取哪些值時(shí):

(1)F的值是正數(shù);

⑵y的值是負(fù)數(shù);

(3)v的值是零；

⑷分式無意義.

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2023?山東煙臺(tái)?八年級(jí)期中）代數(shù)式2招工,^一為2一2工空1中屬于分式的有（）

57Taz+23xm+3

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

2.（2023?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)期中）在式子二—,5,—,/+工外中，分式的個(gè)數(shù)為

a7x—182

（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.（2023?福建?龍巖市第一中學(xué)錦山學(xué)校八年級(jí)期中）在工;，立i,理，”-中分式的個(gè)數(shù)有（）

x237Tx+y

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.（2023?寧夏?中寧縣第三中學(xué)八年級(jí)期末）在代數(shù)式巨，—,,-xy+x2y,―,立中，分式有

2a24-x2nx

（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.（2023?河北石家莊?八年級(jí)期末）如果分式"的值為0,那么x的值為（）

x+6

A.0B.6C.-6D.+6

6.（2023?河北唐山?八年級(jí)期中）若分式二四一的值為正數(shù)，則x的取值范圍是（）

X2-2X+1

A.x>-2B.x<1C.x>-2且D.x>1

7.（2023?遼寧?盤山縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期末）若分式空的值為正，則x的取值范圍為（）.

X2

11

A.X2--B.xW--

22

11

C.x>--且xWOD.xV--

22

8.（2023?河北?辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)八年級(jí)期末）分式七色中，把x和y都擴(kuò)大到原來的10倍，分式

x+y

的值（）

A.不變B.擴(kuò)大為原來的10倍0.縮小為原來的D.不能確定

9.（2023?上海?測(cè)試?編輯教研五七年級(jí)期中）下列哪個(gè)分式和二曰值相等（）

-2x4-1

A.--B.—C.—D.--

2x-l2x+l2X-12x4-1

10.（2023?上海金山?七年級(jí)期末）如果將分式名手中的X和y都子木到原來的4倍，那么分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大到原來的4倍

C.擴(kuò)大到原來的8倍D.擴(kuò)大到原來的16倍

11.（2023?山東?煙臺(tái)市芝果區(qū)教育科學(xué)研究中心八年級(jí)期中）如果把分式型中的x,y都擴(kuò)大3倍，那

x-y

么分式的值（)

A.擴(kuò)大3倍B.縮小3倍C.不變D.擴(kuò)大6倍

12.（2023?廣西貴港?八年級(jí)期中）下列各式從左邊到右邊的變形正確的是（)

D-a+ba-bc0.2a+b2a+b

A.三乙=上二D.=------------3.------------------D,口=1

*x+2yx+2ya+0.2ba+2bx+y

13.（2023?山東濟(jì)寧?八年級(jí)期中）下列運(yùn)算正確的是（）

x2-lx+1

A.B.

X2-2X+1X-1?x+3y3

Q%一y—x—yD.」y

x-y-x-yx-y

14.（2023?山東泰安?八年級(jí)期中）下列各等式中成立的有（)個(gè).

0-^-(q-d)__a-ba—匕_d-b

cc

a+b④3a-b

c

A.1B.2C.3D.4

15.（2023?河北唐山?八年級(jí)期中）不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，下列式子正確的是（）

-a+b_a+bD-x+1x-1

A.D.--------==-------

-a-ba-b-x-1x+1

1_1c-b-aa+b

C.D.-------=------

-x+yx+y-a-ba-b

16.（2023?安徽省宣城市奮飛學(xué)校七年級(jí)期中）下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.代數(shù)式日士四是分式B,當(dāng)％=-3時(shí)，分式盤的值為。

a

c0.5a+b5a+10b

C.當(dāng)a=—工時(shí)，分式吧有意義D.----------=-----------

2a0.2-0.3匕2-3b

17.（2023?河北唐山?八年級(jí)期末）由（青-目值的正負(fù)可以比較力=會(huì)與1的大小，下列正確的是

()

A.當(dāng)c=-3時(shí)，4=]B.當(dāng)c=°時(shí)，4轉(zhuǎn)

C.當(dāng)c<-3時(shí)，X>|D.當(dāng)c<°時(shí)，X<1

18.（2023?北京市順義區(qū)第五中學(xué)八年級(jí)期中）請(qǐng)從根2一1,mn—ri+nm中任選兩個(gè)構(gòu)造成一個(gè)分

式，并化簡(jiǎn)該分式.你構(gòu)造的分式是一,該分式化簡(jiǎn)的結(jié)果是.

19.（2023?上海市培佳雙語學(xué)校八年級(jí)期中）如果二次根式且有意義，那么x應(yīng)該滿足的條件是

X

20.（2023?四川達(dá)州?八年級(jí)期末）若代數(shù)式工有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________.

x—2

21.（2023?河南南陽?模擬預(yù)測(cè)）若分式二-有意義，則久___________.

x—2

22.（2023?江蘇?揚(yáng)州市祁江區(qū)梅苑雙語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)其滿足時(shí)，式子y=有意義.

------JV2X+1

23.（2023?廣西?貴港市教育局八年級(jí)期中）分式」一沒有意義，則x的值為______________.

2x—2

24.（2023?湖南?桂陽縣第二中學(xué)八年級(jí)期中）當(dāng)x時(shí)，分式三的值不存在；當(dāng)久時(shí)，分

式三有意義.

x+2

y2_1_-i

25.（2023?江蘇無錫?八年級(jí)期末）當(dāng)x=時(shí)，分式上無意義，當(dāng)x=時(shí)，分式上的值為0.

.'*1I-v''11M

26.（2023?新疆?克拉瑪依市白堿灘區(qū)教育局八年級(jí)期末）分式義的值為負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

27.（2023?廣東?八年級(jí)單元測(cè)試）已知：代數(shù)式二

2-m

（1）當(dāng)771為何值時(shí)，該式無意義？

⑵當(dāng)加為何整數(shù)時(shí)，該式的值為正整數(shù)？

28.（2023?福建福州?八年級(jí)期末）已知力=—,B=3x-l.

3x-l

（1）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；

（2）設(shè)曠=力一

①當(dāng)y=—義時(shí)，求X的值；

②若X為整數(shù)時(shí)，求JZ的正整數(shù)值.

29.（2023?河北邢臺(tái)?八年級(jí)期中）小明和小強(qiáng)一起做分式的游戲，如圖所示他們面前各有三張牌（互相

可以看到對(duì)方的牌），兩人各自任選兩張牌分別做分子和分母，組成一個(gè)分式，然后兩人均取一個(gè)相同的x

值，再計(jì)算分式的值，值大者為勝.為使分式有意義，他們約定x是大于3的正整數(shù).

（1）小明組成的分式中值最大的分式是,小強(qiáng)組成的分式中值最大的分式是;

（2）小強(qiáng)思考了一下，哈哈一笑，說：“雖然我是三張帶減號(hào)的牌，但最終我一定是勝者”小強(qiáng)說的有道理

嗎？請(qǐng)你通過計(jì)算說明.

考點(diǎn)2:分式的運(yùn)算

例3.（2023?上海金山?七年級(jí)期末）計(jì)算：（%-1—yT）+（%-2—y~2）—xy{x+y）-1

例4.（2023?山東煙臺(tái)?八年級(jí)期中）計(jì)算：

⑴0+3)2——+3%3

%+2x+2x

⑵件+2工+1+x^-4\+2X-1

\x+1x+2Jx+1

例5.（2023?山東泰安?八年級(jí)期中）

⑴化簡(jiǎn)（1一等）十（「?;

⑵先化簡(jiǎn)：上二十居-￡）,再從一2<%<3的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的x值代入求值.

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2023?湖南株洲?八年級(jí)期末）下列各式中計(jì)算正確的是（）

A.空?字=空B.至+雙=3久

3y%2xx-yy-x

C.（V2+1）（V2-1）=3D.（-V2）2-（V2）3=2

2.（2023?河北?辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學(xué)八年級(jí)期末）化簡(jiǎn)山+旦的結(jié)果是（）

A.—2a+bB.-2。-bC.2a+bD.2a-b

3.（2023?安徽-宣城十二中七年級(jí)期中）若M=a-b^0則分式工一工與下面選項(xiàng)相等的是（)

ab

A.—B.CL—bC.1D.-1

4.(2023?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測(cè))若工—3=，則z等于()

xyz

.、y-xxyp,xy

A.x-yB.C.D.

xyx-yy-x

5.（2023?浙江?寧波市鄲州實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知a+工=三+36豐0,則口的值為_____

ba3a+b

6.（2023?湖南省漢壽縣教育研究室八年級(jí)期中）計(jì)算：（。一個(gè)>三=.

7.（2023?上海?測(cè)試?編輯教研五七年級(jí)期中）計(jì)算，x2A6

x-34-4x+x2

8.（2023?北京?東直門中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：

x2-y22x-2yx

9.（2023?上海金山?七年級(jí)期末）計(jì)算：（一42?（一43+（土『

\yJ\xJ\xy）

10.（2023?山東淄博?八年級(jí)期中）計(jì)算：

/八a2

(1)-------a—

CL—11;

⑵（-呼:（4Y）\

⑶先化簡(jiǎn)，再求值：（蕓—曝）+舟，在一2，0,1,2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的代入求值.

11.（2023?山東荷澤?八年級(jí)期中）計(jì)算：

/彳、％2_162,x_8

（1）----+——

x+44x

a2+2aa2

⑵-------；-7-----

aaz-4a-2

12.（2023?山東煙臺(tái)?八年級(jí)期中）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：華^+一^的值，其中x=2+y.

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（禁一a+1）+乞F，從—IWaW3中選出合適的最小整數(shù)值代入求值.

13.（2023?上海?測(cè)試?編輯教研五七年級(jí)期中）若半竺為最簡(jiǎn)分式，且對(duì)任意x的值，有手里==_-

x2+x-2x2+x-2x+a

且a+b=c,求8的值.

x+b

14.（2023?福建省福州第十九中學(xué)八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值等+-----其中i=—2.

x2--1x2-2x+lx-1

15.（2023?湖南邵陽?八年級(jí)期中）某同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中，遇到這樣的問題：求2=24x（全+六+

尚+…+R占）的整數(shù)部分.她百思而不得其解，于是向老師求助.數(shù)學(xué)老師進(jìn)行了深入淺出的講解：觀

察算式可知，每個(gè)分母中的減數(shù)都是1,且被減數(shù)按照一定的規(guī)律在遞增；

先看一般情形：^=-=1（^-^）:

再看特殊情形:當(dāng)a=3時(shí)，X六一總=高；

當(dāng)a=4時(shí)，六）=W；

老師講解到這里時(shí)，該同學(xué)說：“老師我知道怎么做了.”

（1）請(qǐng)你通過化簡(jiǎn)，說明一般情形★三―三）=含的正確性；

⑵請(qǐng)你完成該同學(xué)的解答.

16.（2023?廣東江門?八年級(jí)期末）請(qǐng)你說明，在代數(shù)式”+三+三二有意義的情況下,無論x取

x2-lx+1x

何值，代數(shù)式的值都不變.

17.（2023?北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）（1）計(jì)算：（a+2b）2-（2a3h+Sab3）2ab\

（2）化簡(jiǎn)求值：手手+1r）T+2竺Q],其中a=—1,b=2.

a2-ab\aja

18.（2023?山東荷澤?八年級(jí)期中）計(jì)算:

2

⑴x-xx+1

X2-2X+1'x2-l9

⑵含一a

,八4-%2

+%—2)-------

⑶島/3x

考點(diǎn)3:分式的應(yīng)用

例6.（2023?北京昌平?八年級(jí)期中）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和

的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”.如：汨=匕1'=3+3=1+=_,則合1是“和諧分式”.

x-1x-1x-1x-1x-1X-1

⑴下列分式中，屬于“和諧分式”的是（填序號(hào)）；

①等②？③言④等

⑵請(qǐng)將“和諧分式”*把化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡(jiǎn)過程；

x+3

⑶應(yīng)用：先化簡(jiǎn)（久一喜）+夏荒?爰言，并求X取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

例7.（2023?北京朝陽?八年級(jí)期末）閱讀材料：

對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a,6大小的比較，有如下規(guī)律：若a-6>0,則a>6;若片反0,則斤6;若3~b<0,則aV

b.反過來也成立.

解決問題：

（1）已知實(shí)數(shù)x,貝，|（久+3）（久+7）（久+4）0+6）（填“<"，"=”或）;

（2）甲、乙二人同時(shí)從4地出發(fā)去8地，甲用一半時(shí)間以每小時(shí)而m的速度行走，另一半時(shí)間以每小時(shí)j/km

的速度行走；乙以每小時(shí)xkm的速度行走一半路程，另一半路程以每小時(shí)jzkm的速度行走.若x豐y,判

斷誰先到達(dá)8地，并說明理由.

下面是小明參考上面的規(guī)律解決問題的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）0+3）（久+7）（%+4）（%+6）（填“V"，"=”或）；

（2）先到達(dá)8地的是.

說明：設(shè)甲從4地到8地用2小，則4,8兩地的路程為（A+JZ）tkm,乙從4地到8地用（要+鬻）th.

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2023?山東淄博?九年級(jí)期中）甲、乙兩人分兩次在同一糧店內(nèi)買糧食，兩次的單價(jià)不同，甲每次購

糧100千克，乙每次購糧100元.若規(guī)定：誰兩次購糧的平均單價(jià)低，誰的購糧方式就合算.那么這兩次

購糧（）

A.甲合算B.乙合算C.甲、乙一樣D.無法確定

2.（2023?河南?商水縣希望初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知P=缶一二）+仁一6）,Q=--a-b,則當(dāng)a>

\bJ\aJa-b

b>0時(shí)，P與Q的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P=Q0.P<QD.無法確定

3.（2023?北京昌平?八年級(jí)期中）如圖，大正方形的邊長(zhǎng)均為a,圖（1）中白色小正方形的邊長(zhǎng)為瓦圖

（2）中白色長(zhǎng)方形的寬為b,設(shè)爪=骷｝端翳器5>6〉0），則0的取值范圍為（）

11

A.m>2B.1<m<2C.-<m<1D.0<m<-

22

4.（2023?上海田家炳中學(xué)七年級(jí)期中）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于

分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式，例如-I匕是真分式，如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這

x+2x3-4x

樣的分式為假分式.例如，分式統(tǒng)，工假分式，一個(gè)假分式可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和.例如：

x+1（X-1）+2y2

--=-----=1H---

x-1x-1x-1

（1）將假分式絲M為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分式的和

2X+1

丫2

⑵利用上述方法解決問題：若X是整數(shù)，且分式工的值為正整數(shù)，求X的值

x—3

5.（2023?河南?商水縣希望初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）最近一段期間新冠肺炎肆虐，此情形下，很多單位都

爭(zhēng)著購買消毒液.某商販先購進(jìn)消毒液a箱，價(jià)格為每箱50元，后又購進(jìn)消毒液b箱，價(jià)格為每箱60元，

然后以每箱55元的價(jià)格全部售給某單位，請(qǐng)用a、b的式子表示每箱的平均進(jìn)價(jià).當(dāng)a<6時(shí)，該平均進(jìn)價(jià)

相對(duì)55元的售價(jià)是更高還是更低了？請(qǐng)說明理由.

6.（2023?福建?莆田哲理中學(xué)八年級(jí)期末）閱讀下列材料，解決問題：

在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)

往往難度比較大，這時(shí)我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或

整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過對(duì)簡(jiǎn)單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在

處理分式或整除問題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說明.

將分式土衛(wèi)拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和的形式.

X+1

々尸X2-X+3X(X+1)-2(X+1)+5X(X+1)2(X+1),5,5

胛:------=--------------=---------------1------=x—Zo----.

x+lx+1x+1x+1x+1X+1

這樣，分式^一~史^就拆分成一1個(gè)整式X-2與一1個(gè)分式的和的形式.

x+1X+1

⑴將分式*二拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為

x-1

(2)已知整數(shù)X使分式27+5工-2。的值為整數(shù),則滿足條件的整數(shù)*的值.

%—3

7.(2023?全國?八年級(jí)單元測(cè)試)小郝同學(xué)在當(dāng)建造師的爸爸的一份資料上看到一段文字：“民用住宅

窗戶面積應(yīng)小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比值越大，住宅的采光條件會(huì)越好.”

小郝思考：如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會(huì)不會(huì)更好？為了驗(yàn)證這猜想，小

郝做了如下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

第一步：假設(shè)某住宅窗戶面積為17平方米，地板面積為8°平方米,則普=總.如果窗戶面積和地板

面積同時(shí)增加1平方米，則黯=學(xué)此時(shí):

1p17

.?七一?"°相〉0,

.1817

??一>一,

8180

所以，同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會(huì)更好.

第二步：假設(shè)某住宅窗戶面積為x平方米，地板面積為y平方米，且0x>0,則盟萼=C如果窗戶面積

地板面積y

和地板面積同時(shí)增加1平方米，則m第=—.

地板面積y+i

請(qǐng)幫小郝完成猜想證明過程.

第三步：假設(shè)某住宅窗戶面積為x平方米，地板面積為JZ平方米，且p>x>0,則照萼如果窗戶面積

地板面積y

和地板面積同時(shí)增加0平方米，則整黑=包.

地板面積y+m

請(qǐng)幫小郝完成猜想證明過程，井對(duì)問題下結(jié)論.

8.(2023?全國?八年級(jí)單元測(cè)試)課本中有一探究活動(dòng)如下：“商店通常用以下方法來確定兩種糖混合

而成的什錦糖的價(jià)格：設(shè)2種糖的單價(jià)為a元/千克，B種糖的單價(jià)為6元/千克，則6千克力種糖和n千克B種

糖混合而成的什錦糖的單價(jià)為吧吧(平均價(jià)).現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由4,8兩種糖混合而成.其中甲

m+n

種什錦糖由10千克a種糖和10千克8種糖混合而成；乙種什錦糖由10。元a種糖和wo元8種糖混合而成.你

認(rèn)為哪一種什錦糖的單價(jià)較高？為什么？”請(qǐng)你完成下面小明同學(xué)的探究：

(1)小明同學(xué)根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)分別記為元尹和元乙(用a、b的代數(shù)式表示)；

(2)為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)，小明想到了將元尹與元乙進(jìn)行作差比較，即計(jì)算元尹一元乙的差與0比較

來確定大?。?/p>

⑶經(jīng)過此探究活動(dòng)，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理(若石油價(jià)格經(jīng)常波動(dòng).方

式一：每次都加滿；方式二：每次加200元).選擇哪種方式？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

9.(2023?河南省直轄縣級(jí)單位?八年級(jí)期末)如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為印1(a>1)的

正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a-1)m

的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了550kg.設(shè)“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量

22

分別為F1kg/m,F2kg/m.

(1)6=;F2=.(用含a的式子表示)

⑵求證：F1-F2<0.

⑶求區(qū)的值.

(4)當(dāng)a=49時(shí)，高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

10.(2023?福建廈門?八年級(jí)期末)為促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)，某校分批購進(jìn)若干體育用品.第一批購買的單

價(jià)不低于18元，第二批購買的單價(jià)比第一批的單價(jià)少5元.

⑴若第一批和第二批購買的費(fèi)用分別為400元和450元，且第二批所購體育用品數(shù)是第一批所購體育用品

數(shù)的1.5倍.求第一批體育用品每件的單價(jià)是多少元？

⑵由于該體育用品深受學(xué)生喜歡，學(xué)校繼續(xù)籌劃費(fèi)用購買第三批體育用品.如果第二批和第三批購買費(fèi)用

分別為〃元和〃元，m:n=8:3.第三批所購買的單價(jià)比第一批購買單價(jià)的2倍少30元.第二批和第三批

哪次購買的數(shù)量多，請(qǐng)說明理由.

11.(2023?吉林?四平市鐵西區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期末)為了安全與方便，某自助加油站只提供兩種自

助加油方式：“每次定額只加200元”與“每次定量只加40升”.現(xiàn)有甲、乙兩車連續(xù)兩次同時(shí)進(jìn)入自助

加油站加油，甲車選擇每次只加40升，乙車選擇每次只加200元為比較誰的加油方式更合算，不妨設(shè)第一

次加油時(shí)油價(jià)為x元/升，第二次加油時(shí)油價(jià)為y元/升，且xHy.請(qǐng)回答下列問題：

(1)①甲車兩次加油的平均油價(jià)為：元/升；

②乙車兩次加油的平均油價(jià)為：元/升.

(2)請(qǐng)比較兩車的平均油價(jià)，并用數(shù)學(xué)語言說明哪種加油方式更合算.

2

12.(2023?河北石家莊?八年級(jí)期中)已知:3-xy.X-2X-1

⑴求P,并將之化簡(jiǎn);

(2)當(dāng)比=n時(shí)，記P的值為P(n).如，當(dāng)久=2時(shí)，P的值為P(2);當(dāng)x=3時(shí)，P的值為P(3);….請(qǐng)直接寫

出關(guān)于t的不等式三一二2P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)的解集及其最小整數(shù)解.

42

13.(2023?安徽?阜陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題.

1X22’2X323’3x434

11

(1)計(jì)算:_2_.LJ__1L

1x22X33X44x55x6

1

(2)探究:卜工+—F(用含有n的式子表示);

1X22X33X4n(n+l)

⑶求*+短+余+…+(2n-i；2n+l)的值(用含有幾的式子表示)?

專題L4分式及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)演練

考點(diǎn)1：分式的定義和性質(zhì)

專題1.4分式及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)演練?考點(diǎn)2:分式的運(yùn)算

考點(diǎn)3:分式的應(yīng)用

考點(diǎn)1：分式的定義和性質(zhì)

例1.(1)(2023?安徽合肥?七年級(jí)期末)已知分式金坦(m,n為常數(shù))滿足表格中的信

D.q的值不存在

解：為-2時(shí)方程無意義,

.1.X-/7F0,解得：/7F-2,故B正確,

故分式為：策

當(dāng)產(chǎn)2時(shí)，分式的值為0,

故2X2+k0,方-4,故A錯(cuò)誤,

故分式為:舒

當(dāng)分式值為1時(shí)，2x—4=A+2,解得：產(chǎn)6,

故p=6,故C正確，

當(dāng)土=2時(shí)，2x-4=2x+4,此等式不成立，則q的值不存在，故D正確,

x+2

故選：A.

(2)(2023?上海?測(cè)試?編輯教研五七年級(jí)期中)請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的分式:

(1)分式的值不可能為零；

(2)分式有意義時(shí)，a的取值范圍是a7—3;

(3)當(dāng)a=0時(shí)，分式的值為一1.

你所寫的分式為

解：根據(jù)(1)分式的值不可能為零，可得分式的分子不等于零；

根據(jù)(2)分式有意義時(shí)，a的取值范圍是a力-3,可知當(dāng)a=-3時(shí)，分式的分母等于零;

根據(jù)(3)當(dāng)a=0時(shí)，分式的值為-1,可知把％=0代入后，分式的分子、分母互為相反數(shù).

綜上可知，滿足條件的分式可以是：—,

a+3

故答案為：—(答案不唯一).

a+3

(3)(2023?新疆?烏市一中八年級(jí)期中)下列結(jié)論:①不論a為何值一二都有意義；②a=-1

az+l

時(shí)，分式宇■的值為0;③若玲匚的值為負(fù)，貝年的取值范圍是x<l;④若土匚一汨有意義，

az-lx-1x+2x

則x的取值范圍是x4—2且X40.其中正確的是()

A.①②③④B.①②③C.①③D.①④

解：①正確，a不論為何值a?+1>0,

二不論a為何值都有意義；

a2+l

②錯(cuò)誤，:當(dāng)a=—1時(shí)，a2—1=1—1=0,此時(shí)分式無意義，

?,?此結(jié)論錯(cuò)誤；

③正確，?.?若立i的值為負(fù)，即久一1<0,即x<1,

X—1

二此結(jié)論正確；

④錯(cuò)誤，根據(jù)分式成立的意義及除數(shù)不能為0的條件可知，若蟲+的工有意義，則X的取值

x+2x

‘％+2W0

范圍是即1%W0,x^-2,%±0且％±-1,故此結(jié)論錯(cuò)誤.

—0

VX

故選：C.

例2.(2023?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知y=三，X取哪些值時(shí)：

⑴JZ的值是正數(shù)；

(2)y的值是負(fù)數(shù)；

(3)y的值是零；

(4)分式無意義.

解：(1)根據(jù)題意，得

(x—2>0或(％—2Vo

13-4x>0或(3-4%V0，

解得三<x<2;

4

(2)根據(jù)題意，得

(x—2<0或(％—2>0

13-4%>0Al3-4%<0J

解得xV三或x>2;

4

(3)根據(jù)題意，得

fx—2=0

13-4%W0'

解得x=2;

（4）根據(jù)題意，得

3-4x=0,

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2023?山東煙臺(tái)?八年級(jí)期中）代數(shù)式三萬,二1一,〃一二三,吧中，屬于分式的有

571az+23xm+3

（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

答案：B

分析：判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母

則不是分式.

【詳解】解：代數(shù)式|居二備，爐二空中，屬于分式的有：之，,修共有3個(gè).

57Taz+23xm+3a2+2xm+3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的定義，在解答此題時(shí)要注意分式是形式定義，只要是分母中含

有未知數(shù)的式子即為分式.

2.（2023?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)期中）在式子三，—,5,—,x2+-y2^,

a7x—182

分式的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

答案：A

分析：判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母

則不是分式.

【詳解】解：在式子二字，5,吃，3/+：y2中，

a7x—182

分式有：二7，共有2個(gè).

ax-1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的定義，分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不

含字母，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn).

3.（2023?福建?龍巖市第一中學(xué)錦山學(xué)校八年級(jí)期中）在工，二立i,理，工中分式的個(gè)數(shù)

x23冗x+y

有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

答案：A

分析：根據(jù)分式的定義判斷選擇即可.

【詳解】解：（I，子，等,*中，是分式的叁,2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的定義即形如￥,其中48都是整式，且/中含有字母，熟練掌握

A

定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?寧夏?中寧縣第三中學(xué)八年級(jí)期末）在代數(shù)式巨，—,,-xy+x2y,—,

2a24—x2n

U中，分式有（）

X

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

答案：B

分析：直接根據(jù)分時(shí)的定義判斷.分母中含有字母是分式和整式的區(qū)另I.

【詳解】解：在;，4尹，ixy+x2y,—,立中，分式有機(jī)，一歲，立這3個(gè),

2a24-x271x2a4-xx

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵.注意it是數(shù)字，不是字

母.

5.（2023?河北石家莊?八年級(jí)期末）如果分式壓丘的值為0,那么x的值為（）

x+6

A.0B.6C.-6D.±6

答案：B

分析：根據(jù)分子等于0,分母不等于0,求出解.

【詳解】?；分式嗎=0,

X+6

|x|-6=0,且％+6W0,

解得久=6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的值為0的條件，即分式的值為0的要求是分式的分子等于0,

分母不等于0.

（河北唐山?八年級(jí)期中）若分式一的值為正數(shù)，則的取值范圍是（）

6.2023?x2-2x+lx

A.x>-2B.K1C.x>-2且x豐1D.x>1

答案：C

分析：根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0和兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)

值相除即可得出答案.

【詳解】解：原式三，

0T）2

當(dāng)時(shí)，（尸1）2>0,

當(dāng)A+2>0時(shí)，分式的值為正數(shù)，

：.x>-2且x手1.

故選：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值，掌握兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除是解

題的關(guān)鍵.

7.（2023?遼寧?盤山縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期末）若分式史?的值為正，則x的取值范圍

為（）.

A.一工B.xW-L

22

11

C.x>--且x豐0D.x<--

22

答案：0

分析：根據(jù)題意，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，分母不能為0,所以分母是正數(shù)，主要

分子的值是正數(shù)則可，從而列出不等式.

【詳解】解：由題意得，7>0,且X/0,

?.?分式號(hào)的值為正，

X2

A2A+1>0,

X>--,

2，

所以且X*0.

2

故選：0.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和分式值的正負(fù)條件.解不等式時(shí)當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)